注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由全稱量詞命題的否定是存在量詞命題即可直接得答案.
【詳解】命題“，”的否定是，，
故選：B.
2. 已知集合，，則中元素的個數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】通過畫圖即可直接判斷.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有1個交點(diǎn)，
所以中有1個元素.
故選：B.
3. 已知是冪函數(shù)，則（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求出參數(shù)，再求函數(shù)值即可.
【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得，則，
所以.
故選：D.
4. 已知角的終邊過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式求解.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，
所以，
所以.
故選：A
5. 若函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，代入求值.
【詳解】函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)．
若函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，
則，，,，
則的最小值為．
故選：C
6. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式并結(jié)合函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性即可求解.
【詳解】對A、D：的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故A、D錯誤；
對B、C：當(dāng)時，因?yàn)?，，所以，故B錯誤，故C正確.
故選：C.
7. 根據(jù)有關(guān)資料，圍棋的狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限約為，記.光在真空中的速度約為，記.下列各數(shù)中與最接近的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化以及對數(shù)的運(yùn)算法則即可求出結(jié)果．
【詳解】，
所以.
故選：B．
8. 已知函數(shù)在上有且僅有2個零點(diǎn).則的取值范圍為（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)所給角的范圍求出的范圍，再由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式得解.
【詳解】當(dāng)時，.
因?yàn)樵谏嫌星覂H有2個零點(diǎn)，
所以，解得.
故選：C
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知命題：，則命題成立的一個充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】解不等式求得：，利用充分不必要條件的概念計(jì)算即可.
【詳解】由，解得.
要滿足題意，只需在的子集中確定即可，
顯然和都是命題成立的充分不必要條件.
故選：AB.
10. 下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用判斷A，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷B，根據(jù)函數(shù)的定義域判斷C，根據(jù)偶函數(shù)定義判斷D.
【詳解】對于A，的定義域?yàn)镽，，故A是奇函數(shù).
對于B，的定義域?yàn)?，，故B是奇函數(shù).
對于C，由解得，的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故C不是奇函數(shù).
對于D，的定義域?yàn)镽，，故D不是奇函數(shù)，是偶函數(shù).
故選：AB
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 在上單調(diào)遞增
C. 的圖象關(guān)于直線對稱
D. 的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用周期公式可得A正確；由正弦型函數(shù)的單調(diào)性可得B正確；利用整體代換法以及正弦函數(shù)性質(zhì)可得C錯誤；由平移規(guī)則可知D正確.
【詳解】的最小正周期為，A正確.
當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，B正確.
，的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯誤.
的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，D正確.
故選：ABD.
12. 已知函數(shù).若方程有三個不等的實(shí)數(shù)解且，則（ ）
A. B.
C D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】畫出大致圖象，根據(jù)圖象對選項(xiàng)進(jìn)行分析，結(jié)合基本不等式求得正確答案.
【詳解】畫出的大致圖象如圖所示.
若方程有三個不等的實(shí)數(shù)解，根據(jù)圖象可得，且.
令，得；令，得，
則，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因?yàn)?，所?
所以BCD選項(xiàng)正確，A選項(xiàng)錯誤.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】求解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根等問題，可以考慮利用圖象法來進(jìn)行求解.分段函數(shù)的性質(zhì)的研究，可以通過函數(shù)的圖象來進(jìn)行.畫出函數(shù)的圖象后，可以結(jié)合函數(shù)的對稱性、基本不等式等知識來對問題進(jìn)行求解.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上
13. 已知，的最小值為______.
【答案】1
【解析】
【分析】由均值不等式求解即可.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
故答案為：1
14. 已知圓心角為1的扇形的面積為8，則該扇形的弧長為______.
【答案】4
【解析】
【分析】由扇形的面積公式以及弧長公式即可直接得答案.
【詳解】由，可得，所以.
從而可得.
故答案為：4.
15. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，為偶函數(shù)，則______.
【答案】0
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值即可.
【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以.
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以.
取，得，
所以.
故答案為：0
16. 函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，若，且，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)的圖象確定的解析式，然后利用拆角的思想得到，最后利用兩角差的余弦公式得到結(jié)果．
【詳解】由題意可知：的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，
且點(diǎn)在單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，則，，
可得，
又因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，則，
且點(diǎn)在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，則，，解得，.
因?yàn)榈淖钚≌芷冢遥?br>解得，可得，
所以.
因?yàn)椋瑒t，
可得，則，
可得，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)或的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：
（1）求A、，；
（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；
（3）取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合，.
（1）若，求：
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的意義先確定M，再根據(jù)并集的概念計(jì)算即可；
（2）利用集合間的基本關(guān)系可確定，計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由題意易知，
當(dāng)時，，
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋裕?br>解得.
所以的取值范圍為.
18. 已知函數(shù).
（1）求的解析式；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.
【答案】（1）
（2）在上單調(diào)遞減，證明見解析
【解析】
【分析】（1）由配湊法可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以.
【小問2詳解】
在上單調(diào)遞減.
證明如下：
令，則，
，
即，
所以在上單調(diào)遞減.
19. 已知函數(shù).
（1）求的最大值；
（2）求成立的的取值集合.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先利用二倍角余弦公式及兩角和與差的正弦公式化簡，再求最大值即可；
（2）結(jié)合（1）的化簡結(jié)果，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【小問1詳解】
.
的最大值為.
【小問2詳解】
，即，
所以，，
解得，，
故成立的的取值集合為.
20. 已知（且）是偶函數(shù).
（1）求的值；
（2）若在上的最大值比最小值大，求的值.
【答案】（1）0. （2）或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程，根據(jù)方程恒成立得解；
（2）分和兩種情況討論，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值即可得解.
【小問1詳解】
若為偶函數(shù)，則恒成立，
所以，即恒成立，解得.
故的值為0.
【小問2詳解】
由（1）可得（且）.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，解得.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，解得.
故的值為或.
21. 如圖，彈簧掛著的小球上下振動，它在（單位：s）時相對于平衡位置（靜止時的位置）的高度（單位：）由關(guān)系式確定，其中，，.已知在時，小球位于最高點(diǎn)，且最高點(diǎn)與最低點(diǎn)間的距離為.
（1）求小球相對平衡位置的高度和時間之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）每秒鐘小球能往復(fù)振動多少次？
【答案】（1），.
（2）次.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)間距離和兩次到達(dá)最高點(diǎn)的最短時間可分別得到A和最小正周期T，由此可得解析式；
（2）由頻率與周期的關(guān)系即可直接得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)樾∏蛘駝舆^程中最高點(diǎn)與最低點(diǎn)距離為，所以.
因?yàn)樵跁r，小球位于最高點(diǎn)，所以，解得，.
因?yàn)椋?
所以，.
【小問2詳解】
小球振動的頻率，即每秒鐘小球能往復(fù)振動次.
22. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，將原式化為在上恒成立，且，則可得在上恒成立，然后分與討論，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
令，得函數(shù)，
易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
不等式在上恒成立，
轉(zhuǎn)化為在上恒成立，
因?yàn)楫?dāng)時，，所以，
則在上恒成立，即在上恒成立.
當(dāng)時，，
當(dāng)時，因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
所以，
故的取值范圍為.

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