本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間100分鐘．
答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫(xiě)在答題紙上．答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案寫(xiě)在答題紙上，答在試卷上的無(wú)效．
祝各位考生考試順利！
第Ⅰ卷選擇題（60分）
一、選擇題：本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選答案填入答題紙中的答題欄內(nèi)．
1．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．0C．1D．2
2．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．四邊形確定一個(gè)平面
C．三角形確定一個(gè)平面D．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面
3．某校高一數(shù)學(xué)備課組老師的年齡（單位：歲）分別為：35，36，37，38，40，41，51，51，52，54，56，59，則該組數(shù)據(jù)的極差為（ ）
A．53B．52C．51D．24
4．在中，若，則（ ）
A．B．C．10D．
5．同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用表示結(jié)果，記事件為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于4”，則事件的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為4，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為（ ）
A．B．C．D．
7．從裝有2個(gè)紅球、1個(gè)黑球的袋中任取2個(gè)球，若事件為“所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)黑球”，則與事件對(duì)立的事件是（ ）
A．所取的2個(gè)球中至多有一個(gè)是黑球
B．所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)黑球1個(gè)紅球
C．所取的2個(gè)球都是紅球
D．所取的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球
8．某校組織“交通安全”知識(shí)測(cè)試，隨機(jī)調(diào)查1000名學(xué)生，將他們的測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．圖中
B．估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為93分
C．若每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，則這1000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為80.5分
D．測(cè)試成績(jī)低于80分的人數(shù)為450人
9．已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
10．已知平面向量，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．與共線的單位向量的坐標(biāo)為或
B．在方向上的投影向量為
C．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或
D．若向量與向量垂直，則
11．已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足，則的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
12．《九章算術(shù)·商功》中有如下問(wèn)題：“今有塹堵，下廣二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，問(wèn)積幾何？答曰：四萬(wàn)六千五百尺”．所謂“塹堵”就是兩底面為直角三角形的直棱柱，如圖所示的幾何體是一個(gè)“塹堵”，是的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的平面把該“塹堵”分為兩個(gè)幾何體，其中一個(gè)為三棱臺(tái)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①過(guò)三點(diǎn)的平面截該“塹堵”的截面是三角形
②該三棱臺(tái)的表面積為
③二面角的正切值為
④三棱錐的外接球的表面積為
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
第Ⅱ卷（90分）
二、填空題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．
13．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則___________．
14．一支羽毛球隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員64人，女運(yùn)動(dòng)員56人，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽出一個(gè)容量為30的樣本，如果樣本按比例分配，那么男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽取的人數(shù)為_(kāi)__________．
15．已知一組樣本數(shù)據(jù)：3，4，4，4，6，6，7，8，8，則該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為_(kāi)__________，中位數(shù)為_(kāi)__________．
16．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3.6，方差是2，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是___________，方差是___________．
17．如圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的的直觀圖得，其中的面積為，則其直觀圖中邊上的高的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．
18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2正方形，底面，為的中點(diǎn)，為底面的中心．（ⅰ）三棱錐的體積為_(kāi)__________；（ⅱ）直線與所成的角為_(kāi)__________．
19．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中國(guó)古代流傳下來(lái)的兩幅神秘圖案．河圖的排列結(jié)構(gòu)如圖所示，一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八同道居左，四與九為友居右，五與十相守居中，其中白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)．若從陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為3的概率為_(kāi)__________．
20．在中，，并且滿足．（?。┙莀__________；（ⅱ）若點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與端點(diǎn)重合），延長(zhǎng)到，使得，（為常數(shù)），則線段的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．
三、解答題：本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
21．（本小題滿分12分）
已知向量滿足．
（Ⅰ）求向量的數(shù)量積；
（Ⅱ）求向星夾角的余弦值；
（Ⅲ）求的值．
22．（本小題滿分12分）
甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行某項(xiàng)體能測(cè)試，甲同學(xué)通過(guò)的概率為，乙同學(xué)通過(guò)的概率為，并且在測(cè)試過(guò)程中甲、乙兩同學(xué)互不影響，求下列事件的概率；
（Ⅰ）甲、乙兩同學(xué)都能通過(guò)；
（Ⅱ）甲、乙兩同學(xué)恰有一人通過(guò)；
（Ⅲ）甲、乙兩同學(xué)中至少有一人通過(guò)．
23．（本小題滿分13分）
如圖，在棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）若為棱上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正切值．
24．（本小題滿分13分）
已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面積是，求；
（Ⅲ）若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，試求的最大值．
濱海新區(qū)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期末檢測(cè)卷
高一年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
二、填空題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．
13． 14．16 15．4，6 16．5.6，2 17．2 18． 19． 20．
三、解答題：本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．說(shuō)明：解答給出了一種解法供參考，其他解法可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．
21．解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
又
（Ⅲ）
22．解：設(shè)“甲通過(guò)”，“乙通過(guò)”，則
“甲沒(méi)通過(guò)”，“乙沒(méi)通過(guò)”．由于兩人測(cè)試的結(jié)果互不影響，所以與相互獨(dú)立，與，與，與都相互獨(dú)立．
由已知可得，．
（Ⅰ）“兩人都通過(guò)”，由事件的獨(dú)立性定義，得
所以兩人都通過(guò)的概率為
（Ⅱ）“恰好有一人通過(guò)”，且與互斥，
根據(jù)概率的加法公式和事件的獨(dú)立性定義，得
所以甲、乙兩人中恰好有一人通過(guò)的概率為
（Ⅲ）事件“至少有一人通過(guò)”，且與兩兩互斥
所以
所以兩人中至少有一人通過(guò)的概率為
23解：（Ⅰ）連接交于點(diǎn)，連接．
在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
是的中位線，
平面平面
平面
（Ⅱ）在正三棱柱中，平面平面，
在等邊中，為的中點(diǎn)，
又是平面內(nèi)的兩條相交直線．
平面，又平面，
平面平面
（Ⅲ）連接，
和都是直角三角形，且，
，
，
由（Ⅱ）得，平面平面，平面平面，
又平面，
平面
為直線與平面所成的角．
在中，，
所以直線與平面所成角的正切值為
24．解：（Ⅰ）由余弦定理得，
（Ⅱ）由面積公式得，
又
（Ⅲ）取的中點(diǎn)，則，
又為等邊三角形
在中，由余弦定理得，
又由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立
的最大值為4．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
D
A
A
B
C
D
B
C
D
A

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