一、選擇題
1．復(fù)數(shù)的虛部是( )
A.5B.C.5iD.
2．每年的3月15日是“國(guó)際消費(fèi)者權(quán)益日”，某地市場(chǎng)監(jiān)督局在當(dāng)天對(duì)某市場(chǎng)的20家肉制品店、100家糧食加工品店和15家乳制品店進(jìn)行抽檢，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽檢54家，則糧食加工品店需要被抽檢( )
A.40家B.45家C.50家D.55家
3．向量在向量上的投影向量為( )
A.B.C.D.
4．一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：3，4，5，6，7，9，12，14，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為( )
A.6.5B.7C.9D.12
5．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則( )
A.B.C.D.
6．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是( )
A.若，，則
B.若，，，則
C.若，，，則
D.若，，，則
7．如圖，在平行四邊形中，E、F分別是邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是( )
A.B.C.D.
8．如圖，已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為( ).
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知角A，B，C是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有( )
A.B.
C.若，則D.若，則
10．人均可支配收入和人均消費(fèi)支出是兩個(gè)非常重要的經(jīng)濟(jì)和民生指標(biāo)，常被用于衡量一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和群眾生活水平.下圖為2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)圖，據(jù)此進(jìn)行分析，則( )
A.2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入逐年遞增
B.2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出逐年遞增
C.2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差比人均消費(fèi)支出的極差大
D.2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為20379元
11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)E在線段上，F(xiàn)，M分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.B.當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，
C.三棱錐的體積為定值D.直線到平面的距離為
三、填空題
12．已知，則________.
13．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)________.
14．某同學(xué)為測(cè)量塔的高度，選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高_(dá)_______m.
四、解答題
15．如圖為長(zhǎng)方體與半球拼接的組合體，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為10，8，15（單位：cm），球的半徑為3cm，求該組合體的體積和表面積.（，）
16．某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員某日隨機(jī)抽取了100個(gè)該配件的質(zhì)量指標(biāo)值（單位：分）作為一個(gè)樣本，得到如下所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
（1）求出m的值；
（2）求樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和第75百分位數(shù)；
（3）若樣本質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間內(nèi)的平均數(shù)和方差為67和51，在區(qū)間內(nèi)的平均數(shù)和方差為77和21，據(jù)此估計(jì)在內(nèi)的平均數(shù)和方差.
17．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，解答下列問(wèn)題，三個(gè)條件為：
①；②；③.
（1）求角A的大??；
（2）若，，求的值.
18．如圖，P是平面外一點(diǎn)，四邊形是矩形，平面，，.E是的中點(diǎn).
（1）求證：平面
（2）求證：平面平面；
（3）求與平面所成角的正弦值.
19．歐拉（1707-1783），他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來(lái)，兩個(gè)超越數(shù)——自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，圓周率，兩個(gè)單位——虛數(shù)單位和自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請(qǐng)你根據(jù)歐拉公式：，解決以下問(wèn)題：
（1）將復(fù)數(shù)表示成（，i為虛數(shù)單位）的形式；
（2）求的最大值；
（3）若，則，這里，稱為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根.類比立方差公式，我們可以獲得，復(fù)數(shù)，，求的值.
參考答案
1．答案：B
解析：復(fù)數(shù)的虛部是.
故選：B.
2．答案：A
解析：根據(jù)分層隨機(jī)抽樣定義和計(jì)算方法，可得糧食加工品店被抽檢家.
故選：A.
3．答案：A
解析：由向量，，可得，且，
則向量在向量上的投影向量為.
故選：A.
4．答案：D
解析：因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第7個(gè)數(shù)12.
故選：D.
5．答案：C
解析：由正弦定理，則，
又，所以，所以，
所以.
故選：C
6．答案：D
解析：若，，則或，所以A錯(cuò)；，，，，或，所以B錯(cuò)；
若，，，則，所以C錯(cuò)；若，，，則n與兩面的交線m平行，即，故D對(duì).
故選：D.
7．答案：D
解析：對(duì)A：由題意知，E、F分別是邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且與方向相同，則，故A正確；
對(duì)B：由圖可知，，，所以，
故B正確；
對(duì)C：，故C正確；
對(duì)D：，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
8．答案：C
解析：
連接，取的中點(diǎn)O，連接，，
因?yàn)镋為棱的中點(diǎn)，所以，
即異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，
在中，，，，
則，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C.
9．答案：ACD
解析：對(duì)于A中，在中，因?yàn)?，可得，所以A正確；
對(duì)于B中，由，可得，所以B不正確；
對(duì)于C中，因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，所以C正確；
對(duì)于D中，因?yàn)?，可得，由正弦定理得，所以D正確.
故選：ACD.
10．答案：AC
解析：對(duì)于A，由題中折線圖知人均可支配收入逐年遞增，A正確；
對(duì)于B，由題中折線圖知，2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出先增后減再增，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為元，
人均消費(fèi)支出的極差為元，C正確；
對(duì)于D，2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為元，D錯(cuò)誤.
故選：AC
11．答案：ABC
解析：連接，正方體中，且，四邊形為平行四邊形，則，
因?yàn)镕，M分別是，的中點(diǎn)，所以，故正確;
連接，正方體中，.
當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，由于，所以，由于，所以，故B正確;
，在三棱錐中，底面積為定值，
棱錐的高等于是定值，三棱錐的體積為定值，則三棱錐體積為定值，故C正確;
連接，，由于，平面，平面，所以平面，
同理可證平面，，平面，故平面平面，
平面，所以直線平面平行，
故直線到平面的距離，即為點(diǎn)B到平面的距離，設(shè)距離為h，
，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．答案：
解析：由可得，，則.
故答案為：.
13．答案：
解析：，由得，解得.
故答案為：.
14．答案：
解析：因?yàn)樵谥校?，，?br>所以，
由正弦定理得，即，解得，
在中，，所以，
故塔高.
故答案為：.
15．答案：體積為，表面積.
解析：該組合體的體積為：，
該組合體的表面積為：.
16．答案：（1）；
（2）76.5，85；
（3）74，51
解析：（1）由題意知，解得，
（2）樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為，
前3組的頻率之和為，前4組的頻率之和為，
故第75百分位數(shù)位于第4組，設(shè)其為t，
則，解得，
即第75百分位數(shù)為85.
（3）已知在區(qū)間內(nèi)的平均數(shù)和方差為67和51，
在區(qū)間內(nèi)的平均數(shù)和方差為77和21，
則在在內(nèi)的平均數(shù)，
在在內(nèi)的方差.
估計(jì)在內(nèi)的平均數(shù)為74，方差為51.
17．答案：（1）所選條件見(jiàn)解析，；
（2）12
解析：（1）若選①：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
且，則，可得，
且，所以；
若選②：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>且，則，可得，
且，所以；
若選③：因?yàn)椋?br>則，可得
且，則，可得，
且，所以.
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得：，
又，，
即，解得.
18．答案：（1）證明見(jiàn)解析；
（2）證明見(jiàn)解析；
（3）
解析：（1）證明：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE.
四邊形是矩形O為BD的中點(diǎn)，
又E是的中點(diǎn)..
又平面，平面，
平面；
（2）證明：平面，且四邊形是矩形，
，，又，平面；
，平面；又平面，
平面平面；
（3）設(shè)AD的中點(diǎn)為H，連結(jié)EH、CH，
平面，，平面，
EC是平面的斜線，HC是EC在平面內(nèi)的射影，
即為斜線EC和平面所成的角.
在矩形中，，，，
又，在中，，
與平面所成角的正弦值為.
19．答案：（1）；
（2）2；
（3）11
解析：（1）由歐拉公式有
.
（2）由于，，故，
而當(dāng)時(shí)，有.
故的最大值是.
（3）由于，故，而，所以.
故
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）.
所以.

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