全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，
1. 與角終邊相同的角是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，則（ ）
A. B. C. D.
3. 若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圓柱的母線長(zhǎng)比底面半徑長(zhǎng)多2cm，表面積為24π cm2，則該圓柱的體積為（ ）
A. 12πB. 14πC. 16πD. 18π
5. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則（ ）
A. 為直角三角形B. 為銳角三角形
C. 為鈍角三角形D. 的形狀無(wú)法確定
7. 已知（其中），若方程在區(qū)間上恰有4個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知四棱錐的所有頂點(diǎn)都在半徑為（為常數(shù)）的一個(gè)球面上，底面是正方形且球心到平面的距離為1，若此四棱錐體積的最大值為6，則球的體積等于（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 如圖，小明在A處向正東方向走3km后到達(dá)B處，他再沿南偏西30°方向走a km到達(dá)C處，這時(shí)他離出發(fā)點(diǎn)A的距離為km，那么的值可以是（ ）

A. 1B. C. D. 2
10. 下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如圖，在長(zhǎng)方體中，，為的中點(diǎn)，為棱上任意一點(diǎn)，直線與棱交于點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 四邊形平行四邊形
B. 當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，四邊形是菱形
C. 四邊形的周長(zhǎng)的最小值為9
D. 四棱錐的體積為4
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，則的虛部為_(kāi)_______.
13. 已知向量滿足，且，則__________．
14. 如圖所示，在直三棱柱中，，平面過(guò)棱的中點(diǎn)且與平行，若截該三棱柱所得的截面為等腰梯形，則該截面的面積為_(kāi)_________．
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟．
15. 已知復(fù)數(shù)是一元二次方程（，）的根.
（1）求的值；
（2）若復(fù)數(shù)（其中）為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)模.
16. 已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.
（1）求角A；
（2）若△ABC外接圓的面積為，，求△ABC的面積.
17. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；
（3）若為銳角，，求的值．
18. 如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，E為AD上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，BD與EF相交于點(diǎn)G，記.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
19. 如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面為菱形，，.
（1）求銳二面角大小；
（2）求AP與平面所成的角的正弦值.絕密★啟用前
2023~2024學(xué)年度下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)
高一數(shù)學(xué)
全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，
1. 與角終邊相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)終邊相同角的概念，可寫(xiě)出的終邊相同角，調(diào)整參數(shù)即可求解答案.
【詳解】由題意，與角終邊相同的角可寫(xiě)為，
令，代入，得
故選：B.
2. 已知向量，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.
【詳解】已知向量，，
若，則，
解得.
故選：C.
3. 若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式及正余弦齊次式法求值即得.
【詳解】由，得.
故選：B
4. 已知圓柱的母線長(zhǎng)比底面半徑長(zhǎng)多2cm，表面積為24π cm2，則該圓柱的體積為（ ）
A. 12πB. 14πC. 16πD. 18π
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用圓柱表面積公式求出底面圓半徑，再求出體積即得.
【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為，則圓柱母線長(zhǎng)為，
由圓柱表面積為24π，得，解得，
所以該圓柱的體積為（）.
故選：C
5. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，從而得到函數(shù)的解析式.
【詳解】由圖像可得, ,可得
由，可得
所以，由
所以,解得
由，所以
所以
故選：C
6. 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則（ ）
A. 為直角三角形B. 為銳角三角形
C. 為鈍角三角形D. 的形狀無(wú)法確定
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理得，利用正余弦的二倍角公式、兩角和與差的正弦展開(kāi)式化簡(jiǎn)可得，解方程可得答案.
【詳解】由，可得，
則，
，
，
即，
由，故只能為銳角，可得，
因?yàn)椋裕?
故選：A.
7. 已知（其中），若方程在區(qū)間上恰有4個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意得或，求出的值，再由求出的范圍，然后由方程在區(qū)間上恰有4個(gè)實(shí)根，可得，從而可求出的取值范圍.
【詳解】由，得，
所以或，
所以，或，或，或，
由，得，所以，
因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上恰有4個(gè)實(shí)根，
所以，解得，
故選：D
8. 已知四棱錐的所有頂點(diǎn)都在半徑為（為常數(shù)）的一個(gè)球面上，底面是正方形且球心到平面的距離為1，若此四棱錐體積的最大值為6，則球的體積等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，根據(jù)，求出，根據(jù)球的體積公式可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>得，得，
有，有，
得，所以球的體積為.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積公式，考查了球的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 如圖，小明在A處向正東方向走3km后到達(dá)B處，他再沿南偏西30°方向走a km到達(dá)C處，這時(shí)他離出發(fā)點(diǎn)A的距離為km，那么的值可以是（ ）

A. 1B. C. D. 2
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.
【詳解】如圖，


由條件可知
根據(jù)余弦定理可知，，
所以，解得或.
故選：AD.
10. 下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式，根據(jù)和的單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.
【詳解】對(duì)于A，在上單調(diào)遞增，又，，A正確；
對(duì)于B，在上單調(diào)遞減，又，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，又，，C正確；
對(duì)于D，，，
又，，D正確.
故選：ACD.
11. 如圖，在長(zhǎng)方體中，，為的中點(diǎn)，為棱上任意一點(diǎn)，直線與棱交于點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 四邊形是平行四邊形
B. 當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是菱形
C. 四邊形周長(zhǎng)的最小值為9
D. 四棱錐的體積為4
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A，根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)平行四邊形判定定理分析判斷，對(duì)于B，根據(jù)已知條件可由三角形全等，得，從而可判斷，對(duì)于C，設(shè)，則四邊形的周長(zhǎng)為，轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)之間的距離問(wèn)題分析判斷，對(duì)于D，利用等體積法分析判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，直線與棱交于點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，
因?yàn)槠矫妗纹矫?，平面平面，平面平面?br>所以∥，同理可證得∥，
所以四邊形是平行四邊形，所以A正確，
對(duì)于B，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，?br>所以 ≌，所以，
因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危运倪呅问橇庑?，所以B正確，
對(duì)于C，設(shè)，則，，
所以四邊形的周長(zhǎng)為
，
則看成平面上點(diǎn)到點(diǎn)的距離和，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則
所以
，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以四邊形的周長(zhǎng)為10，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，
，所以D正確，
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查面面平行的性質(zhì)，考查棱柱的性質(zhì)，考查棱錐的體積的計(jì)算，選項(xiàng)C解題的關(guān)鍵是將四邊形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)到點(diǎn)的距離和的2倍，然后利用平面幾何的知識(shí)求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力，屬于較難題.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，則的虛部為_(kāi)_______.
【答案】##
【解析】
【分析】先由復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念得即可得其虛部.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
故的虛部為.
故答案為：.
13. 已知向量滿足，且，則__________．
【答案】1
【解析】
【分析】首先將條件等式兩邊平方，求，再代入向量模的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】因，所以，
展開(kāi)得，
將代入，整理得，
所以，即．
故答案為：1
14. 如圖所示，在直三棱柱中，，平面過(guò)棱的中點(diǎn)且與平行，若截該三棱柱所得的截面為等腰梯形，則該截面的面積為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)中點(diǎn)可得線線平行，即可求證平面即為平面，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解長(zhǎng)度求解.
【詳解】在直三棱柱中，，
即底面為直角三角形，且斜邊，
取的中點(diǎn)的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，
則，所以，即四點(diǎn)共面，
由平面平面，所以平面，故平面即為平面，
取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，則為等腰梯形的高，
因?yàn)椋?br>所以，
所以．
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟．
15. 已知復(fù)數(shù)是一元二次方程（，）的根.
（1）求的值；
（2）若復(fù)數(shù)（其中）為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)的模.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由是一元二次方程的兩根，并根據(jù)韋達(dá)定理即可求解；
（2）由（1）并結(jié)合為純虛數(shù)，得，再代入復(fù)數(shù)中求模即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槭且辉畏匠痰母?br>所以也是一元二次方程的根，
故，解得.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，
所以，且，即.
所以復(fù)數(shù)，
故.
16. 已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圓的面積為，，求△ABC的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）對(duì)已知等式化簡(jiǎn)后，利用余弦定理可求出角A；
（2）先求出角三角形外接圓的半徑，再由正弦定理可求出，將已知等式利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式可求出，再結(jié)合（1）可求出，從而可求出三角形的面積.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，
所以，
因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椤鰽BC的外接圓的面積為，所以△ABC的外接圓半徑為，
由正弦定理得，，
因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫?br>由（1）知，
所以，得，則，
所以△ABC的面積為.
17. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；
（3）若為銳角，，求值．
【答案】（1）
（2）最大值為1，最小值為
（3）
【解析】
【分析】（1）將的解析式化為，然后解出不等式即可；
（2）由，得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的知識(shí)可得答案；
（3）由條件可得，然后可得的值，然后利用算出答案即可.
【小問(wèn)1詳解】
由
．
令，，解得
故函數(shù)的減區(qū)間為
【小問(wèn)2詳解】
由，有
有，
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1，最小值為；
【小問(wèn)3詳解】
由，可得
因?yàn)?，可?br>又由，可得，有．
有．
18. 如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，E為AD上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，BD與EF相交于點(diǎn)G，記.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將作為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合共線定理對(duì)化簡(jiǎn)，用基底表示，然后列方程組可求得的值；
（2）把用基底表示，再作數(shù)量積運(yùn)算即可.
小問(wèn)1詳解】
因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，E為AD上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以設(shè)（），
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以,
所以，解得，，
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，，
因?yàn)椋裕?br>所以
.
19. 如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面為菱形，，.
（1）求銳二面角的大?。?br>（2）求AP與平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，利用二面角的定義求解即得.
（2）取的中點(diǎn)，利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而求出點(diǎn)到平面的距離，再利用公式法求出線面角的正弦值.
【小問(wèn)1詳解】
在四棱錐中，取中點(diǎn)，連接，
在菱形中，，則是正三角形，，由，得，
由是正三角形，得，則是二面角的平面角，
而，則，
所以銳二面角的大小為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，平面，而平面，則平面平面，
取中點(diǎn)，連接，由為正三角形，得，，
而平面平面，平面，則平面，
三棱錐的體積，
顯然，，又平面，即有，
于是，
又，底邊上的高，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，
即，于是，解得，
由平面，平面，得平面，
因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
令A(yù)P與平面所成的角為，則，
所以AP與平面所成的角的正弦值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作二面角的平面角可以通過(guò)垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．

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