一、單選題
1．若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>，
所以.
故選：A.
2．點(diǎn)為等軸雙曲線的焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與的兩漸近線分別交于兩點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．B．4C．D．8
【答案】B
【分析】先求出雙曲線的方程，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線方程，即可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的面積.
【詳解】設(shè)雙曲線為：，
因?yàn)?，解得：?br>所以雙曲線為：，則雙曲線的漸近線為：，
所以，解得：，則，
所以為等腰直角三角形，
所以的面積為.
故選：B.
3．已知：不等式的解集為，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】首先計(jì)算出不等式的解集為時(shí)的取值范圍，再根據(jù)范圍大小即可得出結(jié)論.
【詳解】若不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，需滿足且，解得
綜合可得而所以p能推出q，q不能推出p，
即是的充分不必要條件.
故選：A
4．用能組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（ ）個(gè).
A．212B．213C．224D．225
【答案】D
【分析】先對(duì)數(shù)字位數(shù)分類討論，在對(duì)五位數(shù)的首位數(shù)字進(jìn)行分類討論：①首位為1，2；②首位為3.然后分析千位數(shù)的選取，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】分?jǐn)?shù)字位數(shù)討論：
一位數(shù)5個(gè)；
兩位數(shù)有個(gè)；
三位數(shù)有個(gè)；
四位數(shù)有個(gè)；
五位數(shù)分以下兩種情況討論：
①首位數(shù)字為1或2，此時(shí)共有個(gè)；
②首位數(shù)字為3，則千位數(shù)從0或1中選擇一個(gè)，其余三個(gè)數(shù)位任意排列，
此時(shí)共有個(gè).
綜上所述，共有個(gè)比小的數(shù).
故選：D.
5．過(guò)圓錐高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，則截面分圓錐上部分圓錐與下部分圓臺(tái)體積比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用圓錐、圓臺(tái)的體積公式求得圓錐與圓臺(tái)的體積關(guān)系．
【詳解】設(shè)截面圓半徑為r，圓錐的高為h，圓錐的體積為,則圓臺(tái)下底面圓的半徑為2r，圓臺(tái)的高為h，圓臺(tái)的體積為，
所以，，
可得.
故選：D.
6．平面四邊形中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量的加法法則可得，兩邊同時(shí)平方可得，由平面向量的夾角公式求解即可.
【詳解】因?yàn)槠矫嫠倪呅沃?，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
所以，
所以，
由可得：，
兩邊同時(shí)平方可得：，
所以，
解得：，所以.
故選：A.
7．已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足，當(dāng)?shù)那绊?xiàng)和時(shí)，則的最小值為（ ）
A．40B．41C．42D．43
【答案】B
【分析】通過(guò)計(jì)算得到為一個(gè)周期為4的數(shù)列，從而計(jì)算出，得到答案.
【詳解】由題意得，，解得，
同理，解得，
，解得，
，解得，
故為一個(gè)周期為4的數(shù)列，且，
故，，
故的最小值為41.
故選：B
8．當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化簡(jiǎn)得到，再由，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由，可得，
因?yàn)?，可得，所以?br>可得，
又因?yàn)椋?br>所以
即，
因?yàn)椋?br>因?yàn)?，可得，所以?br>則，則，
要使得不等式，即恒成立，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
二、多選題
9．已知五個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)為15，則這組數(shù)據(jù)（ ）
A．平均數(shù)為9B．眾數(shù)為10
C．中位數(shù)為10D．方差為30
【答案】CD
【分析】先根據(jù)百分位數(shù)求出a,再根據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)和方差的定義，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】由題意，五個(gè)數(shù)據(jù)80百分為，第80百分位數(shù)為，故；
這組數(shù)據(jù)中5和10都出現(xiàn) 2 次，其余數(shù)出現(xiàn)次數(shù)沒(méi)超過(guò) 2次，
故眾數(shù)為5和10，B錯(cuò)誤；
計(jì)算平均數(shù)為?，故A錯(cuò)誤；
將5次數(shù)據(jù)從小到大排列為: ?，
則中位數(shù)為 ?，故C正確；
方差為?，故D正確.
故選：CD.
10．已知函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)對(duì)稱中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的范圍是
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．不可能是函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸
D．的最小正周期可能為
【答案】AC
【分析】A選項(xiàng)，時(shí)，，根據(jù)圖象得到，求出；B選項(xiàng)，整體法得到，結(jié)合A選項(xiàng)知，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，得到方程，求出，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故的最小正周期，D錯(cuò)誤.
【詳解】A選項(xiàng)，時(shí)，，
由函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)對(duì)稱中心得，
，解得，A正確；
B選項(xiàng)，時(shí)，，
由A可知，故，而，
故函數(shù)在上不一定單調(diào)，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，假設(shè)為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，
令，，解得，，
又，故，又，故無(wú)解，
故不可能是函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸，C正確；
D選項(xiàng)，，故的最小正周期，
故的最小正周期不可能為，D錯(cuò)誤.
故選：AC
11．已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，由題意得，進(jìn)而得即可求解判斷；對(duì)于B，先明確零點(diǎn)取值范圍，由取值范圍再結(jié)合即即可求解判斷；對(duì)于C，由即以及零點(diǎn)的取值范圍即可求解判斷；對(duì)于D，結(jié)合AB以及將轉(zhuǎn)化成即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，由題，，
所以即，
所以，故，故A正確；
對(duì)于B，由得，
故函數(shù)與圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)和與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)和的零點(diǎn)，
如圖，由圖象性質(zhì)可知，
又由A得，故，
所以，故B錯(cuò)；
對(duì)于C，由上即，以及得：
，故C對(duì)；
對(duì)于D，由AB得，，，
所以，故D對(duì).
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是由和得即，二是數(shù)形結(jié)合明確零點(diǎn)的取值范圍為且，接著對(duì)所判式子進(jìn)行變形放縮等即可判斷.
三、填空題
12．已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為8，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 .
【答案】
【分析】令即可求出，求出展開(kāi)式通項(xiàng)即可求出常數(shù)項(xiàng).
【詳解】令，可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和，解得；
的展開(kāi)式通項(xiàng)為，
因?yàn)?，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，
故答案為：.
13．拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最短時(shí)，到的焦點(diǎn)距離為 .
【答案】2
【分析】設(shè)，求出P到直線距離，結(jié)合絕對(duì)值變形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦點(diǎn)距離即可．
【詳解】設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離為
,
當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，
拋物線 上一點(diǎn)到直線的距離最短，P到C的焦點(diǎn)距離為.
故答案為：2．
14．下圖數(shù)陣的每一行最右邊數(shù)據(jù)從上到下形成以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，每行的第個(gè)數(shù)從上到下形成以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，則該數(shù)陣第行所有數(shù)據(jù)的和 .
【答案】
【分析】先寫(xiě)出第n行的項(xiàng)再根據(jù)等比數(shù)列求和即可.
【詳解】因?yàn)槊啃械牡趎個(gè)數(shù)從上到下形成以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
所以,
所以
.
故答案為：.
四、解答題
15．在中，角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長(zhǎng)的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊角互換以及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得解.
（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得：，則，
即，
由余弦定理可得：，
因?yàn)椋?
（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
則，
又由余弦定理得，，
即，所以.
由得，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
即，
所以，即中線長(zhǎng)的最大值為.
16．如圖所示，三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，.
(1)求證：直線平面；
(2)若三棱柱為正三棱柱，求平面和平面的夾角的大小.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接交于，連接，則可證得，再由可證得四邊形為平行四邊形，則∥，再由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；
（2）以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過(guò)與平行的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接交于，連接，
因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以∥∥，
所以，所以，
所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椤巍危?，∥?br>所以四邊形為平行四邊形，
所以∥，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以直線平面；
（2）解：連接，因?yàn)槿庵鶠檎庵?br>所以為等邊三角形，所以，
所以以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過(guò)與平行的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
所以，
設(shè)平面和平面的夾角為，則，
因?yàn)椋?
17．已知，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足直線的斜率之積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交的軌跡于兩點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若恰為軌跡上一點(diǎn)，求四邊形的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得，化簡(jiǎn)可得軌跡方程．
（2）先設(shè)直線再聯(lián)立直線與軌跡方程，得關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理及點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算面積即可.
【詳解】（1）設(shè),則,化簡(jiǎn)可得
（2）以為鄰邊作平行四邊形,則直線與x軸不重合,設(shè)直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，
設(shè)，，
聯(lián)立，消去x得，
所以，
則.
求得O到直線的距離，
因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分
所以
所以在橢圓上，可得
所以平行四邊形面積
所以四邊形面積是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用平行四邊形對(duì)角線互相平分，對(duì)角線共中點(diǎn)求參進(jìn)而求出面積.
18．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先明確函數(shù)定義域和求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)特征對(duì)進(jìn)行和的分類討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可得單調(diào)性.
（2）證，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證，接著構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性和最值即可得證.
【詳解】（1）由題函數(shù)定義域?yàn)?，?br>故當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，令，
則時(shí)，；時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在上恒成立，
故證證，
即，
令，則，
故當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上恒成立，故，
所以當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明含參函數(shù)不等式問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)最值問(wèn)題，第（2）問(wèn)證當(dāng)時(shí)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證，接著根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化和構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性和最值即可得證.
19．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)出發(fā)，每隔1秒等可能地向上?向下?向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位.
(1)共移動(dòng)兩次，求質(zhì)點(diǎn)與原點(diǎn)距離的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)分別求移動(dòng)4次和移動(dòng)6次質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率；
(3)若共移動(dòng)次（大于0，且為偶數(shù)），求證：質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率為.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）首先求出X的所有可能取值以及對(duì)應(yīng)的概率，再結(jié)合離散型隨機(jī)變量的期望公式求答案即可.
（2）利用分步乘法計(jì)數(shù)原理、組合以及古典概型的概率公式計(jì)算可求得結(jié)果.
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
【詳解】（1）設(shè)表示2次移動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)與原點(diǎn)距離，則可取0，2，，
當(dāng)質(zhì)點(diǎn)向左移動(dòng)1次向右移動(dòng)1次，或向上移動(dòng)1次向下移動(dòng)1次，最后，則;
當(dāng)質(zhì)點(diǎn)向左移動(dòng)2次或向右移動(dòng)2次，或向上移動(dòng)2次或向下移動(dòng)2次，最后，則;
當(dāng)質(zhì)點(diǎn)向左移動(dòng)1次向上移動(dòng)1次，或向左移動(dòng)1次向下移動(dòng)1次，或向右移動(dòng)1次向上移動(dòng)1次，或向右移動(dòng)1次向下移動(dòng)1次，最后，則
的分布列為：
.
（2）質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每次等可能地向上?向下?向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)4次，
可能的結(jié)果共有種情況，
若質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)，則向左移動(dòng)2次向右移動(dòng)2次，或向上移動(dòng)2次向下移動(dòng)2次，共有種情況，
若質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)，則向左移動(dòng)1次向右移動(dòng)1次，向上移動(dòng)1次向下移動(dòng)1次，共有種情況，
所以質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率為.
質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每次等可能地向上?向下?向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)6次，
可能的結(jié)果共有種情況，
若質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)，則向左移動(dòng)3次向右移動(dòng)3次，或向上移動(dòng)3次向下移動(dòng)3次，共有種情況，
若質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)，則向左移動(dòng)2次向右移動(dòng)2次，向上移動(dòng)1次向下移動(dòng)1次，則向左移動(dòng)1次向右移動(dòng)1次，向上移動(dòng)2次向下移動(dòng)2次，共有種情況，
所以質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率為.
（3）若共移動(dòng)2次，質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率為;
假設(shè)共移動(dòng)N次，滿足質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率為;
當(dāng)共移動(dòng)次，
移動(dòng)N次質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)向左移動(dòng)1次向右移動(dòng)1次，或向上移動(dòng)1次向下移動(dòng)1次，移動(dòng)次質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn);
移動(dòng)N次質(zhì)點(diǎn)在，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)向左移動(dòng)2次或向右移動(dòng)2次，或向上移動(dòng)2次或向下移動(dòng)2次，移動(dòng)次質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn);
移動(dòng)N次質(zhì)點(diǎn)在當(dāng)質(zhì)點(diǎn)向左移動(dòng)1次向上移動(dòng)1次，或向左移動(dòng)1次向下移動(dòng)1次，或向右移動(dòng)1次向上移動(dòng)1次，或向右移動(dòng)1次向下移動(dòng)1次，，移動(dòng)N+2次質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn);
當(dāng)共移動(dòng)次，滿足質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率為.
所以共移動(dòng)N次，滿足質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率為.
0

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