一、選擇題
1．命題“”的否定為( )
A.B.
C.D.
2．若，且，下列不等式中一定成立的是( )
A.B.C.D.
3．已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為( )
A.B.C.D.
4．下列函數(shù)中與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是( )
A.B.C.D.
5．不等式的解集為( )
A.B.C.D.
6．如圖所示的4個(gè)圖像中，與事件一?二?三最吻合的順序?yàn)? )
事件一：我離開(kāi)家后，心情愉快，緩慢行進(jìn)，但最后發(fā)現(xiàn)快遲到時(shí)，加速前進(jìn)；
事件二：我騎著自行車(chē)上學(xué)，但中途車(chē)壞了，我修理好又以原來(lái)的速度前進(jìn)；
事件三：我快速的騎著自行車(chē)，最后發(fā)現(xiàn)時(shí)間充足，又減緩了速度.
A.③①②B.③④②C.②①③D.②④③
7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為( )
A.4B.-4C.D.
8．定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，且時(shí)，恒成立，且，則滿足不等式的x的解集是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知，則下列函數(shù)的最小值為2的有( )
A.B.C.D.
10．已知集合，，，則實(shí)數(shù)m的值可以是( )
A.B.2C.D.0
11．下列四個(gè)選項(xiàng)中，p是q的充要條件的有( )
A.p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在兩角相等
B.p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形三邊成比例
C.，
D.p：四邊形是正方形，q：四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分
12．德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)有( )
A.B.
C.，都有D.函數(shù)的圖象是兩條直線
三、填空題
13．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________.
14．已知函數(shù)，的圖像如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.
15．已知，，若，則實(shí)數(shù)__________.
16．已知圓和矩形的周長(zhǎng)相等，面積分別為、，則的最小值為_(kāi)_________.
四、解答題
17．已知集合，集合.求：
（1）；
（2）；
18．已知函數(shù)，且.
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的值.
19．討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明.
20．已如函數(shù).
（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式.
21．杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)（The19thAsianGames）又稱“2022年杭州亞運(yùn)會(huì)”，是繼1990年北京亞運(yùn)會(huì)?2010年廣州亞運(yùn)會(huì)之后，中國(guó)第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國(guó)際綜合性體育賽事.2022年7月19日，亞洲奧林匹克理事會(huì)宣布原定于2022年9月10日至25日舉行的杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日舉行，賽事名稱和標(biāo)志保持不變.為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和堅(jiān)直方向的留空寬度均為，設(shè).
（1）當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙的面積；
（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？
22．設(shè)函數(shù)，其中.
（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
（2）若，且對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題,所以:的否定是:.故選:C.
2．答案：D
解析：根據(jù),且,取，,則，不成立,故排除AC,取，,則不成立,故可排除B.故選:D.
3．答案：A
解析：根據(jù)圖像可知，陰影部分表示，，所以.
故選：A
4．答案：B
解析：A.的定義域?yàn)?與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù);
B.，定義域?yàn)镽與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù);
C.,與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù);
D.的定義域?yàn)?與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù);
故選B.
5．答案：C
解析：由題意得,即,等價(jià)于且,解得,所以不等式的解集為.故選C.
6．答案：C
解析：離開(kāi)家后緩僈行進(jìn),但最后發(fā)現(xiàn)快遲到時(shí),加速前進(jìn);對(duì)應(yīng)離開(kāi)家的距離先緩慢增長(zhǎng)再快速增長(zhǎng),對(duì)應(yīng)圖象②.騎著自行車(chē)上學(xué),但中途車(chē)壞了,我修理好又以原來(lái)的速度前進(jìn);對(duì)應(yīng)離開(kāi)家的距離先直線上升再停止增長(zhǎng)最后又直線上升(與開(kāi)始直線平行),對(duì)應(yīng)圖象①.快速地騎著自行車(chē),最后發(fā)現(xiàn)時(shí)間充足,又減緩了速度;對(duì)應(yīng)離開(kāi)家的距離先快速增長(zhǎng)再緩慢增長(zhǎng),對(duì)應(yīng)圖象③.故選C.
7．答案：A
解析：因?yàn)?
,當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取等號(hào),此時(shí)取得最小值,
由恒成立,故即t的最大值4.
故選:A.
8．答案：B
解析：根據(jù)題意,設(shè),
對(duì)任意的,,都有,即,
變形可得:,即,
則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),
又由,則,,即,
又由在區(qū)間上為增函數(shù),則,解可得,即x的取值范圍為;故選:B.
9．答案：ACD
解析：選項(xiàng)A,,,當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值2,故正確;
選項(xiàng)B,在遞增,可得y的最小值為5,故錯(cuò)誤;
選項(xiàng)C,,,當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值2,故正確;
選項(xiàng)D,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值2,故正確.
故選:ACD.
10．答案：ACD
解析：，，則或，
當(dāng)，則，
當(dāng)，則或，
綜上所述:或或0,
故選:ACD.
11．答案：AB
解析：三角形是等腰三角形,則兩底角相等,從而存在兩角相等;反之,當(dāng)三角形中有兩角相等時(shí),所對(duì)的邊相等,即為等腰三角形，所以"三角形是等腰三角形"的充分必要條件是"三角形存在兩角相等"，故A正確；
根據(jù)相似三角形的定義,可知三邊對(duì)應(yīng)成比例;反之,當(dāng)三邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，根據(jù)邊邊邊的判定定理，可知兩個(gè)三角形相似,故"兩三角形相似"是"兩三角形三邊成比例"的充分必要條件,故B正確;
時(shí),可能，或者，,故""不是"，"的充分條件,故C錯(cuò)誤;
正方形的對(duì)角線互相垂直且平分，但是對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形可以是任意的菱形，不一定是正方形，故"四邊形是正方形"是"四邊形對(duì)角線互相垂直且平分"的充分不必要條件,故D錯(cuò)誤.
故選:AB
12．答案：AC
解析：對(duì)于A,當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),,所以,
當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí),,,A正確；
對(duì)于B,,,所以,,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,由題意,函數(shù)定義域?yàn)镽,且,所以為偶函數(shù),
若x是有理數(shù),則也是有理數(shù);若x是無(wú)理數(shù),則也是無(wú)理數(shù)；
所以根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式,任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T,對(duì)恒成立,
故,
所以,都有,C正確
對(duì)于D,函數(shù)的圖像是斷續(xù)的點(diǎn)集,不是兩條直線,D錯(cuò)誤;
故選:AC
13．答案：
解析：由題意得解得
14．答案：
解析：由圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是與.
答案:與
15．答案：4或
解析：根據(jù)集合的元素的互異性可得,故,由集合相等的條件得到:或
解得或,經(jīng)檢驗(yàn),符合集合的元素的互異性,
所以或,
故答案為:4或.
16．答案：
解析：解析：四個(gè)角均為直角的四邊形是矩形,設(shè)長(zhǎng)為a,寬為b,周長(zhǎng)為C,設(shè)圓的半徑為r,則,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.的最小值為.
17．答案：（1）；
（2）或.
解析：由已知得：，
，從而有：
（1）；
（2）；
或.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1），由于，故，解得
故，
所以
（2）當(dāng)時(shí)，，解得，舍去；
當(dāng)時(shí)，，解得或，
其中不符合題意，舍去；
綜上所述，.
19．答案：①在內(nèi)是減函數(shù)；
②在內(nèi)是增函數(shù).
證明見(jiàn)解析
解析：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
以下根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明：
①設(shè)，
則
，
，，，
，即，
在內(nèi)是減函數(shù).
②設(shè)
由①知
，
，，，
即，
在內(nèi)是增函數(shù).
20．答案：（1）或；
（2）答案見(jiàn)解析
解析：（1）的解集為，
或，或；
（2），當(dāng)時(shí)，
當(dāng)，即時(shí)，恒成立
當(dāng)，即時(shí)，，解得或；
當(dāng)，即時(shí)，，解得或；
綜上：時(shí)，不等式的解集為R；
時(shí)，不等式的解集為或；
時(shí)，不等式的解集為或.
21．答案：（1）；
（2）當(dāng)海報(bào)紙寬為，長(zhǎng)為，可使用紙量最少
解析：（1）宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，，
則直角三角形的高為，
又海報(bào)上所有水平方向和堅(jiān)直方向的留空寬度均為，
，
，
故海報(bào)面積為；
（2），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，
直角三角形的高為，
海報(bào)上所有水平方向和堅(jiān)直方向的留空寬度均為，
海報(bào)寬，海報(bào)長(zhǎng)
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故當(dāng)海報(bào)紙寬為，長(zhǎng)為，可使用紙量最少.
22．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）當(dāng)時(shí)，則.
由二次函數(shù)的對(duì)稱性知：當(dāng)時(shí)，的最小值為1；
當(dāng)時(shí)，的最大值為10；
所以在區(qū)間值域的為.
（2）“對(duì)任意的，都有”等價(jià)于“在區(qū)間上，”.
若，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
①當(dāng)，即時(shí)，
由，得，
從而，
②當(dāng)，即，由，得，
從而，
綜上，a的取值范圍為區(qū)間.
（聯(lián)立，得滿分）
（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，
所以“對(duì)任意的，都有.”等價(jià)于“”
①當(dāng).時(shí)，，.
由，得.
從而；
②當(dāng)，，.
由，得.
從而；
③當(dāng)時(shí)，，.
由，得，
從而；
④當(dāng)時(shí)，，.
由，得.
從而.
綜上，t的取值范圍為.

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