高一數(shù)學(xué)試題
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、班級、學(xué)校在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.在試卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，請將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時120分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 設(shè)為所在平面內(nèi)一點，若，則下列關(guān)系中正確的是
A. B.
C. D.
4. 平面向量，，若，則（ ）
A B. C. 1D. 2
5. 已知長方體，，，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A B. C. D.
6. 已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，圓O內(nèi)接邊長為1的正方形是?。òǘ它c）上一點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 小明去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠處最合適呢？（單位：米）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知兩條直線，與兩個平面，，下列命題不正確的是（ ）
A 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
10. 已知函數(shù)部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C. 函數(shù)在單調(diào)遞減
D. 該圖象向右平移個單位可得的圖象
11. 如圖，正方體的棱長為，是側(cè)面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）

A. 平面被正方體截得截面為等腰梯形
B. 若，直線
C. 若在上，的最小值為
D. 若，點的軌跡長度為
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則_______.
13. 已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是_____________________.
14. 已知直三棱柱中，底面邊長分別為、、3，高，則該三棱柱的外接球的表面積為_____.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量，，
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）若，求向量與的夾角的余弦值.
16. 在中，角的對邊分別為，已知.
（1）求；
（2）若為邊的中點，求的長.
17. 如圖，在四棱錐中，，，，，平面.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求四棱錐的表面積.
18. 已知函數(shù)的最大值為；
（1）求常數(shù)的值；
（2）若在上單調(diào)遞增；求最大值．
19. 在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是的中點．
（1）證明：平面；
（2）設(shè)是線段上的動點，當(dāng)點到平面距離最大時，求三棱錐的體積．2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期全盟中小學(xué)
部分年級期末學(xué)業(yè)質(zhì)量抽測
高一數(shù)學(xué)試題
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、班級、學(xué)校在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.在試卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，請將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時120分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.
【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點（2，-1）位于第四象限.
故選：D.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩角差的正弦公式及誘導(dǎo)公式化簡求值可得結(jié)果.
【詳解】
.
故選：B.
3. 設(shè)為所在平面內(nèi)一點，若，則下列關(guān)系中正確的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】∵
∴?=3(?)；
∴=?.
故選A.
4. 平面向量，，若，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐標運算得，即可求出.
【詳解】向量，，
若，則，所以.
故選：A
5. 已知長方體，，，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由異面直線所成角的定義，直線與所成角為，然后計算即可.
【詳解】連接，長方體中直線平面，平面，所以，
由，所以直線與所成角為，
由，，所以，
所以中， .
故選：D
6. 已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，
而它們的側(cè)面積相等，所以即，
故，故圓錐的體積為.
故選：B.
7. 如圖，圓O內(nèi)接邊長為1的正方形是?。òǘ它c）上一點，則的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】法一：以A為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，應(yīng)用向量的坐標運算即可求解；法二：連接，設(shè)，則，，即可求解.
【詳解】方法一：如圖1，以A為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則）．
設(shè)，則．因為，所以．
由題意知，圓O的半徑．因為點P在?。òǘ它c）上，
所以，所以的取值范圍是．
方法二：如圖2，連接．易知，
設(shè)，則．
由已知可得，所以，
所以
．
因為，所以，所以，
所以，即的取值范圍是.
故選：C．
8. 小明去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠處最合適呢？（單位：米）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，作出符合題意得示意圖，過點作，得到，得出當(dāng)?shù)耐饨訄A與切于點時，觀賞者觀賞的角度最大，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】如圖所示，設(shè)觀賞者眼睛出為點，畫的上沿為點，下沿為點，
過點作交延長線于點，則，
當(dāng)?shù)耐饨訄A（即為圓）與切于點時，觀賞者觀賞的角度最大，即最大，
線段的長度為警戒線距墻的長度，
由題設(shè)知：，則，
過點作于點，連接，
如圖所示，則，且，
所以，所以與切于點，所以，
所以，所以四邊形為矩形，
可得，且，所以，
在直角中，由勾股定理得，
所以，即警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻米遠處最合適.
故選：B.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知兩條直線，與兩個平面，，下列命題不正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】對于ABC選項，可以借助長方體模型舉反例判斷；對于D選項，運用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合平行線性質(zhì)，最后運用面面垂直判定可判斷.
【詳解】對于A選項,如圖所示，，，此時，故A錯誤；
對于B選項,如圖所示，，，此時，故B錯誤；
對于C選項,如圖所示，，，此時，故C錯誤；
對于D選項，，則面內(nèi)一定可以找一條直線，使得，又，則，則,故D正確.
故選：ABC．
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C. 函數(shù)在單調(diào)遞減
D. 該圖象向右平移個單位可得的圖象
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.
【詳解】由圖象得，，解得，所以的最小正周期為，故A錯；
，則，將代入中得，
則，，解得，，
因為，所以，，，
所以是的對稱軸，故B正確；
當(dāng)時，，因為在上不單調(diào)，
所以在上不單調(diào)，故C錯；
該圖象向右平移個單位可得，故D正確.
故選：BD
11. 如圖，正方體的棱長為，是側(cè)面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）

A. 平面被正方體截得截面為等腰梯形
B. 若，直線
C. 若在上，的最小值為
D. 若，點的軌跡長度為
【答案】ACD
【解析】
【分析】在上取點，使得，則即為截面，從而判斷A，為的中點，在棱上取點，使得，得到與不垂直，即可判斷B，將平面翻折，化折線為直線，結(jié)合兩點之間線段最短判斷C，根據(jù)線面垂直得到線線垂直，即可判斷D.
【詳解】對于A：

在上取點，使得，連接、、、、，
則，又且，所以為平行四邊形，則，
所以，所以、、、四點共面，
即平面被正方體截得截面即為梯形，
又，所以為等腰梯形，故A正確；
對于B：

因為，所以為中點，在棱上取點，使得，
則且，所以為平行四邊形，所以，
又，，，
顯然，即與不垂直，則與不垂直，故B錯誤；
對于C：

如圖將平面展開到與平面共面，連接交于點，則即為的最小值，
又，所以的最小值為，故C正確；
對于D：

連接、、、，則，又平面，
平面，所以，又，平面，
所以平面，平面，所以，
又，所以，因為，所以線段（不含點）即為點的軌跡，
又，所以點的軌跡長度為，故D正確.
故選：ACD
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算計算可得.
【詳解】因為，所以.
故答案為：
13. 已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是_____________________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得且與不反向共線，根據(jù)向量的坐標運算即可求解.
【詳解】若與共線，則，得，此時，與方向相反，
因為與的夾角為鈍角，所以且與不反向共線，
即且，解得 且，
則的取值范圍是.
故答案為：.
14. 已知直三棱柱中，底面邊長分別為、、3，高，則該三棱柱的外接球的表面積為_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理求的外接圓半徑，結(jié)合直棱柱的結(jié)構(gòu)特征求其外接圓半徑，進而可得表面積.
【詳解】不妨設(shè)，
由余弦定理可得，
由，則，
所以的外接圓半徑，
可得該三棱柱的外接球的半徑，
所以該三棱柱的外接球的表面積為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量，，
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）若，求向量與的夾角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量平行的坐標形式可求的值；
（2）利用向量垂直的坐標形式可求的值，再利用公式可求向量與的夾角的余弦值.
【小問1詳解】
向量，則，
由，得，解得.
【小問2詳解】
，由，有，
解得，則，
.
所以向量與的夾角的余弦值.
16. 在中，角的對邊分別為，已知.
（1）求；
（2）若為邊的中點，求的長.
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和差公式求解；
（2）根據(jù)余弦定理求出邊，再根據(jù)向量運算求.
【小問1詳解】
因為，
根據(jù)正弦定理，得，
化簡得，因為，所以，
因為，所以.
【小問2詳解】
在中，由余弦定理得，
所以，解得．
因為為的中線，所以，
所以，
因為，所以，解得.

17. 如圖，在四棱錐中，，，，，平面.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求四棱錐的表面積.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）由線面垂直推出，，勾股定理求出邊AC，則易證，得證；（Ⅱ）易證各側(cè)面均為直角三角形，底面為兩直角三角形的組合，相應(yīng)直角邊長代入三角形面積計算公式求和即可.
【詳解】（Ⅰ）因為平面，平面，平面，
所以，，
因為，，所以.
因為，，
所以，
所以，，
由，，可得，
平面.
（Ⅱ）由題意可知，
，
由（Ⅰ）可知，平面，平面，
所以，同理可得，
又，，
所以，
所以四棱錐的表面積.
【點睛】本題考查線面垂直的判定，多面體的表面積，屬于中檔題.
18. 已知函數(shù)的最大值為；
（1）求常數(shù)的值；
（2）若在上單調(diào)遞增；求最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出的值；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和集合間的子集關(guān)系求出的最大值．
【小問1詳解】
由于函數(shù)
由于，
故函數(shù)的最大值為，解得．
【小問2詳解】
由于，，
解得，；
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
故,，；故取，則
故，即的最大值為．
19. 在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是的中點．
（1）證明：平面；
（2）設(shè)是線段上的動點，當(dāng)點到平面距離最大時，求三棱錐的體積．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】
（1）連接與交于，連接，證明即可得證線面平行；
（2）首先證明平面(只要取中點，可證平面，從而得，同理得),因此點到直線的距離即為點到平面的距離，由平面幾何知識易得最大值，然后可計算體積．
【詳解】（1）證明：連接與交于，連接，
因為是菱形，所以為的中點，
又因為為的中點，
所以，
因為平面平面，
所以平面．
（2）解：取中點，連接，
因為四邊形是菱形，，且，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以．
同理可證：，又，
所以平面，
所以平面平面，
又平面平面，
所以點到直線距離即為點到平面的距離，
過作直線的垂線段，在所有垂線段中長度最大為，
因為為的中點，故點到平面的最大距離為1，
此時，為的中點，即，
所以，
所以．
【點睛】本題考查證明線面平行，考查求棱錐的體積，掌握面面垂直與線面垂直的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

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