高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版第26講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案（Word版附解析）

這是一份高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版第26講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案（Word版附解析），共25頁。

1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函數(shù)y＝csx，x∈[0，2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)和y＝Acs(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).函數(shù)y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acs(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均為T＝eq \f(π,|ω|).函數(shù)y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acs(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均為T＝eq \f(2π,|ω|).
2．正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq \f(1,4)周期．正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半周期．
3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，則
(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．
1．函數(shù)y＝1－sinx，x∈[0，2π]的大致圖象是( )
答案 B
解析 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝eq \f(π,2)時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝π時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝eq \f(3π,2)時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝2π時(shí)，y＝1.結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知B正確．故選B.
2．下列函數(shù)中，最小正周期為2π的奇函數(shù)為( )
A．y＝sineq \f(x,2)cseq \f(x,2) B．y＝sin2x
C．y＝tan2x D．y＝sin2x＋cs2x
答案 A
解析 y＝sin2x為偶函數(shù)；y＝tan2x的最小正周期為eq \f(π,2)；y＝sin2x＋cs2x為非奇非偶函數(shù)，故B，C，D都不正確．故選A.
3．(2021·新高考Ⅰ卷)下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝7sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))單調(diào)遞增的區(qū)間是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
答案 A
解析 令－eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.取k＝0，則－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(2π,3).因?yàn)閑q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．故選A.
4．(人教B必修第三冊(cè)第七章復(fù)習(xí)題A組T14改編)函數(shù)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象的對(duì)稱軸方程為________，對(duì)稱中心的坐標(biāo)為________．
答案 x＝－eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
解析 令2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，解得對(duì)稱軸方程為x＝－eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)；函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)，所以對(duì)稱中心的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，0))(k∈Z)．
5．(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題5.4 T10改編)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))
解析 當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))時(shí)，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，故3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域?yàn)閑q \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3)).
例1 (1)函數(shù)y＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))的定義域?yàn)開_______．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,9)＋\f(kπ,3)，k∈Z))))
解析 由3x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x≠eq \f(π,9)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z，所以函數(shù)y＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))的定義域?yàn)閑q \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,9)＋\f(kπ,3)，k∈Z)))).
(2)函數(shù)y＝lg sin2x＋eq \r(9－x2)的定義域?yàn)開_______．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin2x＞0，,9－x2≥0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kπ＜x＜kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－3≤x≤3，))∴－3≤x＜－eq \f(π,2)或0＜x＜eq \f(π,2).∴函數(shù)y＝lg sin2x＋eq \r(9－x2)的定義域?yàn)閑q \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)(2023·北京豐臺(tái)區(qū)二模)若函數(shù)f(x)＝sinx－cs2x，則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________，f(x)的值域?yàn)開_______．
答案 0 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,8)，2))
解析 feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)))＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝0.f(x)＝sinx－cs2x＝sinx－(1－2sin2x)＝2sin2x＋sinx－1，設(shè)t＝sinx∈[－1，1]，則y＝2t2＋t－1，t∈[－1，1]，當(dāng)t∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,4)))時(shí)，y＝2t2＋t－1單調(diào)遞減，當(dāng)t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1))時(shí)，y＝2t2＋t－1單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝－eq \f(1,4)時(shí)，ymin＝－eq \f(9,8)；當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝2.所以f(x)的值域?yàn)閑q \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,8)，2)).
(4)函數(shù)y＝sinx－csx＋sinxcsx，x∈[0，π]的最大值與最小值的差為________．
答案 2
解析 令t＝sinx－csx，又x∈[0，π]，∴t＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，t∈[－1，eq \r(2)]．由t＝sinx－csx，得t2＝1－2sinxcsx，即sinxcsx＝eq \f(1－t2,2).∴原函數(shù)變?yōu)閥＝t＋eq \f(1－t2,2)，t∈[－1，eq \r(2)]，即y＝－eq \f(1,2)t2＋t＋eq \f(1,2).∴當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝－eq \f(1,2)＋1＋eq \f(1,2)＝1；當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－eq \f(1,2)－1＋eq \f(1,2)＝－1.故函數(shù)的最大值與最小值的差為2.
1．三角函數(shù)定義域的求法
(1)求三角函數(shù)的定義域常常歸結(jié)為解三角不等式(或等式)．
(2)求三角函數(shù)的定義域經(jīng)常借助三角函數(shù)的圖象，有時(shí)也利用數(shù)軸．
(3)對(duì)于較為復(fù)雜的求三角函數(shù)的定義域問題，應(yīng)先列出不等式(組)分別求解，然后利用數(shù)軸求交集．
2．求三角函數(shù)的值域(最值)的三種類型及解題思路
(1)形如y＝asinx＋bcsx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．
(3)形如y＝asinxcsx＋b(sinx±csx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±csx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．
1.(2023·新鄉(xiāng)三模)已知函數(shù)f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的定義域是[0，m]，值域?yàn)閇－1，5]，則m的最大值是( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,6) D.eq \f(5π,6)
答案 A
解析 ∵x∈[0，m]，∴2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，2m－\f(π,6))).∵f(x)的值域?yàn)閇－1，5]，∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1，∴eq \f(π,2)≤2m－eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，解得eq \f(π,3)≤m≤eq \f(2π,3)，∴m的最大值為eq \f(2π,3).故選A.
2．函數(shù)y＝lg (sinx－csx)的定義域是________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2kπcsx，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以定義域?yàn)閑q \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2kπc B．a(chǎn)>c>b
C．c>a>b D．b>a>c
答案 A
解析 由2kπ≤x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋π，k∈Z得2kπ－eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，所以f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的單調(diào)遞減區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,7)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，即a>b>c.
(2)函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))
答案 C
解析 y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(5π,6)＋kπ，k∈Z，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))，k∈Z，∴當(dāng)k＝0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))).
1．求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法
(1)代換法：將比較復(fù)雜的三角函數(shù)解析式中含自變量的代數(shù)式(如ωx＋φ)整體當(dāng)作一個(gè)角，利用基本三角函數(shù)(y＝sinx，y＝csx，y＝tanx)的單調(diào)性列不等式求解．
(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
提醒：要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)ω的符號(hào)，若ω