一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．在線性回歸模型中,能說明模型的擬合效果越好的是( )
A.殘差圖越寬B.殘差平方和越小
C.決定系數(shù)越小D.相關(guān)系數(shù)r越大
3．設(shè)隨機變量,,這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示,則( )
A.B.
C.D.
4．已知函數(shù),若,則a的值可以為( )
A.B.C.D.
5．設(shè)函數(shù),,若的最小值為,則的最大值為( )
A.B.C.0D.
6．甲、乙、丙、丁4名同學(xué)去聽同時舉行的3個課外知識講座,每名同學(xué)可自由選擇聽其中的1個講座,若甲、乙兩名同學(xué)不聽同一個講座,則不同選擇的種數(shù)是( )
A.30B.36C.54D.60
7．“”是“關(guān)于x的不等式有整數(shù)解”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
8．已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若,且,,則的解集為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．若,則( )
A. B.C. D.
10．如圖,我國傳統(tǒng)珠算算具算盤每個檔（掛珠的桿）上有7顆算珠,用梁隔開,梁上面2顆叫上珠,下面5顆叫下珠,若從某一檔的7顆算珠中任選3顆,記上珠的個數(shù)為X,下珠的個數(shù)比上珠的個數(shù)多Y,則( )
A.B.C.D.
11．五一假期過后,車主小王選擇去該市新開的A,B兩家共享自助洗車店洗車.已知小王第一次去A,B兩家洗車店洗車的概率分別為和,如果小王第一次去A洗車店,那么第二次去A洗車店的概率為;如果小王第一次去B洗車店,那么第二次去A洗車店的概率為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.小王第一次去B洗車店,第二次也去洗車店的概率為
B.小王第二次去B洗車店的概率比第二次去A洗車店的概率大
C.若小王第二次去了A洗車店,則他第一次去A洗車店的概率為
D.若小王第二次去了B洗車店,則他第一次去A洗車店的概率為
三、填空題
12．由數(shù)據(jù),,,可得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為,若,則_________.
13．已知正數(shù)x,y滿足,則的最小值為____________.
14．設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足,,且時,,則方程在區(qū)間上所有實數(shù)根的和為___________.
四、解答題
15．某餐館為了解顧客對某一新菜品的喜好程度是否與年齡有關(guān),隨機調(diào)查了品嘗過該菜品的100位顧客,得到下面列聯(lián)表：
(1)根據(jù)上表,分別估計青年人、中老年人喜歡該菜品的概率;
(2)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗,判斷顧客對該菜品的喜好程度與年齡是否有關(guān)聯(lián).
附：,其中.
16．已知.
(1)求n的值;
(2)求的值;
(3)求的值.（結(jié)果用數(shù)字表示）
17．已知函數(shù)的定義域為R.
(1)求a的取值范圍;
(2)當時,判斷的奇偶性,并解關(guān)于t的不等式.
18．有一個摸獎游戲,在一個口袋中裝有3個紅球和3個白球,這些球除顏色外完全相同,游戲規(guī)定：每位參與者進行n次摸球,每次從袋中一次性摸出兩個球,如果每次摸出的兩個球顏色相同即為中獎,顏色不同即為不中獎,有兩種摸球方式：一是每次摸球后將球均不放回袋中,直接進行下一次摸球,中獎次數(shù)記為X;二是每次摸球后將球均放回袋中,再進行下一次摸球,中獎次數(shù)記為Y.
(1)求第一次摸球就中獎的概率;
(2)若,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)若,函數(shù)隨機變量,求Z的數(shù)學(xué)期望.
19．已知函數(shù).
(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若的導(dǎo)函數(shù)滿足恒成立.
(1)求a的值;
(2)討論零點的個數(shù).
參考答案
1．答案：D
解析：或,所以,
則.
故選：D.
2．答案：B
解析：殘差圖越寬,模型的擬合效果越差,故A錯誤;
殘差平方和越小,模型的擬合效果越好,故B正確;
決定系數(shù)越小,說明模型的擬合效果越差,故C錯誤;
相關(guān)系數(shù)越大,兩個變量的線性相關(guān)性越強,故D錯誤;
故選：B.
3．答案：D
解析：X的密度曲線的對稱軸在Y的密度曲線的對稱軸的左邊,即.
X的密度曲線較為分散,Y的密度曲線較為集中,即,故AB錯誤;
因為,所以C錯誤;
因為,所以D正確;
故選：D.
4．答案：A
解析：,,
當時,,,
當時,,因為,
所以,,
故選：A.
5．答案：B
解析：由,,得,
由,得,由,得,
所以在上遞減,在上遞增,
所以,
因為的最小值為,所以,
所以,,
因為,,
所以的最大值為.
故選：B.
6．答案：C
解析：根據(jù)題意,首先甲在3個講座中選擇一個,然后乙在剩余的兩場講座中選擇一個,最后丙、丁分別在3個講座中選擇一個,
所以若甲、乙兩名同學(xué)不聽同一個講座,則不同選擇的種數(shù)是.
故選：C.
7．答案：C
解析：函數(shù),的圖象如下圖所示：
由圖可知,時,不等式無整數(shù)解,
當時,必是不等式整數(shù)解,
即“”是“關(guān)于x的不等式有整數(shù)解”的充要條件.
故選：C.
8．答案：D
解析：構(gòu)造函數(shù),,
,即函數(shù)在上R單調(diào)遞減,
等價于,解得.
即的解集為.
故選：D.
9．答案：ACD
解析：A選項,,故,即,
不等式兩邊同除以得,A正確;
B選項,不妨令,,則,,此時,B錯誤;
C選項,若,則,
因為在R上單調(diào)遞增,所以,
若,則,故,所以,故,
綜上,,C正確;
D選項,若,則,,
若,則,故,D正確.
故選：ACD.
10．答案：BCD
解析：由題意知,.
,
,
則,,故A錯誤,B正確;
由題意知,.
,,
,,
故CD正確;
故選：BCD.
11．答案：AC
解析：記第i次去A洗車店為,第i次去B洗車店為,
由題意可知,,,
,,
對于A：,故A正確;
對于B：,
,故B錯誤;
對于C：,故C正確;
對于D：,故D錯誤;
故選：AC.
12．答案：32
解析：依題意,,由,得,解得,
所以.
故答案為：32.
13．答案：9
解析：因為,
則
因為,,所以,,
則原式,當即,時,取等號.
所以的最小值為9.
故答案為：9.
14．答案：6
解析：當時,,
即當時,函數(shù)關(guān)于對稱.
因為,所以的周期為2,
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減,
且時,;時,.
方程等價于,
令,易知函數(shù)關(guān)于1,0對稱,函數(shù),的圖象如下圖所示：
由圖可知,函數(shù)與在區(qū)間上只有6個交點,
不妨設(shè)交點的橫坐標從小到大分別為,,,,,
則由對稱性可知,,
即方程在區(qū)間上所有實數(shù)根的和為6.
故答案為：6.
15．答案：(1)青年人、中老年人喜歡該菜品的概率分別為,.
(2)見解析
解析：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),青年人共有50人,喜歡該菜品的有35人,
設(shè)“青年人喜歡該菜品”為事件A,則.
中老年人共有50人,喜歡該菜品的有25人,
設(shè)“中老年喜歡該菜品”為事件B,則.
所以估計青年人、中老年人喜歡該菜品的概率分別為,.
(2)零假設(shè)：顧客對該菜品的喜好程度與年齡無關(guān).
依題意,得,
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗,推斷成立,
即顧客對該菜品的喜好程度與年齡有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.
16．答案：(1)10;
(2)8;
(3)660.
解析：(1)在中,
令,得,所以.
(2)在中,
令x=-1,得,
所以.
(3)的展開式的通項公式,
因此.
所以.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因為函數(shù)的定義域為R,
所以恒成立,
令,則,所以在上恒成立,
即當時,恒成立,
函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以,所以.
(2)當時,,易知的定義域為R,
因為,
所以為偶函數(shù).
當時,,
令,
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,且在定義域上為增函數(shù),
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,
又因為函數(shù)在定義域上為偶函數(shù),
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
因為,
所以,即,解得.
18．答案：(1)
(2),分布列見解析
(3)
解析：(1)記“第一次摸球就中獎”為事件A,則
即第一次摸球就中獎的概率為.
(2)若,且第一次摸球后將球均不放回袋中,直接進行第二次摸球,
則X的可能取值為0,1,2.
則
則X的分布列為
所以X的數(shù)學(xué)期望為
(3)若,且每次摸球后均將球放回袋中,再進行下一次摸球,
則每次中獎相互獨立,且由(1)知每次中獎的概率均為,所以.
此時Y的可能取值為.
Z的可能取值為,,,,,,,
當時,;
當時,,當時,.
因為,
所以
又,
所以
.
所以
.
即Z的數(shù)學(xué)期望為.
19．答案：(1)見解析
(2)（i）（ii）見解析
解析：(1)時,,,,
當時,,在R上單調(diào)遞減;
當時,,
若,則時,,單調(diào)遞減;
時,,單調(diào)遞增;
若,則時,,單調(diào)遞增;
時,,單調(diào)遞減;
綜上,時,的單調(diào)減區(qū)間為,無單調(diào)增區(qū)間;
時,的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;
時,的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;
(2)（i）由,得,,
因為恒成立,所以是的最小值,
即是的極小值點.
令,
且,解得.
此時,時,,單調(diào)遞減,即單調(diào)遞減;
時,,單調(diào)遞增,即單調(diào)遞增,
所以,符合題意.
故a=2.
(ii)由（i）知,
因為,所以零點的個數(shù)等價于方程實根的個數(shù).
令,則,
所以當或時,;
當或時,,
即在和上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減,
當時,,,,所以,
又,,所以的大致圖象如圖所示:
所以當或或時,
方程恰有一個實根,零點的個數(shù)為1;
當或時,
方程恰有兩個實根,零點的個數(shù)為2;
當時,方程無實根,零點的個數(shù)為0.
顧客
對該菜品的喜好程度
合計
喜歡
不喜歡
青年人
35
15
50
中老年人
25
25
50
合計
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
X
0
1
2
P

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