·最新考綱·1．掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式．2．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決與前n項和相關的問題．
·考向預測·考情分析：數(shù)列分組求和、錯位相減求和、裂項相消求和仍是高考考查的熱點，題型仍將是以解答題為主．學科素養(yǎng)：通過非等差、等比數(shù)列求和問題考查邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．
2．裂項相消法求和把數(shù)列的通項拆分為兩項之差，使之在求和時產(chǎn)生前后相互抵消的項的求和方法．3．錯位相減法求和(1)適用的數(shù)列：{anbn}，其中數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q≠1的等比數(shù)列．(2)方法：設Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)，則qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)，(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就轉化為根據(jù)公式可求的和．
4．倒序相加法求和如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和等于首末兩項之和，可把正著寫與倒著寫的兩個式子相加，就得到一個常數(shù)列的和，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，例如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導的．5．分組求和法求和若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉化求和法，分別求和而后相加減．例如已知an＝2n＋(2n－1)，求Sn.
6．并項求和法求和把數(shù)列中的若干項結合到一起，形成一個新的可求和的數(shù)列，此時，數(shù)列中的項可能正、負相間出現(xiàn)或呈現(xiàn)周期性．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩個項合并求解．例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
3．[必修5·P61T4(1)改編]若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為_____________．
(三)易錯易混4．(不能準確分組)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n(2n－2)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________________．
考點一　分組轉化法或并項法求和　[綜合性][例1]　(1)[2023·湖北大冶六中月考]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝1－4＋7－10＋…＋(－1)n－1(3n－2)，則S21＝(　　)A．30　　　B．31C．－30 D．－31
解析：(1)因為數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝1－4＋7－10＋…＋(－1)n－1(3n－2)，所以S21＝1－4＋7－10＋…－58＋61＝1＋10×(－4＋7)＝31.故選B項．
【對點訓練】1．[2023·四川省成都市檢測]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a8＝1，S16＝24，數(shù)列{bn}是遞增的等比數(shù)列且b1＋b4＝9，b2b3＝8.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)求(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1)．
2．[2023·江蘇省揚州市高三模擬]已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足：a1＝b1＝2，且a2－1，a3，a6－1是等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項．(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；?
(2)設cn＝(－1)nlg2(anan＋1)＋lg2bn，求數(shù)列{cn}的前10項和T10.
考點二　錯位相減法求和　[綜合性][例2]　[2022·湖南省永州市測試]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，a1＝2，a2＝4，(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
解析：(1)∵Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＝2(Sn－Sn－1)(n≥2)，∴an＋1＝2an(n≥2)，又a2＝4＝2a1，所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.
(2)求數(shù)列{(2n－1)·an}的前n項和Tn.
反思感悟　1．掌握解題“3步驟”
2．注意解題“3關鍵”(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形．(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3．謹防解題“2失誤”(1)兩式相減時最后一項因為沒有對應項而忘記變號．(2)對相減后的和式的結構認識模糊，錯把中間的n－1項和當作n項和.
【對點訓練】[2023·河南高三月考]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－2an＋2＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解析：(2)由(1)知an＝2－2n－1，可得bn＝nan＝2n－n·2n－1，則 Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2×1－1×20)＋(2×2－2×21)＋(2×3－3×22)＋…＋(2n－n·2n－1)＝(2×1＋2×2＋2×3＋…＋2n)－(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1)＝n(n＋1)－(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1)．令t＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，則2t＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，所以－t＝1×20＋1×21＋1×22＋…＋1×2n－1－n×2n，所以t＝1－2n＋n×2n.所以Sn＝n2＋n－1＋2n－n×2n.
反思感悟　在涉及函數(shù)與數(shù)列的綜合題時，不僅要正確審題深摳函數(shù)的性質與數(shù)列的定義，還要明確等差、等比數(shù)列的通項、求和公式的特征．
反思感悟　在涉及數(shù)列與不等式的綜合問題時，一般采取化歸的思想將問題轉化為我們較熟悉的問題來解決，如基本不等式法、裂項相消求和、錯位相減求和等.
角度3　數(shù)列與數(shù)學文化[例7]　[2023·江蘇南通市高三月考]有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五兩，今三十日屠訖，問共屠幾何？”其意思為：“有一個姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？”在這個問題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為(　　)A．35 B．75 C．155 D．315
反思感悟　解決數(shù)列與數(shù)學文化相交匯問題的關鍵：一是讀懂題意，即會“脫去”數(shù)學文化的背景，提取關鍵信息；二是構造模型，即由題意構建等差數(shù)列或等比數(shù)列或遞推關系式的模型；三是“解模”，即把文字語言轉化為求數(shù)列的相關信息，如求指定項、公差(或公比)、項數(shù)、通項公式或前n項和等．
2．設函數(shù)f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，則a1＋a2＋…＋a7＝(　　)A．0 B．7 C．14 D．21
微專題25 數(shù)列中的新定義問題
[變式訓練]　[2023·江西上高模擬]定義：若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d為常數(shù))，則稱|an|為“絕對和數(shù)列”，d叫做“絕對公和”．已知“絕對和數(shù)列”{an}中，a1＝2，絕對公和為3，則其前2 021項的和S2 021的最小值為(　　)A.－2 021 B．－3 010C．－3 028 D．－3 030

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