2021-2022學(xué)年河南省洛陽市伊濱區(qū)八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

這是一份2021-2022學(xué)年河南省洛陽市伊濱區(qū)八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案，共25頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．下列各式一定為二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值為（ ）
A．﹣1B．1C．D．﹣1
4．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)P（1，2），Q（2，﹣3），那么線段PQ的長等于（ ）
A．5B．C．D．2
5．下列說法正確的是（ ）
A．在一個直角三角形中，有兩邊的長度分別是3和5則第三邊的長度一定是4
B．三邊長度分別為1，1，2的三角形是直角三角形，且1，1，是一組勾股數(shù)
C．三邊長度分別是12，35，36的三角形是直角三角形
D．一個三角形的三邊長分別為a，b，c，且a2﹣b2＝c2，則這個三角形是直角三角形
6．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡b的結(jié)果是（ ）
A．1B．b+1C．2aD．1﹣2a
7．按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為，則最后輸出的結(jié)果是（ ）
A．14B．16C．8+5D．14
8．如圖，已知△ABC中，AB，AC＝3，BC＝1，AB的垂直平分線分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，連接BD，則CD的長為（ ）
A．B．C．1D．
9．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（ ）
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
10．如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm．在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為（ ）cm．
A．15B．C．12D．18
二、填空題（共5小題；共15分）
11．代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 ．
12．如果最簡二次根式與可以合并，則x＝ ．
13．已知x＝2，代數(shù)式（7+4）x2+（2）x的值是 ．
14．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝ °（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．
15．如圖，在Rt△ABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將△ADB折疊得到△ADB′，AB′與邊BC交于點(diǎn)E．若△DEB′為直角三角形，則BD的長是 ．
三、解答題（共8小題；共75分）
16．計算：
（1）；
（2）．
17．如圖，在長度為1個單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C小正方形的頂點(diǎn)上．
（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A′B′C′．
（2）△ABC的面積為 ；
（3）在直線l上找一點(diǎn)P，使PB+PC的長最短，（在圖形中標(biāo)出點(diǎn)P）
18．先化簡，再求值：，其中a＝2，b＝2．
19．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B′重合，AE為折痕，求EB′的長．
20．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝4，BD＝2，CD＝8．
（1）求證：∠BAC＝90°；
（2）P為BC邊上一點(diǎn)，連接AP，若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請求出BP的長．
21．一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10．
（1）求∠CBD的度數(shù)；
（2）試求CD的長．
22．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BE⊥AD，BE交AD的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AB上，且EF∥AC，AE＝3，AF＝2．
（1）求BF的長度；
（2）求△ABE的面積．
23．學(xué)習(xí)了勾股定理和數(shù)的開方后，我們就能發(fā)現(xiàn)在部分特殊直角三用形中，直用邊與斜邊存在一些特殊的數(shù)量關(guān)系．例如：在等腰直角三角形中，兩直角邊相等，則有斜邊平方等于一條直角邊的平方的2倍，利用開方運(yùn)算易得斜邊是一條直角邊的倍，因此若要解決線段之間的倍關(guān)系時，往往把問題放在等腰直角三角形中去思考；問題解決，如圖CD⊥AB，垂足為A，且AB＝AC，D是CA延長線上一點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)E是線段BD上的一點(diǎn)，連接CE交AB于點(diǎn)F，且BD＝CF．
（1）如圖1，若BC＝6，則AC的長為 ；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是BD中點(diǎn)時，若BC＝6，求AF的長；
（3）如圖2，連接AE，判斷線段DE+EFAE是否成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由．
參考答案
一、選擇題（共10小題；共30分）
1．下列各式一定為二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】二次根式一定要滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)且根指數(shù)為2，結(jié)合選項(xiàng)所給根式進(jìn)行判斷即可．
解：A、當(dāng)x＝0時，被開方數(shù)是﹣1＜0，所以它不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)x＜0時，它不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、被開方數(shù)大于0，所以它是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；
D、當(dāng)x＜﹣1時，被開方數(shù)是x+1＜0，它不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
2．下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次根式的加法、乘法、除法和二次根式的性質(zhì)逐一計算即可得．
解：A、2、3不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)錯誤；
B、236，此選項(xiàng)錯誤；
C、22，此選項(xiàng)正確；
D、6，此選項(xiàng)錯誤；
故選：C．
3．如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值為（ ）
A．﹣1B．1C．D．﹣1
【分析】點(diǎn)A在以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓上，所以在直角△BOC中，根據(jù)勾股定理求得圓O的半徑OA＝OB，然后由實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系可以求得a的值．
解：如圖，點(diǎn)A在以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓上．
∵在直角△BOC中，OC＝2，BC＝1，則根據(jù)勾股定理知OB，
∴OA＝OB，
∴a＝﹣1．
故選：A．
4．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)P（1，2），Q（2，﹣3），那么線段PQ的長等于（ ）
A．5B．C．D．2
【分析】根據(jù)點(diǎn)P（1，2），Q（2，﹣3），可以得到這兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差和縱坐標(biāo)的差，然后根據(jù)勾股定理可以求得PQ的長．
解：∵點(diǎn)P（1，2），Q（2，﹣3），
∴點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的差為2﹣1＝1，縱坐標(biāo)的差為：2﹣（﹣3）＝2+3＝5，
∴線段PQ的長為：，
故選：B．
5．下列說法正確的是（ ）
A．在一個直角三角形中，有兩邊的長度分別是3和5則第三邊的長度一定是4
B．三邊長度分別為1，1，2的三角形是直角三角形，且1，1，是一組勾股數(shù)
C．三邊長度分別是12，35，36的三角形是直角三角形
D．一個三角形的三邊長分別為a，b，c，且a2﹣b2＝c2，則這個三角形是直角三角形
【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義及勾股定理的知識分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
解：A、在一個直角三角形中，有兩邊的長度分別是3和5則第三邊的長度是4或，原命題錯誤，不符合題意；
B、因勾股數(shù)必須都是整數(shù)，故原命題錯誤，不符合題意；
C、∵122+352≠362，
∴三邊長度分別是12，35，36的三角形是直角三角形，錯誤，不符合題意；
D、A、一個三角形的三邊長分別為：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，則這個三角形是直角三角形，正確，符合題意．
故選：D．
6．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡b的結(jié)果是（ ）
A．1B．b+1C．2aD．1﹣2a
【分析】利用數(shù)軸得出a﹣1＜0，a﹣b＜0，進(jìn)而利用二次根式的性質(zhì)化簡求出即可．
解：由數(shù)軸可得：a﹣1＜0，a﹣b＜0，
則原式＝1﹣a+a﹣b+b＝1．
故選：A．
7．按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為，則最后輸出的結(jié)果是（ ）
A．14B．16C．8+5D．14
【分析】根據(jù)給出的運(yùn)算程序計算即可．
解：當(dāng)n時，n（n+1）＝215，
當(dāng)n＝2時，n（n+1）＝8+515，
故選：C．
8．如圖，已知△ABC中，AB，AC＝3，BC＝1，AB的垂直平分線分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，連接BD，則CD的長為（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用線段垂直平分線得出AD＝DB，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．
解：∵△ABC中，AB，AC＝3，BC＝1，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB的垂直平分線分別交AC，AB于D，E，
∴AD＝DB，
設(shè)CD為x，AD＝DB＝3﹣x，
在Rt△CDB中，CD2+BC2＝DB2，
即x2+12＝（3﹣x）2，
解得：x，
即CD，
故選：B．
9．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（ ）
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，同理可得出BD的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．
故選：C．
10．如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm．在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為（ ）cm．
A．15B．C．12D．18
【分析】將圓柱沿過A的母線剪開，由題意可知，需在杯口所在的直線上找一點(diǎn)F，使AF+CF最小，則先作出A關(guān)于杯口所在直線的對稱點(diǎn)A'，連接A'C與杯口的交點(diǎn)即為F，此時AF+CF＝A'F+CF＝A'C，再利用勾股定理求A'C的長即可．
解：如圖所示，將圓柱沿過A的母線剪開，
由題意可知，需在杯口所在的直線上找一點(diǎn)F，使AF+CF最小，
故先作出A關(guān)于杯口所在直線的對稱點(diǎn)A'，連接A'C與杯口的交點(diǎn)即為F，此時AF+CF＝A'F+CF＝A'C，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到此時AF+CF最小，并且最小值為A'C的長度，
如圖所示，延長過C的母線，過A'作A'D垂直于此母線于D，
由題意可知，A'D＝18÷2＝9（cm），
CD＝12﹣4+4＝12（cm），
由勾股定理得：A'C15（cm），
故螞效到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm，
故選：A．
二、填空題（共5小題；共15分）
11．代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 x≥1，且x≠2 ．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得：x﹣1≥0，再根據(jù)分式有意義的條件可得x﹣2≠0，再解即可．
解：由題意得：x﹣1≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥1，且x≠2，
故答案為：x≥1，且x≠2．
12．如果最簡二次根式與可以合并，則x＝ 3 ．
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義可得到2x+1＝7，然后解方程即．
解：∵，
而最簡二次根式與可以合并，即它們是同類二次根式，
∴2x+1＝7，
∴x＝3．
故答案為3．
13．已知x＝2，代數(shù)式（7+4）x2+（2）x的值是 2 ．
【分析】首先不所求的式子化成（2）2x2+（2）x的形式，然后把x的值代入求解．
解：原式＝（2）2x2+（2）x
＝【（2）x】2+（2）（2）
＝【（2）（2）】2+（2）（2）
＝1+1
＝2．
14．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝ 45 °（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．
【分析】延長AP交格點(diǎn)于D，連接BD，根據(jù)勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
解：延長AP交格點(diǎn)于D，連接BD，
則PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案為：45．
15．如圖，在Rt△ABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將△ADB折疊得到△ADB′，AB′與邊BC交于點(diǎn)E．若△DEB′為直角三角形，則BD的長是 7或 ．
【分析】由勾股定理可以求出BC的長，由折疊可知對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，當(dāng)△DEB′為直角三角形時，可以分為兩種情況進(jìn)行考慮，分別利用勾股定理可求出BD的長．
解：在Rt△ABC中，BC12，
（1）當(dāng)∠EDB′＝90°時，如圖1，
過點(diǎn)B′作B′F⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)F，
由折疊得：AB＝AB′＝13，BD＝B′D＝CF，
設(shè)BD＝x，則B′D＝CF＝x，B′F＝CD＝12﹣x，
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：
（5+x）2+（12﹣x）2＝132，
即：x2﹣7x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝7，
因此，BD＝7．
（2）當(dāng)∠DEB′＝90°時，如圖2，此時點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，
由折疊得：AB＝AB′＝13，則B′C＝13﹣5＝8，
設(shè)BD＝x，則B′D＝x，CD＝12﹣x，
在Rt△B′CD中，由勾股定理得：（12﹣x）2+82＝x2，解得：x，
因此BD．
故答案為：7或．
三、解答題（共8小題；共75分）
16．計算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）按照二次根式的混合運(yùn)算法則，先括號里面，再乘除最后加減依次計算即可；
（2）按照乘法公式在依次計算次即可．
解：（1）原式＝3220；
（2）原式＝12﹣6﹣（3+44）＝12﹣6﹣3﹣44＝﹣1﹣4．
17．如圖，在長度為1個單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C小正方形的頂點(diǎn)上．
（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A′B′C′．
（2）△ABC的面積為 5 ；
（3）在直線l上找一點(diǎn)P，使PB+PC的長最短，（在圖形中標(biāo)出點(diǎn)P）
【分析】（1）分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可．
（2）利用分割法求三角形面積即可．
（3）連接CB′交直線l于點(diǎn)P，連接PB，此時PC+PB的值最小．
解：（1）△A′B′C′即為所求．
（2）S△ABC＝3×42×32×21×4＝5，
故答案為5．
（3）如圖點(diǎn)P即為所求．
18．先化簡，再求值：，其中a＝2，b＝2．
【分析】根據(jù)分式的除法和減法可以化簡題目中的式子，然后將a、b的值代入化簡后的式子即可解答本題．
解：
＝1
，
當(dāng)a＝2，b＝2時，
原式．
19．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B′重合，AE為折痕，求EB′的長．
【分析】根據(jù)折疊得到BE＝EB′，AB′＝AB＝3，設(shè)BE＝EB′＝x，則EC＝4﹣x，根據(jù)勾股定理求得AC的值，再由勾股定理可得方程x2+22＝（4﹣x）2，再解方程即可算出答案．
解：根據(jù)折疊可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，
設(shè)BE＝EB′＝x，則EC＝4﹣x，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC5，
∴B′C＝5﹣3＝2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝1.5，
故答案為：1.5．
20．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝4，BD＝2，CD＝8．
（1）求證：∠BAC＝90°；
（2）P為BC邊上一點(diǎn)，連接AP，若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請求出BP的長．
【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，而BC＝CD+BD＝10，易求AC2+AB2＝100＝BC2，從而可知△ABC是直角三角形．
（2）分三種情況：①當(dāng)BP＝AB時；②當(dāng)BP＝AP時；③當(dāng)AP＝AB時；分別求出BP的長即可．
【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，AD＝4，BD＝2，
∴AB2＝AD2+BD2＝20，
又∵AD⊥BC，CD＝8，AD＝4，
∴AC2＝CD2+AD2＝80，
∵BC＝CD+BD＝10，
∴BC2＝100，
∴AC2+AB2＝100＝BC2，
∴∠BAC＝90°，△ABC是直角三角形．
（2）解：分三種情況：
①當(dāng)BP＝AB時，
∵AD⊥BC，
∴AB2，
∴BP＝AB＝2；
②當(dāng)BP＝AP時，P是BC的中點(diǎn)，
∴BPAB＝5；
③當(dāng)AP＝AB時，BP＝2BD＝4．
綜上所述：BP的長為2或5或4．
21．一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10．
（1）求∠CBD的度數(shù)；
（2）試求CD的長．
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和給出的已知數(shù)據(jù)即可求出∠CBD的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，根據(jù)題意可求出BC的長度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，進(jìn)而可得出答案．
解：（1）∵∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝15°；
（2）過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC×tan60°＝10，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝105，
CM＝BC×cs30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5
22．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BE⊥AD，BE交AD的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AB上，且EF∥AC，AE＝3，AF＝2．
（1）求BF的長度；
（2）求△ABE的面積．
【分析】（1）根據(jù)角平分線和平行可得△AFE是等腰三角形，從而可得AF＝EF＝2，再根據(jù)垂直定義可得∠AEF+∠BEF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，從而利用等角的余角相等可得∠BEF＝∠ABE，進(jìn)而可得BF＝EF＝2，即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論可求出AB的長，再在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的長，然后利用三角的面積進(jìn)行計算即可解答．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠AEF＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠AEF，
∴AF＝EF＝2，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEF+∠BEF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠BEF＝∠ABE，
∴BF＝EF＝2，
∴BF的長度為2；
（2）∵AF＝2，BF＝2，
∴AB＝AF+BF＝2+2＝4，
∵∠AEB＝90°，AE＝3，
∴BE，
∴△ABE的面積AE?BE
3
，
∴△ABE的面積為．
23．學(xué)習(xí)了勾股定理和數(shù)的開方后，我們就能發(fā)現(xiàn)在部分特殊直角三用形中，直用邊與斜邊存在一些特殊的數(shù)量關(guān)系．例如：在等腰直角三角形中，兩直角邊相等，則有斜邊平方等于一條直角邊的平方的2倍，利用開方運(yùn)算易得斜邊是一條直角邊的倍，因此若要解決線段之間的倍關(guān)系時，往往把問題放在等腰直角三角形中去思考；問題解決，如圖CD⊥AB，垂足為A，且AB＝AC，D是CA延長線上一點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)E是線段BD上的一點(diǎn)，連接CE交AB于點(diǎn)F，且BD＝CF．
（1）如圖1，若BC＝6，則AC的長為 3 ；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是BD中點(diǎn)時，若BC＝6，求AF的長；
（3）如圖2，連接AE，判斷線段DE+EFAE是否成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案；
（2）證明Rt△BAD≌Rt△CAF（HL），推出∠DBA＝∠ACF，因?yàn)椤螮FB＝∠AFC，推出∠BEF＝∠FAC＝90°，即可證明CB＝CD＝6解決問題；
（3）作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．只要證明四邊形AMEN是正方形，Rt△AMD≌Rt△ANF（HL）即可解決問題．
解：（1）AB＝AC，CD⊥AB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BCAC，
∵BC＝6，
∴AC；
故答案為：3；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6，
∴AB＝AC＝3，
∵BD＝CF，AB＝AC，
∴Rt△BAD≌Rt△CAF（HL），
∴∠DBA＝∠ACF，
∵∠EFB＝∠AFC，
∴∠BEF＝∠FAC＝90°，
∴CE⊥BD，
∵BE＝DE，
∴CB＝CD＝6，
∴AF＝AD＝CD﹣AC＝6﹣3．
（3）DE+EFAE成立．
理由：如圖2中，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．
∵△BAD≌△CAF，AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．
∴AM＝AN（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），
∴∠AEM＝∠AEN＝45°，
∴AM＝EM＝EN＝AN，
∴四邊形AMEN是正方形，
∵AD＝AF，AM＝AN，
∴Rt△AMD≌Rt△ANF（HL），
∴DM＝FN，
∴DE+EF＝EM+DM+EN﹣FN＝2EM，
∵AEEM，
∴DE+EFAE．