第Ⅰ卷（40分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．
1. 已知向量，，若，則m的值為（ ）
A. －1B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由兩向量平行的坐標(biāo)表示列出等式，即可解出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
解得：.
故選：D
2. 8個(gè)樣本數(shù)據(jù)11，2，8，13，5，7，4，6的75%分位數(shù)為（ ）
A. 11B. 9.5C. 8D. 7.5
【答案】B
【解析】
【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分位數(shù)的求法，即可求得答案.
【詳解】8個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，4，5，6，7，8，11，13，
由于，故這8個(gè)樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為，
故選：B
3. 由下列條件解，其中有兩解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為及三角形三邊關(guān)系，結(jié)合正弦定理和余弦定理逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，由，,由正弦定理可得,
由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，由余弦定理可知只有唯一解?br>所以三角形的三個(gè)邊唯一確定，即只有唯一解，因此B不正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，由正弦定理得?br>即，又，所以，
所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，由正弦定理得?br>所以，又，所以，所以角有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，因此D正確.
故選：D.
4. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，其中O是原點(diǎn)，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)所給的兩個(gè)向量的代數(shù)形式，先求兩個(gè)向量的差，求出，得到向量的代數(shù)形式的表示式即可.
【詳解】復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的向量分別是與，
.
故選：A.
5. 設(shè)，為兩個(gè)平面，m為平面內(nèi)一條直線．則“”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 既不充分也不必要條件
C. 必要不充分條件D. 充分不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理以及性質(zhì)，即可判斷出答案.
【詳解】由于m為平面內(nèi)一條直線．若，則根據(jù)面面垂直的判定定理可得；
當(dāng)時(shí)，m可能平行于，或與斜交，不一定有，
故“”是“”的充分不必要條件，
故選：D
6. 從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計(jì)算公式求解.
【詳解】從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，
記事件 “抽到兩人是一男生一女生”，
在無(wú)放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:
共12個(gè)樣本點(diǎn)，
其中有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.
在有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:
共16個(gè)樣本點(diǎn)，
其中有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.
故選：A.
7. 將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：將邊長(zhǎng)為1正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為底面為半徑為的圓、高為1的圓柱，其側(cè)面展開圖為長(zhǎng)為，寬為1，所以所得幾何體的側(cè)面積為.故選C.
8. 已知向量，設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用投影向量的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】由題意知，在上的投影向量為：
.
故選：C.
9. 下列五個(gè)命題
①若則；
②投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，一定有500次“正面朝上”；
③若甲組數(shù)據(jù)的方差是0.03，乙組數(shù)據(jù)的方差是0.1，則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定；
④分別投擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”，“第二枚正面朝上”，事件“兩枚硬幣朝上的面相同”，則A、B、C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立；
⑤為了解我國(guó)中學(xué)生的視力情況，應(yīng)采取全面調(diào)查的方式．
以上5個(gè)命題正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，逐個(gè)分析5個(gè)命題的真假，綜合即可得正確答案.
【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，但不一定成立，因此①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，因?yàn)槊看螔仈S硬幣都是隨機(jī)事件，所以不一定有500次“正面朝上”，因此②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，因?yàn)榉讲钤叫≡椒€(wěn)定，因此③正確；
對(duì)于④，，，，，
由，，，
則A、B、C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，因此④正確；
對(duì)于⑤，為了解我國(guó)中學(xué)生的視力情況，應(yīng)采取抽樣調(diào)查的方式，因此⑤錯(cuò)誤；
一共有兩個(gè)正確，
故選：C.
10. 天津廣播電視塔是津門十景之一，被人們稱為“天塔”，建成于1991年：它曾是亞洲第一高塔，現(xiàn)為集廣播電視、觀光旅游、娛樂(lè)餐飲于一體的4A級(jí)景區(qū)．某校一項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，欲測(cè)量天塔AB的高度．在天塔湖岸邊上，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)、．測(cè)得，在、兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得天塔頂部的仰角分別為，則天塔的高約為（ ）
A. 414mB. C. D. 207m
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，在和 中，求出，在中借助余弦定理求出的值，即的值.
【詳解】設(shè)，
在中，有題意知，則，
在中，有題意知，則，
在中， ，，
由余弦定理可得：，
即，解得，即.
故選：A.
【點(diǎn)睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：
(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．
(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型．
(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．
(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.
第Ⅱ卷（80分）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給1分，全部答對(duì)的給5分，把答案寫在答題紙相應(yīng)的橫線上
11. 已知復(fù)數(shù)z滿足______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.
【詳解】由，
故答案為：.
12. 天氣預(yù)報(bào)端午假期甲地的降雨概率為0.6，乙地的降雨概率為0.3，假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則在這段時(shí)間內(nèi)兩地都不降雨的概率為______．
【答案】028##
【解析】
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算以及對(duì)立事件的概率計(jì)算，即可求得答案。
【詳解】由題意知甲地的降雨概率為0.6，乙地的降雨概率為0.3，
故在這段時(shí)間內(nèi)兩地都不降雨的概率為，
故答案為：0.28
13. 已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且，則角______．
【答案】##
【解析】
分析】由正弦定理進(jìn)行邊化角得到，從而得解；
【詳解】，由正弦定理可得，
在中，，，
，
.
故答案為：.
14. 如圖，在正方體中，異面直線與BC所成角的大小為______；平面與平面ABCD所成的二面角的大小為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)異面直線以及二面角的定義求解，即可得答案.
【詳解】在正方體中，，
故異面直線與BC所成角即為直線與AD所成角，
由于，故異面直線與BC所成角的大小為；
在正方體中，平面，
而平面，故，
又平面，平面，
故為平面與平面ABCD所成的二面角，而,
故平面與平面ABCD所成的二面角的大小為，
故答案為：；
15. 甲，乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班人，乙班人．甲班的平均成績(jī)?yōu)?，方差為；乙班的平均成?jī)?yōu)?，方差為．那么甲，乙兩班全部名學(xué)生成績(jī)的方差是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先計(jì)算得到全部名學(xué)生的平均成績(jī)，根據(jù)方差的計(jì)算公式可求得結(jié)果.
【詳解】由題意知：全部名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)椋海?br>全部名學(xué)生的方差為：.
故答案為：.
16. 在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足若設(shè)，則可用表示為______；若，則______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由向量的線性運(yùn)算，可將用表示出來(lái)；以為基底，即可對(duì)的數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算求解.
【詳解】
由E是線段CD的中點(diǎn)，，可得，，
則，
則，
所以；
由題意知，，，，，
則.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．
(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．
三、解答題：本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程.
17. 已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，．
（1）求角的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可；
（2）結(jié)合正弦定理進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由，
則，
又，則；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，又，
則由正弦定理知，，即
.
18. 已知向量滿足
（1）若，求向量的坐標(biāo)；
（2）求與夾角的余弦值；
（3）在（1）的條件下，若與垂直，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可；
（2）由向量夾角公式計(jì)算即可；
（3）由向量垂直的坐標(biāo)表示建立方程，進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
，，
；
【小問(wèn)2詳解】
由，知與夾角的余弦值為；
【小問(wèn)3詳解】
，
由與垂直，
則，
解得.
19. 今年3月在北京召開了中國(guó)人民政治協(xié)商會(huì)議第十四屆全國(guó)委員會(huì)第二次會(huì)議和第十四屆人民代表大會(huì)第二次會(huì)議．某學(xué)校組織全校學(xué)生進(jìn)行了一次“兩會(huì)知識(shí)知多少”的問(wèn)卷測(cè)試．已知所有學(xué)生的測(cè)試成績(jī)均位于區(qū)間，從中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求圖中a的值，并估算這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
（2）今年政府工作報(bào)告將“大力推進(jìn)現(xiàn)代化產(chǎn)業(yè)體系建設(shè)，加快發(fā)展新質(zhì)生產(chǎn)力”列為2024年首要任務(wù)．為了更好的幫助同學(xué)們理解新質(zhì)生產(chǎn)力，感受新質(zhì)生產(chǎn)力強(qiáng)勁“脈搏”，學(xué)校團(tuán)總支利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從和的學(xué)生中抽取7人組成“新質(zhì)生產(chǎn)力揚(yáng)帆起航”宣講團(tuán)．
①求應(yīng)從和學(xué)生中分別抽取的學(xué)生人數(shù)；
②從選定的7人中隨機(jī)抽取2人對(duì)高一同學(xué)進(jìn)行宣講，寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω；（用恰當(dāng)?shù)姆?hào)表示）
③設(shè)事件“至少有1人測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間”，求在②的條件下事件A的概率．
【答案】（1）；74.5
（2）①5，2；②答案見解析；③
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各組頻率之和為1，即可求得a的值，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法即可求得答案；
（2）①根據(jù)兩組的頻率之比，即可求得每組抽取人數(shù)；②依題意即可寫出樣本空間；③根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由頻率分布直方圖可得，
解得；
估算這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為；
【小問(wèn)2詳解】
①由圖可得和這兩組的頻率之比為，
故應(yīng)從學(xué)生中抽取的學(xué)生人數(shù)為（人），
應(yīng)從學(xué)生中抽取的學(xué)生人數(shù)為（人）；
②設(shè)從中抽取的5人為，從學(xué)生中抽取的2人為1，2，
則這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為，
共有21個(gè)基本事件；
③事件“至少有1人測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間”，
在②的條件下事件A的個(gè)數(shù)有11個(gè)，即，
故.
20. 如圖，直三棱柱中，，E、F分別為AB、的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）若，直線EF與平面ABC所成角為，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；
（2）取BC中點(diǎn)為H，先證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，即可證明結(jié)論；
（3）證明平面，根據(jù)等體積法即可求得答案.
【小問(wèn)1詳解】
連接交于O點(diǎn)，連接，
則直三棱柱中，四邊形為平行四邊形，
則O為的中點(diǎn)，又E為AB的中點(diǎn)，故，
平面，平面，
故平面；
【小問(wèn)2詳解】
取BC中點(diǎn)為H，連接,
F為的中點(diǎn)，故，而底面，
故底面，底面，故;
又E為AB的中點(diǎn)，則，而，即，
故，而平面，
故平面，平面，故，即；
【小問(wèn)3詳解】
由（2）可知為直線EF與平面ABC所成角，即，
由，E為AB中點(diǎn)，則；
又，得，
又底面，底面，故，
而平面，故平面，
故.

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