本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.
一、選擇題（每小題4分，共40分，四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)余弦的和角公式即得.
【詳解】.
故選；D．
2. 如圖，在平行四邊形中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量運算得.
【詳解】由圖知，
故選：B.
3. 為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（ ）
A. 向左平移個單位長度
B. 向右平移個單位長度
C. 向左平移個單位長度
D. 向右平移個單位長度
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)平移變換對解析式的影響求解即可.
【詳解】對于A，向左平移個單位長度得，故A錯誤；
對于B，向右平移個單位長度得，故B錯誤；
對于C，向左平移個單位長度得，故C正確；
對于D，向右平移個單位長度得，故D錯誤；
故選：C.
4. 已知，都是銳角，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】計算得到，，再根據(jù)展開得到答案.
【詳解】，都是銳角，，，故，.
.
故選：.
【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，和差公式，意在考查學(xué)生的計算能力.
5. 已知為非零向量，且，則一定有（ ）
A. B. ，且方向相同
C. D. ，且方向相反
【答案】B
【解析】
【分析】將已知等式兩邊平方，可得，利用數(shù)量積定義可得，可知兩向量同向.
【詳解】因為，兩邊平方得
，
化簡得，
即，
則，，
即方向相同，故只有B正確，
故選：B.
6. 在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊位于第一象限，且與單位圓交于點，軸，垂足為.若的面積為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的定義結(jié)合三角形面積列出方程，再由倍角公式求出答案.
【詳解】由三角函數(shù)的定義可知：，
故，故，
解得：.
故選：D
7. 的最小值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用輔助角公式把函數(shù)變形為，即可求解.
【詳解】因為
，
故函數(shù)的最小值為，
故選：B.
8. 函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圖象先確定的值及周期，進(jìn)而得到，分類討論，結(jié)合函數(shù)圖象過點，求出的值即可.
【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可得,
由周期,
即，
當(dāng)時，，
又函數(shù)圖象過點，
則，
所以,
即，
又因，故，
則；
當(dāng)時，，
又函數(shù)圖象過點，
則，
所以,
即，
又因為，故，
則
，
綜上知，，
故選：A.
9. 如果函數(shù)的兩個相鄰零點間的距離為2，那么的值為（ ）．
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，由已知求出，再結(jié)合函數(shù)式計算作答.
【詳解】依題意，，函數(shù)的周期，而，則，，
，，
所以.
故選：A
10. 已知函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)x，都有，那么的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意分析可知為的最小值，為的最大值，故最小值為半個周期，由此得解.
【詳解】因為的周期，
又由題意可知為的最小值，為的最大值，
所以的最小值為.
故選：B.
二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）
11. ______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦函數(shù)的倍角公式計算即可.
【詳解】.
故答案為：.
12. 已知角的終邊經(jīng)過點，則 ．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：由三角函數(shù)定義可得：，由二倍角公式可得:
考點：1．三角函數(shù)定義;2．二倍角公式
13. 與的大小關(guān)系是______（填：“或=”中的一個）.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡后，利用正切函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】因為，
，
又，
所以，
故，
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，那么函數(shù)最小正周期為______；對稱軸方程為______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，繼而利用周期公式及整體代入法求解對稱軸即可.
【詳解】因為
，
所以函數(shù)的最小正周期，
令,
得，
所以函數(shù)的對稱軸為.
故答案為：；.
15. 已知，.有下列四個說法：
①的一個正周期為；②在上單增；
③值域為；④圖象關(guān)于對稱.
其中，所有正確說法的序號是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)：周期性、奇偶性、單調(diào)性、對稱性等知識即可求得結(jié)果.
【詳解】對于①，因為，所以①正確；
對于②，當(dāng)時，，此時，
又，所以在單調(diào)遞增，
因為，為偶函數(shù)，
所以單調(diào)遞減，故②錯誤；
對于③，因為，
所以值域為，故③正確；
對于④，因為
，所以圖象關(guān)于對稱.
故答案為:①③④.
三、解答題（共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）
16. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期；
（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求方程的解集．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦型函數(shù)的周期公式即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，代入計算，即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
最小正周期.
【小問2詳解】
∵在上單增，
∴令，
∴，
∴的單增區(qū)間為.
【小問3詳解】
令即，
∴或，
∴或，
∴方程的解集是或
17. 已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的對稱中心；
（3）作出在一個周期內(nèi)的圖象（將給定的表格中填全，并描點畫圖）
【答案】（1）
（2）
（3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式代入求值即可；
（2）整體代入法進(jìn)行求解即可；
（3）利用五點作圖法填寫表格作出圖象即可.
【小問1詳解】
因為，
所以.
【小問2詳解】
令，得，
所以函數(shù)的對稱中心為.
小問3詳解】
表格如下圖：
圖象如下：
18. 已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡，從而可得的值；
（2）由得，從而結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【小問1詳解】
因為
，
所以.
【小問2詳解】
由，可得，
所以當(dāng)，即時，取得最大值；
當(dāng)，即時，取得最小值.
19. 已知函數(shù)部分圖象如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求曲線的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，求m的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圖象可知，相鄰的對稱中心和對稱軸距離相差，再代入關(guān)鍵點可得解析式；
（2）根據(jù)圖象的變換得到解析式，求解函數(shù)的對稱軸，由題意列不等式即可求解.
【小問1詳解】
由圖象可知的最大值為1，最小值-1，故；
又且，∴，
將點代入得，，
∴，即，又，∴，
所以；
小問2詳解】
由的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)，
令得，
∴曲線的對稱軸為，
∵曲線的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，
∴.
20. 已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使的解析式唯一確定.
（1）求的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值為，求的值.
條件①：的最小正周期為；
條件②：為奇函數(shù)；
條件③：圖象的一條對稱軸為.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）若選①②，先由周期求得，再利用奇函數(shù)求得即可；若選①③，先由周期求得，再利用對稱軸求得即可；若選②③，由奇函數(shù)求得，可取，再由對稱軸為，可求得，解析式不唯一，不合題意；
（2）先由求出并化簡解析式，求得，再利用單調(diào)性求得最大值即可求解.
【小問1詳解】
若選①②，則,
解得，又函數(shù)為奇函數(shù)，
則，
即，
解得，又，所以，
故.
若選①③，則,解得，
又圖象的一條對稱軸為，
所以，
故，
解得，又，所以，
故.
若選②③，因為函數(shù)為奇函數(shù)，
則，
即，
解得，又，所以，
故，可令，
則，
又圖象的一條對稱軸為，
所以，
故，
解得，又，
所以，時，符合題意，
故，
此時函數(shù)和均為奇函數(shù)，
且，
均滿足一條對稱軸為，
故解析式不唯一，不合題意.
【小問2詳解】
有知，
則
，
由得，
故當(dāng)，即時，
，
故.
21. 對于函數(shù)，，，及實數(shù)m，若存在，，使得，則稱函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì).
（1）分別判斷下列兩組函數(shù)是否具有“2關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，直接寫出結(jié)論；
①，；，；
②，；，；
（2）若與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，求m的取值范圍；
（3）已知，為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足：
①在上，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值1；
②對任意，有.
求證：與不具有“4關(guān)聯(lián)”性質(zhì).
【答案】（1）①有；②沒有；
（2）；
（3）證明過程見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)具有關(guān)系“2關(guān)聯(lián)”性質(zhì)的定義判斷即可.
（2）求解的值域即可得出結(jié)果.
（3）根據(jù)的性質(zhì)求出其值域，結(jié)合三角函數(shù)的值域推理作答.
【小問1詳解】
①存在，，使得，
所以函數(shù)具有“2關(guān)聯(lián)”性質(zhì)；
②，，而，，
因此，，顯然不存在，，使得，
所以函數(shù)不具有“2關(guān)聯(lián)”性質(zhì).
【小問2詳解】
，，則，，
所以m的取值范圍是.
【小問3詳解】
因為在上，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值1，
又為定義在上的奇函數(shù)，則在上，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，
由對任意，有，即關(guān)于點對稱，
又，于是函數(shù)的周期為，因此的值域為 ；
，
①當(dāng)時，，而時，，
若，則時，有；
②當(dāng) 時，，而時，，
若，則時，有，顯然，
因此，即不存在，使得 ，
所以與不具有“4關(guān)聯(lián)”性質(zhì).
【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)新定義問題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和方法，再轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作答.0
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