數(shù)學(xué)
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)的位置
2.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效。
3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如何改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5毫米黑色筆跡簽字筆寫(xiě)在答題卡上。
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
參考公式：錐體的體積公式：（其中為錐體的底面積，為錐體的高）.
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.已知，分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A.B.C.D.
2.盒中有3個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.刪恰好摸出一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率為（ ）
A.B.C.D.
3.設(shè)，則（ ）
A.B.C.D.
4.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A.1B.C.2D.3
5.從1，2，3，4中任取2個(gè)數(shù)，設(shè)事件“2個(gè)數(shù)都為偶數(shù)”，“2個(gè)數(shù)都為奇數(shù)”，“至少1個(gè)數(shù)為奇數(shù)”，“至少1個(gè)數(shù)為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.與是互斥事件B.與是互斥但不對(duì)立事件
C.與是互斥事件D.與是對(duì)立事件
6.在中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，若，則（ ）
A.B.C.D.
7.已知三棱錐中，平面，，，，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A.B.C.D.
8.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且.若為的垂心，，則（ ）
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9.已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A.的虛部是B.
C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn).是純虛數(shù)
10.下列各式的值為的是（ ）
A.B.
C.D.
11.如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（ ）
A.三棱錐的體積是定值
B.過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面是六邊形
C.存在唯一的點(diǎn)，使得
D.與平面所成的角為定值
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓形，則圓錐的體積為_(kāi)_____.
13.在中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，，，則______.
14.《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生二儀，二儀生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象.八卦圖與太極圖（圖1）的輪廓分別為正八邊形和圓（圖2），其中正八邊形的中心是點(diǎn)，魚(yú)眼（黑、白兩點(diǎn)），是圓半徑的中點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.若，圓的半徑為3，當(dāng)太極圖轉(zhuǎn)動(dòng)（即圓面及其內(nèi)部點(diǎn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）時(shí)，的最大值為_(kāi)_____.
圖1 圖2
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15.（13分）已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.（15分）蘭州機(jī)場(chǎng)停車場(chǎng)小型機(jī)動(dòng)車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：30分鐘內(nèi)免費(fèi).停車時(shí)長(zhǎng)在30分鐘至1小時(shí)之間的，收費(fèi)為5元/輛.超過(guò)1小時(shí)后，超出部分每小時(shí)收費(fèi)5元，不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)費(fèi)24小時(shí)內(nèi)最高收費(fèi)50元.現(xiàn)有甲、乙二人在該機(jī)場(chǎng)臨時(shí)停小型機(jī)動(dòng)車，兩人停車時(shí)間均大于半小時(shí)且不超過(guò)4小時(shí).
（1）若甲停車1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率為，停車付費(fèi)多于10元的概率為.求甲停車付費(fèi)恰為5元的概率；
（2）若每人停車的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同，求甲、乙二人停車付費(fèi)之和為25元的概率.
17.（15分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面.，是中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
18.（17分）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.
（1）求；
（2）若是線段上的一點(diǎn)，，，且內(nèi)角，求的最小值.
19.（17分）定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，那么稱為A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.
（1）已知A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，如果它們之間的曼哈頓距離不大于5，那么的取值范圍是多少？
（2）已知A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，如果它們之間的曼哈頓距離恒大于3，那么的取值范圍是多少？
（3）若點(diǎn)在函數(shù)圖象上且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值并說(shuō)明理由.
高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平質(zhì)量測(cè)試卷·數(shù)學(xué)參考答案
1.選A 因?yàn)椋謩e為AB，AC的中點(diǎn)，所以.設(shè)，又，所以，即解得
2.選C 記1個(gè)白球?yàn)锳，2個(gè)紅球分別為，，現(xiàn)從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則可能結(jié)果有Aa，Ab，aA，ab，bA，ba，共6個(gè)，其中恰好摸出一個(gè)紅球一個(gè)白球的有Aa，Ab，aA，bA，共4個(gè)，所以所求概率.
3.選C 由，平方可得，解得.
4.選C 設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，即，.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的最大值?.
5.選A 根據(jù)題意樣本空間，，，，，則，所以與是互斥事件，A正確；，，所以與是互斥且對(duì)立事件，B錯(cuò)誤；，所以與不是互斥事件，C錯(cuò)誤；，所以與不是對(duì)立事件，D錯(cuò)誤.
6.選C 因?yàn)辄c(diǎn)是線段上一點(diǎn)，即，，三點(diǎn)共線，所以，解得.故選C.
7.選D 在三棱錐中，平面，，，，設(shè)底面的外接圓的半徑為，三棱錐外接球的半徑為，由正弦定理得，可得，所以，則外接球的表面積為.
8.選B 如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).由為的垂心，，得.又，則，.設(shè)，，則，，所以，即，，所以，所以.
9.選BC 易知的虛部是3，故A錯(cuò)誤；，故B正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故C正確；，是實(shí)數(shù)不是純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤.
10.選ACD 對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D正確.
11.選AC 因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，而且，所以的面積為定值，又點(diǎn)到平面的距離為定值，，所以三棱錐的體積是定值，A正確；過(guò)作分別交，的延長(zhǎng)線于，，連接，，如圖，為，的交點(diǎn)，為，的交點(diǎn)，所以截面為五邊形，B錯(cuò)誤；在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，，而為中點(diǎn)，所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，故存在唯一的點(diǎn)使得，C正確；由，平面，平面，則平面，所以到平面的距離一定，而長(zhǎng)度隨運(yùn)動(dòng)會(huì)變化，故與平面所成的角不為定值，D錯(cuò)誤.
12.解析：設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以，
圓錐的高為，
則圓錐的體積為.
答案：
13.解析：由是線段的中點(diǎn)，得.
在中，由余弦定理得
從而，
所以
所以，即.
答案：
14.解析：如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)檎诉呅蔚拿總€(gè)內(nèi)角為，
所以，
所以.
又因?yàn)椋?br>所以.
由題意知，在以為圓心，為半徑的圓上，且，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以設(shè)，則，
所以
，
其中
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.
答案：
15.解：（1）因?yàn)椋?br>所以，.
所以
.
（2）
.
16.解：（1）設(shè)“甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為5元”為事件，
則，
所以甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為5元的概率為.
（2）設(shè)甲停車付費(fèi)元，乙停車付費(fèi)元，其中，可能取值為5，10，15，20.
則甲、乙二人的停車費(fèi)用的所有樣本點(diǎn)為，，，，，，，，，，，，，，，共16種情形
其中，，，，這4種情形符合題意.
故“甲、乙二人停車付費(fèi)之和為25元”的概率為
17.解：（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為中點(diǎn).
又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
（2）因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，且平面，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
易得，，，從而為直角三角形，
則，.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，
即，
代入得，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
18.解：（1）由余弦定理和
得.
又，
所以，即.
由正弦定理，
得，
整理得，
所以.
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)?，所以?br>所以，
所以①，
又②，
①②得，
令，又，所以，所以，
所以，
所以，所以.
令，
因?yàn)椋?br>令，則，
令，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，（且），
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
故，
同理當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，
所以，
所以當(dāng)為等邊三角形時(shí)最小，最小值為.
19.解：（1）因?yàn)?，，故?br>由曼哈頓距離不大于5，得，
①當(dāng)時(shí)，，解得；
②當(dāng)時(shí)，，解得；
③當(dāng)時(shí)，，解得.
綜上，的取值范圍是.
（2）因?yàn)椋?br>故，
由題意可得恒成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為，
所以，則或，解得或.
故的取值范圍是.
（3）點(diǎn)在函數(shù)圖象上且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
當(dāng)時(shí)，.
令，由于，故，.
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
綜上可知，的最小值為3.

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