一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．冰嘎別名冰尜，是東北民間少年兒童游藝品，俗稱“陀螺”，通常以木木鏇之，大小不一，一般徑寸余，下端為圓柱形，上端為錐形（如圖①）.如圖②所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖，已知B，C分別是上?下底面圓的圓心，，，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積為( )
A.B.C.D.
3．已知，是兩個(gè)不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．已知，，，，則( )
A.B.C.D.
5．?dāng)?shù)學(xué)家泰勒給出如下公式：
，
，
其中.這些公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的精確性.若根據(jù)以上公式估算的值，則以下數(shù)值中最精確的是( )
6．若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，，則( )
A.1B.C.1或7D.1或
7．設(shè)M是內(nèi)一點(diǎn)，且，，定義，其中m，n，p分別是，，的面積，若，則的最小值是( )
A.B.9C.16D.18
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，.有下列四個(gè)結(jié)論：
①
②為偶函數(shù)
③
④在區(qū)間上單調(diào)遞減
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為( )
A.①③B.②③C.②④D.①④
二、多項(xiàng)選擇題
9．如圖是函數(shù)的部分圖象，則( )
A.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸
B.的最小正周期為
C.若，則
D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的函數(shù)為奇函數(shù)
10．下列說法正確的是( )
A.已知方程的解在內(nèi)，則
B.函數(shù)的零點(diǎn)是，
C.函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
D.用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)近似值的過程中得到，，，則零點(diǎn)近似值在區(qū)間上
11．已知O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，，則下列命題是真命題的是( )
A.外接圓的半徑為
B.內(nèi)切圓的半徑為
C.邊上中線長(zhǎng)為
D.若O為的外心，則在上的投影向量為
12．如圖，在正三棱柱中，，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)則下列說法正確的是( )
A.E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面
B.與所成角的余弦值為
C.正三棱柱的外接球表面積為
D.點(diǎn)N在四邊形內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，若平面，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為
三、填空題
13．若復(fù)數(shù)z滿足（其中i是虛數(shù)單位），則__________.
14．設(shè)平面向量，，若，不能組成平面上的一個(gè)基底，則__________.
15．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.
四、解答題
16．在邊長(zhǎng)為3的正方形中，E為線段的三等分點(diǎn)，，，則__________；F為線段上的動(dòng)點(diǎn)，G為中點(diǎn)，則的最小值為__________.
17．如圖，在正方體中.
（1）證明：平面；
（2）證明：平面：
（3）求直線與面所成角的余弦值.
18．已知且是指數(shù)函數(shù).
（1）求a，b；
（2）求關(guān)于x的不等式的解集；
（3）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
19．已知，，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且，，，求a，c的值及的面積.
20．如圖所示，在半徑為2的球O的內(nèi)接八面體中，頂點(diǎn)P，Q分別在平面兩側(cè)，四棱錐與都是正四棱錐，且P到平面的距離為1.設(shè)二面角的平面角的大小為.
（1）求該內(nèi)接八面體的體積；
（2）求的值.
21．如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形.記.
（1）用分別表示，的長(zhǎng)度：
（2）當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.
22．已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意，恰好存在n個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“n重覆蓋函數(shù)”.
（1）試判斷是否為的“2重覆蓋函數(shù)”？請(qǐng)說明理由；
（2）若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
（3）函數(shù)表示不超過x的最大整數(shù)，如，，.若，為，的“2024重覆蓋函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：由題意得，，所以
故選B
2．答案：A
解析：由，，知圓柱的高為5，
且圓柱與圓錐的底面半徑都為2，
該陀螺的體積
故選:A.
3．答案：B
解析：時(shí)，m不一定垂直于.是不充分條件.
時(shí)，一定垂直于是必要條件.故""是""的必要不充分條件.
故選B
4．答案：D
解析：
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且
即，
故選:D.
5．答案：C
解析：由題意知.故選C.
6．答案：C
解析：因?yàn)槠矫娣橇阆蛄績(jī)蓛傻膴A角相等，
所以，或
當(dāng)時(shí)，
，
所以
所以.
當(dāng)時(shí)，
故選:C
7．答案：D
解析：，，，化為
，得
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
的最小值為18.
故選D.
8．答案：B
解析：
令，，則，則，故①錯(cuò)誤；
令，則，所以為偶函數(shù)，故②正確；
令，則，即，
則，故，則，故，故③正確；
由為偶函數(shù)，可知的圖像關(guān)于對(duì)稱，由，可知的圖像關(guān)于對(duì)稱，故在區(qū)間上不單調(diào)，故④錯(cuò)誤；
故選:B
9．答案：BC
解析：由圖可知，，，所以，
又的圖象過點(diǎn)，所以，
所以，即
因?yàn)?，所以?
對(duì)A，因?yàn)?br>所以不是函數(shù)的對(duì)稱軸，A錯(cuò)誤；對(duì)B，由上知，的最小正周期為，B正確；
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，C正確；
對(duì)D，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得：
，顯然不是奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選:BC
10．答案：AD
解析：
11．答案：ACD
解析：根據(jù)余弦定理可得：
對(duì)于A，設(shè)外接圓的半徑為R，則，解得，故A正確；
對(duì)于B，的面積為
，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為D，則
邊上中線長(zhǎng)為，故C正確；
對(duì)于D，若O為的外心，
則在上的投影向量為
故D正確.
故選:ACD.
12．答案：ABD
解析：連接，，如圖.
在正三棱柱中:E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)
在中:G，H分別為，的中點(diǎn)，，
，即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)A正確如圖，連，
在中:F，H分別為，的中點(diǎn)，所以與所成角的大小等于與所成角的大小
在正三棱柱中，
，，，
，則在中
，
在中:
在中:
與所成角的余弦值為，故選項(xiàng)B正確.
如圖分別取，的外接圓圓心，，再取的中點(diǎn)O，再連接，
由正弦定理得.在中，，則
在中.，則
又因在正三棱柱中:，則
正三棱柱的外接球的半徑，則正三棱柱的外接球的表面積，則C選項(xiàng)錯(cuò)誤
如圖，取中點(diǎn)N，連接，，，
又G為中點(diǎn)
在正三棱柱中:，
，
即有
四邊形是平行四邊形，則
，，，平面，平面，
又平面平面，，
當(dāng)點(diǎn)N在四邊形內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，若平面，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為，其長(zhǎng)度為則D選項(xiàng)正確.
故選ABD.
13．答案：
解析：由題意得所以.
14．答案：2
解析：由題意可得即，從而可求出，進(jìn)而可求出結(jié)果因?yàn)閍，b不能組成平面上的一個(gè)基底，所以所以，所以，
所以
故答案為:2
15．答案：1
解析：，即，
化簡(jiǎn)得，所以，
即，所以，所以.
16．答案：，
解析：
17．答案：（1）證明見解析；
（2）證明見解析；
（3）
解析：（1）在正方體，且
為平行四邊形，，
平面，平面，
平面；
（2）是正方體，
底面
又底面，
，
是正方形，
，
又平面，平面，，
平面；
（3）設(shè)與交于點(diǎn)O，連接，由（2）知平面，
所以是直線與面所成的角
不妨令，在直角中，
，
所以
所以直線與面所成角的余弦值為
18．答案：（1）；；
（2）；
（3）
解析：（1）由指數(shù)函數(shù)定義，得，而且且，
解得，，則；
（2）不等式，即，
而函數(shù)在R上遞增，因此，即，
則，解得，所以原不等式的解集為.
（3），
當(dāng)，令，，則，所以，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?
19．答案：（1）；
（2）；；
解析：（1）因?yàn)椋?br>所以
，
所以，
由，得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由，得，，
因?yàn)?，所以?br>所以，得，
因?yàn)?，所以由正弦定理得?br>所以由余弦定理得，解得，
所以.
所以.
20．答案：（1）8；
（2）
解析：（1）設(shè)與面交于E
因?yàn)镻到平面的距離為1
所以.
，.
則.
（2）設(shè)二面角的大小為，二面角的大小為，
則二面角的平面角.
設(shè)與平面的交點(diǎn)為E，取中點(diǎn)為M，連接，，，如圖所示.
則，，，所以，.
，
，
.
21．答案：（1）；；
（2）；
解析：（1）在直角三角形中，，
在直角三角形中，所以，
（2）設(shè)矩形的面積為S
所以
因?yàn)?br>所以
所以當(dāng)，即時(shí)，
22．答案：（1）不是的“2重覆蓋函數(shù)”；
（2）；
（3）
解析：（1）由，可知.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，解得，
此時(shí)在中只存在一個(gè)，使，
所以不是的“2重覆蓋函數(shù)”；
（2）由題意可得的定義域?yàn)椋?br>即對(duì)任意，存在2個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），當(dāng)時(shí)，且，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.
即對(duì)任意，有2個(gè)不同實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，已有一個(gè)根，
故只需時(shí)，僅有1個(gè)根.
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，，
則只需滿足，解得，
綜上得a的取值范圍為：.
（3）因?yàn)?，，所?br>則對(duì)于任意，，，要有2024個(gè)根，
作出函數(shù)的圖象（部分），
如圖：
要使，有2024個(gè)根，則，
又，則，故正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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