一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.
1. 已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算的乘法法則求導(dǎo)即可.
【詳解】由可得，
即.
故選：B
2. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性得出概率.
【詳解】因?yàn)樗?
又因?yàn)檎龖B(tài)分布的對(duì)稱軸為2，所以,
所以
所以.
故選：C.
3. 兩個(gè)相關(guān)變量滿足如下關(guān)系：
根據(jù)表格已得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.若表格中有一數(shù)據(jù)模糊不清，則推算該數(shù)據(jù)是（ ）
A. 35.5B. 36C. 36.5D. 37
【答案】B
【解析】
【分析】應(yīng)用回歸直線過樣本中心點(diǎn)代入求參即可.
【詳解】因?yàn)?，代?
所以.
故選：B.
4. 在區(qū)間上，若，則下列四個(gè)圖中，能表示函數(shù)的圖像的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)切線斜率的關(guān)系即可判斷.
【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值與切線斜率的關(guān)系可知，在區(qū)間上時(shí)，函數(shù)圖象在任意一點(diǎn)處的切線斜率恒大于1，則顯然BCD不合題意，
對(duì)A選項(xiàng)，函數(shù)在處的切線斜率等于1，且在上，切線斜率不斷增大，則恒成立，故A正確.
故選：A.
5. 某中學(xué)推出了籃球?足球?排球?羽毛球?乒乓球共5門球類體育選修課供同學(xué)們選擇，其中羽毛球火爆，只剩下一個(gè)名額，其余4門球類課程名額充足.現(xiàn)有某宿舍的四位同學(xué)報(bào)名選課，每人只選擇其中的1門課程，四位同學(xué)選完后，恰好選擇了3門不同球類課程，則不同的選課情況總共有（ ）
A. 316種B. 360種C. 216種D. 288種
【答案】D
【解析】
【分析】分選不選羽毛球兩種情況討論，再分別利用分步乘法原理計(jì)算報(bào)名情況，利用分類加法原理求和即得結(jié)果.
【詳解】分兩種情況討論：
不選羽毛球，其余4門球類課程選3門，有種選法，
四人中有2人選擇同1門課程，其余2人各自選1門課程，有種選法，
故報(bào)名的情況有種；
1人選羽毛球，則種選法，再從其余4門球類課程選2門課程，則種選法，
其余3人中選1人選一門課程，其余2人同選另1門課程，則種，
故報(bào)名的情況有種.
所以他們報(bào)名的情況總共有種.
故選：D
6. 袋中有5個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中依次不放回取球，當(dāng)取出三個(gè)相同顏色的球時(shí)停止取球，記X為取出球的總數(shù)，則的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先明確所代表的意義以及所包含的可能情況，再根據(jù)全概率公式即可計(jì)算所求概率.
【詳解】根據(jù)題意第一、二、三、四次取出的球的顏色符合的情況有以下六種：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，
這六種情況發(fā)生是相互互斥的，所以由全概率公式得：
.
故選：A.
7. 如圖，“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右.現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2024的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先明確楊輝三角第20行的數(shù)的個(gè)數(shù)，通過和結(jié)合組合數(shù)對(duì)稱性質(zhì)得出楊輝三角第20行中比2024大的數(shù)的個(gè)數(shù)即可得解.
【詳解】由題意可知楊輝三角第20行共有21個(gè)數(shù)，
其中從左往右第4個(gè)數(shù)為，
從左往右第5個(gè)數(shù)為，
所以根據(jù)組合數(shù)的對(duì)稱性得楊輝三角第20行的21個(gè)數(shù)里有個(gè)大于2024，
故從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2024概率為.
故選：D.
8. 已知實(shí)數(shù)滿足且，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則將等式變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域及對(duì)數(shù)不等式可得的范圍
【詳解】由得，
由得，
因此，
又，所以，
又，所以，
利用得，
又，所以，即，
所以，即，
故選：A
二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.
9. 變量與的成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下圖所示，由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析確定第二個(gè)點(diǎn)B為離群點(diǎn)（對(duì)應(yīng)殘差過大），把點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)去掉后，用剩下的7組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)B的特點(diǎn)判斷選項(xiàng)，；由于去掉B，其它點(diǎn)的線性關(guān)系更強(qiáng)，從而可判斷，選項(xiàng)．
【詳解】因?yàn)楣?個(gè)點(diǎn)且離群點(diǎn)B的橫坐標(biāo)較小而縱坐標(biāo)相對(duì)過大，去掉離群點(diǎn)后回歸方程的斜率更大，而截距變小，所以正確，而錯(cuò)誤；
去掉離群點(diǎn)后相關(guān)性更強(qiáng)，擬合效果也更好，且還是正相關(guān)，所以，
故錯(cuò)誤，正確.
故選：AC．
10. 已知函數(shù)在處取到極大值1，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)意義，判斷A，B；根據(jù)函數(shù)在處取到極大值，則函數(shù)在的附近單調(diào)性為“左增右減”，用導(dǎo)數(shù)正負(fù)來判斷C，D.
【詳解】因?yàn)椋瑒t.
函數(shù)在處取到極大值1.則，則A正確；
兩式子相減，得到，即，則B正確；
由前面知道，，則，
由于函數(shù)在處取到極大值，則函數(shù)的附近單調(diào)性為“左增右減”.
則，對(duì)于時(shí)，，
即，即，即，
即，則.則C正確，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】,求出，利用可判斷A，由可判斷B，由條件概率公式可判斷D.
【詳解】由，因?yàn)?，則，
所以，因?yàn)?，所以，故A正確；
則，所以，故B錯(cuò)誤；
由于，所以C正確；
由于，則，所以，故D正確；
故選：ACD
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.
12. 的展開式中，的系數(shù)是80，則___________.
【答案】2
【解析】
【分析】由二項(xiàng)式定理公式即可得到結(jié)果.
【詳解】依題意，的展開式的通項(xiàng)為:
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以.
故答案為：2.
13. 若甲筐中有5個(gè)蘋果，3個(gè)梨子，2個(gè)橙子，乙筐中有個(gè)蘋果?1個(gè)梨子?2個(gè)橙子，現(xiàn)從甲筐中隨機(jī)取出一個(gè)水果放入乙筐，再從乙筐中隨機(jī)取出一個(gè)水果，記“從乙筐中取出的水果是蘋果”為事件，若，則整數(shù)的最小值為__________.
【答案】3
【解析】
【分析】記、、分別表示從甲筐中隨機(jī)取出一個(gè)水果為蘋果、梨子、橙子，則利用全概率公式即可得解.
【詳解】記、、分別表示從甲筐中隨機(jī)取出一個(gè)水果為蘋果、梨子、橙子的事件，則、、相互互斥，
所以由全概率公式得：
，
，故整數(shù)的最小值為3.
故答案為：3.
14. 若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)直線與和的切點(diǎn)分別為，，分別求出切點(diǎn)處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到的值.
【詳解】和分布求導(dǎo)，得到和.
設(shè)直線與和的切點(diǎn)分別為，，
則切線方程分別為，，，
化簡(jiǎn)得，，.
依題意上述兩直線與同一條直線，
所以，，解得，
所以
故答案為：.
四?解答題：本大題共5小題，第15題13分，第16?17題各15分，第18?19題各17分，共7分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效.
15. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及切線方程即可求解.
（2）先由（1）得解析式，再由解析式結(jié)構(gòu)特征結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具分和兩段研究的值的情況即可得證.
【小問1詳解】
由題，
所以由導(dǎo)數(shù)幾何意義以及切線方程得，
.
【小問2詳解】
由（1），
因?yàn)?，故?dāng)時(shí)恒成立；
令，則在上恒成立，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以當(dāng)時(shí)即恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，，
綜上得：若，.
16. 某社區(qū)以網(wǎng)上調(diào)查問卷形式對(duì)轄區(qū)內(nèi)部分居民做了體育鍛煉的宣傳和調(diào)查.調(diào)查數(shù)據(jù)如下：共100份有效問卷，50名男性中有5名不經(jīng)常體育鍛煉，50名女性中有10名不經(jīng)常體育鍛煉.
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別因素是否會(huì)影響經(jīng)常體育鍛煉？
（2）從不經(jīng)常體育鍛煉的15份調(diào)查問卷中得到不經(jīng)常鍛煉的原因：有3份身體原因；有2份不想鍛煉；有4份沒有時(shí)間；有6份沒有運(yùn)動(dòng)伙伴.求從這15份問卷中隨機(jī)選出2份，在已知其中一份是“沒有時(shí)間”的條件下，另一份是“沒有運(yùn)動(dòng)伙伴”的概率.
附：①，其中.
②臨界值表
【答案】（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷性別因素會(huì)影響經(jīng)常體育鍛煉；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算的值，作出判斷；（2）由條件概率公式求解即可.
【小問1詳解】
由題可得50名男性中有5名不經(jīng)常體育鍛煉，45名經(jīng)常體育鍛煉，50名女性中有10名不經(jīng)常體育鍛煉，40名經(jīng)常體育鍛煉；
列聯(lián)表如下：
所以，
因?yàn)?，根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷性別因素會(huì)影響經(jīng)常體育鍛煉.
【小問2詳解】
設(shè)事件為其中一份是“沒有時(shí)間”，事件為另一份是“沒有運(yùn)動(dòng)伙伴”，
，，
所以
17. 某企業(yè)生產(chǎn)一種熱銷產(chǎn)品，產(chǎn)品日產(chǎn)量為噸，日銷售額為萬元（每日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日可銷售完畢），且產(chǎn)品價(jià)格隨著產(chǎn)量變化而有所變化.經(jīng)過一段時(shí)間的產(chǎn)銷，隨機(jī)收集了某5天的日產(chǎn)量（單位：噸）和日銷售額（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并對(duì)這5組數(shù)據(jù)做了初步處理，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
其中，分別為數(shù)據(jù)的平均數(shù).
（1）請(qǐng)從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，判斷與哪一個(gè)模型更適合刻畫日銷售額關(guān)于日產(chǎn)量的關(guān)系？
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果解決下列問題：
（i）建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（斜率的結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；
（ii）如果日產(chǎn)量（單位：噸）與日生產(chǎn)總成本（單位：萬元）滿足關(guān)系，根據(jù)（i）中建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程估計(jì)日產(chǎn)量為何值時(shí)，日利潤(rùn)最大？
附：①相關(guān)系數(shù)；
②經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：.
③參考數(shù)據(jù)：.
【答案】（1）模型更適合刻畫日銷售額關(guān)于日產(chǎn)量的關(guān)系
（2）（i）；（ii）20
【解析】
【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的公式求解即可；（2）（i）利用回歸方程的定義計(jì)算求解即可；（ii）求出的解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)模型的相關(guān)系數(shù)為，設(shè)模型的相關(guān)系數(shù)為，
所以，
，
由于，所以模型擬合更好，即模型更適合刻畫日銷售額關(guān)于日產(chǎn)量的關(guān)系
【小問2詳解】
（i）由(1)知關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，
由題可得：，
，
所以
（ii）由題可得，
所以，
令解得：
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
則的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，
所以當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)最大
18. 已知函數(shù).
（1）若，討論函數(shù)單調(diào)性；
（2）若，求證：.
【答案】（1）答案見詳解
（2）證明見詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得，求導(dǎo)得，對(duì)分類談?wù)?，判斷函?shù)單調(diào)性即可.
（2）由（1）得，，因?yàn)椋淼?，只需證即可，即證，對(duì)求導(dǎo)分析單調(diào)性，求出最小值即可證明.
【小問1詳解】
由題可得，
則，
①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，
在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)，即或時(shí)，
（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，
在上單調(diào)遞增；
（ii）當(dāng)時(shí)，由得，，經(jīng)判斷得，
當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，
在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（其中，）.
【小問2詳解】
由（1）得，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，
，
，
，，
下面證，，即證在上恒成立，
，
令，
在恒成立，
在上單調(diào)遞增，
恒成立，
在上單調(diào)遞增，
恒成立，
，即，，
，即.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)含參二次型討論單調(diào)性的參數(shù)分類方法：
求導(dǎo)后能通分則通分，通分后對(duì)分子因式分解，若不能因式分解，則討論開口方向或是否為二次函數(shù)，接下來分為：
①時(shí)，，則單調(diào)遞增；
②時(shí)，時(shí)，有兩個(gè)根，然后需判斷兩根是否在定義域內(nèi).
結(jié)合以上情況可以確定參數(shù)分類.
19. 設(shè)集合，且，記集合中的最小元素和最大元素分別為隨機(jī)變量.
（1）若的概率為，求；
（2）若，求且的概率；
（3）記隨機(jī)變量，證明：.
【答案】（1）
（2）
（3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用非空集合子集個(gè)數(shù)的結(jié)論，得到非空集合B的個(gè)數(shù)為個(gè).運(yùn)用對(duì)立事件概率求法，，解出即可.
（2）當(dāng)非空集合B中的最小元素和最大元素分別為時(shí)，分析出集合B可能情況有個(gè)，若，非空集合B的個(gè)數(shù)為.古典概型相除求出概率即可.
（3）與上面方法一樣，求出當(dāng)最小值的概率.求出當(dāng)最大值 的概率.則.運(yùn)用求和規(guī)則，慢慢將式子展開，變形，得出結(jié)論即可.
【小問1詳解】
非空集合B的個(gè)數(shù)為個(gè).
所以
因?yàn)椋獾?，則.
【小問2詳解】
當(dāng)非空集合B中最小元素和最大元素分別為時(shí)，集合B中元素一定有元素，
一定沒有元素可有可無元素有
則集合B可能情況有個(gè).
若，非空集合B的個(gè)數(shù)為.
所以.
【小問3詳解】
非空集合B的個(gè)數(shù)為個(gè)，
最小值的集合B的個(gè)數(shù)為個(gè)，
則.
最大值的集合B的個(gè)數(shù)為個(gè)，
則，
所以.
【點(diǎn)睛】知識(shí)方法點(diǎn)撥：新問題的求解策略：
1、遇到新問題，應(yīng)耐心讀題，分析新問題的特點(diǎn)，弄清新問題的性質(zhì)，按要求逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.
2、若新問題與數(shù)列有關(guān)，可得利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解，多通過構(gòu)造的分法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題求解，求解過程靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)的數(shù)列知識(shí).
3、若新定義與集合的運(yùn)算有關(guān)，首先分析題意，同時(shí)用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.
2
3
4
5
6
25
●
46
58
65
性別
經(jīng)常體育鍛煉與否
合計(jì)
經(jīng)常體育鍛煉
不經(jīng)常體育鍛煉
男
女
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828
性別
經(jīng)常體育鍛煉與否
合計(jì)
經(jīng)常體育鍛煉
不經(jīng)常體育鍛煉
男
45
5
50
女
40
10
50
合計(jì)
85
15
100
15
73
4.8
10
161.2
1.6
39
15.9

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