1．[2024天津和平區(qū)期末]下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是( )
2．[2023云南]如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)．若∠BOC＝66°，則∠CAB＝( )
A．66° B．33° C．24° D．30°
(第2題) (第5題) (第9題)
3．在一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球、1個(gè)黃球、1個(gè)白球，這些球只有顏色不同．下列事件中，屬于必然事件的是( )
A．從袋子中摸出一個(gè)球，球的顏色是紅色
B．從袋子中摸出兩個(gè)球，它們的顏色相同
C．從袋子中摸出三個(gè)球，有顏色相同的球
D．從袋子中摸出四個(gè)球，有顏色相同的球
4．[2023甘孜州]下列關(guān)于二次函數(shù)y＝(x－2)2－3的說法正確的是( )
A．圖象是一條開口向下的拋物線
B．圖象與x軸沒有交點(diǎn)
C．當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x增大而增大
D．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，－3)
5．[2023沈陽]如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓上兩點(diǎn)，且滿足∠ADC＝120°，AB＝12，則eq \(BC,\s\up8(︵))的長為( )
A．π B．2π C．4π D．6π
6．《九章算術(shù)》“勾股”章有一道題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何．”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對(duì)角線長1丈，那么門的高和寬各是多少(1丈＝10尺，1尺＝10寸)？若設(shè)門的寬為x寸，則所列方程符合題意的是( )
A．x2＋(x＋68)2＝1002 B．x2＋(x＋68)2＝12
C．x2＋12＝(x＋68)2 D．x2＋1002＝(x＋68)2
7．有一首《對(duì)子歌》中唱到：天對(duì)地，雨對(duì)風(fēng)，大陸對(duì)長空．現(xiàn)將“天、雨、大、空”四個(gè)字分別書寫在材質(zhì)、大小完全相同的卡片上，在暗箱攪勻后，隨機(jī)抽取兩張，恰為“天”“空”二字的概率為( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
8．等腰三角形邊長分別為 a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的兩根，則n的值為( )
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．點(diǎn)D在BC上，且BD∶CD＝1∶3．連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BE，DE．則△BDE的面積是( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(3,8) C．eq \f(3,4) D．eq \f(3,2)
10．[2023雅安]如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(－2，0)，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x＝2，下列結(jié)論中，①a＞0；②點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0)；③c＝3b；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，都有4a＋2b≥am2＋bm，所有正確結(jié)論的序號(hào)為( )
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④

(第10題) (第12題) (第15題) (第16題)
二、填空題(每題3分，共18分)
11．[2023開封期中]已知點(diǎn)A(a，eq \r(3))與B(－2 eq \r(3)，b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a＋b＝________．
12．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，已有兩個(gè)小正方形被涂灰，再將圖中剩余的編號(hào)1－5的小正方形中任意一個(gè)涂灰，則3個(gè)被涂灰的正方形組成的圖案是一個(gè)軸對(duì)稱圖形的概率是________．
13．[2023齊齊哈爾]若圓錐底面半徑長2 cm，母線長3 cm，則該圓錐的側(cè)面積為________cm2．(結(jié)果保留π)
14．[2023達(dá)州]已知x1，x2是方程2x2＋kx－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且(x1－2)(x2－2)＝10，則k的值為________．
15．[2023徐州]如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E，eq \(AC,\s\up8(︵))＝2eq \(BD,\s\up8(︵))，連接AD，過點(diǎn)B的切線與AD的延長線交于點(diǎn)F．若∠AFB＝68°，則∠DEB的度數(shù)為________．
16．距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度h(米)與物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t(秒)之間滿足函數(shù)關(guān)系h＝－5t2＋mt＋n，其圖象如圖所示，物體運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒．設(shè)w表示0秒到t秒時(shí)h的值的“極差”(即0秒到t秒時(shí)h的最大值與最小值的差)，則當(dāng)0≤t≤1時(shí)，w的取值范圍是________；當(dāng)2≤t≤3時(shí)，w的取值范圍是________．
三、解答題(共72分)
17．(6分)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)x2－2x－143＝0； (2)5x＋2＝3x2．
18．(8分)[2023達(dá)州改編]如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)上．
(1)將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；
(2)在(1)的運(yùn)動(dòng)過程中請(qǐng)計(jì)算出△ABC掃過的面積．
19．(10分)[2024泉州期中]已知關(guān)于x的一元二次方程(a－5)x2－4x－1＝0．
(1)若該方程有實(shí)數(shù)根，請(qǐng)求出a的取值范圍；
(2)若此方程有一個(gè)根為－1，求方程的另一個(gè)根及a的值．
20．(10分) [2023鞍山]二十四節(jié)氣是中國古代一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，在國際氣象界被譽(yù)為“中國的第五大發(fā)明”，并位列聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，小明和小亮對(duì)二十四節(jié)氣非常感興趣，在課間玩游戲時(shí)，準(zhǔn)備了四張完全相同的不透明卡片，卡片正面分別寫有“A．驚蟄”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四個(gè)節(jié)氣，兩人商量將卡片背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張，并講述所抽卡片上的節(jié)氣的由來與習(xí)俗．
(1)小明從四張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，抽到“A．驚蟄”的概率是________；
(2)小明先從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，小亮再從剩下的卡片中隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求兩人都沒有抽到“B．夏至”的概率．
21．(12分)[2023十堰]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的半圓分別交AC，BC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且點(diǎn)E是eq \(DF,\s\up8(︵))的中點(diǎn)．
(1)求證：BC是⊙O的切線；
(2)若CE＝eq \r(2)，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．
22．(12分)[2023泰州]某公司的化工產(chǎn)品成本為30元/千克．銷售部門規(guī)定：一次性銷售1 000千克以內(nèi)時(shí)，以50元/千克的價(jià)格銷售；一次性銷售不低于1 000千克時(shí)，每增加1千克降價(jià)0. 01元/千克．考慮到降價(jià)對(duì)利潤的影響，一次性銷售不低于1 750千克時(shí)，均以某一固定價(jià)格銷售．一次性銷售利潤y(元)與一次性銷售量x(千克)的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
(1)當(dāng)一次性銷售800千克時(shí)利潤為多少元？
(2)求一次性銷售量在1 000～1 750 kg之間時(shí)的最大利潤；
(3)當(dāng)一次性銷售多少千克時(shí)利潤為22 100元？
23．(14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的圖象與x軸相交于O，A兩點(diǎn)．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(2)在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B，使△AOB的面積等于6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)對(duì)于(2)中的點(diǎn)B，在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠POB＝90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．
答案
一、1．B 2．B 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D
8．B【解析】∵三角形是等腰三角形，∴a＝2或b＝2，或a＝b．①當(dāng)a＝2或b＝2時(shí)，∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的兩根，∴x＝2．把x＝2代入x2－6x＋n－1＝0，得22－6×2＋n－1＝0，解得n＝9．當(dāng)n＝9時(shí)，方程的兩根是2和4，而2，4，2不能組成三角形，故n＝9不符合題意；②當(dāng)a＝b時(shí)，方程x2－6x＋n－1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝(－6)2－4(n－1)＝0，解得n＝10．此時(shí)方程的兩根均是3，而2，3，3能組成三角形，故n＝10符合題意．故選B．
9．B【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，∠BAD＋∠CAD＝90°．
由旋轉(zhuǎn)得AD＝AE，∠BAD＋∠BAE＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD＝∠BAE．
在△ADC和△AEB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝AE，,∠CAD＝∠BAE，,AC＝AB，))
∴△ADC≌△AEB，∴BE＝CD，∠ABE＝∠C＝45°．
∴∠EBD＝∠ABE＋∠ABC＝90°．
∵BC＝2，BD：CD＝1：3，
∴BD＝2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，BE＝CD＝2×eq \f(3,4)＝eq \f(3,2)，
∴△BDE的面積是eq \f(1,2)BD·BE＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(3,2)＝eq \f(3,8)．
10．C 【解析】∵拋物線開口向下，∴a＜0，故①錯(cuò)誤；
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(x2，0)，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0),
∴eq \f(－2＋x2,2)＝2，解得x2＝6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0)，故②正確；
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－2b＋c＝0，①,36a＋6b＋c＝0，②))
②－①×9，得24b－8c＝0，∴c＝3b，故③正確；
∵a＜0，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，二次函數(shù)取得最大值，此時(shí)y＝4a＋2b＋c，
當(dāng)x＝m時(shí)，y＝am2＋bm＋c，
∴4a＋2b＋c≥am2＋bm＋c，即4a＋2b≥am2＋bm，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有②③④．
二、11．eq \r(3) 12．eq \f(4,5) 13．6π 14．7
15．66°【解析】連接OC，OD，
∵BF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，
∴OB⊥BF，∴∠ABF＝90°．
∵∠AFB＝68°，∴∠BAF＝90°－∠AFB＝22°，
∴∠BOD＝2∠BAF＝44°．
∵eq \(AC,\s\up8(︵))＝2eq \(BD,\s\up8(︵))，∴∠COA＝2∠BOD＝88°，
∴∠CDA＝eq \f(1,2)∠COA＝44°．
∵∠DEB是△AED的一個(gè)外角，
∴∠DEB＝∠BAF＋∠CDA＝22°＋44°＝66°．
16．0≤w≤5；5≤w≤20【解析】∵物體運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒，∴拋物線h＝－5t2＋mt＋n的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為20，且經(jīng)過點(diǎn)(3，0)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4×（－5）n－m2,4×（－5）)＝20，,－5×32＋3m＋n＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m1＝10，,n1＝15，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＝50，,n2＝－105，))(不合題意，舍去)，
∴拋物線的解析式為h＝－5t2＋10t＋15．
當(dāng)t＝0時(shí)，h＝15．
∵h(yuǎn)＝－5t2＋10t＋15＝－5(t－1)2＋20，
∴拋物線的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，20)．
∵20－15＝5，
∴當(dāng)0≤t≤1時(shí)，w的取值范圍是0≤w≤5；
當(dāng)t＝2時(shí)，h＝15，當(dāng)t＝3時(shí)，h＝0，
∵20－15＝5，20－0＝20，
∴當(dāng)2≤t≤3時(shí)，w的取值范圍是5≤w≤20．
三、17．【解】(1)原方程可化為x2－2x＋1＝143＋1，得(x－1)2＝144，∴x－1＝±12，∴x1＝13，x2＝ －11．
(2)原方程可化為 3x2－5x－2＝0，(3x＋1)(x－2) ＝0，得3x＋1＝0或x－2＝0．∴x1＝－eq \f(1,3)，x2＝2．
18．【解】(1)△A1B1C1如圖所示．
(2)S△ABC＝2×3－eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×3×1＝eq \f(5,2)，由旋轉(zhuǎn)可知∠ACA1＝90°，又∵AC＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，∴S扇形CAA?＝eq \f(90π×（\r(10)）2,360)＝eq \f(5,2)π，
∴△ABC掃過的面積為S扇形CAA?＋S△ABC＝eq \f(5,2)π＋eq \f(5,2)．
19．【解】(1)∵(a－5)x2－4x－1＝0為關(guān)于x的一元二次方程，∴a－5≠0，即a≠5．
由題意得Δ＝(－4)2－4(a－5)×(－1)＝4a－4≥0，解得a≥1，∴a的取值范圍為a≥1且a≠5．
(2)∵(a－5)x2－4x－1＝0的一個(gè)根為－1，
∴a－5＋4－1＝0，解得a＝2，
此時(shí)原方程為－3x2－4x－1＝0，解得x1＝－1，x2＝－eq \f(1,3)，
∴方程的另一個(gè)根為－eq \f(1,3)，a的值為2．
20．【解】(1)eq \f(1,4)
(2)畫樹狀圖如圖：

共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩人都沒有抽到“B．夏至”的有6種，
所以兩人都沒有抽到“B．夏至”的概率為eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)．
21．(1)【證明】連接OE，OD，
∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠OAD＝∠B＝45°．
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，∴∠DOF＝90°．
∵點(diǎn)E是eq \(DF,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，
∴∠DOE＝∠EOF＝eq \f(1,2)∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°－∠EOF－∠B＝90°，∴OE⊥BC．
又∵OE為⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線．
(2)【解】∵OE⊥BC，∠B＝45°．
∴△OEB為等腰直角三角形．
設(shè)BE＝OE＝x，則OA＝x，BC＝eq \r(2)＋x，OB＝eq \r(2)x，
∴AB＝x＋eq \r(2)x．∵AC＝BC，∠C＝90°，∴AB＝eq \r(2)BC．
∴x＋eq \r(2)x＝eq \r(2)(eq \r(2)＋x)，解得x＝2，
∴S陰影＝S△OEB－S扇形OEF＝eq \f(1,2)×2×2－eq \f(45°,360°)×π×22＝2－eq \f(π,2)．
22．【解】(1)當(dāng)x＝800時(shí)，y＝800×(50－30)＝800×20＝16 000，∴當(dāng)一次性銷售800千克時(shí)利潤為16 000元．
(2)設(shè)一次性銷售量在1000～1750 kg之間時(shí)，每千克銷售利潤為50－30－0．01(x－1 000)＝－0. 01x＋30(元/千克)，
∴y＝x(－0. 01x＋30)＝－0. 01x2＋30x＝－0. 01(x－1 500)2＋22 500．
∵－0. 011 000．
①當(dāng)一次性銷售量在1 000～1750 kg之間時(shí)，利潤為22 100元，∴－0. 01(x－1 500)2＋22 500＝22 100，
解得x1＝1 700，x2＝1 300．
②當(dāng)一次性銷售不低于1 750千克時(shí)，均以某一固定價(jià)格銷售，設(shè)此時(shí)函數(shù)解析式為y＝kx，由(2)知，當(dāng)x＝1 750時(shí)，y＝－0. 01×(1 750－1 500)2＋22 500＝21 875，
∴B(1 750，21 875)．
把B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得21 875＝1 750k，解得k＝12. 5，∴當(dāng)一次性銷售不低于1 750千克時(shí)，函數(shù)解析式為y＝12. 5x．當(dāng)y＝22 100時(shí)，則22 100＝12. 5x，解得x＝1 768．
綜上所述，當(dāng)一次性銷售1 300千克或1 700千克或1 768千克時(shí)利潤為22 100元．
23．【解】(1)∵函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)O，
∴0＝k＋1，解得k＝－1，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝x2－3x．
(2)設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)．
∵△AOB的面積等于6，∴eq \f(1,2)AO·|y0|＝6．
當(dāng)x2－3x＝0時(shí)，即x(x－3)＝0，解得x＝0或x＝3．
∴A(3，0)．∴AO＝3．∴|y0|＝4，即|x02－3x0|＝4．
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(25,4)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(7,4)(舍去)．
解得x0＝4或x0＝－1(舍去)．
當(dāng)x0＝4時(shí)，y0＝x02－3x0＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，4)．
(3)假設(shè)存在點(diǎn)P．
設(shè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，x12－3x1)．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，4)，
∴∠BOA＝45°，BO＝eq \r(42＋42)＝4 eq \r(2)．
當(dāng)∠POB ＝90°時(shí)，易得點(diǎn)P在直線 y＝－x上，
∴x12－3x1＝－x1，解得x1＝2或x1＝0(舍去)．
∴x12－3x1＝－2．
∴在拋物線上存在點(diǎn)P，使∠POB＝90°，且點(diǎn)P的標(biāo)為(2，－2)．
∴OP＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)．
∴△POB的面積為eq \f(1,2)PO·BO＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×4eq \r(2)＝8．

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數(shù)學(xué)人教版(2024)七上 期末綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)試卷

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