2024武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷PDF版含答案

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填空題
12. 13. 14.
解答題
15.（13分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足
證明：;
若，求的面積.
（1）證明：由可得
即,化簡(jiǎn)得
因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以有，得
（2）由（1）知道為銳角，由得
所以 由正弦定理,得
依題，帶入相應(yīng)得值可得，得
16．（15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：左焦點(diǎn)為F1， 離心率為，且過(guò)點(diǎn),直線AF1與橢圓C相交于另一點(diǎn)B.
(1)求E的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=2S1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（1）由題可得，解的，即
(2)由（1）得，則直線，直線AB與y軸交點(diǎn)為
由題，轉(zhuǎn)化為在Y軸上取點(diǎn)P,使得P到直線AB的距離是O到直線AB的距離的兩倍，可得滿足題意，
過(guò)作與AB平行的直線，兩直線與橢圓E的交點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)
帶入橢圓解得
帶入橢圓解得
綜上可得，M的坐標(biāo)為
（15分）如圖，在三棱柱中，是正三角形，
四邊形為棱形，,
（1）證明：
（2）求二面角的正弦值.
（1）取AC的中點(diǎn)為O,連接,
由題知是正三角形，
又,
又
（2）方法1：幾何法
不妨設(shè)，則有
由余弦定理，
方法2：建系法
取O為AC的中點(diǎn)，過(guò)O作平面ABC的垂線，以該垂線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2,依題，
則
設(shè)平面法向量為，則
同理，平面的法向量

18.(1)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍
(2)從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽到的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為，證明：.
解：（1）
，若，函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，恒成立；滿足題意
若 方程 的判別式為
①時(shí)，，函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，恒成立，滿足題意
②時(shí)，方程 在上的解為，
時(shí)，，，函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞減，不滿足恒成立
綜上所述，的取值范圍
（2）由已知條件得，抽取的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為
，
因?yàn)椋?br>同理，，，，
所以，所以，
再證：，
即證：，即，，
由（1）得，當(dāng)時(shí)，，取，
則，即.
綜上，.
19．已知有窮正項(xiàng)數(shù)列,若將數(shù)列每項(xiàng)依次圍成一圈,滿足每一項(xiàng)等于相鄰兩項(xiàng)的乘積,則稱該數(shù)列可圍成一個(gè)“T-Circle”．例如：數(shù)列都可圍成“T-Circle”．
(1)設(shè),當(dāng)時(shí),是否存在使該數(shù)列可圍成“T-Circle”,并說(shuō)明理由.
(2)若的各項(xiàng)全不相等,且可圍成“T-Circle”，寫(xiě)出的取值（不必證明），并寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的數(shù)列.
(3)若的各項(xiàng)不全相等,且可圍成“T-Circle”，求的取值集合.
解：（1）由定義可得，而為正項(xiàng)數(shù)列，故，
故，
由最后兩式可得，故，故且，
結(jié)合可得即，故，故.
故存在，使得數(shù)列可圍成“T-Circle”,此時(shí)數(shù)列為：.
（2），滿足條件的一個(gè)數(shù)列為
（3）（i）若的各項(xiàng)不全相等,且可圍成“T-Circle”．
結(jié)合為正項(xiàng)數(shù)列可得，
諸式相乘后可得，
又上述關(guān)系式即為(若下標(biāo)大于，則取下標(biāo)除以的余數(shù)).
故，
故(若下標(biāo)大于，則取下標(biāo)除以的余數(shù)).
所以(若下標(biāo)大于，則取下標(biāo)除以的余數(shù)).
設(shè)，
若，則即為，故，從而，，
而，故，故，故，從而，
此時(shí)均為1，與題設(shè)矛盾.
若，則即為，而，
，故，此時(shí)均為1，與題設(shè)矛盾.
若，則即為，而，所以，故，
從而，
而，故，故，
此時(shí)均為1，與題設(shè)矛盾.
若，則即為，而，所以，
而，故，故，故，
故，故，故，
此時(shí)均為1，與題設(shè)矛盾.
若，則，故，
故，故，故，故，故，
此時(shí)均為1，與題設(shè)矛盾.
綜上，題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
B
D
C
D
C
D
BC
ACD
ACD