高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一
項(xiàng)是符合題目要求的。
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D B D A C
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合
題目要求。全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分。
題號(hào) 9 10 11
答案 BC ACD ABD
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12. 7 13. 2x ? y ? 2 ? 0 14. 120
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）
C??A?? ?C??B?? ? ab C ? ab ?
3
解：（1）由已知可得
cs 21，可得 ab ? 35. ………………3分
5
C ? 3 ，可求得sin 4
cs C ? ， ………………………………4分 由
5 5
1 1 4
S? ? absinC ? ?35? ?14 . ……………………………………6分
所以
ABC
2 2 5
（2）因?yàn)閎 ? 5,ab ? 35 ，可得 a ? 7 . ………………………………7分
由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2abcsC ? 32，可得 c ? 4 2 . ……………………10
分
由正弦定理
b c
? ,可得
sin
sin B sinC
B
4
5?
b C
sin 5 2
? ? ? ， …………………12分
c 4 2 2
16.（15 分）
知 c ?1， ? ? ? ?
F1 ?1，0 , F2 1,0 ………………………………………………2分
分
（2）可知直線l 的斜率 k ? tan 600 ? 3 ，l 的方程為 y ? 3?x ?1?.…………………7分
消去 y 得 7x2 ?12x ? 4 ? 0， ………………………………………………………9分
1 4 6
所以
?ABF 的周長為 4a ? 4 2 ，
S?ABF ? AB d ? . ……………………15分 2 2
2 7
17.（15 分）由于b ? a ，所以 0
?
? B ? ，可得
2
B
?
? . ………………………………………13分
4
解：（1）由已知
? ?
PF ? x軸且 1, 2
P? ?
，
? ?
2
2
? ?
2
? ?
2 2
由橢圓的定義 2 2 2 2
2 2 2 2
a ? PF ? PF ? ? ? ? ? ?
2
1 2
2 2
? ?
，…………………………4
所以 a ? 2 ，b ? a2 ? c2 ?1，C 的方程為
x
2
2
? y2 ?1. …………………………6分
設(shè) ? ? ? ?
A x1, y1 , B x2 , y2 ，聯(lián)立方程組
? ? ? ? ?
y 3 x 1
?
?
x
2
? ? y ?1
? 2
2
，
可得
12 4
x ? x ? ? , x x ? . ………………………………………………………10分
1 2 1 2
7 7
2
AB ? ? k x ? x ? ? k x ? x ? x x ? ??? ?? ? ?
1 1 4 2
12 16 8 2
可求得 ? ?2
2 2
1 2 1 2 1 2
? 7 ? 7 7
，
點(diǎn) ? ?
F2 1,0 到直線l : 3x ? y ? 3 ? 0 的距離
d
3 ? 0 ? 3
? ?
2
? ?
3 ?1
3
， ……………13分
解：（1）證明：取 BP 中點(diǎn) M ，連接 AM ?CM ，
? 為 AD 的中點(diǎn), AD=4，? AP=2，? AB=2
P
? AM ? BP
?CM ? BP . …………………………………………………………………………………1 分
又因?yàn)?AM ? CM ? M ， AM ,CM ? 平面 ACM ，因此 BP ? 平面 ACM …………2 分
ABC ? DEF 是三棱柱，? ABED 是平行四邊形，
?? 、 ?BPC 均為等邊三角形， BP ? 2 ，則CM = AM ? 3 ，
ABP
? ， ………………………………………………………………3 分
AC ? 6? AM ? CM
? ， AM ? BP ? M , AM , BP ? 平面 ABED ，?CM ? 平面 ABED ，
CM ? BP
? 平面 ABED ，?CM ? PE ， ……………………………………………………4 分
PE ?
2
? ，在 ?PDE 中， PD ? ED ? 2，
BP ? 2 ? PDE ? π ，?PE ? 2 3 ，又 BE ? 4，
3
? 2 + 2 = 2 ，即 PE ? BP ， ………………………………………………………5 分
BP PE EB
又CM ? BP ? M ,CM , BP ? 平面 BCP ，
?PE ? 平面 BCP …………………………………………………………………………6 分
? 平面 BCP ?PE ? BC …………………………………………………………7 分
CB ?
（2）解：由（1）可知 MA 、 MP 、 MC 兩兩垂直，以 M 為原點(diǎn)， MA 所在直線為 x 軸，
MP 所在直線為 y 軸， MC 所在直線為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C ?0, 0, 3?， P?0,1, 0?， A? 3, 0, 0?， B?0,?1, 0?，?
BC =CP =2
?
?ABE ?
2π
3
??BAP ?
π
3
由于 P 是 AD 的中點(diǎn)，得 D?? 3, 2,0? ……………………………………………………9 分
又由 ?B?A?? ? ?E?D??
可得 E ??2 3,1, 0?，??P?C?? ? ?0,?1, 3?， ?P?E?? ? ??2 3, 0, 0?
，
????
? 3,1, 0?
PD ? ?
????
? ? ?
?n PC 0
設(shè)平面 ECP 的法向量為 n1 ?（x1, y1, z1) ，則 ????
1
?
?n ? PE ? 0 ?
1
設(shè)平面 ECP 與平面 PCD的夾角為? ，
n ?n
4 2
cs? ? cs n ,n ? ? ? 5
1 2
則
1 2
n n 2? 5 5
1 2
2 5
?sin ? 1? ( 5) ?
? 2
5 5
18.（17 分）
1 m x ? m
解：（1）函數(shù) f ?x?的定義域是?0，+??，可得 ?? ?? ? ? . …………2分
f x
x x x
2 2
當(dāng) m ? 0時(shí)，可知 f ??x?? 0，所以 f ?x?在?0，+??上單調(diào)遞增； ……………4分?? ? ?
?
y 3z 0
1 1
?
即
??2 3 ? 0
x
?
1
，令
y ? ，得 ? ?
n1 ? 0, 3,1 ， …………………………………11
1 3
分
????
? ? ?
?n PC
設(shè)平面 PCD的法向量為 n2 ?（x2 , y2 , z2 )，則 ????
2
?
?n ? PD ?
?
2
0
0
?? ? ?
? y 3z 0
2 2
?
，即
?? 3x ? y ? 0
?
2 2
，
令
y ? ，得 ? ?
n2 ? 1, 3,1 ， …………………………………………………………13 分
2 3
即平面 ECP 與平面 PCD夾角的正弦值為 5
5
. …………………………………………15 分
當(dāng) m ? 0時(shí)，由 f ??x?=0得 x ? m ，可得 x??0,m?時(shí)有 f ??x?? 0，
x??m，+??時(shí)有 f ??x?? 0，所以 f ?x?在?0,m?上單調(diào)遞減，
f ?x?在?m，+??上單調(diào)遞增. ………………………………………………6分
綜上可得，當(dāng) m ? 0時(shí)， f ?x?在?0，+??上單調(diào)遞增；
當(dāng) m ? 0時(shí)， f ?x?在?0,m?上單調(diào)遞減，在?m，+??上單調(diào)遞增. ……………………8分
（2）證明：當(dāng) m ? 0時(shí)，要證 mf ?x?? 2m ?1成立，
2m ?1 1
只需證 f ?x?? =2 ? 成立，
m m
1
只需證 ? ?
f x ? 2 ? 即可. …………………………………………10分
min
m
因?yàn)?m ? 0，由（1）知， ? ? ? ?
f x min ? f m ?1? ln m .
? 1 ? 1
令 ? ?
g m ?1? ln m ??2 ? ? ? ln m ? ?1
? m ? m
， ……………………………13分
1 1 m ?1
由 ?? ?? ? ? ，
g m
m m m
2 2
可得 m??0,1?時(shí)有 g??m?? 0 ， m??1，+??時(shí)有 g??m?? 0，
所以 g ?m?在?0,1?上單調(diào)遞減，在?1，+??上單調(diào)遞增， …………………………15分
可知 g ?m? ? g ? ?? ，有 g ?m?? 0. …………………………………16分
min 1 0
1
所以有
1 ln m 2
? ? ? ，從而當(dāng) m ? 0時(shí)， mf ?x?? 2m ?1成立.……………………17分
m
19.（17 分）
? ? ? ? ? ，，? ，且 解：（1）由于 1 ( 2 ) ( 1 2 ) 1 1
a n n ? a n a ? ．
n n
a ? ? 時(shí)，得 ?1? 2 ? ? ，故 ? ? 3． …………………………………2分
2 1 所以當(dāng)
從而 3 (22 2 3) ( 1) 3
a ? ? ? ? ? ? ? ． ……………………………………………4分（2）數(shù)列? ?
a 不可能為等差數(shù)列，證明如下：
n
a1 ?1， a 1 (n2 n ?)a
? ? ? ? 得
由
n n
a2 ? 2 ? ? ， a ? ? ? ? ? ， a4 ? (12 ? ?)(6 ? ?)(2 ? ?) ．
3 (6 )(2 )
若存在 ? ，使? ?
a 為等差數(shù)列，則 a ? a ? a ? a ，即 (5? ?)(2 ? ?) ?1? ? ，
n 3 2 2 1
解得 ? ? 3． ……………………………………………………………………7分
a2 ? a1 ?1? ? ? ?2 ， a ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
4 3 (11 )(6 )(2 ) 24 于是
這與? ?
a 為等差數(shù)列矛盾．
n
所以，對(duì)任意 ? ，? ?
a 都不可能是等差數(shù)列． ………………………………………10分
n
（3）（解法一）記 1 0
b ? n ? n ? ? n ? ，，? ，根據(jù)題意可知，
2 ( 1 2 ) b ? 且b ? 0 ， n n
即 ? ? 2 且 ? ? n2 ? n(n?N*) ，這時(shí)總存在 n ?N* ，
0
0 1 滿足：當(dāng)
n≥n 時(shí)，b ? 0 ；當(dāng) n≤n ? 時(shí)，b ? 0．
0 n n
因此“存在 m?N* ，當(dāng) n ? m 時(shí)總有 a ? 0”的充分必要條件是： n 為偶數(shù)，
n 0
記
n ? k k ? ，，? ，則 ? 滿足
0 2 ( 1 2 )
故 ? 的取值范圍是 4k2 ? 2k ? ? ? 4k2 ? 2k(k ?N*) ．…………………………………17
分
a ? ，不可能為負(fù)；
1 1 （解法二）先把問題特殊化：不難發(fā)現(xiàn)所以由
a ? ? b a 及
n 1 n n
a ? ? 可知，若
1 1 0
n 為偶數(shù)，則 a ? 0，從而當(dāng) n ? n 時(shí)， a ? 0；
0 n 0 n
0
若
n 為奇數(shù)，則
0
a ? 0，從而當(dāng) n ? n 時(shí) a ? 0． ………………………………14分
n 0 n
0
? ? 2 ? ? ? ?
? (2 ) 2 0
b k k
2k
?
?b ? (2k ?1) ? 2k ?1? ? ? 0
2
?
2k?1
．
若
a ? ? ? ? ，則 ? ? 2 ，此時(shí) ? ?? ?
a3 ? 2 ? 2 ? ? 1 ?1? ? 不定正負(fù)； 2 2 0
2 2
…………………………………12分
? ? ? ? ?
2
2 2 0,
若 ?
a3 ? 0 ，只需
，即 2 ? ? ? 6. …………………………………13分
1 ?1? ? ? 0
2
?
利用 ?1 ? ( 2 ? ? ) 得：
a n n ? a
n n
? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ? ????? ? ? ? ? .
? ? ? ? ? ? ? ?? ? a 1 n n ? n 1 n 1 ? 2 2 ? 1 1 ?
2 2 2 n
全正，所以
a 及其以后各項(xiàng)均負(fù).
3
于是，當(dāng) 2 ? ? ? 6時(shí)?存在 m ? 2 ，當(dāng) n ? 2 時(shí)，總有 a ? 0.…………………………14
n
分
取 m 為偶數(shù)，記 m ? 2k(k ?1，2，?) ，則解不等式組
故 ? 的取值范圍是 4k2 ? 2k ? ? ? 4k2 ? 2k(k ?N*) ．
即可保證
a ? 有且只有奇數(shù)個(gè)負(fù)因數(shù). …………………………………16分
m 1
于是，當(dāng) n ? m 時(shí)，總有 a ? 0. …………………………………17
n
分所以，對(duì)于任意正整數(shù) n ，
a ? 的各因數(shù)由大到小排列，故除12 ?1? ? ? 0外，其余因數(shù)
n 1
? 2 ? ? ?
m m ? 0,
?
?
(m 1) ?m 1? ? 0
? 2 ? ? ? ?
?
?
得 4k2 ? 2k ? ? ? 4k2 ? 2k(k ?N*) ．

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