數(shù) 學(xué)
本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.
2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定義可求.
【詳解】由題設(shè)有，
故選：B .
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，故，?br>故選：C.
3. 已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，根據(jù)圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)可求得的值，即為所求.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則，解得.
故選：B.
4. 下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
對(duì)于函數(shù)，由，
解得，
取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，
則，，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；
取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，
且，，CD選項(xiàng)均不滿足條件.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．
5. 已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A. 13B. 12C. 9D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．
【詳解】由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于正確理解能夠想到求最值的方法，即通過(guò)基本不等式放縮得到．
6. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將式子進(jìn)行齊次化處理，代入即可得到結(jié)果．
【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過(guò)齊次化處理，可以避開(kāi)了這一討論．
7. 若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果
【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，
由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，
令，則.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
故選：D.
【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用且有效的方法
8. 有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A. 甲與丙相互獨(dú)立B. 甲與丁相互獨(dú)立
C. 乙與丙相互獨(dú)立D. 丙與丁相互獨(dú)立
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷
【詳解】 ，
故選：B
【點(diǎn)睛】判斷事件是否獨(dú)立，先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，再判斷是否成立
二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（ ）
A. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同
D. 兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同
【答案】CD
【解析】
【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.
【詳解】A：且，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；
B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯(cuò)誤；
C：，故方差相同，正確；
D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；
故選：CD
10. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（ ）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷正誤.
【詳解】A：，，所以，，故，正確；
B：，，所以，同理，故不一定相等，錯(cuò)誤；
C：由題意得：，，正確；
D：由題意得：，，錯(cuò)誤；
故選：AC
11. 已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（ ）
A. 點(diǎn)到直線的距離小于
B. 點(diǎn)到直線的距離大于
C. 當(dāng)最小時(shí)，
D. 當(dāng)最大時(shí)，
【答案】ACD
【解析】
【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，可得出點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
如下圖所示：
當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線與半徑為圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.
12. 在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值
B. 當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
C. 當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得
D. 當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面
【答案】BD
【解析】
【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；
對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；
對(duì)于C，考慮借助向量平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【詳解】
易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．
故選：BD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)?，故?br>因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，
時(shí)，整理得到，
故，
故答案為：1
14. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.
【詳解】不妨設(shè)
因?yàn)椋缘臏?zhǔn)線方程為
故答案為：
【點(diǎn)睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.
15. 函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.
【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)椋?br>∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；
又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，
∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；
∴
故答案為：1.
16. 某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_(kāi)_____；如果對(duì)折次，那么______.
【答案】 (1). 5 (2).
【解析】
【分析】（1）按對(duì)折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.
【詳解】（1）對(duì)折次可得到如下規(guī)格：，，，，，共種；
（2）由題意可得，，，，，，
設(shè)，
則，
兩式作差得
，
因此，.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和常用方法：
（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；
（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；
（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；
（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知數(shù)列滿足，
（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的前20項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，從而可求的通項(xiàng).
（2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得的前項(xiàng)和為可化為，利用（1）的結(jié)果可求.
【詳解】（1）由題設(shè)可得
又，，
故即即
所以為等差數(shù)列，故.
（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，則，
因?yàn)椋?br>所以
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系或偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式等來(lái)求解問(wèn)題.
18. 某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分：B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).
（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；
（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）類．
【解析】
【分析】（1）通過(guò)題意分析出小明累計(jì)得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問(wèn)題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可．
【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．
；
；
．
所以的分布列為
（2）由（1）知，．
若小明先回答問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．
；
；
．
所以．
因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類問(wèn)題．
19. 記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.
（2）由題設(shè)，應(yīng)用余弦定理求、，又，可得，結(jié)合已知及余弦定理即可求.
【詳解】
（1）由題設(shè)，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得證.
（2）由題意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，；
綜上，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，根據(jù)余弦定理及得到的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條件及余弦定理求.
20. 如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AO⊥平面BCD，即可證得結(jié)果；
（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根據(jù)體積公式得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)锳B=AD,O為BD中點(diǎn)，所以AO⊥BD
因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因?yàn)槠矫鍮CD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,連FM
因?yàn)锳O⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因?yàn)镕M⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF
則為二面角E-BC-D的平面角,
因?yàn)?為正三角形,所以為直角三角形
因?yàn)?
從而EF=FM=
平面BCD,
所以
【點(diǎn)睛】二面角的求法：一是定義法，二是三垂線定理法，三是垂面法，四是投影法.
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與曲線的方程，列出韋達(dá)定理，求出的表達(dá)式，設(shè)直線的斜率為，同理可得出的表達(dá)式，由化簡(jiǎn)可得的值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為；
（2）設(shè)點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線無(wú)公共點(diǎn)，
不妨直線的方程為，即，
聯(lián)立，消去并整理可得，
設(shè)點(diǎn)、，則且.
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，
設(shè)直線的斜率為，同理可得，
因?yàn)?，即，整理可得?br>即，顯然，故.
因此，直線與直線的斜率之和為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
22. 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，原不等式等價(jià)于，前者可構(gòu)建新函數(shù)，利用極值點(diǎn)偏移可證，后者可設(shè)，從而把轉(zhuǎn)化為在上的恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)可證明該結(jié)論成立.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
（2）因?yàn)椋剩矗?br>故，
設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).
因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，
故.
先證：，
若，必成立.
若， 要證：，即證，而，
故即證，即證：，其中.
設(shè)，
則，
因?yàn)?，故，故?br>所以，故在為增函數(shù)，所以，
故，即成立，所以成立，
綜上，成立.
設(shè)，則，
結(jié)合，可得：，
即：，故，
要證：，即證，即證，
即證：，即證：，
令，
則，
先證明一個(gè)不等式：.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，
故成立
由上述不等式可得當(dāng)時(shí)，，故恒成立，
故在上為減函數(shù)，故，
故成立，即成立.
綜上所述，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，一般利用通過(guò)原函數(shù)的單調(diào)性，把與自變量有關(guān)的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化與原函數(shù)的函數(shù)值有關(guān)的不等式問(wèn)題，也可以引入第三個(gè)變量，把不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與新引入變量有關(guān)的不等式問(wèn)題.

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