一、選擇題
1．已知復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位）,z的共軛復(fù)數(shù)為,則( )
A.6B.5C.4D.3
2．已知圓柱的底面半徑為2cm,體積為,則該圓柱的表面積為( )
A.B.C.D.
3．已知a,b表示兩條不同的直線,,,表示三個不同的平面,下列推理正確的是( )
A.,B.,且
C.,,D.,,,
4．已知點在角的終邊上,則( )
A.B.C.-2D.2
5．已知事件A,B互斥,它們都不發(fā)生的概率為,且,則( )
A.B.C.D.
6．已知向量,,滿足,且,則( )
A.B.C.D.
7．已知某班級參與定點投籃比賽的學(xué)生共有20名,進球數(shù)的平均值和方差分別是4和3.6,其中男生進球數(shù)的平均值和方差分別是5和1.8,女生進球數(shù)的平均值為3,則女生進球數(shù)的方差為( )
A.3.2B.3.4C.3.6D.3.8
8．已知,,則( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知復(fù)數(shù),,下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.
C.若,則的最小值為4
D.在復(fù)平面內(nèi),,所對應(yīng)的向量分別為,,其中O為坐標(biāo)原點,若,則
10．在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列說法正確的有( )
A.B.若,則為銳角三角形
C.若,則D.若,則為鈍角三角形
11．已知四面體的各個面都是全等的三角形,且,則下列選項正確的是( )
A.直線所成角為B.二面角的余弦值為
C.四面體的體積為D.四面體外接球的直徑為
三、填空題
12．為估計某草場內(nèi)兔子的數(shù)量,使用以下方法：先隨機從草場中捕捉兔子100只,在每只兔子的尾巴上作上記號后放回草場.再隨機從草場中捕捉60只,若尾巴上有記號的兔子共有10只,估計此草場內(nèi)約有兔子__________只.
13．已知函數(shù)在有且僅有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是______________.
14．已知圓臺上下底面半徑分別為1,,圓臺的母線與底面所成的角為,且該圓臺上下底面圓周都在某球面上,則該球的體積為___________________.
四、解答題
15．某高中隨機調(diào)查n名高一學(xué)生,并對這n名學(xué)生的作業(yè)進行評分（滿分：100分）,根據(jù)得分將他們的成績分成,,,,,六組,制成如圖所示的頻率分布直方圖,其中成績在的學(xué)生人數(shù)為25人.
(1)求a,n的值;
(2)估計這n名學(xué)生成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點后兩位）.
16．在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,,,且.
(1)求角C的值;
(2)若為銳角三角形,且,求的取值范圍.
17．甲和乙進行多輪答題比賽,每輪由甲和乙各回答一個問題,已知甲每輪答對的概率為,乙每輪答對的概率為.在每輪比賽中,甲和乙答對與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.
(1)求兩人在兩輪比賽中都答對的概率;
(2)求兩人在兩輪比賽中至少答對3道題的概率;
(3)求兩人在三輪比賽中,甲和乙各自答對題目的個數(shù)相等且至少為2的概率.
18．如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,,是正三角形,E為線段的中點.
(1)若中點為G,求證：平面;
(2)若平面平面,點F為平面上的動點,
①當(dāng)點F恰為中點時,求異面直線與所成角的余弦值;
②若點H是平面內(nèi)的動點,求的最小值.
19．已知A,B是單位圓上相異的兩個定點（O為圓心）,點C是單位圓上的動點且.直線交直線于點M.
(1)求的值;
(2)設(shè),
①用來表示t與;
②求的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：由,可得,所以
所以.
故選：B.
2．答案：D
解析：設(shè)圓柱的高為h,
因為圓柱的底面半徑為,體積為,則圓柱的底面周長為,
,所以圓柱的表面積為,
故選：D.
3．答案：C
解析：對于A,由,可得或b與a相交,故A錯誤;
對于B,由,可得或或且,故B錯誤;
對于C,由可得,因,且,由線面平行的性質(zhì)即得,故C正確;
對于D,如圖,在平面內(nèi)作,,因,,,故得,,但不成立,故D錯誤.
故選：C.
4．答案：A
解析：由點在角的終邊上可得,,
則.
故選：A.
5．答案：C
解析：由事件A,B互斥,且A,B都不發(fā)生為,則,
又,所以,解得,,
所以.
故選：C.
6．答案：A
解析：由題意得,則有,解得,
又由,則有,解得,
同理可得,
所以,
,
,
所以.
故選：A
7．答案：B
解析：設(shè)男生人數(shù)為,女生人數(shù)為,
且進球數(shù)的平均值和方差分別是和,其中男生進球數(shù)的平均值和方差分別是和,
女生進球數(shù)的平均值和方差分別是和,
由平均數(shù)可得,即,解得,
由方差可得,
即,解得.
故選：B.
8．答案：B
解析：由題意知,,
故
即,
即,
故或（舍去）,
即,而,故,
故,
故選：B.
9．答案：BD
解析：對于A,設(shè),則,,因此選項A錯誤;
對于B,設(shè),
則
,
又,則,因此選項B正確;
對于C,設(shè),則,此時,因此選項C錯誤;
對于D,若,則復(fù)平面內(nèi)以有向線段和為鄰邊的平行四邊形是矩形,
根據(jù)矩形的對角線相等和復(fù)數(shù)加法?減法的幾何意義可知,選項D正確.
故選：BD.
10．答案：ACD
解析：對于A,在中,作于D,
則,即,即,A正確;
對于B,由得,
結(jié)合,可知A為銳角,但不能確定B,C角的大小,
故不能確定為銳角三角形,B錯誤;
對于C,若,由正弦定理可得,則,C正確;
對于D,若,由于,,則A為銳角;
若B為銳角,則,可得,則,,
故為鈍角三角形;
若B為鈍角,則,可得,則,適合題意,
此時為鈍角三角形;
綜合以上可知為鈍角三角形,D正確,
故選：ACD.
11．答案：ABD
解析：對于A：取的中點E,連接,,由題意四面體的各個面都是全等的三角形,
,,
可得,,又,,平面,
所以平面,因為平面,
所以,所以,所成角為,故A正確;
對于B：取的中點E,連接,,則,,
所以為二面角的平面角,
在中,,,
由余弦定理可得,故B正確;
對于C：由B可得,
由,故C不正確;
對于D：將四面體放入長方體中,如圖可得長方體與四棱錐共球,所以外接球半徑一樣,
設(shè)外接球半徑為r,所以,故D正確.
故選：ABD.
12．答案：600
解析：假設(shè)草場約有n只兔子,則,則.
故答案為：600.
13．答案：
解析：
,
由,時,,
在有且僅有三個零點,則有,解得,
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14．答案：
解析：如下圖所示：圓臺,為母線,于點A,
則圓臺上下底面半徑分別為,,
圓臺的母線與底面所成的角為,即,可得,
設(shè)該球的球心為,不妨取,球的半徑為R,
由勾股定理可得,解得;
因此,則該球的體積為.
故答案為：
15．答案：(1),
(2)平均數(shù)為72,中位數(shù)73.33
解析：(1)由題意可得,,
,
解得.
(2)平均數(shù)為.
因為
所以中位數(shù)在之間,設(shè)中位數(shù)為x,
則,
解得.
16．答案：(1);
(2)
解析：(1)因為,且,
所以
利用正弦定理化簡得：即,
由余弦定理可得,
又因為,所以;
(2)由(1)得,即,
又因為三角形為銳角三角形,
所以解之得：,
因為,由正弦定理得：,
所以,,
所以
因為,所以,
所以,則的取值范圍為.
17．答案：(1)
(2)
(3).
解析：(1)依題意,設(shè)事件“甲兩輪都答對問題”,“乙兩輪都答對問題”,
所以.
因為事件M,N相互獨立,
所以兩人在兩輪比賽中都答對的概率為
(2)設(shè)事“甲第一輪答對”,“乙第一輪答對”,
“甲第二輪答對”,“乙第二輪答對”,
“兩人在兩輪比賽中至少答對3道題”,
則,
由事件的獨立性與互斥性,
可得
故兩人在兩輪比賽中至少答對3道題的概率為.
(3)設(shè)事件,分別表示甲三輪答對2個,3個題目,
,分別表示乙三輪答對2個,3個題目,
則,,
,,
設(shè)事件“兩人在三輪比賽中,
甲和乙各自答對題目的個數(shù)相等且至少為2”,
則,且,,,分別相互獨立,
所以.
所以兩人在三輪比賽中,甲和乙各自答對題目的個數(shù)相等且至少為2的概率為.
18．答案：(1)證明見解析
(2)①;②.
解析：(1)取中點Q,連接,
為線段的中點,,,
,,,,
四邊形為平行四邊形,,
平面,平面
平面.
(2)①取的中點M,連接,,
為中點,,,
就是異面直線和所成的角或所成角的補角.
平面平面,
平面平面,,平面,
平面,平面,
菱形的邊長為2,,
與,是全等的正三角形,
,E分別為,的中點,
,
在中,,
在中,,
,
在中,;
②,,,,平面,
平面,
又為線段的中點,
,
,
要使最小只需最短即可,即為A點到面的距離h.
在中,,,
,
在中,,
,
,,
的最小值為.
19．答案：(1)0
(2)①;②.
解析：(1)因為,
所以,
因為,所以,
所以;
(2)①因為,
所以
,
因為,
所以,所以;
②因為,,
所以
,
設(shè),則,
因為,所以,所以,
即,
由,得,
所以,
所以.

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