1．（3分）下列選項(xiàng)記錄了我國(guó)四個(gè)直轄市某年一月份的平均氣溫，其中氣溫最低的是（ ）
A．北京﹣4.6℃B．上海5.8℃C．天津﹣3.2℃D．重慶8.1℃
2．（3分）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關(guān)的文創(chuàng)圖案中，成軸對(duì)稱的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）廣西壯族自治區(qū)統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2023年全區(qū)累計(jì)接待國(guó)內(nèi)游客8.49億人次．將849000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．0.849×109B．8.49×108C．84.9×107D．849×106
4．（3分）榫卯是我國(guó)傳統(tǒng)建筑及家具的基本構(gòu)件．燕尾榫是“萬榫之母”，為了防止受拉力時(shí)脫開，榫頭成梯臺(tái)形，形似燕尾．如圖是燕尾榫的帶榫頭部分，它的主視圖是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）不透明袋子中裝有白球2個(gè)，紅球1個(gè)，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出白球的概率是（ ）
A．1B．C．D．
6．（3分）如圖，2時(shí)整，鐘表的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角為（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
7．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ）
A．（3，0）B．（0，2）C．（3，2）D．（1，2）
8．（3分）激光測(cè)距儀L發(fā)出的激光束以3×105km/s的速度射向目標(biāo)M，t s后測(cè)距儀L收到M反射回的激光束．則L到M的距離d km與時(shí)間t s的關(guān)系式為（ ）
A．d＝tB．d＝3×105t
C．d＝2×3×105tD．d＝3×106t
9．（3分）已知點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若x1＜0＜x2，則有（ ）
A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．0＜y1＜y2
10．（3分）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值為（ ）
A．0B．1C．4D．9
11．（3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個(gè)問題，大致意思為：現(xiàn)有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢．問：出租的田有多少畝？設(shè)出租的田有x畝，可列方程為（ ）
A．++＝1B．++＝100
C．3x+4x+5x＝1D．3x+4x+5x＝100
12．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)．連接AG，BH，CE，DF，交點(diǎn)分別為M，N，P，Q，那么四邊形MNPQ的面積為（ ）
A．1B．2C．5D．10
二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分。）
13．（2分）已知∠1與∠2為對(duì)頂角，∠1＝35°，則∠2＝ °．
14．（2分）寫出一個(gè)比大的整數(shù)，可以是 ．
15．（2分）八桂大地孕育了豐富的藥用植物．某縣藥材站把當(dāng)?shù)厮幨薪灰椎?00種藥用植物按“草本、藤本、灌木、喬木”分為四類，繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則藤本類有 種．
16．（2分）不等式7x+5＜5x+1的解集為 ．
17．（2分）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長(zhǎng)為 cm．
18．（2分）如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)P處）的高度OP是m，出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是5m，高度是4m．若實(shí)心球落地點(diǎn)為M，則OM＝ m．
三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
19．（6分）計(jì)算：（﹣3）×4+（﹣2）2．
20．（6分）解方程組：．
21．（10分）某中學(xué)為了解七年級(jí)女同學(xué)定點(diǎn)投籃水平，從中隨機(jī)抽取20名女同學(xué)進(jìn)行測(cè)試，每人定點(diǎn)投籃5次，進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：
（1）求被抽取的20名女同學(xué)進(jìn)球數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；
（2）若進(jìn)球數(shù)為3以上（含3）為“優(yōu)秀”，七年級(jí)共有200名女同學(xué)，請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)女同學(xué)中定點(diǎn)投籃水平為“優(yōu)秀”的人數(shù)．
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC．
（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線l，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）
（2）在（1）所作的圖中，連接BE，若AB＝8，求BE的長(zhǎng)．
23．（10分）綜合與實(shí)踐
在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略．
【洗衣過程】
步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；
步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干．重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達(dá)到洗衣目標(biāo)．
假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%，每次擰干后校服上都?xì)埩?.5kg水．
濃度關(guān)系式：d后＝，其中d前、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：kg）．
【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%．
【動(dòng)手操作】請(qǐng)按要求完成下列任務(wù)：
（1）如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要多少清水？
（2）如果把4kg清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？
（3）比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．
24．（10分）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC．點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使DE＝EF，連接AF．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）求證：AF與⊙O相切；
（3）若tan∠BAC＝，BC＝12，求⊙O的半徑．
25．（10分）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+2ax+a﹣3的最值問題展開探究．
【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．
（1）老師給出a＝﹣4，求二次函數(shù)y＝x2+2ax+a﹣3的最小值．
①請(qǐng)你寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；
【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成如表：
注：*為②的計(jì)算結(jié)果．
【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”
甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取x＝﹣a，就能得到y(tǒng)的最小值．”
乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值”
（2）請(qǐng)結(jié)合函數(shù)解析式y(tǒng)＝x2+2ax+a﹣3，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？
（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)求出此最大值；若不正確，說明理由．
26．（10分）如圖1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6．AC的垂直平分線分別交AC，AB于點(diǎn)M，O，CO平分∠ACB．
（1）求證：△ABC∽△CBO；
（2）如圖2，將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'OC'，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°）．連接A′M，C′M．
①求△A'MC'面積的最大值及此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)，并說明理由；
②當(dāng)△A'MC'是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．
2024年廣西中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。）
1．（3分）下列選項(xiàng)記錄了我國(guó)四個(gè)直轄市某年一月份的平均氣溫，其中氣溫最低的是（ ）
A．北京﹣4.6℃B．上海5.8℃C．天津﹣3.2℃D．重慶8.1℃
【分析】根據(jù)﹣4.6℃＜﹣3.2℃＜5.8℃＜8.1℃，即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵﹣4.6℃＜﹣3.2℃＜5.8℃＜8.1℃，
∴氣溫最低的是北京﹣4.6℃，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)大小比較，正負(fù)數(shù)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關(guān)的文創(chuàng)圖案中，成軸對(duì)稱的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形不都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
A選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的兩條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念及性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3．（3分）廣西壯族自治區(qū)統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2023年全區(qū)累計(jì)接待國(guó)內(nèi)游客8.49億人次．將849000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．0.849×109B．8.49×108C．84.9×107D．849×106
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)的方法即可作答．
【解答】解：849000000＝8.49×108．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)，熟練掌握用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）榫卯是我國(guó)傳統(tǒng)建筑及家具的基本構(gòu)件．燕尾榫是“萬榫之母”，為了防止受拉力時(shí)脫開，榫頭成梯臺(tái)形，形似燕尾．如圖是燕尾榫的帶榫頭部分，它的主視圖是（ ）
A．B．C．D．
【分析】正面看到的平面圖形是主視圖，根據(jù)主視圖的含義可得答案．
【解答】解：從正面看，可得選項(xiàng)A的圖形．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，用到的知識(shí)點(diǎn)為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．
5．（3分）不透明袋子中裝有白球2個(gè)，紅球1個(gè)，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出白球的概率是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．
【解答】解：∵袋子中裝有3個(gè)球，其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球，
∴從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為：．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了概率的求法與運(yùn)用，一般方法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．
6．（3分）如圖，2時(shí)整，鐘表的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角為（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【分析】由于鐘表的指針恰好是2點(diǎn)整，時(shí)針指向2，分針指向12，根據(jù)鐘面被分成12大格，每大格為30度得到此時(shí)鐘表上時(shí)針與分針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)＝2×30°．
【解答】解：鐘表的指針恰好是2點(diǎn)整，時(shí)針指向2，分針指向12，所以此時(shí)鐘表上時(shí)針與分針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)＝2×30°＝60°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了鐘面角．解題的關(guān)鍵是掌握鐘面角的知識(shí)：鐘面被分成12大格，每大格為30度；分針每分鐘轉(zhuǎn)6度，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5度．
7．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ）
A．（3，0）B．（0，2）C．（3，2）D．（1，2）
【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)Q的位置即可得出答案．
【解答】解：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法．
8．（3分）激光測(cè)距儀L發(fā)出的激光束以3×105km/s的速度射向目標(biāo)M，t s后測(cè)距儀L收到M反射回的激光束．則L到M的距離d km與時(shí)間t s的關(guān)系式為（ ）
A．d＝tB．d＝3×105t
C．d＝2×3×105tD．d＝3×106t
【分析】本題利用路程＝速度×?xí)r間，即可作答．
【解答】解：激光由L到M的時(shí)間為，
光速為3×105km/s，
則L到M的距離d＝×3×105＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握路程＝速度×?xí)r間是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）已知點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若x1＜0＜x2，則有（ ）
A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．0＜y1＜y2
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)所在的象限即可判斷．
【解答】解：∵2＞0，
∴反比例函數(shù)y＝的圖象在一、三象限，
∵x1＜0＜x2，
∴y1＜0＜y2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)k值判斷反比例函數(shù)圖象所在的象限是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值為（ ）
A．0B．1C．4D．9
【分析】先利用提公因式法和公式法將原式變形為ab（a+b）2，再將a+b＝3，ab＝1整體代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴原式＝a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝1×32
＝9，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
11．（3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個(gè)問題，大致意思為：現(xiàn)有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢．問：出租的田有多少畝？設(shè)出租的田有x畝，可列方程為（ ）
A．++＝1B．++＝100
C．3x+4x+5x＝1D．3x+4x+5x＝100
【分析】根據(jù)題意列出方程式，整理即可得出答案．
【解答】解：設(shè)出租的田有x畝，根據(jù)題意得，
×1+×1+×1＝100，
整理得，++＝100．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)．連接AG，BH，CE，DF，交點(diǎn)分別為M，N，P，Q，那么四邊形MNPQ的面積為（ ）
A．1B．2C．5D．10
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求得四邊形MNPQ的邊長(zhǎng)，從而即可求得四邊形MNPQ的面積．
點(diǎn)評(píng)
【解答】解：正方形的邊長(zhǎng)為5，則CD＝5，CF＝2.5，
由勾股定理得，DF＝，
由題意得△DQG∽△DFC，
：．DQ：QG＝CD：CF＝2：1，得
DQ＝2QG＝，
∵E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)．
∴DQ＝PQ＝
∴四邊形MNPQ的面積＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求解．
二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分。）
13．（2分）已知∠1與∠2為對(duì)頂角，∠1＝35°，則∠2＝ 35 °．
【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義即可作答．
【解答】解：∵∠1與∠2為對(duì)頂角，∠1＝35°，
∴∠2＝∠1＝35°．
故答案為：35．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，熟練掌握對(duì)頂角的定義是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）寫出一個(gè)比大的整數(shù)，可以是 2（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)，即1＜2，因此即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵，
∴1＜2，
∴比大的整數(shù)是2，
故答案為：2（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，熟練掌握其估算方法是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）八桂大地孕育了豐富的藥用植物．某縣藥材站把當(dāng)?shù)厮幨薪灰椎?00種藥用植物按“草本、藤本、灌木、喬木”分為四類，繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則藤本類有 80 種．
【分析】用總數(shù)量×藤本類所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：400×20%＝80（種），
故答案為：80．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查百分比的應(yīng)用，熟練掌握百分?jǐn)?shù)的靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）不等式7x+5＜5x+1的解集為 x＜﹣2 ．
【分析】先移項(xiàng)、再合并同類項(xiàng)，系數(shù)為1即可求解．
【解答】解：7x+5＜5x+1，
7x﹣5x＜1﹣5，
2x＜﹣4，
x＜﹣2．
故答案為：x＜﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．
17．（2分）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長(zhǎng)為 cm．
【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，易知四邊形ABCD為平行四邊形，AE＝AF＝3cm，∠ADF＝∠ABE＝60°，可證△ADF≌△ABE（AAS），得到AD＝AB，可證四邊形ABCD為菱形．在Rt△ADF中，AD＝＝，因此四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：＝cm．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵兩張紙條寬度均為3cm，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，且AE＝AF＝3cm，
∴∠ADF＝∠ABE＝60°，
∴△ADF≌△ABE（AAS），
∴AD＝AB，
∴四邊形ABCD為菱形，
在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3cm，
∴AD＝＝，
四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：＝cm．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)．
18．（2分）如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)P處）的高度OP是m，出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是5m，高度是4m．若實(shí)心球落地點(diǎn)為M，則OM＝ m．
【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM為x軸正半軸，OP為y軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意可知，P（0，），B（5，4），其中B點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為：y＝a（x﹣5）2+4，將P（0，）代入上式，求出a的值，進(jìn)而求出拋物線表達(dá)式，最后將y＝0代入表達(dá)式中即可得出答案．
【解答】解：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM為x軸正半軸，OP為y軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，
由題意可知，P（0，），B（5，4），其中B點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為：y＝a（x﹣5）2+4，
將P（0，）代入上式，
解得：a＝﹣，
即拋物線的解析式式為：y＝﹣（x﹣5）2+4，
M為拋物線與x軸的交點(diǎn)，
即y＝﹣（x﹣5）2+4＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣（舍），
∴OM＝m．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，建立合適的直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
19．（6分）計(jì)算：（﹣3）×4+（﹣2）2．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝﹣12+4
＝﹣8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）解方程組：．
【分析】利用加減消元法求解即可．
【解答】解：，
①+②，得2x＝4，解得x＝2；
①﹣②，得4y＝2，解得y＝；
∴方程組的解為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解二元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．
21．（10分）某中學(xué)為了解七年級(jí)女同學(xué)定點(diǎn)投籃水平，從中隨機(jī)抽取20名女同學(xué)進(jìn)行測(cè)試，每人定點(diǎn)投籃5次，進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：
（1）求被抽取的20名女同學(xué)進(jìn)球數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；
（2）若進(jìn)球數(shù)為3以上（含3）為“優(yōu)秀”，七年級(jí)共有200名女同學(xué)，請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)女同學(xué)中定點(diǎn)投籃水平為“優(yōu)秀”的人數(shù)．
【分析】（1）利用統(tǒng)計(jì)表，進(jìn)而得出平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）利用樣本中優(yōu)秀率，再估計(jì)總體優(yōu)秀人數(shù)．
【解答】解：（1）女生進(jìn)球數(shù)的眾數(shù)為：1；
∵第10，11個(gè)數(shù)據(jù)都是2，則其平均數(shù)為：2，
∴女生進(jìn)球數(shù)的中位數(shù)為：2，
由統(tǒng)計(jì)表可得，女生進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)為：（0×1+1×8+2×6+3×3+4×1+5×1）÷20＝1.9（個(gè)），
（2）樣本中優(yōu)秀率為：，
故七年級(jí)共有女生200人，“優(yōu)秀”等級(jí)的女生為：200×＝50（人），
答：估計(jì)七年級(jí)女同學(xué)中定點(diǎn)投籃水平為“優(yōu)秀”的人數(shù)約為50人．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中位數(shù)、眾數(shù)以及利用樣本估計(jì)總體和算術(shù)平均數(shù)求法，掌握相應(yīng)的定義是解題關(guān)鍵．
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC．
（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線l，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）
（2）在（1）所作的圖中，連接BE，若AB＝8，求BE的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；
（2）證明△BDE是等腰直角三角形，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）圖形如圖所示：
（2）∵DE垂直平分線段AB，
∴EB＝EA，
∴∠EBA＝∠A＝45°，
∴∠BEA＝90°，
∵BD＝DA，
∴DE＝DB＝DA＝AB＝4，
∴BE＝BD＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．
23．（10分）綜合與實(shí)踐
在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略．
【洗衣過程】
步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；
步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干．重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達(dá)到洗衣目標(biāo)．
假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%，每次擰干后校服上都?xì)埩?.5kg水．
濃度關(guān)系式：d后＝，其中d前、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：kg）．
【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%．
【動(dòng)手操作】請(qǐng)按要求完成下列任務(wù)：
（1）如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要多少清水？
（2）如果把4kg清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？
（3）比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．
【分析】（1）把 d后＝0.01%，d前＝0.2%，代入 ，求出w即可；
（2）經(jīng)過兩次計(jì)算，求出d后；
（3）由（1）（2）的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過兩次漂洗既能達(dá)到洗衣目標(biāo)，還能大幅度節(jié)約用水，所以從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)．
【解答】解：（1）把 d后＝0.01%，d前＝0.2%，代入 ，
得 ，
解得w＝9.5．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
∴只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要9.5kg清水；
（2）第一次漂洗：把w＝2kg，d前＝0.2% 代入 ，
∴，
第二次漂洗：把 w＝2kg，d前＝0.04% 代入 ，
∴，
而0.008%＜0.01%，
∴進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo)；
（3）由（1）（2）的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過兩次漂洗既能達(dá)到洗衣目標(biāo)，還能大幅度節(jié)約用水，
∴從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)際生活中函數(shù)的應(yīng)用，理解題目意思是解題的關(guān)鍵．
24．（10分）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC．點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使DE＝EF，連接AF．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）求證：AF與⊙O相切；
（3）若tan∠BAC＝，BC＝12，求⊙O的半徑．
【分析】（1）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到DC＝AF，∠EDC＝∠F，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行的性質(zhì)得到BC∥AF，利用線段中點(diǎn)的定義得到BD＝AF，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論；
（2）連接AD，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，利用（1）的結(jié)論得到DA⊥AF，再利用圓的切線的判定定理解答即可；
（3）連接OB，OC，OD，利用等腰三角形的 三線合一的性質(zhì)得到OD⊥BC，∠BOD＝∠BOC，利用圓周角定理得到∠BOD＝∠BAC，則tan∠BOD＝，求得OD后再利用勾股定理解答即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，
∴BD＝DC，AE＝EC，
在△EDC和△EFA中，
，
∴△EDC≌△EFA（SAS），
∴DC＝AF，∠EDC＝∠F，
∴BC∥AF，BD＝AF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）證明：連接AD，如圖，
∵AB＝AC，BD＝DC
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AD經(jīng)過圓心O，
由（1）知：AF∥BC，
∴DA⊥AF，
∵OA為⊙O半徑，
∴AF與⊙O相切；
（3）解：連接OB，OC，OD，如圖，
∵OB＝OC，BD＝CD＝BC＝6，
∴OD⊥BC，∠BOD＝∠BOC，
∵∠BAC＝BOC，
∴∠BOD＝∠BAC．
∵tan∠BAC＝，
∴tan∠BOD＝，
∵tan∠BOD＝，
∴，
∴OD＝8，
∴OB＝＝10，
∴⊙O的半徑為10．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的切線的判定定理，熟練掌握上述定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（10分）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+2ax+a﹣3的最值問題展開探究．
【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．
（1）老師給出a＝﹣4，求二次函數(shù)y＝x2+2ax+a﹣3的最小值．
①請(qǐng)你寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；
【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成如表：
注：*為②的計(jì)算結(jié)果．
【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”
甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取x＝﹣a，就能得到y(tǒng)的最小值．”
乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值”
（2）請(qǐng)結(jié)合函數(shù)解析式y(tǒng)＝x2+2ax+a﹣3，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？
（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)求出此最大值；若不正確，說明理由．
【分析】（1）①a＝﹣4，y＝x2+2ax+a﹣3＝x2﹣8x﹣7；
②當(dāng)x＝﹣＝4時(shí)，y取得最小值，即可求解；
（2）1＞0，故函數(shù)有最小值，即可求解
（3）當(dāng)x＝﹣a時(shí)，y＝x2+2ax+a﹣3＝﹣a2+a﹣3，﹣1＜0，故y有最大值，即可求解．
【解答】解：（1）①a＝﹣4，y＝x2+2ax+a﹣3＝x2﹣8x﹣7；
②當(dāng)x＝﹣＝4時(shí)，y取得最小值為：16﹣32﹣7＝﹣23；
（2）合理，理由：
∵1＞0，故函數(shù)有最小值，
當(dāng)x＝﹣＝﹣a時(shí)，y取得最小值，
故甲同學(xué)的說法合理；
（3）正確，理由：
當(dāng)x＝﹣a時(shí)，y＝x2+2ax+a﹣3＝﹣a2+a﹣3，
∵﹣1＜0，故y有最大值，
當(dāng)a＝時(shí)，y的最大值為：﹣+﹣3＝﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)最值得求解等，熟悉函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（10分）如圖1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6．AC的垂直平分線分別交AC，AB于點(diǎn)M，O，CO平分∠ACB．
（1）求證：△ABC∽△CBO；
（2）如圖2，將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'OC'，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°）．連接A′M，C′M．
①求△A'MC'面積的最大值及此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)，并說明理由；
②當(dāng)△A'MC'是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．
【分析】（1）從問題出發(fā)，證△ABC∽△CBO，兩個(gè)三角形有一個(gè)公共角，所以只需證一角相等即可，由題干很容易得出∠ACO＝∠BCO＝∠A，即可得證；
（2）△A'MC'的底是定長(zhǎng)，所以只要找到高的最大值就可求出面積最值，當(dāng)N、H重合時(shí)MH取最大值，此時(shí)最大值為OM+ON＝4，即可求解；
（3）首先有條件可知只有可能是∠A'MC'＝90°，由特殊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)大膽猜測(cè)當(dāng)點(diǎn)C'與A重合時(shí)和當(dāng)A'與C重合時(shí)滿足∠A'MC'＝90°，進(jìn)而求旋轉(zhuǎn)角即可．
【解答】（1）證明：∵OM垂直平分AC，
∴OA＝OC，∠A＝∠ACO，
∵CO平分∠ACB，
∴∠ACO＝∠BCO＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBO．
（2）解：①∵∠ACO＝∠BCO＝∠A，∠B＝90°，
∴：∠ACO＝∠BCO＝∠A＝30°，
在Rt△ABC中，AB＝6，
∴AC＝＝4，
∴AM＝2，
∴OM＝AM?tan30°＝2，
如圖3，作MH⊥A'C'于點(diǎn)H，ON⊥A'C'于點(diǎn)N，連接MN，
在△AOC旋轉(zhuǎn)的過程中，對(duì)應(yīng)邊AC＝A'C'＝4，對(duì)應(yīng)高OM＝ON＝2，
在Rt△MHN中，MH＜MN，
在△OMN中，MN＜OM+ON，
∴MH＜MN＜OM+ON，
如圖4，當(dāng)N、H重合時(shí)MH取最大值，此時(shí)最大值為OM+ON＝4，
∴S△A'MC'＝A'C'?MH＝8，即△A'MC'面積最大值是8，
此時(shí)M、O、N三點(diǎn)共線，α＝∠MON＝180°．
②在旋轉(zhuǎn)得過程中，等腰三角形AOC的形狀、大小不變，∠AOC＝∠A'OC'＝120°，
∵M(jìn)C′≤MO+OC'＝MO+OC＝6＜4＝A'C'，同理MA'≤6＜A'C'，
∴△A'MC'中只有可能∠A'MC'＝90°，
∵OM垂直平分AC，
∴MA＝MC，∠AMO＝90°，
（Ⅰ）如圖5，當(dāng)點(diǎn)C'與A重合時(shí)，A'恰好在MO的延長(zhǎng)線上，滿足∠A'MC'＝90°，此時(shí)α＝120°；
（Ⅱ）如圖6，當(dāng)A'與C重合時(shí)，點(diǎn)C'恰好在MO的延長(zhǎng)線上，滿足∠A'MC'＝90°，此時(shí)α＝240°．
綜上，當(dāng)△A'MC'是直角三角形時(shí)，α為120°或240°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定、含有30°的直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、幾何動(dòng)點(diǎn)問題等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，其中在最后一文中大膽的想象和猜測(cè)也是一種解題策略．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/13 14:20:09；用戶：陳莉；郵箱：badywgy52@xyh.cm；學(xué)號(hào)：39221433進(jìn)球數(shù)
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