1.已知樣本空間Ω=1,2,3,4，事件A=1,2，B=2,3，則PA∪B=( )
A. 34B. 12C. 14D. 16
2.若向量a=1,?7，則下列與向量a垂直的向量是( )
A. ?1,7B. 1,7C. 7,1D. ?7,1
3.某射手射靶5次，命中的環(huán)數(shù)分別為5，6，9，8，7，則命中環(huán)數(shù)的方差為( )
A. 2B. 2.2C. 3D. 7
4.歐拉公式eix=csx+isinx(e為自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，x∈R)建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位．根據(jù)以上內(nèi)容，可知e2π3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
5.已知1+tan15°=tanα1?tan15°，則tan2α=( )
A. ? 32B. 32C. ? 3D. 3
6.?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b2=a2+c2?4，B=π4，則?ABC的面積為( )
A. 12B. 1C. 2D. 2
7.將函數(shù)fx=sinxcsx圖象上的所有點都向左平移π5個單位長度后，再將所得函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)gx的圖象，則( )
A. gx=12sinx+2π5B. gx=12sin4x+2π5
C. gx=sinx+π5D. gx=sin4x+π5
8.已知單位圓O與x軸正半軸交于點A，點B在第二象限且在單位圓上．若OB?OA=?13，劣弧AB的中點為C，則OC=( )
A. 33, 63B. 63, 33C. 23, 53D. 53,23
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復(fù)數(shù)z=2?3i，則下列命題為真命題的有( )
A. z的虛部為?3 B. z= 13
C. z?i10=z D. 若z是關(guān)于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一個根，則p+q=9
10.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，記事件Ai=“第一次向上的點數(shù)為i”i=1,2,3,4,5,6，Bj=“第二次向上的點數(shù)為j”j=1,2,3,4,5,6，C=“兩次向上的點數(shù)之和為7”，則( )
A. PAi=16B. PB3C=19
C. A1B1與A2B2是互斥事件D. A1與C相互獨立
11.已知函數(shù)fx=sinωx+ 3csωxω>0，x∈0,π，對?x∈0,π都有m≤fx≤M，且fx的零點有且只有3個.下列選項中正確的有( )
A. M+m=0B. ω的取值范圍為83,113
C. 使fx0=M的x0有且只有2個D. 方程fx= 3的所有根之和為6π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若1?im+3i為純虛數(shù)，則實數(shù)m= ．
13.已知函數(shù)fx=csx?2sinx，當(dāng)fx取得最大值時，csx= ．
14.如圖，M到N的電路中有5個元件T1，T2，T3，T4，T5，電流能通過T1，T2，T3，T4的概率都為0.8，電流能通過T5的概率為0.9，且電流能否通過各元件相互獨立，則電流能在M與N之間通過的概率為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
某學(xué)校教研室為了解高一學(xué)生期末考試的數(shù)學(xué)成績情況，隨機抽取了120個學(xué)生，把記錄的數(shù)學(xué)成績分為5組：50,70,70,90，90,110,110,130，130,150，并繪制成了頻率分布直方圖，如圖所示：
注：90分及以上為及格．
(1)求a的值，并估計數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)及眾數(shù)；
(2)在樣本中，若采用按比例分配的分層隨機抽樣方法，從樣本中抽取數(shù)學(xué)成績不及格和及格的學(xué)生共20人，求及格的學(xué)生應(yīng)抽取多少人．
16.(本小題15分)
一個不透明的盒中有3個紅球，2個白球，5個球除顏色外完全相同．
(1)從盒中有放回地摸球，求第一次與第二次摸到的都是紅球的概率；
(2)每次從盒中任取兩個球，游戲規(guī)則：若都是紅球，則放回盒中；若有白球，則將白球換成紅球(非盒內(nèi)，且與原盒中紅球相同)，再把兩個紅球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是紅球，游戲結(jié)束．求經(jīng)過2次抽取后游戲結(jié)束的概率．
17.(本小題15分)
已知向量e1，e2滿足e1=1，e2= 3，e1與e2的夾角為5π6．
(1)求e1?e2；
(2)a=e1+2e2，b=?3e1，求csa,b的值；
(3)若e1在e2方向上的投影向量為c，求λe1?cλ∈R的最小值．
18.(本小題17分)
如圖1，天津永樂橋摩天輪是天津市的 地標(biāo)之一，又稱天津之眼，是一座跨河建設(shè)、橋輪合一的摩天輪，兼具觀光和交通功能．永樂橋摩天輪最高點距橋面121 m，轉(zhuǎn)盤直徑為110 m，設(shè)置48個均勻分布的透明座艙，開啟后逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時間為28 min.如圖2，設(shè)座艙距橋面最近的位置為點P，以軸心O為原點，與橋面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．游客從點P進(jìn)艙，游客甲、乙的位置分別用點A55csα,55sinα，B55csβ,55sinβ表示，其中α，β是終邊落在OA，OB的正角．
(1)證明：sinα?sinβ=2csα+β2sinα?β2；
(2)求游客甲的位置A距橋面的高度?m關(guān)于轉(zhuǎn)動時間tmin的函數(shù)解析式；
(3)在(2)的條件下，若游客甲、乙的座艙之間還有三個座艙，乙的位置B距橋面的高度為?′，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中?′??的最大值．
19.(本小題17分)
已知?ABC的 內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若bcsA+sinB=0，a= 3，O為平面內(nèi)一點，且滿足OA=OB=OC．
(1)求A；
(2)求AB+AC?AO的最小值；
(3)若BD=13BC，求OA+3OD的取值范圍．
參考答案
1.A
2.C
3.A
4.B
5.C
6.B
7.A
8.A
9.ABD
10.ACD
11.AC
12.?3
13. 55

15.解：(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，0.0025+0.01+0.02+a+0.005×20=1，
解得a=0.0125，
設(shè)中位數(shù)為x，因為0.0025+0.01×20=0.250.5，
所以中位數(shù)在90,110范圍內(nèi)，
則0.0025+0.01×20+x?90×0.02=0.5，解得x=102.5，
則中位數(shù)為102.5，再由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為100．
(2)由頻率分布直方圖可知，及格的 人數(shù)為0.02+0.0125+0.005×20×120=90人，
再由分層抽樣可得，及格的學(xué)生應(yīng)抽取90120×20=15人.

16.解：(1)設(shè)第一次與第二次摸到的都是紅球為事件A，
則PA=35×35=925．
(2)記3個紅球分別為a，b，c，2個白球分別為D、E，
則從盒子中任取兩個球所有可能結(jié)果為ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE共10種，
所以取到兩球都是紅球的概率為310，取到一個紅球一個白球的概率為610=35，
取得兩球都是白球的概率為110；
經(jīng)過2次抽取后盒中恰好都是紅球分兩種情況：
①第一次取出兩個紅球，概率為310，第二次取出兩個白球，概率為110，
故經(jīng)過2次抽取后盒中恰好都是紅球的概率為310×110=3100；
②第一次取出一個紅球一個白球，概率為35，第二次取出一個紅球一個白球，概率為410=25，
故經(jīng)過2次抽取后盒中恰好都是紅球的概率為35×25=625；
綜上，經(jīng)過2次抽取后盒中恰好都是紅球的概率為3100+625=27100．

17.解：(1)因為e1=1，e2= 3，e1與e2的夾角為5π6，
所以e1?e2=|e1|?|e2|cs5π6=1× 3×(? 32)=?32；
(2)因為a?b=(e1+2e2)?(?3e1)=?3e12?6e2?e1=?3?6×(?32)=6，
|a|= (e1+2e2)2= e12+4e1?e2+4e22= 1+4(?32)+4×3= 7，
|b|=|?3e1|=3，
所以csa,b=a?b|a|?|b|=63× 7=2 77．
(3)e1在e2方向上的投影向量為c=e1?e2|e2|2?e2=?323e2=?12e2，
所以λe1?c= (λe1+12e2)2= λ2e12+λe1?e2+14e22= λ2?32λ+34= (λ?34)2+316，
當(dāng)λ=34時，λe1?cλ∈R的最小值為 34．

18.解：(1)因為sinα?sinβ=sinα+β2+α?β2?sinα+β2?α?β2
=sinα+β2csα?β2+csα+β2sinα?β2?sinα+β2csα?β2?csα+β2sinα?β2=2csα+β2sinα?β2，
所以sinα?sinβ=2csα+β2sinα?β2．
(2)依題意可得P0,?55，點O到橋面的距離為66m，
又摩天輪旋轉(zhuǎn)一周所需時間為28 min，所以旋轉(zhuǎn)角速度為2π28=π14rad/min，
所以α=π14t?π2，
所以?=55sinπ14t?π2+66t≥0；
(3)因為∠AOB=2π48×4=π6，則β=α+π6，
所以?′=55sinπ14t?π2+π6+66=55sinπ14t?π3+66，
所以?′??=55sinπ14t?π3?55sinπ14t?π2
=55sinπ14t?π3?sinπ14t?π2
=110csπ14t?5π12?sinπ12
=55 6? 22csπ14t?5π120≤t≤28，
所以當(dāng)π14t?5π12=0(或π)時?′??取得最大值，最大值為55 6? 22m，
其中sinπ12=sinπ3?π4=sinπ3csπ4?csπ3sinπ4= 32× 22?12× 22= 6? 24．

19.解：(1)正弦定理得asinA=bsinB=b?bcsA? 3sinA=1?csA?tanA=sinAcsA=? 3
因為0

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