1．（3分）下列實數(shù)中最大的是（ ）
A．|﹣4|B．（﹣5）0C．﹣（﹣2）D．2﹣2
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．D．（a+b）2＝a2+b2
3．（3分）如圖，是由6個同樣大小的正方體擺成的幾何體，將正方體①移走后，所得幾何體（ ）
A．主視圖改變，左視圖改變
B．俯視圖不變，左視圖不變
C．俯視圖改變，左視圖改變
D．主視圖改變，左視圖不變
4．（3分）如圖，E島在A島的北偏東46°方向，E島在C島的北偏西44°方向，則∠AEC的度數(shù)為（ ）
A．96°B．94°C．92°D．90°
5．（3分）對于實數(shù)a，b定義運算“※”為a※b＝b2﹣ab，例如3※2＝22﹣3×2＝﹣2．若關于x的方程3※x＝﹣m沒有實數(shù)根，則m的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
6．（3分）在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4．若隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次取出小球標號的和等于5的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如圖，點C，D在以AB為直徑的半圓上，且∠ADC＝120°，點E是上任意一點，連接BE、CE．則∠BEC的度數(shù)為（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
8．（3分）若直線y＝﹣x+2與直線y＝x+3b的交點坐標為（a，b），則a﹣b的值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
9．（3分）如圖，平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，點B的對應點B'的坐標是（ ）
A．（﹣，3）B．（﹣3，）C．（﹣，2+）D．（﹣1，2+）
10．（3分）已知拋物線y＝x2+（m+1）x+m，當x＝1時，y＞0，且當x＜﹣2時，y的值隨x值的增大而減小，則m的取值范圍是（ ）
A．m＞﹣1B．m＜3C．﹣1＜m≤3D．3＜m≤4
二、填空題：本大題共有6小題，每小題3分，共18分。請把答案填在答題卡上對應的橫線上。
11．（3分）化簡：（x+1）2﹣2x＝ ．
12．（3分）如圖，把△ABC沿AB邊平移到△DEF的位置，邊BC與DF交于點H，設△HDB的面積為S1，四邊形ADHC的面積為S2，若S1：S2＝4：5，AB＝4，則此三角形移動的距離AD為 ．
13．（3分）設x1，x2是方程x2﹣2x﹣35＝0的兩個實根，則代數(shù)式的值為 ．
14．（3分）如圖，點A在雙曲線y＝（x＞0）上，過點A作AC⊥x軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于點B，當AC＝1時，△ABC的周長為 ．
15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E為BC的中點，連接AE．DE．以E為圓心，EB長為半徑畫弧，分別與AE，DE交于點M，N．則圖中陰影部分的面積為 （結果保留π）．
16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC和CD上，下列結論：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；④；④．其中正確的結論是 .（填寫所有正確結論的序號）
三、解答題：本大題共有7小題，共72分。請將必要的文字說明、計算過程或推理過程寫在答題卡的對應位置。
17．（8分）（1）解不等式，并在數(shù)軸上表示出它的解集．
（2）先化簡，再求值：，其中．
18．（8分）某社區(qū)為了增強居民節(jié)約用水的意識，隨機調查了部分家庭一年的月均用水量（單位：t）．根據(jù)調查結果，繪制出如下的統(tǒng)計圖1和圖2．
請根據(jù)相關信息，解答下列問題：
（1）本次接受調查的家庭有 個，圖1中m的值為 ；
（2）求這組月均用水量數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（3）請你給這個社區(qū)的居民提出一條節(jié)約用水的具體建議．
19．（8分）某數(shù)學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度CD．如圖所示，一架水平飛行的無人機在A處測得河流左岸C處的俯角為α，無人機沿水平線AF方向繼續(xù)飛行12米至B處，測得河流右岸D處的俯角為30°，線段AM＝24米為無人機距地面的鉛直高度，點M，C，D在同一條直線上，其中tanα＝2．求河流的寬度CD（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）．
20．（11分）網(wǎng)絡銷售是一種重要的銷售方式．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)貿(mào)公司新開設了一家網(wǎng)店，銷售當?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品．其中一種當?shù)靥禺a(chǎn)在網(wǎng)上試銷售，其成本為每千克10元．公司在試銷售期間，調查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（kg）與銷售單價x（元）滿足如圖所示的函數(shù)關系（其中10＜x≤30）
（1）求出y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）當14＜x≤30時，設每天銷售該特產(chǎn)的利潤為W元，則銷售單價x為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
21．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上一點，連接AD并延長，交過B點的切線于點C，點E是弧AD上一點，連接AE，DE，BD．
（1）求證：∠AED﹣∠DBC＝90°；（請用兩種方法解答）
（2）連接OE，交AD于點F，若AC垂直平分OE，AB＝4，求四邊形OEDB的面積．
22．（12分）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點，連接DE，DF，EF，G是DE上一點．
（1）如圖1，連接GF，當∠EGF＝90°，AE＝CF，∠EDF＝40°時，求∠EFG的度數(shù)；
（2）如圖2，連接CG，CG與DF相交于點H．且AE＝3BE，BF＝CF，DG＝4GE．
①求證：CG∥EF；
②若AB＝4，∠A＝60°，求GC的長．
23．（13分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3，與x軸交于A（﹣2，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．
（1）求此拋物線的解析式及頂點的坐標；
（2）點E在線段OC上，連接AE并延長，交拋物線于點M，若△AEO與△MEO的面積比為2：1．
①求直線AM的解析式；
②過點C作直線CD∥AM，交拋物線于點D，求MD的長度；
（3）點F在線段OC上，連接BF并延長，交拋物線于點N，連接AN并延長，交y軸于點H，若OH﹣2OF＝1，求點N的坐標．
2024年內蒙古包頭四十九中中考數(shù)學三模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共有10小題，每小題3分，共30分。每小題只有一個正確選項，請將答題卡上對應題目答案標號涂黑。
1．（3分）下列實數(shù)中最大的是（ ）
A．|﹣4|B．（﹣5）0C．﹣（﹣2）D．2﹣2
【解答】解：|﹣4|＝4，（﹣5）0＝1，﹣（﹣2）＝2，2﹣2＝，
∵4，
∴選項A中的|﹣4|是最大的，
故選：A．
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．D．（a+b）2＝a2+b2
【解答】解：A、2a+3b無法計算，故此選項錯誤；
B、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故此選項錯誤；
C、+＝2+＝3，正確；
D、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故此選項錯誤；
故選：C．
3．（3分）如圖，是由6個同樣大小的正方體擺成的幾何體，將正方體①移走后，所得幾何體（ ）
A．主視圖改變，左視圖改變
B．俯視圖不變，左視圖不變
C．俯視圖改變，左視圖改變
D．主視圖改變，左視圖不變
【解答】解：將正方體①移走前的主視圖正方形的個數(shù)為1，2，1；正方體①移走后的主視圖正方形的個數(shù)為1，2；主視圖發(fā)生改變．
將正方體①移走前的左視圖正方形的個數(shù)為2，1，1；正方體①移走后的左視圖正方形的個數(shù)為2，1，1；左視圖沒有發(fā)生改變．
將正方體①移走前的俯視圖正方形的個數(shù)為1，3，1；正方體①移走后的俯視圖正方形的個數(shù)，1，3；俯視圖發(fā)生改變．
故選：D．
4．（3分）如圖，E島在A島的北偏東46°方向，E島在C島的北偏西44°方向，則∠AEC的度數(shù)為（ ）
A．96°B．94°C．92°D．90°
【解答】解：過點E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠FEA＝∠BAE＝46°，∠FEC＝∠DCE＝44°，
∴∠AEC＝∠FEA+∠FEC＝46°+44°＝90°，
故選：D．
5．（3分）對于實數(shù)a，b定義運算“※”為a※b＝b2﹣ab，例如3※2＝22﹣3×2＝﹣2．若關于x的方程3※x＝﹣m沒有實數(shù)根，則m的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【解答】解：3※x＝﹣m，
則x2﹣3x＝﹣m，
故x2﹣3x+m＝0，
∵關于x的方程3※x＝﹣m沒有實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4m＜0，
解得：m＞，
∴m的值可以是3．
故選：A．
6．（3分）在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4．若隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次取出小球標號的和等于5的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果情況如下：
共有12種可能出現(xiàn)的結果，其中“和為5”的有4種，
∴P（和為5）＝＝．
故選：C．
7．（3分）如圖，點C，D在以AB為直徑的半圓上，且∠ADC＝120°，點E是上任意一點，連接BE、CE．則∠BEC的度數(shù)為（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【解答】解：連接BD，如圖
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BEC＝∠BDC＝30°．
故選：B．
8．（3分）若直線y＝﹣x+2與直線y＝x+3b的交點坐標為（a，b），則a﹣b的值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：∵直線y＝﹣x+2與直線y＝x+3b的交點坐標為（a，b），
∴，
解得，
∴a﹣b＝4﹣（﹣2）＝6；
故選：C．
9．（3分）如圖，平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，點B的對應點B'的坐標是（ ）
A．（﹣，3）B．（﹣3，）C．（﹣，2+）D．（﹣1，2+）
【解答】解：如圖，過點B′作B′H⊥y軸于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cs60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（﹣，3），
故選：A．
10．（3分）已知拋物線y＝x2+（m+1）x+m，當x＝1時，y＞0，且當x＜﹣2時，y的值隨x值的增大而減小，則m的取值范圍是（ ）
A．m＞﹣1B．m＜3C．﹣1＜m≤3D．3＜m≤4
【解答】解：依題意得：
解得﹣1＜m≤3．
故選：C．
二、填空題：本大題共有6小題，每小題3分，共18分。請把答案填在答題卡上對應的橫線上。
11．（3分）化簡：（x+1）2﹣2x＝ ．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x
＝x2+1．
故答案為：x2+1
12．（3分）如圖，把△ABC沿AB邊平移到△DEF的位置，邊BC與DF交于點H，設△HDB的面積為S1，四邊形ADHC的面積為S2，若S1：S2＝4：5，AB＝4，則此三角形移動的距離AD為 ．
【解答】解：由平移的性質得DH∥AC，
∴△BDH∽△BAC，
∴，
即，
∵S1：S2＝4：5，
∴，
∴，
∵AB＝4，
∴BD＝，
∴AD＝AB＝BD＝4﹣＝，
故答案為：．
13．（3分）設x1，x2是方程x2﹣2x﹣35＝0的兩個實根，則代數(shù)式的值為 ．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣35＝0的兩個實根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣35，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+70＝74．
故答案為：74．
14．（3分）如圖，點A在雙曲線y＝（x＞0）上，過點A作AC⊥x軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于點B，當AC＝1時，△ABC的周長為 ．
【解答】解：∵OA的垂直平分線交OC于點B，
∴OB＝AB，
∴C△ABC＝AB+BC+CA＝OB+BC+CA＝OC+CA．
∵點A在雙曲線y＝（x＞0）上，AC＝1，
∴點A的坐標為（，1），
∴C△ABC＝OC+CA＝+1．
故答案為：+1．
15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E為BC的中點，連接AE．DE．以E為圓心，EB長為半徑畫弧，分別與AE，DE交于點M，N．則圖中陰影部分的面積為 （結果保留π）．
【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E為BC的中點，
∴BE＝CE＝2，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴陰影部分的面積為﹣2×＝4﹣π．
故答案為：4﹣π．
16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC和CD上，下列結論：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；④；④．其中正確的結論是 .（填寫所有正確結論的序號）
【解答】解：①∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∵△AEF為等邊三角形，
∴AE＝EF＝AF＝2，∠EAF＝60°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，
故結論①正確；
②∵∠DAB＝90°，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAB﹣∠EAF＝30°，
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝75°，
故結論②正確；
③連接AC交EF于H，如圖所示：
在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵△AEF為等邊三角形，
∴AH⊥EF，EH＝FH＝2EF＝1，
在Rt△AEH中，由勾股定理得：AH＝＝，
∵CE＝CF，∠BCD＝90°，
∴△CEF為等腰直角三角形，
又∵CH⊥EF，
∴CH＝EH＝FH＝1/2EF＝1，
∴AC＝AH+CH＝，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
即，
∴AB＝，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝，
在Rt△CEH中，由勾股定理得：CE＝＝，
∴BE＝BC﹣CE＝＝，
∴DF＝BE＝，
∴BE+DE＝+＝，
故結論③不正確；
④∵AB＝，
∴正方形的面積為：，
故結論④正確，
綜上所述：正確的結論是①②④．
故答案為：①②④．
三、解答題：本大題共有7小題，共72分。請將必要的文字說明、計算過程或推理過程寫在答題卡的對應位置。
17．（8分）（1）解不等式，并在數(shù)軸上表示出它的解集．
（2）先化簡，再求值：，其中．
【解答】解：（1）去分母，得3（x+1）﹣（4x﹣5）＞6，
去括號，得3x+3﹣4x+5＞6，
移項，得3x﹣4x＞6﹣3﹣5，
合并同類項，得﹣x＞﹣2，
系數(shù)化為1，得x＜2，
在數(shù)軸上表示解集為：
（2）原式＝?
＝?
＝，
當x＝+1時，原式＝＝1+．
18．（8分）某社區(qū)為了增強居民節(jié)約用水的意識，隨機調查了部分家庭一年的月均用水量（單位：t）．根據(jù)調查結果，繪制出如下的統(tǒng)計圖1和圖2．
請根據(jù)相關信息，解答下列問題：
（1）本次接受調查的家庭有 個，圖1中m的值為 ；
（2）求這組月均用水量數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（3）請你給這個社區(qū)的居民提出一條節(jié)約用水的具體建議．
【解答】解：（1）本次接受調查的家庭個數(shù)為：8÷16%＝50（個），
m%＝×100%＝20%，即m＝20；
故答案為：50，20；
（2）∵6出現(xiàn)了16次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6，
將這組數(shù)數(shù)據(jù)從小到大排列，其中處于中間的兩個數(shù)都是6，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是＝6；
（3）可用淘米水澆花等（答案不唯一）．
19．（8分）某數(shù)學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度CD．如圖所示，一架水平飛行的無人機在A處測得河流左岸C處的俯角為α，無人機沿水平線AF方向繼續(xù)飛行12米至B處，測得河流右岸D處的俯角為30°，線段AM＝24米為無人機距地面的鉛直高度，點M，C，D在同一條直線上，其中tanα＝2．求河流的寬度CD（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）．
【解答】解：過點B作BE⊥MD于點E．則四邊形AMEB是矩形．
∴BE＝AM＝24，ME＝AB＝12米，
∵AF∥MD，
∴∠ACM＝α．
在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，
∴tanα＝＝2，
∴＝2，
∴MC＝12米，
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝90°﹣30°＝60°，
∴tan∠DBE＝，
∴tan60°＝＝，
∴DE＝24＝72（米），
CD＝DE﹣CE＝DE﹣（MC﹣ME）＝72﹣（12﹣12）＝84﹣12≈84﹣12×1.7＝84﹣20.4＝64（米）．
答：河流的寬度CD約為64米．
20．（11分）網(wǎng)絡銷售是一種重要的銷售方式．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)貿(mào)公司新開設了一家網(wǎng)店，銷售當?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品．其中一種當?shù)靥禺a(chǎn)在網(wǎng)上試銷售，其成本為每千克10元．公司在試銷售期間，調查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（kg）與銷售單價x（元）滿足如圖所示的函數(shù)關系（其中10＜x≤30）
（1）求出y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）當14＜x≤30時，設每天銷售該特產(chǎn)的利潤為W元，則銷售單價x為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
【解答】解：（1）由圖象知，當10＜x≤14時，y＝640；
當14＜x≤30時，設y＝kx+b，
將（14，640），（30，320）代入得，
解得，
∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝﹣20x+920；
綜上所述，y＝；
（2）當14＜x≤30時，W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，
∵﹣20＜0，14＜x≤30，
∴當x＝28時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是6480元．
21．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上一點，連接AD并延長，交過B點的切線于點C，點E是弧AD上一點，連接AE，DE，BD．
（1）求證：∠AED﹣∠DBC＝90°；（請用兩種方法解答）
（2）連接OE，交AD于點F，若AC垂直平分OE，AB＝4，求四邊形OEDB的面積．
【解答】（1）證明方法一：∵BC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，
∴BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠ABD，
∵∠AED+∠ABD＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠ABD，
∴∠AED﹣∠DBC＝180°﹣∠ABD﹣（90°﹣∠ABD）＝90°；
證明方法二：如圖1，連接BE，則∠BED＝∠BAD，
∵AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，
∴BC⊥AB，
∴∠AEB＝∠ADB＝∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝∠BAD＝90°﹣∠ABD，
∴∠BED＝∠DBC，
∵∠AED﹣∠BED＝∠AEB＝90°，
∴∠AED﹣∠DBC＝90°．
（2）解：如圖2，連接OD，
∵AC垂直平分OE，
∴OA＝AE，OD＝DE，∠OFD＝90°，
∵OA＝OE＝OD，
∴OA＝AE＝OE，OD＝DE＝OE，
∴△AOE和△DOE都是等邊三角形，
∴∠AOE＝∠DOE＝60°，
∵OD＝OB，∠BOD＝180°﹣2×60°＝60°，
∴△BOD是等邊三角形，
∴OB＝DB＝OD＝OE＝DE，
∴四邊形OEDB是菱形，
∵AB＝4，
∴OE＝OD＝AB＝2，
∴OF＝EF＝OE＝1，
∴DF＝＝＝，
∴S四邊形OEDB＝OE?DF＝2×＝2，
∴四邊形OEDB的面積是2．
22．（12分）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點，連接DE，DF，EF，G是DE上一點．
（1）如圖1，連接GF，當∠EGF＝90°，AE＝CF，∠EDF＝40°時，求∠EFG的度數(shù)；
（2）如圖2，連接CG，CG與DF相交于點H．且AE＝3BE，BF＝CF，DG＝4GE．
①求證：CG∥EF；
②若AB＝4，∠A＝60°，求GC的長．
【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，
∵∠EDF＝40°，
∴∠DEF＝∠DFE＝×（180°﹣∠EDF）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵∠EGF＝90°，
∴∠EFG＝90°﹣∠DEF＝90°﹣70°＝20°，
∴∠EFG的度數(shù)是20°；
（2）①證明：延長CG交AB于M，
設菱形ABCD的邊長為m，則AB＝CD＝m，BF＝CF＝m，
∵AE+BE＝AB＝m，AE＝3BE，
∴3BE+BE＝m，
∴BE＝m，
∵AB∥CD，
∴△EGM∽△DGC，
∴＝＝4，
∴EM＝m，
∴BE＝EM，
∵BF＝CF，
∴EF是△BCM的中位線，
∴EF∥CG；
②解：過C作CP⊥AB交AB的延長線于P，
∴∠A＝60°，AD∥BC，
∴∠A＝∠CBP＝60°，
∴PB＝＝×4＝2，CP＝BC＝2，
∴PM＝AB＝4，
∴CM＝＝2，
由①知，△EGM∽△DGC，
∴＝，
∴CG＝CM＝×2＝．
23．（13分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3，與x軸交于A（﹣2，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．
（1）求此拋物線的解析式及頂點的坐標；
（2）點E在線段OC上，連接AE并延長，交拋物線于點M，若△AEO與△MEO的面積比為2：1．
①求直線AM的解析式；
②過點C作直線CD∥AM，交拋物線于點D，求MD的長度；
（3）點F在線段OC上，連接BF并延長，交拋物線于點N，連接AN并延長，交y軸于點H，若OH﹣2OF＝1，求點N的坐標．
【解答】解：（1）由題意得：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），
則﹣6a＝3，則a＝﹣，
則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+3；
拋物線的對稱軸為直線x＝，則頂點坐標為：（，）；
（2）①若△AEO與△MEO的面積比為2：1，
則xM＝OA＝1，
則點M（1，3），
設直線AM的表達式為：y＝k（x﹣1）+3，
將點A的坐標代入上式得：0＝k（﹣2﹣1）+3，則k＝1，
則直線AM的表達式為：y＝x+2；
②∵CD∥AM，
則兩條直線表達式中的k值均為1，
則直線CD的表達式為：y＝x+3，
聯(lián)立上式和拋物線表達式得：x+3＝﹣x2+x+3，
解得：x＝0（舍去）或﹣1，
即點D（﹣1，2），
由點MD的坐標得，MD＝＝；
（3）設點N（m，﹣m2+m+3），
由點B、N的坐標得，直線BN的表達式為：y＝﹣（m+2）（x﹣3），
則點F（0，1.5m+3），
同理可得，點H（0，﹣m+3），
∵OH﹣2OF＝1，
則﹣m+3﹣2（1.5m+3）＝1，
解得：m＝1，
即點N（﹣1，2）．
聲明：試題解析著作權屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/8/6 8:14:13；用戶：19944531502；郵箱：19944531502；學號：54883509

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