1．考試時(shí)間120分鐘
2．全卷共三道大題，總分120分
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，平方差公式，運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則求出各選項(xiàng)的結(jié)果后再進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，故選項(xiàng)A計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；
B、，故選項(xiàng)B計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；
C、，此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
D、 ，故選項(xiàng)D計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
2. 下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；
B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故B選項(xiàng)符合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C選項(xiàng)不合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項(xiàng)不合題意．
故選：B．
3. 由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖，則搭成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三視圖的知識(shí)，主視圖是由4個(gè)小正方形組成，而左視圖是由4個(gè)小正方形組成，故這個(gè)幾何體的底層最少有3個(gè)小正方體，第2層最少有1個(gè)小正方體．
【詳解】解：根據(jù)左視圖和主視圖，這個(gè)幾何體的底層最少有1+1+1=3個(gè)小正方體，
第二層最少有1個(gè)小正方體，
因此組成這個(gè)幾何體的小正方體最少有3+1=4個(gè)．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，意在考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就容易得到答案．
4. 一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了方差的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是方差的計(jì)算公式的識(shí)記．根據(jù)方差的計(jì)算公式，先算出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后代入公式計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】平均數(shù)為：
方差為：
故選：D．
5. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義得到且，即，然后解不等式組即可得到的取值范圍．
【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
且，
即，
解得：，
取值范圍是且．
故選：D．
6. 已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．
【詳解】解：去分母得，，
整理得，，
當(dāng)時(shí)，方程無解，
當(dāng)時(shí)，令，
解得，
所以關(guān)于x的分式方程無解時(shí)，或．
故選：A．
7. 國家“雙減”政策實(shí)施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動(dòng)．班級(jí)決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購買筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購買方案（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)購買支筆記本，個(gè)碳素筆，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，再結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出購買方案的個(gè)數(shù)．
【詳解】解：設(shè)購買支筆記本，個(gè)碳素筆，
依題意得：，
．
又，均為正整數(shù)，
或或或，
共有4種不同的購買方案．
故選：B．
8. 如圖，雙曲線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)B作軸，垂足為D，交于點(diǎn)E，且E為的中點(diǎn)，則的面積是（ ）
A. 4.5B. 3.5C. 3D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，過點(diǎn)A作，垂足為F，設(shè)，證明，有，根據(jù)E為的中點(diǎn)，可得，，進(jìn)而有，，可得，，則有，問題隨之得解．
【詳解】如圖，過點(diǎn)A作，垂足為F，
設(shè)，，
∵軸，，
∴軸，，
∴，
∴，
∵E為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
9. 如圖，菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，垂足為，交于點(diǎn)，，，則的長為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．
先由菱形性質(zhì)可得對角線與交于點(diǎn)O，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，進(jìn)而由菱形對角線求出邊長，由解三角形即可求出，．
【詳解】解：連接，如圖，

∵菱形中，與互相垂直平分，
又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
10. 如圖，在正方形中，點(diǎn)H在邊上（不與點(diǎn)A、D重合），，交正方形外角的平分線于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，連接．則下列結(jié)論：①；②點(diǎn)G是的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，則；④；⑤若，則，其中正確的結(jié)論是（ ）
A. ①②③④B. ①③⑤C. ①②④⑤D. ①②③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】連接，可得，垂直平分，先證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，即可判斷①；根據(jù)垂直平分，結(jié)合互余可證明，即有，則可判斷②正確；證明，即有，可判斷④；根據(jù)相似有，根據(jù)可得，再證明，可得，即可判斷⑤；根據(jù)點(diǎn)H是的中點(diǎn)，設(shè)，即求出，同理可證明，可得，即可得，進(jìn)而可判斷③．
【詳解】連接，如圖，
∵四邊形是正方形，
∴，，，垂直平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，
∴，，
∴，故①正確，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)，故②正確，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故④正確，
∴，
若，則，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤錯(cuò)誤，
如圖，③若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，設(shè)，即，
∴，
∴，
同理可證明，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
，故③正確，
則正確的有：①②③④，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦，圓周角定理以及勾股定理等知識(shí)，證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，，是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共30分）
11. 國家統(tǒng)計(jì)局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國糧食總產(chǎn)量是億斤，將億用科學(xué)記數(shù)法表示為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原來的數(shù)，變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時(shí)，是負(fù)數(shù)，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】億，億
故答案為：
12. 在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題主要考查函數(shù)自變量取值范圍，分別根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得，，且，
解得，，
故答案為：．
13. 已知菱形中對角線相交于點(diǎn)O，添加條件_________________可使菱形成為正方形．
【答案】或
【解析】
【分析】本題主要考查的是菱形和正方形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵，依據(jù)正方形的判定定理進(jìn)行判斷即可.
【詳解】解：根據(jù)對角線相等的菱形是正方形，可添加：；
根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，可添加的：；
故添加的條件為：或．
14. 七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學(xué)生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有20種等可能的結(jié)果，其中選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的結(jié)果有12種，
∴選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的概率為：，
故答案為：．
15. 關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查解一元一次不等式（組，一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．
先解出不等式組中每個(gè)不等式的解集，然后根據(jù)不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，即可得到關(guān)于的不等式組，然后求解即可．
【詳解】解：由，得：，
由，得：，
不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，
這3個(gè)整數(shù)解是0，1，2，
，
解得，
故答案為：．
16. 如圖，內(nèi)接于，是直徑，若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵內(nèi)接于，是直徑，
∴，
∵,，
∴
∴，
故答案為：．
17. 若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是________．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式以及與展開圖扇形面積關(guān)系，求出圓錐的母線長是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出圓錐的母線長，再結(jié)合扇形面積公式即可求出圓心角的度數(shù)．
【詳解】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：，可得
解得：，
，
解得，
側(cè)面展開圖的圓心角是．
故答案為：．
18. 如圖，在中，，，，，線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的最大值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出取最大值時(shí)B、P、M三點(diǎn)的位置關(guān)系．
取的中點(diǎn)M，連接、，利用解三角形求出，利用三角形中位線定理推出，當(dāng)在下方時(shí)，如果B、P、M三點(diǎn)共線，則有最大值．
【詳解】解：取的中點(diǎn)M，連接、．
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵P、M分別是的中點(diǎn)，
∴．
如圖，當(dāng)在下方時(shí)，如果B、P、M三點(diǎn)共線，則有最大值，
最大值為，
故答案為：．
19. 矩形中，，，將沿過點(diǎn)A的一條直線折疊，折痕交直線于點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在矩形對角線所在的直線上，則長為________．
【答案】或或10
【解析】
【分析】本題考查了矩形與折疊問題，解直角三角形，先根據(jù)點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在矩形對角線所在的直線上的不同位置分三種情況，畫出對應(yīng)的圖形，再根據(jù)矩形性質(zhì)，利用解直角三角形求出即可．
【詳解】解：①點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在矩形對角線上，如圖1，
∵在矩形中，，，
由折疊性質(zhì)可知：，
∴
∴
∴，
∴
∴；
②點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在矩形對角線上，如圖2，
∵在矩形中，，，，
∴，
∴，
由折疊性質(zhì)可知：，，
∴
∴；
③點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在矩形對角線延長線上，如圖3，
∵在矩形中，，，，
∴，
∴，
由折疊性質(zhì)可知：，，
∴
∴；
綜上所述：則長為或或10．
故答案為：或或10．
20. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向?yàn)椋┳鰺o滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第二次滾動(dòng)后，的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第三次滾動(dòng)后，的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；如此下去，……，則的坐標(biāo)是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運(yùn)動(dòng)方式，依次求出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，，，的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
,
是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，
等邊三角形高為，
由題知，
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
繼續(xù)滾動(dòng)有，的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以，，，，12個(gè)為一組，
，
的坐標(biāo)與的坐標(biāo)一樣為，
故答案為：．
三、解答題（滿分60分）
21. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題主要考查分式的化簡求值及特殊三角函數(shù)值，先對分式進(jìn)行化簡，然后利用特殊三角函數(shù)值進(jìn)行代值求解即可．
【詳解】解：原式
，
當(dāng)時(shí)原式．
22. 如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．
（1）畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）畫出繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）
【答案】（1）作圖見解析，
（2）作圖見解析，
（3）
【解析】
【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識(shí)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；
（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)、以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；
（3）先求出，再由旋轉(zhuǎn)角等于，利用弧長公式即可求出．
【小問1詳解】
解：如圖，為所求；點(diǎn)的坐標(biāo)為，
小問2詳解】
如圖，為所求；，
【小問3詳解】
，
點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的路徑長．
23. 如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中，．

（1）求拋物線的解析式．
（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得的面積最大．若存在，請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)和的面積最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，的面積最大值是
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及與幾何綜合：
（1）將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出b，c的值即可；
（2）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，設(shè)，且點(diǎn)P在第二象限，根據(jù)可得二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
解：將，代入得，
解得：
【小問2詳解】
解：對于，令則
解得，，
∴，
∴
∵，
∴，
過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，如圖，
設(shè)，且點(diǎn)P在第二象限，
∴
∴
∵，
∴有最大值，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
24. 為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各一小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間”的要求，某學(xué)校要求學(xué)生每天堅(jiān)持體育鍛煉．學(xué)校從全體男生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，調(diào)查他們的立定跳遠(yuǎn)成績，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合下圖解答下列問題：
（1）頻數(shù)分布表中 ，扇形統(tǒng)計(jì)圖中 ．
（2）本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù)落在 組別．
（3）該校有600名男生，若立定跳遠(yuǎn)成績大于200cm為合格，請估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績合格的男生有多少人？
【答案】（1）8，40
（2）C （3）估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績合格的男生有228人
【解析】
【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)表、中位數(shù)，用樣本估計(jì)總體，
（1）用A組的頻數(shù)除以所占的百分比，即可求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)；用總?cè)藬?shù)減去其它組的人數(shù)，即可求得B組的人數(shù)，用C組的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求解；
（2）根據(jù)中位數(shù)的求法，即可求解；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中立定跳遠(yuǎn)成績合格的男生人數(shù)所占，即可求解．
【小問1詳解】
解：被抽取的學(xué)生數(shù)為：(人)
故（人），
，即，
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，
，，
把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個(gè)數(shù)據(jù)都在C組，
故本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù)落在C組，
答案為：C；
【小問3詳解】
解：（人）
答：該校立定跳遠(yuǎn)成績合格的男生有人．
25. 甲、乙兩貨車分別從相距的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時(shí)到達(dá)B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：
（1）甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度是 ，乙貨車的速度是 ；
（2）求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)解析式；
（3）直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長時(shí)間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．
【答案】（1）30，40
（2）的函數(shù)解析式是
（3）經(jīng)過1.5h或或5h甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的運(yùn)用，認(rèn)真分析函數(shù)圖象，讀懂函數(shù)圖象表示的意義是解題關(guān)鍵．
（1）由圖象可知甲貨車到達(dá)配貨站路程為，所用時(shí)間為，乙貨車到達(dá)配貨站路程為，到達(dá)后返回，所用時(shí)間為，根據(jù)速度=距離÷時(shí)間即可得；
（2）甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，由圖象結(jié)合已知條件可知和點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出y與x的關(guān)系式即可得答案；
（3）分兩車到達(dá)配貨站之前和乙貨車到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地后、甲貨車卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，三種情況與配貨站的距離相等，分別列方程求出x的值即可得答案．
【小問1詳解】
解：由圖象可知甲貨車到達(dá)配貨站路程為105km，所用時(shí)間為3.5h，所以甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度是（）
∴乙貨車到達(dá)配貨站路程為，到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，總路程為240km，總時(shí)間是6h，
∴乙貨車速度，
故答案為：30；40
【小問2詳解】
甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，由圖象可知和點(diǎn)
設(shè)
∴
解得：，
∴甲貨車距A地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)解析式
【小問3詳解】
設(shè)甲貨車出發(fā)，甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等，
①兩車到達(dá)配貨站之前：，
解得：,
②乙貨車到達(dá)配貨站時(shí)開始返回，甲貨車未到達(dá)配貨站：，
解得：，
③甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地時(shí)：，
解得：，
答：經(jīng)過或或甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．
26. 已知是等腰三角形，，，在的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，探究如下：
由，可知，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．
（2）當(dāng)時(shí)，如圖②：當(dāng)時(shí)，如圖③，分別寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．
【答案】圖②的結(jié)論是：；圖③的結(jié)論是：；證明見解析
【解析】
【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識(shí) ，選②，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，構(gòu)造全等三角形，得出，，再證明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得結(jié)論；選③方法同②
【詳解】解：圖②的結(jié)論是：
證明：∵
∴是等邊三角形，
∴，
以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，
，
又
即
又，
，
；
∵
∴，
∴
，
∴，
在中,可得：
即
整理得
圖③的結(jié)論是：
證明：以點(diǎn)B頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，
，
又
即
又，
，
在中，，
，
，
在中,可得：
即
整理得
27. 為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動(dòng)，需購買甲、乙兩種品牌毽子．已知購買甲種品牌毽子10個(gè)和乙種品牌毽子5個(gè)共需200元；購買甲種品牌毽子15個(gè)和乙種品牌毽子10個(gè)共需325元．
（1）購買一個(gè)甲種品牌毽子和一個(gè)乙種品牌毽子各需要多少元？
（2）若購買甲乙兩種品牌毽子共花費(fèi)1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購買方案？
（3）若商家每售出一個(gè)甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個(gè)乙種品牌毽子利潤是4元，在（2）條件下，學(xué)校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】（1）購買一個(gè)甲種品牌毽子需15元，購買一個(gè)乙種品牌毽子需10元
（2）共有3種購買方案
（3）學(xué)校購買甲種品牌毽子60個(gè)，購買乙種品牌毽子10個(gè)，商家獲得利潤最大，最大利潤是340元
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式組以及一次函數(shù)的應(yīng)用，
（1）設(shè)購買一個(gè)甲種品牌毽子需a元，購買一個(gè)乙種品牌毽子需b元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，問題得解；
（2）設(shè)購買甲種品牌毽子x個(gè)，購買乙種品牌毽子個(gè)，根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解；
（3）設(shè)商家獲得總利潤為y元，即有一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
解：設(shè)購買一個(gè)甲種品牌毽子需a元，購買一個(gè)乙種品牌毽子需b元．由題意得：，
解得：，
答：購買一個(gè)甲種品牌毽子需15元，購買一個(gè)乙種品牌毽子需10元；
【小問2詳解】
解：設(shè)購買甲種品牌毽子x個(gè)，購買乙種品牌毽子個(gè)．
由題意得：，
解得：，
和均為正整數(shù)，
，62，64，
，7，4，
共有3種購買方案．
【小問3詳解】
設(shè)商家獲得總利潤為y元，
，
，
，
隨x的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，
答：學(xué)校購買甲種品牌毽子60個(gè)，購買乙種品牌毽子10個(gè)，商家獲得利潤最大，最大利潤是340元．
28. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，的長度是一元二次方程的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），的面積為S．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為
（2）
（3）存在，，，，
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用因式分解法解方程求出的長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，過點(diǎn)A作軸，垂足為C，求出的長即可；
（2）分，和三種情況，運(yùn)用三角形面積公式求解即可；
（3）當(dāng)時(shí)求出，得，分為邊和對角線兩種情況可得點(diǎn)N的坐標(biāo)；當(dāng)和時(shí)不存在以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形
【小問1詳解】
解：，解得，
的長度是的根，
∵是等邊三角形，
∴，
過點(diǎn)A作軸，垂足為C，
在中，
∴
，
∴
點(diǎn)A的坐標(biāo)為
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)．過P作軸，垂足為點(diǎn)D，
∴，，
∴
∴，
；
當(dāng)時(shí)，過Q作，垂足為點(diǎn)E
∵
∴
又
∴，
又，
當(dāng)時(shí)，過O作，垂足為F
∴，
同理可得，，
∴；
綜上所述
【小問3詳解】
解：當(dāng)時(shí)，解得，
∴，
過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G，則
∴
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)為邊時(shí)，將沿軸向下平移4個(gè)單位得，此時(shí)，四邊形是菱形；
將沿軸向上平移4個(gè)單位得，此時(shí)，四邊形是菱形；如圖，
作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；
當(dāng)為對角線時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為T，過點(diǎn)T作，交y軸于點(diǎn)M，延長到,使連接,過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則
∴
∴,即，
解得，,
∴，
∴；
當(dāng)，解得，，不符合題意，此情況不存；
當(dāng)時(shí)，解得，，不符合題意，此情況不存在；
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，，
【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用因式分解法解一元二次方程，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，角所對的直角邊等于斜邊的一半，三角形的面積，菱形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線和分類討論是解答本題的關(guān)鍵組別
分組（cm）
頻數(shù)
A
3
B
m
C
20
D
14
E
5

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