2025年高考數(shù)學一輪復習-9.3-隨機事件的概率與古典概型-專項訓練【含答案】

這是一份2025年高考數(shù)學一輪復習-9.3-隨機事件的概率與古典概型-專項訓練【含答案】，共11頁。
1．為調(diào)查我校學生的用電情況，學校后勤部門抽取了100間學生宿舍在某月的用電量，發(fā)現(xiàn)每間宿舍的用電量都在50 kW·h到350 kW·h之間，將其分組為[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)為降低能源損耗，節(jié)約用電，規(guī)定：當每間宿舍的月用電量不超過200 kW·h時，按每度0.5元收取費用；當每間宿舍的月用電量超過200 kW·h時，超過部分按每千瓦時1元收取費用．用t(單位： kW·h)表示某宿舍的月用電量，用y(單位：元)表示該宿舍的月用電費用，求y與t之間的函數(shù)關系式；
(2)在抽取的100間學生宿舍中，月用電量在區(qū)間[200，250)內(nèi)的學生宿舍有多少間？
2．某學校為了了解老師對“民法典”知識的認知程度，針對不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識競答，滿分100分(95分及以上為認知程度高)，結果認知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25)，第二組：[25，30)，第三組：[30，35)，第四組：[35，40)，第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這m人年齡的第75百分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取40人，擔任“民法典”知識的宣傳使者．
①若有甲(年齡23)，乙(年齡43)2人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第一組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人恰有一人被選上的概率；
②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計這m人中35～45歲所有人的年齡的方差．
3．某校設置了籃球挑戰(zhàn)項目，現(xiàn)在從本校學生中隨機抽取了60名男生和40名女生共100人進行調(diào)查，統(tǒng)計出愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況，具體數(shù)據(jù)如圖表：
(1)根據(jù)條件完成下列2×2列聯(lián)表：
(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析該校學生是否愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關；
(3)挑戰(zhàn)項目共有兩關，規(guī)定：挑戰(zhàn)過程依次進行，每一關都有兩次機會挑戰(zhàn)，通過第一關后才有資格參與第二關的挑戰(zhàn)，若甲參加第一關的每一次挑戰(zhàn)通過的概率均為12，參加第二關的每一次挑戰(zhàn)通過的概率均為13，且每輪每次挑戰(zhàn)是否通過相互獨立．記甲通過的關數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．
參考公式與數(shù)據(jù)：
χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋b＋c＋d.
4．馬爾可夫鏈是因俄國數(shù)學家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第n＋1次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關，與第n－1，n－2，n－3，…次狀態(tài)是“沒有任何關系的”．現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球．從兩個盒子中各任取一個球交換，重復進行n(n∈N*)次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為Xn，甲盒中恰有1個黑球的概率為an，恰有2個黑球的概率為bn.求：
(1)X1的分布列；
(2)數(shù)列{an}的通項公式；
(3)Xn的期望．
5．為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗．研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只，假設小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立．
(1)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及α＝0.05的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關．
(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體．
①用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p；
②以①中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進行人體接種試驗，記n個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量X.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當X ＝99時，P(X)取最大值，求參加人體接種試驗的人數(shù)n.
參考公式：χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋b＋c＋d.
6．為了拓展學生的知識面，提高學生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學生良好的科學素養(yǎng)，某校組織學生參加航空航天科普知識答題競賽，每位參賽學生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分；從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得10分．學生甲參加答題競賽，每次答對的概率為34，各次答題結果互不影響．
(1)求甲前3次答題得分之和為40分的概率；
(2)記甲第i次答題所得分數(shù)Xi(i∈N*)的數(shù)學期望為E(Xi)．
①寫出E(Xi－1)與E(Xi)滿足的等量關系式；
②若E(Xi)>100，求i的最小值．
參考答案
1．解：(1)根據(jù)題意，得當50≤t≤200時，月用電費用為y＝0.5t；
當t>200時，月用電費用為y＝200×0.5＋(t－200)×1＝t－100.
綜上，宿舍的月用電費用為y＝0.5t，50≤t≤200，t?100，t>200．
(2)因為月用電量在[200，250)內(nèi)的頻率為50x＝1－(0.006 0＋0.003 6＋0.002 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1－0.015 6×50＝0.22，所以月用電量在[200，250)內(nèi)的宿舍有100×0.22＝22(間)．
2．解：(1)不妨設第75百分位數(shù)為a，
此時5×(0.01＋0.07＋0.06)＋(a－35)×0.04＝0.75，
解得a＝36.25.
(2)由條件可知，第一、二、三、四、五組應分別抽取2人，14人，12人，8人，4人．
①第一組應抽取2人，記為A，甲，
第五組抽取4人，記為B，C，D，乙，
此時對應的樣本空間為Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，甲)，(A，乙)，(B，C)，(B，D)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(D，甲)，(D，乙)，(甲，乙)}，共15個樣本點，
記“甲、乙兩人恰有一人被選上”為事件M，
此時M＝{(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(D，甲)，(D，乙)}，共8個樣本點，
則甲、乙兩人恰有一人被選上的概率P(M)＝815.
②設第四組，第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為x，y，方差分別為s2，s′2，
此時x＝36，y＝42，s2＝1，s′2＝2，
設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為z，方差為s″2，
此時z＝8x12+4y12＝8×36+4×4212＝38，
s″2＝8s2+x?z2+4s'2+y?z212
＝81+36?382+42+42?38212＝283，
故這m人中35～45歲所有人的年齡的方差為283.
3．解：(1)根據(jù)條件得2×2列聯(lián)表如表所示．
(2)零假設為H0：該校學生是否愿意接受挑戰(zhàn)與性別無關，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝100×15×20?20×45235×65×60×40≈6.5933.841＝x0.05，
根據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，推斷H0不成立，
即認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關，以此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.
(2)①令事件A＝“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，
事件B＝“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，
事件C＝“小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”，
記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為P(A)，P(B)，P(C)，
則P(A)＝160200＝0.8，P(B|A)＝2040＝0.5，
P(C)＝1－P(A B)＝1－P(A)P(B|A)＝1－0.2×0.5＝0.9，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p＝0.9.
②由題意，知隨機變量X～B(n，0.9)，
P(X＝k)＝Cnk×0.9k×0.1n－k(k＝0，1，2，…，n)，
因為P(X＝99)最大，
所以Cn99×0.999×0.1n?99≥Cn98×0.998×0.1n?98，Cn99×0.999×0.1n?99≥Cn100×0.9100×0.1n?100，
解得109≤n≤11019，
因為n是整數(shù)，所以n＝109或n＝110，
所以接受接種試驗的人數(shù)為109或110.
6．解：(1)甲前3次答題得分之和為40分的事件A是：甲前3次答題中僅只答對一次的事件，
所以甲前3次答題得分之和為40分的概率P(A)＝C31×34×1?342＝964.
(2)①甲第1次答題得20分，10分的概率分別為34，14，則E(X1)＝20×34＋10×14＝352，甲第2次答題得40分，20分，10分的概率分別為34×34，14×34，14，
則E(X2)＝40×34×34＋20×14×34＋10×14＝1154，顯然E(X2)＝220×34+10×14×34＋10×14＝32E(X1)＋52，
當i≥2，i∈N*時，甲第i－1次答題所得分數(shù)Xi－1的數(shù)學期望為E(Xi－1)，
因此第i次答對題所得分數(shù)為2E(Xi－1)，答錯題所得分數(shù)為10分，其概率分別為34，14，
于是甲第i次答題所得分數(shù)Xi的數(shù)學期望為E(Xi)＝2E(Xi－1)×34＋10×14＝32E(Xi－1)＋52，
所以E(Xi－1)與E(Xi)滿足的等量關系式是E(Xi)＝32E(Xi－1)＋52，i≥2，i∈N*，且E(X1)＝352.
②由①知，E(X1)＝352，當i≥2，i∈N*時，E(Xi)＋5＝32[E(Xi－1)＋5]，而E(X1)＋5＝452，
因此數(shù)列{E(Xi)＋5}是以452為首項，32為公比的等比數(shù)列，E(Xi)＋5＝452×32i?1＝15×32i，
于是E(Xi)＝15×32i－5，由15×32i－5>100得：32i>7，顯然數(shù)列32i是遞增數(shù)列，
而324＝81167，則有正整數(shù)imin＝5，
所以i的最小值是5
性別
接受挑戰(zhàn)情況
合計
愿意
不愿意
男生
女生
合計
α
0.1
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
抗體
指標值
合計
小于60
不小于60
有抗體
沒有抗體
合計
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
性別
接受挑戰(zhàn)情況
合計
愿意
不愿意
男生
15
45
60
女生
20
20
40
合計
35
65
100
X
0
1
2
P
14
13
512
X1
0
1
2
P
29
59
29
抗體
指標值
合計
小于60
不小于60
有抗體
50
110
160
沒有抗體
20
20
40
合計
70
130
200