2024年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

親愛的同學(xué)：
在你答題前，請認(rèn)真閱讀下面的注意事項(xiàng)：
1．本試卷全卷共6頁，三大題，滿分120分．考試用時(shí)120分鐘．
2．答題前，請將你的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在“答題卡”相應(yīng)位置，并在“答題卡”背面左上角填寫姓名和座位號(hào)．
3．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆將“答題卡”上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答在“試卷”上無效．
4．答非選擇題時(shí)，答案用0.5毫米黑色筆跡簽字筆書寫在“答題卡”上．答在“試卷”上無效．
5．認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)．
預(yù)祝你取得優(yōu)異成績！
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
下列各題中有且只有一個(gè)正確答案，請?jiān)诖痤}卡上將正確答案的標(biāo)號(hào)涂黑．
1. 現(xiàn)實(shí)世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性．下列漢字是軸對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了軸對稱圖形的識(shí)別，根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A，B，D選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
C選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：C．
2. 小美和小好同學(xué)做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時(shí)出相同的手勢，這個(gè)事件是（）
A. 隨機(jī)事件B. 不可能事件C. 必然事件D. 確定性事件
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【詳解】解：兩人同時(shí)出相同的手勢，，這個(gè)事件是隨機(jī)事件，
故選：A．
3. 如圖是由兩個(gè)寬度相同的長方體組成的幾何體，它的主視圖是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了三視圖的知識(shí)，熟知主視圖是從物體的正面看到的視圖是解題的關(guān)鍵．按照主視圖的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：從正面看該幾何體，下面是一個(gè)大長方形，上面疊著一個(gè)小長方形，
故選：B．
4. 國家統(tǒng)計(jì)局2024年4月16日發(fā)布數(shù)據(jù)，今年第一季度國內(nèi)生產(chǎn)總值接近億元，同比增長，國家高質(zhì)量發(fā)展取得新成效．將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對值大于與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
【詳解】解：，
故選：C．
5. 下列計(jì)算正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了完全平方公式，積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法等，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方，完全平方公式運(yùn)算法則分別判斷即可．
【詳解】解：A. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. ，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
C. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：B．
6. 如圖，一個(gè)圓柱體水槽底部疊放兩個(gè)底面半徑不等的實(shí)心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了函數(shù)圖象；根據(jù)題意，分3段分析，即可求解．
【詳解】解：下層圓柱底面半徑大，水面上升塊，上層圓柱底面半徑稍小，水面上升稍慢，再往上則水面上升更慢，
所以對應(yīng)圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩，第三段比第二段緩．
故選：D．
7. 小美同學(xué)按如下步驟作四邊形：①畫；②以點(diǎn)為圓心，個(gè)單位長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，；③分別以點(diǎn)，為圓心，個(gè)單位長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；④連接，，．若，則的大小是（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖可得四邊形是菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：作圖可得
∴四邊形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
故選：C．
8. 經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，這三種可能性大小相同．若兩輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口，則至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是運(yùn)用樹狀圖求概率，運(yùn)用樹狀圖法確定所有情況數(shù)和符合題意情況數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．
運(yùn)用樹狀圖法確定所有情況數(shù)和符合題意情況數(shù)，然后用概率公式解答即可．
【詳解】解：列樹狀圖如圖所示，
共有9種情況，至少一輛車向右轉(zhuǎn)有5種，
∴至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是，
故選：D．
9. 如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，則的半徑是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延長至點(diǎn)E，使，連接，連接并延長交于點(diǎn)F，連接，即可證得，進(jìn)而可求得，再利用圓周角定理得到，結(jié)合三角函數(shù)即可求解．
【詳解】解：延長至點(diǎn)E，使，連接，連接并延長交于點(diǎn)F，連接，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴
∴
∵
∴，
∴是的直徑，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴，,
∵
∴
又∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，小好同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(diǎn)中心對稱．若點(diǎn)，，，……，，都在函數(shù)圖象上，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從開始依次增加，則的值是（）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本題坐標(biāo)規(guī)律，求函數(shù)值，中心對稱的性質(zhì)，根據(jù)題意得出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求，根據(jù)題意可得，，即可求解．
【詳解】解：∵這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從開始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
當(dāng)時(shí)，，即，
∵關(guān)于點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)為，
即當(dāng)時(shí)，，
∴，
故選：D．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
下列各題不需要寫出解答過程，請將結(jié)果直接填寫在答題卡指定的位置．
11. 中國是世界上最早使用負(fù)數(shù)的國家．負(fù)數(shù)廣泛應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中，例如，若零上記作，則零下記作_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．
【詳解】解：零上記作，則零下記作．，
故答案為：．
12. 某反比例函數(shù)具有下列性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，寫出一個(gè)滿足條件的k的值是__________．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，當(dāng)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，當(dāng)，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．直接根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)寫出符合條件的的值即可．
【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴
故答案為：1（答案不唯一）．
13. 分式方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題關(guān)鍵．首先等號(hào)兩邊同時(shí)乘以完成去分母，再按照去括號(hào)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)的步驟求解，檢驗(yàn)即可獲得答案．
【詳解】解：，
等號(hào)兩邊同時(shí)乘以，得，
去括號(hào)，得，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解，
所以，該分式方程的解為．
故答案為：．
14. 黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù)．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測量黃鶴樓的高度，具體過程如下：如圖，將無人機(jī)垂直上升至距水平地面的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為，底端B的俯角為，則測得黃鶴樓的高度是__________m．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】51
【解析】
【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．延長交距水平地面的水平線于點(diǎn)D，根據(jù)，求出，即可求解．
【詳解】解：延長交距水平地面的水平線于點(diǎn)D，如圖，
由題可知，，
設(shè)，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案為：51．
15. 如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．直線交正方形的兩邊于點(diǎn)，，記正方形的面積為，正方形的面積為．若，則用含的式子表示的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】作交于點(diǎn)，不妨設(shè)，設(shè)，通過四邊形是正方形，推出，得到，然后證明，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，得到，從而表示出，的長度，最后利用和表示出正方形和的面積，從而得到．
【詳解】解：作交于點(diǎn)，不妨設(shè)，設(shè)
四邊形是正方形
在和中，，
由題意可知，
正方形的面積，
正方形的面積
【點(diǎn)睛】本題考查了弦圖，正方形的性質(zhì)，等角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的面積，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并能畫出合適的輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
16. 拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：
①；
②若，則；
③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)解；
④點(diǎn)，在拋物線上，若，，總有，則．
其中正確的是__________（填寫序號(hào)）．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對稱軸，即可判斷①，根據(jù)，兩點(diǎn)之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過得出，代入頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，求得縱坐標(biāo)的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對稱軸，解不等式，即可求解．
【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．
∴對稱軸為直線，，
∵，
∴，故①錯(cuò)誤，
∵
∴，即，兩點(diǎn)之間距離大于
又∵
∴時(shí)，
∴若，則，故②正確；
③由①可得，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為
設(shè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為
∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，
∴
∴
∴
∵，，對稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，而，
∴關(guān)于x的一元二次方程無解，故③正確；
④∵，拋物線開口向下，點(diǎn)，在拋物線上，，，總有，
又，
∴點(diǎn)離較遠(yuǎn)，
∴對稱軸
解得：，故④正確．
故答案為：②③④．
三、解答題（共8小題，共72分）
下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形．
17. 求不等式組的整數(shù)解．
【答案】整數(shù)解為：
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，進(jìn)而求得整數(shù)解．
【詳解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組解集為：，
∴整數(shù)解：
18. 如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，．
（1）求證：；
（2）連接．請?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形是平行四邊形．（不需要說明理由）
【答案】（1）見解析（2）添加（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定；
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，結(jié)合已知條件可得，即可證明；
（2）添加，依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴即，
在與中，
，
∴；
【小問2詳解】
添加（答案不唯一）
如圖所示，連接．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．
19. 為加強(qiáng)體育鍛煉，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校在“陽光體育一小時(shí)”活動(dòng)中組織九年級學(xué)生定點(diǎn)投籃技能測試，每人投籃次，投中一次計(jì)分．隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績作為樣本，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖表．
測試成績頻數(shù)分布表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）直接寫出，的值和樣本的眾數(shù)；
（2）若該校九年級有名學(xué)生參加測試，估計(jì)得分超過分的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1），，眾數(shù)為分
（2）該校九年級有名學(xué)生參加測試，估計(jì)得分超過分的學(xué)生人數(shù)為人
【解析】
【分析】本題考查了樣本估計(jì)總體，求眾數(shù)，頻數(shù)分布表與扇形統(tǒng)計(jì)圖；
（1）根據(jù)成績?yōu)榉值娜藬?shù)除以占比，求得的值，根據(jù)成績?yōu)榉值娜藬?shù)的占比，求得，進(jìn)而求得，即可得出的值；
（2）根據(jù)得分超過分的學(xué)生的占比乘以，即可求解．
【小問1詳解】
解：依題意，（人），（人），（人），
∴，
∴，
∵分的人數(shù)為個(gè)，出現(xiàn)次數(shù)最多，
∴眾數(shù)為分，
【小問2詳解】
解：（人）
答：該校九年級有名學(xué)生參加測試，估計(jì)得分超過分的學(xué)生人數(shù)為人.
20. 如圖，為等腰三角形，是底邊的中點(diǎn)，腰與半圓相切于點(diǎn)，底邊與半圓交于，兩點(diǎn)．
（1）求證：與半圓相切；
（2）連接．若，，求的值．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形三線合一，角平分線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）連接、，作交于，根據(jù)等腰三角形三線合一可知，，平分，結(jié)合與半圓相切于點(diǎn)，可推出，得證；
（2）由題意可得出，根據(jù)，在中利用勾股定理可求得的長度，從而得到的長度，最后根據(jù)即可求得答案．
【小問1詳解】
證明：連接、，作交于，如圖
為等腰三角形，是底邊的中點(diǎn)
，平分
與半圓相切于點(diǎn)
由
是半圓的切線
【小問2詳解】
解：由（1）可知，
，
，
又，
在中，，
，
解得：
21. 如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫線不得超過三條．
（1）在圖（1）中，畫射線交于點(diǎn)D，使平分的面積；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在射線上畫點(diǎn)E，使；
（3）在圖（2）中，先畫點(diǎn)F，使點(diǎn)A繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C，再畫射線交于點(diǎn)G；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將線段繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，畫對應(yīng)線段（點(diǎn)A與點(diǎn)M對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)N對應(yīng)）．
【答案】（1）作圖見解析
（2）作圖見解析（3）作圖見解析
（4）作圖見解析
【解析】
【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖．熟練掌握全等三角形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
（1）作矩形，對角線交于點(diǎn)D，做射線，即可；
（2）作,射線于點(diǎn)Q，連接交于點(diǎn)E，即可；
（3）在下方取點(diǎn)F，使，是等腰直角三角形，連接，，交于點(diǎn)G，即可；
（4）作，交于點(diǎn)M，作，交于點(diǎn)N，連接，即可．
【小問1詳解】
如圖，作線段，使四邊形是矩形，交于點(diǎn)D，做射線，點(diǎn)D即為所求作；
【小問2詳解】
如圖，作,作于點(diǎn)Q，連接交于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為作求作；
【小問3詳解】
如圖，在下方取點(diǎn)F，使，連接，連接并延長，交于點(diǎn)G，點(diǎn)F，G即為所求作；
【小問4詳解】
如圖，作，交射線于點(diǎn)M，作，交于點(diǎn)N，連接，線段即為所求作．
22. 16世紀(jì)中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運(yùn)行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運(yùn)行．某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過程．如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線和直線．其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級．
（1）若火箭第二級的引發(fā)點(diǎn)的高度為．
①直接寫出a，b的值；
②火箭在運(yùn)行過程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低，求這兩個(gè)位置之間的距離．
（2）直接寫出a滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過．
【答案】（1）①，；②
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）①將代入即可求解；②將變?yōu)椋纯纱_定頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出，進(jìn)而求得當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的x的值，然后進(jìn)行比較再計(jì)算即可；
（2）若火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離為，求得，即可求解．
【小問1詳解】
解：①∵火箭第二級的引發(fā)點(diǎn)的高度為
∴拋物線和直線均經(jīng)過點(diǎn)
∴，
解得，．
②由①知，，
∴
∴最大值
當(dāng)時(shí)，
則
解得，
又∵時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，
則
解得
∴這兩個(gè)位置之間的距離．
【小問2詳解】
解：當(dāng)水平距離超過時(shí)，
火箭第二級的引發(fā)點(diǎn)為，
將，代入，得
，
解得，
∴．
23. 問題背景：如圖（1），在矩形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，求證：．
問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，與交于點(diǎn)，求證：．
問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．

【答案】問題背景：見解析；問題探究：見解析；問題拓展：
【解析】
【分析】問題背景：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，可得，即可得證；
問題探究：取的中點(diǎn)，連接，得是的中位線，根據(jù)已知條件可得平行且等于，進(jìn)而可得是平行四邊形，得，則，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，進(jìn)而可得，等量代換可得，等角對等邊，即可得證；
問題拓展：過點(diǎn)作，則四邊形是矩形，連接，根據(jù)已知以及勾股定理得出；根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合已知可得，證明垂直平分，進(jìn)而得出，證明，進(jìn)而證明，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】問題背景：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，分別是，的中點(diǎn)
∴，
即，
∴；
問題探究：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，

∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴
∴
又∵，是的中點(diǎn)，
∴
∴
∴，
∴；
問題拓展：如圖所示，過點(diǎn)作，則四邊形是矩形，連接，

∵，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是中點(diǎn)，
∴垂直平分
∴，，
在中，
∴
設(shè)，則
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
24. 拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的右邊），交軸于點(diǎn)．
（1）直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點(diǎn)作直線，交y軸于點(diǎn)．若平分線段，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，過原點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸下方），線段交拋物線于另一點(diǎn)，連接．若，求直線的解析式．
【答案】（1），，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分別令，解方程，即可求解；
（2）分別求得直線，根據(jù)得出的解析式，設(shè)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)平分線段，則的中點(diǎn)在直線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式，即可求解．
（3）過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，證明，得出，先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，設(shè)，，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出，，，進(jìn)而求得，代入，化簡后得出，即，進(jìn)而即可求解．
【小問1詳解】
解：由，
當(dāng)時(shí)，，則
當(dāng)，
解得：
∵在的右邊
∴，，
【小問2詳解】
解：設(shè)直線的解析式為
將，代入得，
解得：
∴直線的解析式為
∵
設(shè)直線的解析式為
∵在第三象限的拋物線上
設(shè)，
∴
∴
∴
設(shè)的中點(diǎn)為，則
由，，設(shè)直線的解析式為，
將代入得，
，
解得：
∴直線的解析式為，
∵平分線段，
∴在直線上，
∴
解得：（舍去）
當(dāng)時(shí)，
∴；
【小問3詳解】
解：如圖所示，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，
∴
∴
∴
∴
即
∵點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，
∴,
設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為
聯(lián)立直線與拋物線解析式可得，，
即
聯(lián)立直線與拋物線解析式可得，
即
設(shè)，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
將代入得：
∴，
∴，
∴直線解析式為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，相似三角形的性質(zhì)與判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
成績/分
頻數(shù)

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