1.復(fù)數(shù)z=|1+ 3i|1+i的虛部為( )
A. 1B. ?1C. iD. ?i
2.已知籃球運(yùn)動(dòng)員甲、乙的罰球命中率分別為0.9，0.8，且兩人罰球是否命中相互獨(dú)立.若甲、乙各罰球一次，則至少有一人命中的概率為( )
A. 0.26B. 0.28C. 0.72D. 0.98
3.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a= 6，c=3，csA=23，則b=( )
A. 3B. 1C. 1或3D. 無(wú)解
4.已知兩不同直線(xiàn)m，n與三不同平面α，β，γ，下列條件能推出α//β的是( )
A. α⊥γ且β⊥γB. m?α，n?β，m//n
C. m⊥α 且m⊥βD. m?α，n?α，m//β，n//β
5.若D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則CB=( )
A. 2CD?CAB. 2CA?CDC. 2CD+CAD. 2CA+CD
6.已知向量a與b的夾角為120°，|a|=3，|a+b|= 13，則|b|=( )
A. 1B. 3C. 4D. 5
7.在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為( )
A. 8B. 6 2C. 8 2D. 8 3
8.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcsA+acsB=3,2acs2A+B2= 3csinA，則( )
A. C=π3 B. △ABC的外接圓半徑為2 3
C. △ABC的面積的最大值為9 34 D. △ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是(6,3+2 3]
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知一組樣本數(shù)據(jù)：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10.關(guān)于這組樣本數(shù)據(jù)，結(jié)論正確的是( )
A. 平均數(shù)為8B. 眾數(shù)為7C. 極差為6D. 中位數(shù)為8
10.湖光巖瑪珥湖，位于廣東省湛江市麻章區(qū)湖光鎮(zhèn)，是中國(guó)乃至世界最大的濕瑪珥湖，是中國(guó)瑪珥湖研究的始發(fā)點(diǎn)，也是世界瑪玶湖研究的關(guān)鍵點(diǎn).某小組計(jì)劃測(cè)量如圖所示的湖光巖瑪珥湖的東西方向的總湖長(zhǎng)，即測(cè)量湖光巖瑪珥湖湖岸的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)P，Q之間的距離，現(xiàn)在湖光巖瑪珥湖的湖岸取另外兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)M，N，測(cè)得MN=380 5米，∠PMQ=3π4，∠QMN=∠PNM=π12,∠PNQ=2π3，則( )
A. MQ=380 10米B. PM=380 5米
C. PN=380 10米D. PQ=1900米
11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 直線(xiàn)D1D與AF所成角的余弦值為13
B. 直線(xiàn)A1G與平面AEF平行
C. 點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等
D. 平面AEF截正方體所得大小兩部分的體積比為177
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則AE?BD=________．
13.若一組數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差為1，則數(shù)據(jù)2x1+4，2x2+4，?，2xn+4的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_____．
14.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書(shū)中將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為塹堵；將底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬；將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑．如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=6，AB=8，則鱉臑A1CBC1外接球的表面積為 ，陽(yáng)馬A1?BCC1B1體積的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知向量a=(1,3)，b=(?2,3)，c=(?2,m)．
(1)若a⊥(b+c)，求|c|；
(2)若ka+b與2a?b共線(xiàn)，求k的值．
16.(本小題15分)
如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，點(diǎn)E、F分別為A1C1、BC的中點(diǎn)．
(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求證：C1F//平面ABE；
(3)求三棱錐E?ABC的體積．
17.(本小題15分)
某高校承辦了奧運(yùn)會(huì)的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．
(1)求圖中a，b的值；
(2)估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的第80百分位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；
(3)從成績(jī)?cè)诘谒摹⑽褰M的志愿者中，按比例分配的分層抽樣方法隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@5人中選出兩人，求選出的兩人成績(jī)來(lái)自同一組的概率．
18.(本小題17分)
△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為a23sinA．
(1)求sinBsinC；
(2)若6csBcsC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng)．
19.(本小題17分)
如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為2 2．
(1)求A到平面A1BC的距離；
(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A?BD?C的大?。?br>參考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.A
6.C
7.C
8.D
9.BC
10.ABD
11.ABD
12.2
13.2
14.100π
64

15.解：(1)∵向量a=(1,3)，b=(?2,3)，c=(?2,m)，
∴b+c=(?4,3+m)，
∵a⊥(b+c)，
∴a?(b+c)=?4+3(3+m)=0，
解得m=?53，
∴c=(?2,?53)，
∴|c|= (?2)2+(?53)2= 613；
(2)∵向量a=(1,3)，b=(?2,3)，c=(?2,m)，
∴ka+b=(k?2,3k+3)，2a?b=(4,3)，
∵ka+b與2a?b共線(xiàn)，
∴3(k?2)?4(3k+3)=0，
解得k=?2．
16.(1)證明：∵三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，
∴BB1⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，∴BB1⊥AB，
又∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1、BC?平面B1BCC1，
∴AB⊥平面B1BCC1，
又∵AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)證明：取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)G，連接EG、FG，
又∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴FG/?/AC，且FG=12AC，
∵點(diǎn)E是A1C1的中點(diǎn)，∴EC1/?/AC，且EC1=12A1C1=12AC，
∴FG/?/EC1，且FG=EC1，
∴四邊形FGEC1為平行四邊形，∴C1F//EG，
又∵C1F?平面ABE，EG?平面ABE，∴C1F/?/平面ABE；
(3)解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB= AC2?BC2= 3，
∴三棱錐E?ABC的體積VE?ABC=13S△ABC·AA1=13×(12× 3×1)×2= 33．
17.解：(1)∵第三、四、五組的頻率之和為0.7，
∴(0.045+0.020+a)×10=0.7，解得a=0.005，
∴前兩組的頻率之和為1?0.7=0.3，即(a+b)×10=0.3，解得b=0.025．
(2)前三組頻率之和為0.75，∴第80百分位數(shù)位于[75,85)組內(nèi)，
且75+0.8?0.750.2×10=77.5，即估計(jì)第80百分位數(shù)為77.5；
估計(jì)平均數(shù)為50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5．
(3)成績(jī)?cè)诘谒摹⑽鍍山M志愿者分別有20人、5人，
按比例分層抽樣抽得第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為A，B，C，D，
第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為E，
這5人選出2人，所有情況有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，
(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)，共10種，
其中選出的兩人來(lái)自同一組的有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(B,C)，(B,D)，(C,D)，共6種，
∴選出的兩人來(lái)自同一組的概率為610=35．
18.解 ：(1)因?yàn)椤鰽BC面積S=a23sinA，且S=12bcsinA，
所以a23sinA=12bcsinA，所以a2=32bcsin2A．
由正弦定理得sin2A=32sinBsinCsin2A，
因?yàn)閟inA≠0，所以sinBsinC=23．
(2)由(1)得sinBsinC=23，csBcsC=16．
因?yàn)锳+B+C=π，所以csA=cs(π?B?C)=?cs(B+C)=sinBsinC?csBcsC=12，
又A∈(0,π)，所以A=π3，sinA= 32，csA=12，
由余弦定理得a2=b2+c2?bc=9， ①
由正弦定理得b=asinA?sinB，c=asinA?sinC，
所以bc=a2sin2A?sinBsinC=8， ②
由①②得：b+c= 33，
所以a+b+c=3+ 33，即△ABC周長(zhǎng)為3+ 33．

19.解：(1)由直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為4，可得VA1?ABC=13VA1B1C1?ABC=43，
設(shè)A到平面A1BC的距離為d，由VA1?ABC=VA?A1BC，
∴13S△A1BC?d=43，∴13×2 2?d=43，解得d= 2．
(2)連接AB1交A1B于點(diǎn)E，∵AA1=AB，∴四邊形ABB1A1為正方形，
∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，
∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，
由直三棱柱ABC?A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1=B1，
∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BB1所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∵AA1=AB，∴BC× 2AB×12=2 2，又12AB×BC×AA1=4，解得AB=BC=AA1=2，
則B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，A1(0,2,2)，D(1,1,1)，
則BA=(0,2,0)，BD=(1,1,1)，BC=(2,0,0)，
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，
則n?BA=2y=0n?BD=x+y+z=0，令x=1，則y=0，z=?1，
∴平面ABD的一個(gè)法向量為n=(1,0,?1)，
設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為m=(a,b,c)，
m?BC=2a=0m?BD=a+b+c=0，令b=1，則a=0，c=?1，
平面BCD的一個(gè)法向量為m=(0,1,?1)，
cs=1 2? 2=12，
由圖可知二面角A?BD?C的平面角為鈍角，二面角A?BD?C的大小為2π3．

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