注意事項：
1.考生要認真填寫姓名和考號.
2.本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題），滿分150分，考試時間120分鐘.
3.試題有答案必須填涂或書寫在答題卡的對應位置，在試卷上作答無效.第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答.
4.考試結(jié)束后，考生應將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回.
第一部分（選擇題共40分）
一?選擇題：共10道小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 在復平面內(nèi)，復數(shù)對應點的坐標是，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知向量，若，則實數(shù)（ ）
A. B. 1C. D. 4
3. 下列函數(shù)中，周期是，又是奇函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象
A. 向左平移個單位長度B. 向右平移個單位長度
C. 向左平移個單位長度D. 向右平移個單位長度
5. 在中，角所對的邊分別為，若，則角為（ ）
A. B. C. 和D. 和
6. （ ）
A. B. C. 0D. 1
7. 已知在中，，則判斷的形狀（ ）
A. 銳角三角形B. 鈍角三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
8. 已知是兩條不重合直線，是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
9. 設(shè)非零向量，則“”是“或”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 即不充分也不必要條件
10. 已知向量，向量，且，點在以原點為圓心，2為半徑的圓上，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非選擇題共110分）
二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 設(shè)復數(shù)滿足，則__________．
12. 已知角終邊經(jīng)過點，則____________________.
13. 已知圓錐的母線長為4，軸截面是一個頂角為的等腰三角形，則該圓錐的體積為__________.
14. “塹堵”最早的文字記載見于《九章算術(shù)》“商功”章.《九章算術(shù)·商功》劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬；其一為鱉臑.其中“塹堵”是一個長方體沿不在同一面上的相對兩棱斜解所得的三棱柱，如圖，長方體的長為3，寬為4，高為5，若塹堵中裝滿水，當水用掉一半時，水面的高為__________.
15. 設(shè)函數(shù)，則下列選項中所有正確選項序號__________.
①當時，的最小正周期為；
②若對任意的實數(shù)都成立，則的最小正數(shù)為；
③將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于原點對稱，則；
④函數(shù)的圖象與直線相交，若存在相鄰兩個交點間的距離為，則的所有可能值為2，4.
三?解答題：共6道小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 已知向量
（1）若，求及的值；
（2）若與平行，求實數(shù)的值；
（3）若與的夾角為，求實數(shù)的值.
17. 如圖，已知正方體邊長為2.

（1）證明：平面；
（2）證明：；
（3）求三棱錐的體積.
18. 在中，
（1）求值；
（2）求角和的面積.
19. 已知函數(shù)
從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在且唯一.
條件①：；
條件②：在區(qū)間單調(diào)，且；
條件③：函數(shù)相鄰兩個零點間的距離為.
選__________作條件
（1）求值；
（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值及對應的的值.
20. 如圖1，在中，分別為中點.將沿折起到的位置（與不重合），連，如圖2.

（1）求證：平面平面；
（2）若平面與平面交于過直線，求證；
（3）線段上是否存在點，使得平面，若存在，指出點位置并證明；若不存在，說明理由.
21. 在平面直角坐標系中，定義向量為函數(shù)的有序相伴向量.
（1）設(shè)，寫出函數(shù)的相伴向量；
（2）若的有序相伴向量為，若函數(shù)，與直線有且僅有2個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若的有序相伴向量為，當函數(shù)在區(qū)間上時值域為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”.當時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.
懷柔區(qū)2023—2024學年度第二學期高一質(zhì)量檢測
數(shù)學
注意事項：
1.考生要認真填寫姓名和考號.
2.本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題），滿分150分，考試時間120分鐘.
3.試題有答案必須填涂或書寫在答題卡的對應位置，在試卷上作答無效.第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答.
4.考試結(jié)束后，考生應將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回.
第一部分（選擇題共40分）
一?選擇題：共10道小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 在復平面內(nèi)，復數(shù)對應點的坐標是，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由復數(shù)的乘法運算，即可求解.
【詳解】因為復數(shù)對應點的坐標是，則，
所以.
故選：A
2. 已知向量，若，則實數(shù)（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可得答案.
【詳解】若，則，解得.
故選：B.
3. 下列函數(shù)中，周期是，又是奇函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)周期公式和奇函數(shù)定義判斷各個選項；
【詳解】對于A.周期是，A錯誤；
對于B.周期是，因為是偶函數(shù)，B錯誤；
對于C.周期是，因為是偶函數(shù)，C錯誤；
對于D.周期是，又是奇函數(shù)，D正確；
故選：D.
4. 為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象
A. 向左平移個單位長度B. 向右平移個單位長度
C. 向左平移個單位長度D. 向右平移個單位長度
【答案】D
【解析】
【詳解】，據(jù)此可知，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度.
本題選擇D選項.
5. 在中，角所對的邊分別為，若，則角為（ ）
A. B. C. 和D. 和
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計算，結(jié)合三角形的大邊對大角，即可求解.
【詳解】因為，則，
由正弦定理可得，則，
，所以或，
又，所以，即為銳角，所以.
故選：A
6. （ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】逆用正弦的差角公式進行求解.
【詳解】
故選：A
7. 已知在中，，則判斷的形狀（ ）
A. 銳角三角形B. 鈍角三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理可得答案.
【詳解】由余弦定理得，
所以，
可得，所以是直角三角形.
故選：C.
8. 已知是兩條不重合直線，是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】B
【解析】
【分析】對于ACD，舉例判斷，對于B，利用面面垂直的判定定理結(jié)合已知條件分析判斷.
【詳解】對于A，如圖，當時，是異面直線，所以A錯誤，

對于B，因為，所以，
因為，所以，所以B正確，
對于C，如圖，當時，是異面直線，所以C錯誤，

對于D，如圖，當時，與，所以D錯誤，

故選：B
9. 設(shè)非零向量，則“”是“或”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 即不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合向量的運算，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷
【詳解】因為
所以，
又不能推出或；
但若“或”，則一定有，
所以“”是“或”的必要不充分條件，
故選：B.
10. 已知向量，向量，且，點在以原點為圓心，2為半徑的圓上，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得為等邊三角形，則或，設(shè)，然后分兩種情況，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算構(gòu)造函數(shù)模型，通過函數(shù)思想求解即可.
【詳解】因為，所以，
因為，，所以為等邊三角形，
因為，所以或，設(shè)，
當時，則，
所以
，
因為，所以，
所以，
所以，
當時，則，
所以
，
因為，所以，
所以，
所以
綜上，的取值范圍是.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查向量的數(shù)量積運算，考查向量的坐標運算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出的坐標，然后用坐標計算數(shù)量積，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.
第二部分（非選擇題共110分）
二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 設(shè)復數(shù)滿足，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的除法運算求解復數(shù)，即可求得模長.
【詳解】解：復數(shù)z滿足，則，
所以.
故答案為：.
12. 已知角的終邊經(jīng)過點，則____________________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的定義易得正切值和余弦值.
【詳解】依題意，，，
則
故答案為：；.
13. 已知圓錐母線長為4，軸截面是一個頂角為的等腰三角形，則該圓錐的體積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出底面的半徑和圓錐的高，再用圓錐的體積公式即可得解.
【詳解】
如圖，圖為圓錐的軸截面示意圖，由題意可得，
所以底面半徑為，圓錐的高為，
所以圓錐的體積為,
故答案為：.
14. “塹堵”最早的文字記載見于《九章算術(shù)》“商功”章.《九章算術(shù)·商功》劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬；其一為鱉臑.其中“塹堵”是一個長方體沿不在同一面上的相對兩棱斜解所得的三棱柱，如圖，長方體的長為3，寬為4，高為5，若塹堵中裝滿水，當水用掉一半時，水面的高為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直三棱柱及直四棱柱求出體積，由題意建立方程求解即可.
【詳解】由題意，塹堵的體積，
當水用掉一半時，由相似可得充滿水的直四棱柱底面梯形的上底長滿足
，解得，
所以直四棱柱的體積，
即，解得或（舍去）.
故答案為：
15. 設(shè)函數(shù)，則下列選項中所有正確選項的序號__________.
①當時，的最小正周期為；
②若對任意的實數(shù)都成立，則的最小正數(shù)為；
③將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于原點對稱，則；
④函數(shù)的圖象與直線相交，若存在相鄰兩個交點間的距離為，則的所有可能值為2，4.
【答案】②③④
【解析】
【分析】先化簡，對于①，用求周期公式即可判斷；對于②，根據(jù)題意可得過圖象的最高點，從而列方程可求解；對于③，圖象變換得到新的解析式，奇函數(shù)性質(zhì)可解；；對于④，結(jié)合圖像和函數(shù)周期性即可得解.
【詳解】,
對于①，當時，的最小正周期為，故①錯誤；
對于②，因為對任意的實數(shù)都成立，即過圖象的最高點，
所以滿足方程，即
所以的最小正數(shù)為，故②正確；
對于③，因為的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，
所以
因為的圖象關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，
所以，解得，故③正確；
對于④，因為函數(shù)的圖象與直線相交，所以，
設(shè)一對相鄰三個交點對應的橫坐標為
不妨令
解得
因為相鄰兩個交點間的距離為，所以，解得；
，解得，
根據(jù)的周期性可知，滿足題意的的所有可能值為2，4. 故④正確；
故答案為：②③④.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于②的關(guān)鍵是根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)過圖象的最高點，從而列方程可解；對于③的關(guān)鍵是通過圖像變換得到新的解析式，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到從而得解，對于④的關(guān)鍵是圖象交點問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題，然后取特殊的三個相鄰交點的橫坐標，根據(jù)函數(shù)的周期性發(fā)現(xiàn)相鄰兩個交點間的距離為只有兩種情況，從而得解.
三?解答題：共6道小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 已知向量
（1）若，求及的值；
（2）若與平行，求實數(shù)的值；
（3）若與的夾角為，求實數(shù)的值.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用數(shù)量積的坐標運算求解，先求出的坐標，再求其模；
（2）先求出的坐標，再由兩向量平行列方程求解；
（3）利用向量的夾角公式直接列方程求解即可.
【小問1詳解】
當時，，
所以，
所以；
【小問2詳解】
因為，所以，
因為與平行，所以，解得；
【小問3詳解】
因為與的夾角為，，
所以，
所以，解得.
17. 如圖，已知正方體邊長為2.

（1）證明：平面；
（2）證明：；
（3）求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由線面平行的判定定理，即可證明；
（2）根據(jù)題意，由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；
（3）根據(jù)題意，由等體積法代入計算，即可求解.
【小問1詳解】

在正方體中，連接交于，連接，交于，
連接，則，且平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
因為為正方體，則平面，且平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，所以.
【小問3詳解】
.
18. 在中，
（1）求值；
（2）求角和的面積.
【答案】（1）
（2），的面積為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角和二倍角公式可得，再利用余弦定理計算得出結(jié)果；
（2）根據(jù)余弦定理推論計算得出角；再根據(jù)三角形面積公式計算的結(jié)果；
【小問1詳解】
在中，由正弦定理得
因為，所以，
由余弦定理得，代入，
解得或（舍）
【小問2詳解】
由余弦定理推論得，
因為，所以角；
因此的面積為.
19. 已知函數(shù)
從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在且唯一.
條件①：；
條件②：在區(qū)間單調(diào)，且；
條件③：函數(shù)相鄰兩個零點間的距離為.
選__________作為條件
（1）求值；
（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值及對應的的值.
【答案】（1）
（2）當時，；當時，
【解析】
【分析】先化簡，（1）若選條件，分別求解，舍掉不滿足存在且唯一，逐一檢驗即可得解，（2）由（1）得到解析式，求出相位范圍即可求解.
【小問1詳解】
，
若選條件①，,，即，無解，不合題意；
若選條件②，因為，
所以且
所以過圖象的最高點，過圖象的最低點，
又因為在區(qū)間單調(diào)，所以
解得，
當時，，
當時，，所以在區(qū)間不單調(diào)，不符合題意，所以；
若選條件③， 因為相鄰兩個零點間的距離為，
所以，即，又，解得，不合題意；
綜上，；
【小問2詳解】
由（1）知，
當時，，
所以，當時，；
當時，.
20. 如圖1，在中，分別為的中點.將沿折起到的位置（與不重合），連，如圖2.

（1）求證：平面平面；
（2）若平面與平面交于過的直線，求證；
（3）線段上否存在點，使得平面，若存在，指出點位置并證明；若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明見解析. （2）證明見解析.
（3）在線段上存在點，即為的中點,使得平面.
【解析】
【分析】（1）先證明，根據(jù)線面垂直的判斷定理得平面，再由面面垂直的判斷定理即可證明；
（2）先證明平面，再由平面，且平面平面，根據(jù)線面平行性質(zhì)得.
（3）線段上存在點，即為的中點，取中點，連接，證明平面，再由四點在同一個平面得到平面.
【小問1詳解】
因為在中，分別為中點，
所以，
將翻折到的位置后，即，
因為平面，平面，
所以平面，
因為平面，
所以平面平面.
【小問2詳解】
因為在中，分別為中點，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
又因為平面，且平面平面，
所以.
【小問3詳解】
在線段上存在點，即為中點，使得平面.
證明如下：
取中點，連接，
由（1）可知，平面，
因為平面，
所以，
因為為中點，
所以，即為等腰三角形，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
因為為的中點，即，
所以四點在同一個平面.
所以平面.

21. 在平面直角坐標系中，定義向量為函數(shù)的有序相伴向量.
（1）設(shè)，寫出函數(shù)的相伴向量；
（2）若的有序相伴向量為，若函數(shù)，與直線有且僅有2個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若有序相伴向量為，當函數(shù)在區(qū)間上時值域為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”.當時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）或
（3）答案見詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩角差的正弦公式即可求解；
（2）畫出的圖像以及直線的圖像，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍；
（3）結(jié)合函數(shù)圖像，對進行分類討論即可求解.
【小問1詳解】
因為，
所以函數(shù)的相伴向量；
【小問2詳解】
若的有序相伴向量為，則，
所以，
如圖所示，
當，
；
由圖像可知，若函數(shù)與直線有且僅有2個不同的交點，則或；
【小問3詳解】
若的有序相伴向量為，則，
當時，，
當時，假設(shè)存在是否存在“和諧區(qū)間”，則由，得，
①若，則由，知，與值域矛盾，故存在“和諧區(qū)間”，
②同理，時，也，不存在；
下面討論
③若，則，故的最小值為，于是，所以，所以的最大值為，故，此時的定義域為，值域為，符合題意，
④若，
當時，同理可得，舍去，
當時，在 上單調(diào)遞減，
所以，于是，
若，即，，故，，
與矛盾，
若，同理，矛盾，
所以，即，
由圖像可知，當時，，
因為，所以，從而，從而，矛盾，
綜上所述，有唯一“和諧區(qū)間”.
【點睛】此題為向量和三角函數(shù)相結(jié)合的新定義問題；主要把握住它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系即可，熟記三角恒等變換的有關(guān)公式；求取值范圍轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合解決問題.

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