數(shù)學(xué)試卷
命題人：鄧佳慧 審題人：李子薇
（說明：本試卷考試時(shí)間為90分鐘，滿分為100分）
一．選擇題（共8小題，每小題3分）
1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值等于（ ）
A．2024B．2022C．2023D．2021
4．下列判斷不正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
5．“5·12”汶川大地震導(dǎo)致某鐵路隧道被嚴(yán)重破壞．為搶修其中一段120米的鐵路，施工隊(duì)每天施工效率比原計(jì)劃提高1倍，結(jié)果提前4天開通了列車．設(shè)原計(jì)劃每天修x米，所列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如圖，OE平分，，交OA于點(diǎn)D，，垂足為點(diǎn)C．若，則OD的長度為（ ）
A．4B．C．D．6
7．如圖，□ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，的平分線與邊AB相交于點(diǎn)P，E是PD的中點(diǎn)，若，，則EO的長為（ ）
A．1B．C．D．2
8．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長為1，則線段DH長度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二．填空題（共5小題，每小題3分）
9．分解因式：______．
10．若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______．
11．若關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍是______．
12．如圖，在Rt△ABC中，，，，AD是△ABC的角平分線，于點(diǎn)E，則DE的長是______cm．
13．如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過B作于G，延長BG至點(diǎn)F使，延長FC、AE交于點(diǎn)M，連接DF、BM，若C為FM中點(diǎn)，，則FD的長為______．
三．解答題（共7小題）
14．（8分）解方程：
（1）解一元二次方程：；
（2）解分式方程：．
15．（7分）先化簡再求值：，其中．
16．（7分）解不等式組：并把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來．
17．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
（1）若△ABC經(jīng)過平移后得到，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，請直接寫出頂點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（2）若△ABC和關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱圖形，請直接寫出的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將△ABC繞著點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，請?jiān)谧鴺?biāo)系中畫出．
18．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，，，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分，過點(diǎn)C作交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若，，求OE的長．
19．（11分）根據(jù)如表所示素材，探索完成任務(wù)．
20．（12分）綜合與實(shí)踐
【問題情境】
在數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們探究旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問題，如圖1，在Rt△ABC中，，，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD．若將線段AD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)90°得到AM，連接CM，易證CM與BD的數(shù)量關(guān)系為：______，位置關(guān)系為：______．
【變式探究】
“創(chuàng)新”小組提出：當(dāng)點(diǎn)D在如圖2所示位置時(shí)，若將線段AD繞點(diǎn)D沿順時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)90°，得到DE，過點(diǎn)D作DF垂直于BC交AB于點(diǎn)F，連接EF、EC，試探究的度數(shù)．
①“善思”小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)線段AC與EF的關(guān)系為：，，請你幫“善思”小組寫出此結(jié)論的證明過程．
②從而“明辨”小組得出______。
【問題拓展】
同學(xué)們提出當(dāng)點(diǎn)D在BC上繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，的度數(shù)會(huì)發(fā)生變化，那么當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到如圖3所示的位置時(shí)，______°，（請直接寫出答案）
此時(shí)“變通”小組發(fā)現(xiàn)AF、DF、EF之間存在某種數(shù)量關(guān)系，請判斷AF、DF、EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．如何確定圖書銷售單價(jià)及怎樣進(jìn)貨以獲取最大利潤
素材一
某書店為了迎接“讀書節(jié)”決定購進(jìn)A，B兩種新書，兩種圖書的進(jìn)價(jià)分別是每本18元、每本12元．
素材二
已知A種圖書的標(biāo)價(jià)是B種圖書標(biāo)價(jià)的1.5倍，若顧客用540元按標(biāo)價(jià)購買圖書，能單獨(dú)購買A種圖書的數(shù)量恰好比單獨(dú)購買B種圖書的數(shù)量少10本．
素材三
該書店準(zhǔn)備用不超過16800元購進(jìn)A，B兩種圖書共1000本，且A種圖書不少于700本經(jīng)市場調(diào)查后調(diào)整銷售方案為：A種圖書按照標(biāo)價(jià)的8折銷售，B種圖書按標(biāo)價(jià)銷售．
問題解決
任務(wù)一
探求圖書的標(biāo)價(jià)
請運(yùn)用適當(dāng)方法，求出A，B兩種圖書的標(biāo)價(jià)．
任務(wù)二
探究進(jìn)貨方案
A，B兩種圖書進(jìn)貨方案一共有多少種？
任務(wù)三
確定如何獲得最大利潤
書店應(yīng)怎樣進(jìn)貨才能獲得最大利潤？

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