2023~2024學年江蘇南京鼓樓區(qū)南京師范大學附屬中學高二上學期開學考試數(shù)學試卷
1. 已知
A.
，則
（
）
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
由并集和補集的概念即可得出結(jié)果.
【詳解】
∵
∴
，則
，
故選：C.
2. 已知復數(shù)
（ 為虛數(shù)單位），則 在復平面內(nèi)所對應的點位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案
解析
C
【分析】
由復數(shù)除法運算可求得
【詳解】
，由此可得 對應的點的坐標，進而確定結(jié)果.
，
對應的點為
故選：C.
，位于第三象限.
3. 某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本
. 若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為
A. 7
B. 15
C. 25
D. 35
答案
解析
B
試題分析：抽樣比是
考點：分層抽樣
，所以樣本容量是
．
4. 有 個完全相同的小球 ， ， ，隨機放入甲、乙兩個盒子中，則兩個盒子都不空的概率為（
A. B. C.
）
D.
答案
解析
C
【分析】
由其對立事件“兩個盒子中有一個空”的概率，得到“兩個盒子都不空”的概率.
【詳解】
先求兩個盒子中有一個空的概率為
，
所以兩個盒子都不空的概率為
故選：C.
.

5. 設 、
，則“
”是“
且
”的（
）
A. 必要不充分條件
B. 充分不必要條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
答案
解析
A
【分析】
利用特殊值法、不等式的基本性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】
充分性：取
必要性：若
因此，“
，
且
，則
，則
，但“
，則
且
”不成立，即充分性不成立；
成立，即必要性成立.
，
”是“
且
”的必要不充分條件.
故選：A.
6. 設
A.
且
，則
B.
（
）
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
先由
，用對數(shù)表示出 ，再根據(jù)
即可求出
.
【詳解】
，
，
，
，
，即
，
.
故選：D.
【點睛】
本題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，考查對數(shù)的運算和換底公式的應用，屬于基礎題.
7. 已知函數(shù)
A.
是定義在 上的偶函數(shù).
，
，且
，都有
，則不等式
的解集為（
）
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
由題意
關于直線
對稱，且
在
上單調(diào)遞增，在
關于 軸對稱，
上單調(diào)遞減，注意到
，且
，從而原不等式等價于
【詳解】
，由此即可得解.
因為函數(shù)
是定義在 上的偶函數(shù)，所以
由
，
向左平移1個單位得到
，且 ，都有
，所以
關于直線
對稱，
，
在
上單調(diào)遞增，
上單調(diào)遞減，
，且
∴
∵
∴
在
，而
，
，
，∴
，解得
∴原不等式的解集為
故選：B.
.

8. 平面四邊形
，若四面體
A.
中，
，
，
，將其沿對角線
折成四面體
，使平面
平面
頂點在同一球面上，則該球的表面積為（
B.
）
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
四面體
【詳解】
因為平面
而
頂點在同一個球面上，
和
都是直角三角形，所以
，
的中點就是球心，即可求解．
平面
平面
，且平面
，得
平面
平面
，
，而
平面
，
得
，而
，
平面
，
得
而
平面
平面
，
，得
由題意，四面體
頂點在同一個球面上，
和
都是直角三角形，
所以
的中點就是球心，又
，球的半徑為：
，
所以球的表面積為：
故選：B.
.
9. 某大學生暑假到工廠參加生產(chǎn)勞動，生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度（單位：厘米），將所得數(shù)據(jù)分成6組：
， ，得到如右所示的頻率分布直方圖，則對這100件產(chǎn)品，下列說法中正確的是（
，
，
，
，
）
A.
B. 長度落在區(qū)間
為35
內(nèi)的個數(shù) C. 長度的眾數(shù)一定落在區(qū)間
內(nèi)
D. 長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間
內(nèi)
答案
解析
ABD
【分析】
按照頻率分布直方圖含義依次判斷.
【詳解】
對于A，由頻率和為1，得
所以A正確.
，解得
，
對于B，長度落在區(qū)間
內(nèi)的個數(shù)為
，所以B正確.
對于C，頻率分布直方圖上不能判斷長度眾數(shù)所在區(qū)間，不一定落在區(qū)間
內(nèi)，所以C錯誤.
對于D，
有 個數(shù)，
內(nèi)有20個數(shù)，所以長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間 內(nèi)，所以D正確.
故選:ABD.
10. 已知
A.
，
，且
，下列不等式恒成立的有（
B.
）
C.
D.

答案
解析
BC
【分析】
對于A，D，直接給出
，
，
作為反例即可；對于B，直接證明相應不等式即可；對于C，反復使用基本不等式及配湊即可驗證不
等式成立.
【詳解】
對于A，D，注意到當
時，有
，
，且
.
但此時
，
.
故A，D錯誤；
對于B，有
，故B正確；
對于C，有
，故C正確.
故選：BC.
【點睛】
關鍵點點睛：本題的關鍵在于對基本不等式的靈活運用.
11. 已知函數(shù)
對任意
，都有
成立，且函數(shù)
是奇函數(shù)，當
時，
.則下列結(jié)論正確的是
（
）
A. 當
時，
的圖象關于點
B. 函數(shù)
D. 函數(shù)
的最小正周期為2
（ ）上單調(diào)遞減
C. 函數(shù)
（
）中心對稱
在
答案
解析
AB
【分析】
由賦值運算求出
的周期為4，可得出
，再結(jié)合圖象求解．
，
【詳解】
因為函數(shù)
即
對任意
都有
，所以
，即
，所以
，
所以
函數(shù)
故
恒成立，所以
的周期為4.
是奇函數(shù)，當
時，
.
時，
，則
.
任取
因為函數(shù)
即
，
對任意
都有
，
，
所以
.
所以
作出
，
的圖象如圖所示：
對于A.由前面的推導可得：當
對于B.函數(shù) 的圖象可以看成
把 軸上方的圖象軸下方的圖象翻折到 軸上方，
所以函數(shù) 的最小正周期為2，故B正確；
時，
.故A正確；
的圖象 軸上方的圖象保留，

對于C.由圖象可知：函數(shù)
的圖象關于點
（
）中心對稱，故C錯誤；
單調(diào)遞增.故D錯誤.
對于D.作出
的圖像如圖所示，在
上函數(shù)
故選：AB.
12. (多選題)連接球面上兩點的線段稱為球的弦，半徑為4的球的兩條弦AB，CD的長度分別等于2
，4
，M，N分別為AB，CD的中點，每條弦
D. MN的最小值為1
的兩端都在球面上運動，則（
A. 弦AB，CD可能相交于點M
）
B. 弦AB，CD可能相交于點N
C. MN的最大值為5
答案
解析
ACD
【分析】
據(jù)題意，由球的弦與直徑的關系，可以求出兩條弦AB，CD到球心的距離，進而得到MN最大值．
【詳解】
∵球的半徑為4，兩條弦
，
的長度分別為
，
，
球心到弦
球心到弦
當
的距離為
的距離為
，
.
三點共線，
且
分別在O兩側(cè)時，
最大，且最大值為5，在球心的同側(cè)時，MN的最小值為3－2＝1，
因為3>2，所以AB，CD可交于AB的中點M，不可交于CD的中點N；
故選：ACD.
13. 若直線 過點
，且在兩坐標軸上截距相等，則直線 的方程為
．
答案
解析
或
【分析】
由題意可得直線 的斜率存在，設直線 為
值，從而可求出直線 的方程.
【詳解】
，然后分別求出直線在兩坐標軸上的截距，再由截距相等列方程可求出 的
由題意可得直線 的斜率存在，設直線 為
，
當
當
時，
時，
，
，
因為直線 在兩坐標軸上截距相等，
所以
解得
，化簡得
，
，
或
所以直線 為
或
，
即
或
，
故答案為：
或
14. 在封閉的直三棱柱
內(nèi)有一個體積為 的球，若
，
，
，則 的最大值是
．
，
答案
解析
【詳解】
試題分析：由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切，設球的半徑為 ，∵
的內(nèi)切圓半徑為
，

∴
，又
考點：內(nèi)切球體積
【思想點睛】空間幾何體與球接、切問題的求解方法
，∴
，∴
.
(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面
幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．
(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個
2
2
2
2
球內(nèi)接長方體，利用4R ＝a ＋b ＋c 求解．
15. 已知函數(shù)
（
且
），若函數(shù)
的圖象上有且僅有一組點關于 軸對稱，則 的取值范圍是
.
答案
解析
【分析】
由題意只需當
【詳解】
，且
時，函數(shù)
的圖象上有且僅有1個點關于 軸對稱即可，在這里分
和
討論即可求解.
易得
時已有一個點關于 軸對稱，故只需當
時，如圖所示，
，且
時，函數(shù)
的圖象上有且僅有1個點關于 軸對稱即可.
一方面：由題意，
函數(shù)
的圖象上有且僅有一組點
關于 軸對稱，
其中點 為函數(shù)
注意到函數(shù)
的圖象與函數(shù)
的圖象與函數(shù)
的交點，
的圖象關于 軸對稱，
所有點 關于 軸的對稱點也在函數(shù)
的圖象上，
而這樣的點 是唯一的，故點 也隨之確定，
即
時，函數(shù)
的圖象上有且僅有一組點關于 軸對稱，故
的圖象與函數(shù)
滿足題意；
另一方面：
時，函數(shù)
的圖象關于 軸對稱，
則只需
，∴
，
綜上所述， 的取值范圍是
.
故答案為：
.
16. 在
中，角
、
、
的對邊分別為 、 、 ，設
的面積為 ，若
，則
的最大值為
．
答案
解析
【分析】
根據(jù)題中條件利用余弦定理進行簡化，運用均值不等式求
【詳解】
的范圍，然后由面積公式化簡為三角函數(shù)，求最值即可.
由題知
，
則
，當且僅當
時取等號.
，
，
而

.
故答案為：
17. 已知 ， ， 是同一平面內(nèi)的三個向量，其中
.
(1)若
(2)若
，且
，且
，求 的坐標；
垂直，求 與 的夾角 .
與
答案
(1)
(2)
，或
解析
【分析】
（1）由向量的共線定理求解；
（2）由向量垂直的坐標公式及數(shù)量積應用求解．
【詳解】
（1）∵
∴設
∴
；
，且
，
；
；
；
∴
；
∴
，或
（2）∵
∴
與
垂直，
，即
，
又
，
，
∴
，
∴
又
，
，
∴ 與 的夾角
.
18. 已知函數(shù)
(1)求函數(shù)
.
的值域；
，求
(2)若
的值.
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
（1）直接將表達式化為
（2）先利用
，即可求出值域；
證明
，然后根據(jù)已知條件求出結(jié)果.
【詳解】
（1）由于
，
故
的值域是
.
（2）由于
所以
，故
.
.
19. 某場知識競賽比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是 ，甲、丙兩個家庭都回答錯
誤的概率是 ，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是 ，若各家庭回答是否正確互不影響.
(1)求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；
(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率.

答案
解析
(1)
(2)
， ；
【分析】
（1）令甲、乙、丙家庭回答正確分別為事件
、
、
，由
，
，
根據(jù)相互獨立事件性質(zhì)可求解；
（2）令甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題為事件 ，即三個家庭中有一個家庭回答錯誤或者三個家庭都回答正確
則：
，代入第一問數(shù)據(jù)即可.
【詳解】
（1）設甲、乙、丙家庭回答正確分別為事件
、
、
，
根據(jù)題意，則有
又
，則
，
，所以
，所以
，即
，
又
.
所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率分別為
和 .
（2）設甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題為事件
則有
，
.
，
所以甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率為
20. 已知函數(shù)
性質(zhì)
，
，若函數(shù)
在定義域內(nèi)存在實數(shù) ，使得
成立，則稱函數(shù)
具有
.
(1)判斷函數(shù)
是否具有性質(zhì) ？并說明理由；
(2)證明：函數(shù)
具有性質(zhì)
.
答案
解析
(1)否，理由見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)定義使用反證法證明即可；
（2）使用零點存在定理證明.
【詳解】
（1）由于
，故對任意
都有
.
所以
不具有性質(zhì) .
（2）由于
，
，
故存在實數(shù) ，使得
因為
.
，所以存在實數(shù) 使得
.
所以函數(shù)
具有性質(zhì) .
21. 如圖，在直四棱柱
點．
中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,"AA =2, E、E 、F分別是棱AD、AA 、AB的中
（Ⅰ）證明：直線
（Ⅱ）求二面角
∥平面
；
的余弦值

答案
解析
（Ⅱ）
【分析】
【詳解】
解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D 中，取A B 的中點F ，
1
1 1
連接A D，C F ，CF ，因為AB="4," CD=2,且AB//CD，
1
1
1 1
所以CDA F ，A F CD為平行四邊形，所以CF //A D，
1
1 1
1 1
1
又因為E、E 分別是棱AD、AA 的中點，所以EE //A D，
1
1
所以CF //EE ，又因為
1
平面FCC ，
平面FCC ，
1
所以直線EE //平面FCC .······6分
（2）因為AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點O,則OB⊥CF,又因為直四棱柱ABCD-A B
C D 中,CC ⊥平面ABCD,所以CC ⊥BO,所以OB⊥平面CC F,過O在平面CC F內(nèi)作OP⊥C F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC -C的一個
1
1
1
1
1
平面角, 在△BCF為正三角形中,
··········11分
,在Rt△CC F中, △OPF∽△CC F,∵
1
∴
,
1
在Rt△OPF中,
,
,所以
二面角B-FC -C的余弦值為
.·······14分
22. 設
(1)求 的大??；
(2)若 ，求
的三個內(nèi)角
所對的邊分別為
且
.
的取值范圍.
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
（1）用正弦定理化邊為角，然后使用三角恒等變換求解；
（2）先證明
【詳解】
（1）由
，然后驗證
能取遍
上的全體實數(shù)，即可說明
的取值范圍是
.
及正弦定理得
.
而
，故
.
所以
，得
，故
.
，所以由
（2）一方面，由余弦定理得
，
得
.
故
，同時
，可選取
，故
.
構成符合條件的三角形，且
另一方面，對任意
，
，

.
所以
的取值范圍是
.

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