一、選擇題
1．已知由小到大排列的5個樣本數(shù)據(jù)a,12,16,19,23的極差是15,則a的值為( )
A.6B.7C.8D.9
2．已知鈍角滿足,則( )
A.B.C.0D.或0
3．若圓被直線平分,則( )
A.-2B.C.D.
4．已知函數(shù),且,則( )
A.B.C.D.2
5．設(shè),是兩個不同的平面,l、m是兩條不同的直線,則“”的充分條件是( ).
A.,,B.,,
C.,,D.,,
6．在數(shù)學(xué)中,自然常數(shù).小布打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8進(jìn)行排列得到密碼.如果排列時要求8不排最后一個,兩個2相鄰,那么小布可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為( ).
A.30B.32C.36D.48
7．已知,分別為雙曲線的左?右焦點,過的直線與雙曲線C的左支交于A,B兩點,若,,則雙曲線C的焦距為( )
A.B.C.D.
8．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),且,,,則( )
A.B.C.1D.2
二、多項選擇題
9．若復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位）,則下列說法正確的是( )
A.復(fù)數(shù)z的虛部為i
B.z的模為
C.z的共軛復(fù)數(shù)為
D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在第一象限
10．已知,則( )
A.B.在上單調(diào)遞增
C.,使D.,使
11．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標(biāo)方程可表示為，圖形如圖所示.當(dāng)時，點，在這條心形線C上，且，則下列說法正確的是( )
A.若，則
B.若，則
C.
D.C上有4個整點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)
三、填空題
12．已知集合,若,則a的取值范圍為________.
13．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓,若圓錐的表面積為,則該圓錐的體積為________.
14．已知有窮數(shù)列的首項為1,末項為12,且任意相鄰兩項之間滿足,則符合上述要求的不同數(shù)列的個數(shù)為________.
15．對于數(shù)列，如果存在等差數(shù)列和等比數(shù)列，使得，則稱數(shù)列是“優(yōu)分解”的.
(1)證明：如果是等差數(shù)列，則是“優(yōu)分解”的.
(2)記，，證明：如果數(shù)列是“優(yōu)分解”的，則或數(shù)列是等比數(shù)列.
(3)設(shè)數(shù)列的前n項和為，如果和都是“優(yōu)分解”的，并且，，，求的通項公式.
四、解答題
16．的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.
（1）求;
（2）若,,求的面積.
17．如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是矩形,,過棱的中點E作于點F,連接.
（1）證明：;
（2）若,求平面與平面所成角的正弦值.
18．已知橢圓左?右頂點分別為A,B,短軸長為,離心率為.
（1）求橢圓C的方程;
（2）若第一象限內(nèi)一點P在橢圓上,且點P與外接圓的圓心M的連線交x軸于點Q,設(shè),求實數(shù)的值.
19．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時,判斷的單調(diào)性;
（2）證明:當(dāng)時,.
參考答案
1．答案：C
解析：由題知最小的數(shù)據(jù)是a,最大的數(shù)據(jù)是23,則極差為,解得.
故選:C.
2．答案：B
解析：因為,所以,解得或0,
因為為鈍角,所以.
故選:B.
3．答案：D
解析：由題意得圓心在直線上,則,解得.
故選:D.
4．答案：B
解析：因為,
故,而,故,
故選:B.
5．答案：C
解析：對于A,若,,,則,故A錯誤;
對于B,若,,,則平面與平面可以相交或平行,故B錯誤;
對于C,因為,,由線面垂直的性質(zhì),所以,又因為,所以,故C正確;
對于D,若,,,則平面與平面可以相交或平行,故D錯誤;
故選:C
6．答案：C
解析：根據(jù)題意,分兩種情況:
①2排在最后一位,
則倒數(shù)第二位也是2,再從剩下4個位置選出2個,安排兩個8,最后安排7和1,
此時有個不同的密碼;
②2不排在最后一位,
則倒數(shù)第一位安排7或1,將兩個2看成一個整體,與兩個8和7或1中剩下的數(shù)排列,
此時有個不同的密碼;
則一共有個不同的密碼.
故選:C.
7．答案：B
解析：如圖,由于,
有4,可得,
又由,可得,設(shè),
在中,由余弦定理有.
在中,由余弦定理有.
又由,有,
可得,解得,所以雙曲線的焦距為.
故選:B.
8．答案：A
解析：由題知,
因為,,
所以,
又因為在區(qū)間上是減函數(shù),
所以,
兩式相減,得,
因為,所以.
故選:A.
9．答案：BCD
解析：由,
對于A,z的虛部應(yīng)為1,故A錯誤;
對于B,z的模為,故B正確;
對于C,z的共軛復(fù)數(shù)應(yīng)為,故C正確;
對于D,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為,顯然在第一象限,故D正確.
故選:BCD.
10．答案：AC
解析：要使函數(shù)有意義,則有,且,
即定義域,B錯誤;
,,,,A正確;
,
記,,則,
時,,時,,
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,即,
又時,,
令,則單調(diào)遞增,又,,
存在唯一,使得,此時,
時,,時,,時,,
時,,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
,.
作出函數(shù)的圖象,如圖:
所以C正確,D錯誤.
故選:AC
11．答案：ACD
解析：依題意，心形線C的直角坐標(biāo)方程為，
過原點,由，可知，，三點共線，
可設(shè)直線，由
消去y，得.
不妨設(shè)，
則，.
，故A正確；
，
當(dāng)時，，故B錯誤；
設(shè)點在心形線C上，，角以x軸非負(fù)半軸為起始邊，
則心形線C的方程轉(zhuǎn)化為，
即，
，又，
，故C正確；
由，可知.
令，則心形線C的方程可化為，：，
，
當(dāng)，，或，進(jìn)而可得或0，
當(dāng)時，方程無整數(shù)解；
當(dāng)時，，故
C上有4個整點，，，，故D正確，
故選:ACD.
12．答案：
解析：由題意知或,
又且,故,即的取值范圍為.
故答案為:.
13．答案：/
解析：設(shè)圓錐母線長為R,底面圓半徑長r,
因為側(cè)面展開圖是一個半圓,此半圓半徑為R,半圓弧長為,
所以,即,因為表面積是側(cè)面積與底面積的和,
所以,所以,,則圓錐的高,
所以.
故答案為:
14．答案：144
解析：依題意,首項和末項相差11,而任意相鄰兩項之間滿足,,
當(dāng)時,即后一項與前一項的差均為1,數(shù)列的個數(shù)為1;
當(dāng)時,即后一項與前一項的差出現(xiàn)一個2,九個1,數(shù)列的個數(shù)為;
當(dāng)時,即后一項與前一項的差出現(xiàn)兩個2,七個1,數(shù)列的個數(shù)為;
當(dāng)時,即后一項與前一項的差出現(xiàn)三個2,五個1,數(shù)列的個數(shù)為;
當(dāng)時,即后一項與前一項的差出現(xiàn)四個2,三個1,數(shù)列的個數(shù)為;
當(dāng)時,即后一項與前一項的差出現(xiàn)五個2,一個1,數(shù)列的個數(shù)為,
所以符合上述要求的不同數(shù)列的個數(shù)為.
故答案為:144
15．答案：(1)證明見解析；
(2)證明見解析
(3)
解析：（1）是等差數(shù)列，設(shè)，
令，，
則是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，所以數(shù)列是“優(yōu)分解”的.
（2）因為數(shù)列是“優(yōu)分解”的，設(shè)，
其中，，
則，.
當(dāng)時，
當(dāng)時，是首項為，公比為q的等比數(shù)列.
（3）一方面，數(shù)列是“優(yōu)分解”的，設(shè)，
其中，由（2）知
因為，，所以.
，，是首項為2，公比為的等比數(shù)列.
另一方面，因為是“優(yōu)分解”的，設(shè)，
其中，，
，
是首項為2，公比為的等比數(shù)列，
，，且，
化簡得，，，，，，
即數(shù)列是首項，公比為q的等比數(shù)列.
又，，
又，，，，解得，，
綜上所述，.
16．答案：（1）
（2）.
解析：（1）因為,
由正弦定理可得.
可化為.
又由余弦定理,有.
又,所以.
（2）因為,由（1）有.
可化為.
又由,有.
所以.
17．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）四邊形為矩形,,
平面,平面,,
又,,平面,平面,
又平面, .
,點E是的中點,.
又,,平面,平面.
平面,.
又,,,平面,平面,
平面,.
（2）如圖,因,,兩兩垂直,
故可以A為坐標(biāo)原點,,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
,.
由（1）可知,可看成平面的一個法向量,
可看成平面的一個法向量.
設(shè)平面與平面的所成角為,
,,
平面與平面所成角的正弦值為.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因為短軸長為,所以,
又橢圓C的離心率為,則有,解得,
所以C的方程為.
（2）因為外接圓經(jīng)過橢圓的左?右頂點,所以圓心M在y軸上,
設(shè)圓心,則圓M的半徑為,所以,
所以
又點P在橢圓上,所以,兩方程消去得:
再由直線PM的斜率為,
可設(shè)直線PM的方程為,
令,所以點Q的橫坐標(biāo)為
又,所以,解得
19．答案：（1）在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
（2）證明見解析
解析：（1）當(dāng)時,,則,
令,則恒成立,
在上單調(diào)遞增,又因為,
則當(dāng)時,;當(dāng)時,,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
（2）證明:,,
所以,令,
則,所以在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,又,
有,,即單調(diào)遞減;,,即單調(diào)遞增,
所以,而此時,
所以當(dāng)時,成立;
當(dāng)時,可得,所以,所以,
又,所以存在,使得,即,
,;,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,由可得,
,
下面證明,
令,所以,
所以在上單調(diào)遞增,所以,
即得證,即成立,
綜上,當(dāng)時,成立.

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