考點(diǎn)1：解一元一次不等式（組）
典例1：（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）計(jì)算題．
(1)解不等式：，并寫出所有的自然數(shù)解．
(2)解不等式組：，并把解表示在數(shù)軸上．
鞏固練習(xí)
1．（2022春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)校考期末）將不等式與的解集在同一數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)不等式組的解集表示在數(shù)軸上如圖所示，則此不等式組的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）一元一次不等式的解為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·安徽宣城·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一元一次不等式的解集為______．
5．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）下列解不等式的過程中，下列步驟：
①去分母，得；
②去括號(hào)，得；
③移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得；
④系數(shù)化為1，得．
其中出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是_________；
6．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）解不等式：．
7．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）以下是紅紅同學(xué)解不等式：的解答過程；
解：
紅紅同學(xué)解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫出正確的解答過程．
8．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解下列不等式（組）．
(1)．
(2)
9．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）按要求答題．
(1)解不等式：；
(2)解不等式組：．
10．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）解不等式組： ， 并把它的解集在所給的數(shù)軸上表示出來．
11．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）解下列不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．
(1)
(2)．
12．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列不等式（組）：
(1)
(2)．
13．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解不等式（組）：
(1)；
(2)．
14．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列不等式組并將解集在下列數(shù)軸上表示出來．
(1)
(2)
考點(diǎn)2：含有字母參數(shù)的一元一次不等式（組）
典例1：（1）（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則a的值是（ ）
A．9B．﹣9C．5D．﹣5
（2）（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知不等式的解集為，則______；
典例2：（2022春·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式組
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式組的解集；
(2)若不等式組的解集是，求的值；
(3)若不等式組有三個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是______．
鞏固練習(xí)
1．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于的一元一次不等式的解集為，則的值不能為（ ）
A．B．C．D．3
2．（2022春·湖南湘西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)規(guī)定新運(yùn)算“△”，其規(guī)則是：．已知不等式的解集在數(shù)軸上如圖表示，則k的值是（ ）
A．－2B．－3C．－1D．0
3．（2022秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┮阎P(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A．B．或C．或D．
4．（2022秋·河北張家口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)數(shù)和在數(shù)軸上從左到右排列，那么關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C．D．
6．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谀╆P(guān)于的不等式組有解且每一個(gè)的值均不在的范圍中，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·甘肅酒泉·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式組恰好有6個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）若不等式組的解為，則下列各式正確的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有3個(gè)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）若不等式組無解，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和為，滿足條件的所有整數(shù)m的和是（ ）
A．13B．－15C．－2D．0
12．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若不等式組有解，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式組只有4個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集是______．
15．（2022春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的正整數(shù)解是，，，，則整數(shù)的最小值是______．
16．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的最大整數(shù)解為1，則a的取值范圍是 ___________．
17．（2022春·貴州遵義·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式有個(gè)非正整數(shù)解，則的取值范圍是________．
18．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如果關(guān)于x的不等式組無解，那么m的取值范圍是___________；
19．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知不等式組的解集為，則的值為__________．
20．（2022秋·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．
考點(diǎn)3：方程（組）與不等式（組）綜合問題
典例1：（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來．
（2）已知關(guān)于、的方程組的解滿足，求的最大整數(shù)值．
典例2：（2022春·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程．
（1）若此方程的解為，則______．
（2）若此方程的解為正數(shù)，則的取值范圍為______．
典例3：（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組有解，且使得關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，求所有的整數(shù)m的和.
鞏固練習(xí)
1．（2022秋·湖北荊門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．12B．16C．18D．49
2．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）若不等式的最小整數(shù)解是方程的解，則a的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則b的取值范圍是（ ）
A．B．且C．且D．
4．（2022春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（ ）
A．且B．且
C．且D．
5．（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)辛集市辛集鎮(zhèn)育紅中學(xué)?？计谀┤絷P(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A．且B．且C．且D．
6．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）若關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，且關(guān)于的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是（ ）
A．9B．6C．11D．14
7．（2022秋·重慶江津·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（ ）
A．4B．9C．11D．12
8．（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，且關(guān)于的不等式組恰有4個(gè)整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)值之和為（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谀┤絷P(guān)于x的不等式組無解，且關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（ ）
A．11B．14C．16D．9
10．（2022秋·重慶·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)使關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，且使關(guān)于的不等式組無解，則滿足條件的所有整數(shù)的和是（ ）
A．0B．3C．5D．8
11．（2022秋·重慶江北·八年級(jí)重慶十八中校考階段練習(xí)）如果關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的m的所有值的和是（ ）
A．5B．6C．8D．9
12．（2022春·重慶銅梁·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知整數(shù)a，使得關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為正數(shù)，且關(guān)于x的一元一次不等式至少有3個(gè)負(fù)整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)有（ ）
A．6B．5C．4D．1
13．（2022春·福建泉州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組，給出下列結(jié)論，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ）
①當(dāng)a＝1時(shí)，方程組的解也是方程x+y＝4﹣a的解
②當(dāng)a＝﹣2時(shí)，x、y的值互為相反數(shù)；
③不論a取什么數(shù)，2x+7y的值始終不變；
④若x≤1，則y≥；
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
14．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是______．
15．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的方程的解滿足不等式，則可取的負(fù)整數(shù)為______．
16．（2022秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足2x+y＞5，則a的取值范圍是_______．
17．（2022春·湖南湘西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程組的解滿足，則的取值范圍是__________．
18．（2022秋·湖南郴州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的不等式組無解，且關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，那么所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為__________．
19．（2022秋·廣東江門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若數(shù)使關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，且使關(guān)于的不等式組的解集為，則符合條件所有整數(shù)的積為______．
20．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）要使方程組有正整數(shù)解，則整數(shù)a有___________個(gè)．
21．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則m的取值范圍是 __．
22．（2022秋·山東青島·九年級(jí)青島三十九中?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍．
(2)若為負(fù)整數(shù)，方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，直接寫出的值______．
23．（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）解方程組．
(1)下面給出了部分解答過程：
將方程②變形：，即
把方程①代入③得：…
請(qǐng)完成解方程組的過程；
(2)若方程的解滿足，求整數(shù)a的值．
考點(diǎn)4：不等式（組）的應(yīng)用問題
典例1：（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）順豐快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機(jī)器人來代替人工分揀，已知購買1臺(tái)甲型機(jī)器人比購買1臺(tái)乙型機(jī)器人貴2萬元，且用16萬元購回乙型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)與24萬元購回甲型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)相同．
(1)求甲、乙兩種型號(hào)的機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格各是多少萬元；
(2)已知甲型和乙型機(jī)器人每臺(tái)每小時(shí)分揀快遞分別是1200件和1000件，該公司計(jì)劃購買這兩種型號(hào)的機(jī)器人共8臺(tái)，總費(fèi)用不超過41萬元，并且使這8臺(tái)機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞件數(shù)總和不少于8300件，則該公司有哪幾種購買方案？哪個(gè)方案費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少萬元？
典例2：（2022春·北京西城·七年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）《中共中央國務(wù)院關(guān)于深化教育改革全面推進(jìn)素質(zhì)教育的決定》中明確指出：“健康體魄是青少年為祖國和人民服務(wù)的基本前提，是中華民族旺盛生命力的體現(xiàn)．”王老師所在的學(xué)校為加強(qiáng)學(xué)生的體育鍛煉，需要購買若干個(gè)足球和籃球．他曾三次在某商場(chǎng)購買過足球和籃球，其中有一次購買時(shí)，遇到商場(chǎng)打折銷售，其余兩次均按標(biāo)價(jià)購買．三次購買足球和籃球的數(shù)量和費(fèi)用如下表：
(1)王老師是第 次購買足球和籃球時(shí)，遇到商場(chǎng)打折銷售的；
(2)求足球和籃球的標(biāo)價(jià)；
(3)如果現(xiàn)在商場(chǎng)均以標(biāo)價(jià)的6折對(duì)足球和籃球進(jìn)行促銷，王老師決定從該商場(chǎng)一次性購買足球和籃球60個(gè)，且總費(fèi)用不能超過2500元，那么最多可以購買 個(gè)籃球．
鞏固練習(xí)
1．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某學(xué)校欲購買A，B兩種型號(hào)拖把．其中A型拖把的單價(jià)比B型拖把的單價(jià)少9元，且用3120元購買A型拖把的數(shù)量與用4200元購買B型拖把的數(shù)量相等．
(1)求A、B型拖把的單價(jià)分別是多少元？
(2)若購買兩種拖把共200個(gè)，且購買A型拖把的數(shù)量不超過B型拖把數(shù)量的，如何購買，才能使購買總費(fèi)用最低？最低是多少元？
2．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）2022成都世乒賽期間，某店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤銷售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）
(1)該店第一次用850元購進(jìn)A、B款紀(jì)念品共50件，求兩款紀(jì)念品分別購進(jìn)的件數(shù)；
(2)第一次購進(jìn)的紀(jì)念品售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共200件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于3200元，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少?
(3)成都世乒賽臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款紀(jì)念品調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款紀(jì)念品平均每天銷售利潤為90元？
3．（2022秋·山西朔州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）某服裝店到廠家選購A、B兩種品牌的兒童服裝，每套A品牌服裝進(jìn)價(jià)比B品牌服裝每套進(jìn)價(jià)多元，已知用元購進(jìn)A種服裝的數(shù)量是用元購進(jìn)B種服裝數(shù)量的2倍．
(1)求A、B兩種品牌服裝每套進(jìn)價(jià)分別為多少元？
(2)若A品牌服裝每套售價(jià)為元，B品牌服裝每套售價(jià)為元，服裝店老板決定，購進(jìn)B品牌服裝的數(shù)量比購進(jìn)A品牌服裝的數(shù)量的2倍還多4套，兩種服裝全部售出后，要使總利潤不少于元，則最少購進(jìn)A品牌的服裝多少套？
4．（2022秋·安徽淮北·八年級(jí)?？计谀┠硨W(xué)校購買一批籃球和排球，已知購買2個(gè)籃球和1個(gè)排球需170元，購買5個(gè)籃球和2個(gè)排球需400元．
(1)分別求籃球和排球的單價(jià)．
(2)該學(xué)校準(zhǔn)備購買籃球和排球共100個(gè)，每種球至少買一個(gè)且籃球個(gè)數(shù)不少于排球個(gè)數(shù)的3倍．
①設(shè)購買籃球（個(gè)），總費(fèi)用為（元），寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式并寫出自變量的取值范圍；
②請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)總費(fèi)用最低的購買方案，并求出最低費(fèi)用．
5．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）哈工大圖書館新進(jìn)一批圖書，張強(qiáng)和李明兩位圖書員負(fù)責(zé)整理圖書，已知張強(qiáng)3小時(shí)清點(diǎn)完這批圖書的一半，李明加入清點(diǎn)另一半圖書的工作，兩人合作小時(shí)清點(diǎn)完另一半圖書；
(1)如果李明單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書需要幾小時(shí)？
(2)經(jīng)過一段時(shí)間，這批圖書破損嚴(yán)重，哈工大圖書館決定在致知書店購買甲、乙兩種圖書共120本進(jìn)行補(bǔ)充，該書店每本甲種圖書的售價(jià)為25元，進(jìn)價(jià)20元；每本乙種圖書的售價(jià)為40元，進(jìn)價(jià)30元．如果此批圖書全部售出后所得利潤不低于950元，那么該書店至少需要賣出乙種圖書多少本？
6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第三十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）冬季來臨，是流感的高發(fā)期，我校積極進(jìn)行班級(jí)環(huán)境消毒，總務(wù)處購買甲、乙兩種消毒液共100瓶，購買這兩種消毒液共用780元，其中甲種消毒液共用240元，且乙種消毒液的單價(jià)是甲種消毒液單價(jià)的1.5倍．
(1)求甲、乙兩種消毒液的單價(jià)各為多少元？
(2)該校準(zhǔn)備再次購買這兩種消毒液（不包括已購買的100瓶），共140瓶，且所需費(fèi)用不超過1200元，問甲種消毒液至少要購買多少瓶？
7．（2022秋·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）一把直角三角尺的一邊緊貼在直線l上，，，，直角三角尺先繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使落在直線1上，然后繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使落在直線l上，再繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使落在直線l上，此時(shí)，三角形的放置方式與初始的放置方式一樣，我們稱這樣的旋轉(zhuǎn)為一個(gè)周期．請(qǐng)問，再經(jīng)過幾個(gè)周期，點(diǎn)B走過的路程就會(huì)超過100？
8．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成總工程的，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙隊(duì)單獨(dú)施工多少天完成全部工程？
(2)若甲隊(duì)工作4天，乙隊(duì)工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊(duì)工作5天，乙隊(duì)工作6天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)75000元，求甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為多少元？
(3)在（2）的條件下，若兩個(gè)工程隊(duì)不同時(shí)施工，在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快______天能完成總工程．
9．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┙陙硇鹿谝咔榻o人們的生活帶來很大影響，體溫問題倍受人們關(guān)注．某商場(chǎng)計(jì)劃購進(jìn)一批甲、乙兩種，每臺(tái)乙設(shè)備價(jià)格比每臺(tái)甲設(shè)備價(jià)格多1.4萬元，花6萬元購買甲設(shè)備和花14.4萬元購買乙設(shè)備的數(shù)量相同．
(1)求甲、乙設(shè)備每臺(tái)各多少萬元？
(2)根據(jù)銷售情況，需購進(jìn)甲、乙兩種設(shè)備共40臺(tái)，總費(fèi)用不高于60萬元，求甲種設(shè)備至少要購買多少臺(tái)？
(3)若每臺(tái)甲種設(shè)備售價(jià)1.8萬元，每臺(tái)乙種設(shè)備售價(jià)4萬元，在（2）的情況下商場(chǎng)應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批空氣凈化裝置售完后獲利最多？
10．（2022秋·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）某地由于開發(fā)建設(shè)，需要對(duì)居民進(jìn)行移民搬遷工作，2020年為做好移民搬遷，投入資金2000萬元用于移民搬遷安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2022年投入資金2880萬元．
(1)從2020年到2022年，該地投入移民搬遷安置資金的年平均增長率為多少？
(2)在2022年移民搬遷安置的具體實(shí)施中，該地計(jì)劃投入資金不低于736萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定前1000戶（含第1000戶）每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)12元，1000戶以后每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元，按租房400天計(jì)算，求2022年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)．
11．（2022秋·吉林白城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為了提高服務(wù)質(zhì)量，某賓館決定對(duì)甲、乙兩種套房進(jìn)行星級(jí)提升，已知甲種套房提升費(fèi)用比乙種套房提升費(fèi)用少3萬元，如果提升相同數(shù)量的套房，甲種套房費(fèi)用為625萬元，乙種套房費(fèi)用為700萬元．
(1)甲、乙兩種套房每套提升費(fèi)用各多少萬元？
(2)如果需要甲、乙兩種套房共80套，市政府籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于甲、乙種套房星級(jí)提升，市政府對(duì)兩種套房的提升有哪幾種方案？
足球數(shù)量（個(gè)）
籃球數(shù)量（個(gè)）
總費(fèi)用（元）
第一次
6
5
700
第二次
3
7
710
第三次
7
8
693
類別價(jià)格
A款紀(jì)念品
B款紀(jì)念品
進(jìn)貨價(jià)（元/件）
20
15
銷售價(jià)（元/件）
35
27
2.3突破訓(xùn)練：一元一次不等式（組）及其應(yīng)用類型題舉例
類型體系（本專題共78題56頁）
考點(diǎn)1：解一元一次不等式（組）
典例1：（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）計(jì)算題．
(1)解不等式：，并寫出所有的自然數(shù)解．
(2)解不等式組：，并把解表示在數(shù)軸上．
【答案】(1)自然數(shù)解為：0，1，2
(2)不等式組的解集為；在數(shù)軸上表示見解析
【分析】（1）先求出不等式的解集，然后寫出不等式的自然數(shù)解即可；
（2）像求出兩個(gè)不等式的解集，然后再求出不等式組的解集，最后將解集表示在數(shù)軸掌即可．
【詳解】（1）解：，
移項(xiàng)得：，
合并同類項(xiàng)得：，
系數(shù)化為1得：，
自然數(shù)解為：0，1，2．
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
數(shù)軸表示如圖：
鞏固練習(xí)
1．（2022春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？计谀⒉坏仁脚c的解集在同一數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集可得答案．
【詳解】解：由，得：，
由，得：，
表示在數(shù)軸上如下：
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式，正確求出每一個(gè)不等式解集是關(guān)鍵．
2．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)不等式組的解集表示在數(shù)軸上如圖所示，則此不等式組的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)軸表示不等式組解集的方法：實(shí)心點(diǎn)代表取“”、空心點(diǎn)代表不取“”；方向向右取“”或“”、方向向左取“”或“”即可得到答案．
【詳解】解：由圖可得不等式組的解集是，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)用數(shù)軸表示不等式組解集方法的理解，熟記實(shí)心點(diǎn)代表取“”、空心點(diǎn)代表不取“”；方向向右取“”或“”、方向向左取“”或“”是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）一元一次不等式的解為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先移項(xiàng)，再把未知數(shù)的系數(shù)化“1”即可．
【詳解】解：，
移項(xiàng)得：，
解得：，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的解法步驟”是解本題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·安徽宣城·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一元一次不等式的解集為______．
【答案】##
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)把不等式兩邊同時(shí)乘即可得到答案．
【詳解】解：不等式的兩邊同時(shí)乘，得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）下列解不等式的過程中，下列步驟：
①去分母，得；
②去括號(hào)，得；
③移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得；
④系數(shù)化為1，得．
其中出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是_________；
【答案】①
【分析】根據(jù)解一元一次不等式的基本步驟，逐步檢查，即可求解．
【詳解】解：，
①去分母，得；（漏乘，出現(xiàn)錯(cuò)誤）
②去括號(hào)，得；
③移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得；
④系數(shù)化為1，得．
故答案為①
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的基本步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·上海·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解不等式：．
【答案】
【分析】移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可得到答案．
【詳解】解：移項(xiàng)得，
即
兩邊同時(shí)除以可得，
化簡得：．
【點(diǎn)睛】本題考查解不等式，解題的關(guān)鍵是注意符號(hào)的變化．
7．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）以下是紅紅同學(xué)解不等式：的解答過程；
解：
紅紅同學(xué)解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫出正確的解答過程．
【答案】有誤，正確過程見解析
【分析】在去分母的時(shí)候有錯(cuò)誤，所以紅紅的解答不對(duì)，正確解答即可．
【詳解】解：紅紅同學(xué)的解答不對(duì)，正確的解答過程如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，去分母時(shí)，不等式的兩邊都乘以最簡公分母是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解下列不等式（組）．
(1)．
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化時(shí)根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都乘以（除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向變化，即可得出結(jié)果．
（2）先解出不等式，再解出不等式，最后在數(shù)軸上找出兩個(gè)不等式的公共部分，得到解集．
【詳解】（1）解：（1）
去括號(hào)得：
移項(xiàng)得：
合并得：
系數(shù)化為得：
故答案為：
（2）解：
解不等式①得：
解不等式②得:
∴不等式組的解集為:
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法等知識(shí)點(diǎn)，熟記不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校考階段練習(xí)）按要求答題．
(1)解不等式：；
(2)解不等式組：．
【答案】(1)
(2)無解
【分析】（1）運(yùn)用一元一次不等式的知識(shí)即可求解；
（2）運(yùn)用一元一次不等式組的知識(shí)即可求解．
【詳解】（1）移項(xiàng)得，，
合并同類項(xiàng)得，，
系數(shù)化為1得， ；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式組無解．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式及一元一次不等式組的解法，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式及一元一次不等式組的解法．
10．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）解不等式組： ， 并把它的解集在所給的數(shù)軸上表示出來．
【答案】 ，數(shù)軸見解析
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】解：由，得：，
由，得：，
則不等式組的解集為，
將解集表示在數(shù)軸上如下：
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）解下列不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．
(1)
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
【分析】（1）按照不等式的性質(zhì)求解，并在數(shù)軸上表示出來即可；
（2）先分別解不等式①和②，由不等式組解集的取法得不等式組的解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．
【詳解】（1）去分母得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)得：，
合并同類項(xiàng)得：，
把的系數(shù)化為得：；
（2），
由①得：，
由②得：，
不等式組的解集為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式和解不等式組，以及在數(shù)軸上表示其解集，牢固掌握不等式的性質(zhì)，明確不等式組解集的取法，是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列不等式（組）：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）不等式去分母，移項(xiàng)合并，把系數(shù)化為1，即可求出解集；
（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．
【詳解】（1）解：去分母得：，
移項(xiàng)得：，
合并得：，
系數(shù)化為1得：；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
不等式組的解集為．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式組，以及解一元一次不等式，熟練掌握不等式及不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．
13．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解不等式（組）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）不等式去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把x系數(shù)化為1，即可求出解集；
（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．
【詳解】（1）解：去分母得：，
移項(xiàng)得：，
合并同類項(xiàng)得：，
解得：；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
則不等式組的解集為．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組的解法，其中一元一次不等式的解法步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，將x系數(shù)化為1，不等式組取解集的方法為：同大取大；同小取??；大小小大去中間；大大小小無解．
14．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列不等式組并將解集在下列數(shù)軸上表示出來．
(1)
(2)
【答案】(1)，數(shù)軸上表示見解析
(2)，數(shù)軸上表示見解析
【分析】（1）先求出每個(gè)不等式的解集，再確定不等式組的解集并表示在數(shù)軸上即可；
（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再確定不等式組的解集并表示在數(shù)軸上即可．
【詳解】（1）解：
解不等式①得；
解不等式②得 ．
∴不等式組的解集為．
把解集表示在數(shù)軸上為：
（2）
由①得，
由②得，
所以原不等式的解是，
所以在數(shù)軸上表示為
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的解法和在數(shù)軸上表示解集，確定不等式解集時(shí)，要熟記口訣，去分母時(shí)注意不要漏乘沒有分母的項(xiàng)．
考點(diǎn)2：含有字母參數(shù)的一元一次不等式（組）
典例1：（1）（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則a的值是（ ）
A．9B．﹣9C．5D．﹣5
【答案】A
【分析】去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1解出不等式，然后根據(jù)數(shù)軸圖找出不等式解集，進(jìn)而求出a的值．
【詳解】解：去分母得：，
移項(xiàng)得：，
系數(shù)化為1得：，
根據(jù)數(shù)軸圖知解集為，
∴，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的解法，解題關(guān)鍵是熟知一元一次不等式的解法并能根據(jù)數(shù)軸圖寫出解集．
（2）（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知不等式的解集為，則______；
【答案】
【分析】現(xiàn)將不等式的解集用含的式子表示出來，再根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：
，
∴，解方程得，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)不等式的解集求參數(shù)，解方程，掌握解不等式的方法，解方程的方法是解題的關(guān)鍵．
典例2：（2022春·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式組
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式組的解集；
(2)若不等式組的解集是，求的值；
(3)若不等式組有三個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是______．
【答案】(1)不等式組的解集為：；
(2)
(3)
【分析】（1）將代入不等式組，然后利用“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則確定不等式組的解集；
（2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則確定的取值范圍；
（3）根據(jù)不等式組中確定不等式組的整數(shù)解，然后利用“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則確定的取值范圍．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
∴原不等式組解得：，
∴不等式組的解集為：；
（2）解：當(dāng)不等式組的解集是時(shí)，
，
解得；
（3）解：由，當(dāng)不等式組有三個(gè)整數(shù)解時(shí)，
則不等式組的整數(shù)解為、、，
又∵且，
∴，
解得．
故答案為：．
鞏固練習(xí)
1．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于的一元一次不等式的解集為，則的值不能為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得關(guān)于的不等式，解不等式，可得答案．
【詳解】解：由關(guān)于的一元一次不等式的解集為，得，
解得．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，利用不等式的性質(zhì)得出關(guān)于的不等式是解題關(guān)鍵．
2．（2022春·湖南湘西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)規(guī)定新運(yùn)算“△”，其規(guī)則是：．已知不等式的解集在數(shù)軸上如圖表示，則k的值是（ ）
A．－2B．－3C．－1D．0
【答案】B
【分析】根據(jù)新運(yùn)算法則得到不等式，通過解不等式即可求k的取值范圍，結(jié)合圖象可以求得k的值．
【詳解】解：根據(jù)圖示知，已知不等式的解集是．
∵，
∴，
∴，
∴解得．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．
3．（2022秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┮阎P(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】B
【分析】由題意知，，，且，故不等式可變形為或，解之即可．
【詳解】解：∵不等式的解集是，
∴，且，
∴，
∴不等式可變?yōu)椋?br>∴
∴或，
∴或．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的解法，一元一次不等式組的解法，以及分式的值大于0的解法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，將分式的值大于零轉(zhuǎn)化為不等式組是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·河北張家口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)數(shù)和在數(shù)軸上從左到右排列，那么關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)題意判斷出，即，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：由題意知，
，
移項(xiàng)，得：，
化系數(shù)為1得：
則關(guān)于的不等式的解集為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．
5．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)不等式組無解得出，求出即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式組無解，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式，熟練掌握利用一元一次不等式組無解求相關(guān)字母的取值是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谀╆P(guān)于的不等式組有解且每一個(gè)的值均不在的范圍中，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出不等式組的解集，根據(jù)不等式組解集所處條件范圍，列出關(guān)于a的不等式，解不等式可得答案．
【詳解】解：由，
解得：，
由的不等式組的解集中每一個(gè)值均不在的范圍中，
得：或，
解得：或，
∵不等式組有解，
∴，
解得：，
綜上分析可知，，故A正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式組的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性質(zhì)，逆向應(yīng)用是本題的特點(diǎn)．
7．（2022春·甘肅酒泉·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式組恰好有6個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先解每個(gè)不等式，根據(jù)不等式組有6個(gè)整數(shù)解，確定整數(shù)解的值，進(jìn)而求得的范圍．
【詳解】解：，
解①得：，
解②得：，
∴，
∵不等式組的整數(shù)解有6個(gè)，
∴不等式組的整數(shù)解為、0、1、2、3、4，
則，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意求出關(guān)于的不等式組．
8．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）若不等式組的解為，則下列各式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式組的解集同大取較大，可得答案．
【詳解】解：不等式組的解為，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解集，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)不等式組解集的求法解答．求不等式組的解集，應(yīng)注意：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．
9．（2022秋·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有3個(gè)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式組整理后，表示出解集，根據(jù)整數(shù)解共有3個(gè)，確定出a的取值范圍即可．
【詳解】解：不等式組整理得：，
∵不等式組的整數(shù)解共有3個(gè)，
∴，整數(shù)解為，0，1，
則a的取值范圍是．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）若不等式組無解，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小無解了，確定關(guān)于a的不等式，解之可得．
【詳解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式組無解，
，
解得，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
11．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和為，滿足條件的所有整數(shù)m的和是（ ）
A．13B．－15C．－2D．0
【答案】C
【分析】先解不等式組求得解集，然后再根據(jù)所有整數(shù)解的和為確定m的取值范圍，進(jìn)而確定m的可能取值，最后求和即可．
【詳解】解：
解不等式①可得：
解不等式②可得：
∴不等式組的解集為：
∵不等式組的所有整數(shù)解的和為
∴或
∴或
∴或
∴m的值為，則．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組、一元一次不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確求解不等式成為解答本題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若不等式組有解，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的方法和步驟求出不等式組的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小沒得找”即可進(jìn)行解答．
【詳解】解： ，
由①得，，
由②得，，
∵不等式組有解，
∴，即．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握寫出不等式組解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小沒得找．
13．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式組只有4個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出不等式組的解集，再根據(jù)題意求a的取值范圍即可．
【詳解】解：，
解①得，
解②得，
所以不等式組的解集為，
因?yàn)椴坏仁浇M只有4個(gè)整數(shù)解，
所以，
所以．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了求不等式組的解集和根據(jù)解集求取值范圍，正確求出的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
14．（2022春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集是______．
【答案】
【分析】根據(jù)已知不等式的解集，即可確定的值以及的符號(hào)，進(jìn)而求得，進(jìn)一步求得，從而解不等式即可．
【詳解】解：移項(xiàng)，得：，
根據(jù)題意得：且，
即，
則，
又，即，
則，
則關(guān)于的不等式化為：，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，正確確定、的關(guān)系以及的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．
15．（2022春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的正整數(shù)解是，，，，則整數(shù)的最小值是______．
【答案】
【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于的不等式，從而求出的范圍．
【詳解】∵，
∴，
∵不等式的正整數(shù)解恰是，，，，
∴，
∴的取值范圍是．
∴整數(shù)的最小值是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解出不等式的解集，確定的范圍是解決本題的關(guān)鍵．解不等式時(shí)要用到不等式的基本性質(zhì)．
16．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的最大整數(shù)解為1，則a的取值范圍是 ___________．
【答案】
【分析】先解出不等式的解集，再根據(jù)最大整數(shù)解為1列出關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可.
【詳解】解不等式，得：，
∵最大整數(shù)解為1，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有參數(shù)的不等式，熟練掌握解不等式(組)是解題的關(guān)鍵.
17．（2022春·貴州遵義·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式有個(gè)非正整數(shù)解，則的取值范圍是________．
【答案】
【分析】首先解不等式，然后根據(jù)條件即可確定a的值．
【詳解】解：∵，
∴，
∵不等式有4個(gè)非正整數(shù)解，
∴關(guān)于x的一元一次不等式的4個(gè)非正整數(shù)解是，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的整數(shù)解，要熟練掌握，解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對(duì)于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式的整數(shù)解．
18．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如果關(guān)于x的不等式組無解，那么m的取值范圍是___________；
【答案】##
【分析】根據(jù)不等式組無解，得出新的不等式，求解新不等式，即可得出答案．
【詳解】解：ｘ的不等式組無解，
，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組，一元一次不等式組的解集的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能得出關(guān)于m的不等式．
19．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知不等式組的解集為，則的值為__________．
【答案】##0.5
【分析】先求出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集列出關(guān)于m、n的方程，然后求出m、n，最后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∵不等式組解集為，
∴，解得：，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法以及負(fù)數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)不等式組的解集列出關(guān)于m、n的方程是解題的關(guān)鍵．
20．（2022秋·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．
【答案】
【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義求出m的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
【詳解】解：是一元二次方程，
，，
解得：，，
，
原不等式變?yōu)椋海?br>∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程的定義求出m的值．
考點(diǎn)3：方程（組）與不等式（組）綜合問題
典例1：（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來．
（2）已知關(guān)于、的方程組的解滿足，求的最大整數(shù)值．
【答案】（1），數(shù)軸見解析；（2）0
【分析】（1）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集；
（2）兩方程相加得，繼而知，結(jié)合得，解之即可．
【詳解】解：（1）由，得：，
由，得：，
則不等式組的解集為，
將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：
（2）兩方程相加，得：，
，
，
，
解得，
的最大整數(shù)值為0．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是詳解此題的關(guān)鍵．
典例2：（2022春·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程．
（1）若此方程的解為，則______．
（2）若此方程的解為正數(shù)，則的取值范圍為______．
【答案】 且
【分析】（1）將代入原方程，可求出的值；
（2）解分式方程，可得出，結(jié)合方程的解為正數(shù)，且分式方程的分母不能為，即可得出的取值范圍為且．
【詳解】（1）解：將代入原方程得，解得：，
的值為，
故答案為：；
（2）解：解分式方程得：，
分式方程的解為正數(shù)，
且，即，且，解得：，且，
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，牢記定義“求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解”是解題的關(guān)鍵．
典例3：（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組有解，且使得關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，求所有的整數(shù)m的和.
【答案】
【分析】解不等式組，根據(jù)不等式組有解確定的取值范圍．解分式方程，用含的代數(shù)式表示出，根據(jù)分式方程有非負(fù)整數(shù)解求出，即可得出答案．
【詳解】解：整理不等式組，得，
不等式組有解，
不等式組的解集為，
即，
解得．
化簡分式方程，得，
解得，
由題意知，分式方程有意義，
，
，即，
分式方程有非負(fù)整數(shù)解，
是3的非負(fù)整數(shù)倍，
或3
或，
所有的整數(shù)的和為．
鞏固練習(xí)
1．（2022秋·湖北荊門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．12B．16C．18D．49
【答案】B
【分析】先解分式方程，再根據(jù)關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)解，可得，且，再根據(jù)，求出a的取值范圍，進(jìn)一步可得滿足條件的整數(shù)a的值，再求和即可．
【詳解】解：去分母，得，
解得x＝，
∵關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)解，
∴且，
解得且，
∵，
∴，
∴a的取值范圍是且，
∴滿足條件的整數(shù)a的值有6，10，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）若不等式的最小整數(shù)解是方程的解，則a的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出不等式的最小整數(shù)解，代入方程，求出a的值即可．
【詳解】解：∵解不等式得，，
∴其最小整數(shù)解為，
∴，
解得．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解．也考查了一元一次方程的解法．
3．（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則b的取值范圍是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】B
【分析】解分式方程，可得出分式方程的解為，結(jié)合分式方程的解為非負(fù)數(shù)且，即可得出關(guān)于b的一元一次不等式，解之即可得出b的取值范圍．
【詳解】解：解分式方程得，
∵x是非負(fù)數(shù)且，
∴且，
解得：且，
∴b的取值范圍為且．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解以及解一元一次不等式，正確求解分式方程和一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（ ）
A．且B．且
C．且D．
【答案】B
【分析】先把分式方程化為整式方程，然后得出分式方程的解，進(jìn)而問題可求解．
【詳解】解：由分式方程可得：，
∵該分式方程的解為非負(fù)數(shù)，
∴，且，
解得：且；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程及一元一次不等式的解法，熟練掌握分式方程及一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)辛集市辛集鎮(zhèn)育紅中學(xué)校考期末）若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A．且B．且C．且D．
【答案】B
【分析】表示出分式方程的解，由解為正數(shù)確定出的范圍即可．
【詳解】解：分式方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
由分式方程的解為正數(shù)，得到，且，
解得：且．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，一元一次不等式的解集，解題關(guān)鍵是始終注意分母不為這個(gè)條件．
6．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）若關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，且關(guān)于的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是（ ）
A．9B．6C．11D．14
【答案】B
【分析】解不等式組，根據(jù)不等式組有解得到，求出，解分式方程，根據(jù)方程有正數(shù)解得到且，進(jìn)一步得到且，可得a的取值，相加即可．
【詳解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵一元一次不等式組有解，
∴，
∴，
，
，
解得：，
∵分式方程有正數(shù)解，
∴且，
∴且，
∴a的值為2或4，
∴整數(shù)a的值之和為，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·重慶江津·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（ ）
A．4B．9C．11D．12
【答案】B
【分析】首先解分式方程，根據(jù)解是非負(fù)數(shù)，且不是增根，即可得a的取值范圍；再解每一個(gè)一元一次不等式，根據(jù)解集為得到a的取值范圍，據(jù)此即可得到a的最終范圍，即可求得所有整數(shù)a的值，再求和即可．
【詳解】解：分式方程兩邊都乘以得：，
解得，
∵分式方程的解是非負(fù)數(shù)，且，
且，
解得：且，
解不等式組得到：，
∵不等式組的解集為，
，
，
且，
∴符合條件的整數(shù)a的值為：，，0，1，2，4，5，
∴符合條件的所有整數(shù)a的和為：
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，一元一次不等式組的解集，考慮解分式方程可能產(chǎn)生增根是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，且關(guān)于的不等式組恰有4個(gè)整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)值之和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解為正整數(shù)確定出的值，表示出不等式組的解集，由不等式組恰好有7個(gè)整數(shù)解，得到的值相加即可．
【詳解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程解為正整數(shù)，且，得到
，
，
解得：，
不等式組整理得：，
解得：，
由不等式組有解且恰有4個(gè)整數(shù)解，得到整數(shù)解為4，3，2，1，
，
，
則滿足題意的值只能為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谀┤絷P(guān)于x的不等式組無解，且關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（ ）
A．11B．14C．16D．9
【答案】A
【分析】分別解出兩個(gè)一元一次不等式，根據(jù)它們沒有公共部分，確定的取值范圍，求出分式方程的解，根據(jù)方程有正整數(shù)解，確定的值，再將滿足條件的所有整數(shù)a，進(jìn)行相加即可得解．
【詳解】解：由，得：；
由，得：；
∵不等式組無解，
∴，即：；
∵，
解得：；
∵方程有正整數(shù)解，且，
∴滿足條件的所有整數(shù)或或，
∵，
∴或，
∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為：；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查解含參的不等式組和分式方程．熟練掌握大大小小，不等式組無解，以及解分式方程的步驟，是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·重慶·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)使關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，且使關(guān)于的不等式組無解，則滿足條件的所有整數(shù)的和是（ ）
A．0B．3C．5D．8
【答案】C
【分析】首先解出分式方程，得出，再根據(jù)分式有意義的條件，得出，再根據(jù)題意，得出且，然后分別解出不等式，再根據(jù)關(guān)于的不等式組無解，得出，解出即可得出，綜合得出且，再根據(jù)為正整數(shù)，得出取、、，然后相加即可得出答案．
【詳解】解：
分式兩邊同乘以，可得：，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，可得：，
系數(shù)化為1，可得：，
∵，
∴，
∵分式方程有正整數(shù)解，
∴，且，
∴且，
，
解不等式，可得：，
解不等式，可得：，
∵關(guān)于的不等式組無解，
∴，
解得：，
∴綜合可得：且，
又∵為正整數(shù)，
∴取、、，
∴滿足條件的所有整數(shù)的和是．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，解分式方程，考核學(xué)生的計(jì)算能力，解分式方程時(shí)一定要檢驗(yàn)．
11．（2022秋·重慶江北·八年級(jí)重慶十八中校考階段練習(xí)）如果關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的m的所有值的和是（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】先由關(guān)于x的不等式組的解集為，得出，再由關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，得出或5，從而得出答案．
【詳解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
關(guān)于x的不等式組的解集為，
，
又分式方程去分母，得，
去括號(hào)、移項(xiàng)、合并、系數(shù)化為1，得，
根據(jù)題意是非負(fù)整數(shù)解，，
或5，
；
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組與分式方程，熟練掌握已知一元一次不等式組的解集求參數(shù)與已知分式方程的解的情況求值，特別注意分式方程一定要檢驗(yàn)是解答此題的關(guān)鍵．
12．（2022春·重慶銅梁·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知整數(shù)a，使得關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為正數(shù)，且關(guān)于x的一元一次不等式至少有3個(gè)負(fù)整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)有（ ）
A．6B．5C．4D．1
【答案】C
【分析】先解方程組，再利用方程組的解為正數(shù)列不等式組得到a的范圍，再解不等式，利用不等式至少有3個(gè)整數(shù)解，列關(guān)于a的不等式得到a的范圍，再確定a的公共部分，結(jié)合整數(shù)a，從而可得答案．
【詳解】解：
①②得：，
把代入①得：，
∵關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為正數(shù)，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵關(guān)于x的一元一次不等式至少有3個(gè)負(fù)整數(shù)解，
∴負(fù)整數(shù)解至少為，，，
∴，
解得：，
∴，
∵為整數(shù)，
∴為，，，，共4個(gè)數(shù)，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，一元一次不等式的解法，不等式的整數(shù)解，熟練的利用不等式的整數(shù)解求解參數(shù)字母的值的范圍是解本題的關(guān)鍵．
13．（2022春·福建泉州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組，給出下列結(jié)論，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ）
①當(dāng)a＝1時(shí)，方程組的解也是方程x+y＝4﹣a的解
②當(dāng)a＝﹣2時(shí)，x、y的值互為相反數(shù)；
③不論a取什么數(shù)，2x+7y的值始終不變；
④若x≤1，則y≥；
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】A
【分析】解方程組得，①將a＝1的值代入方程組的解和方程中進(jìn)行判斷即可；②將a＝﹣2代入方程組的解，依據(jù)相反數(shù)的概念判斷即可；③將所求x、y代入2x+7y，判斷最后化簡結(jié)果與a有無關(guān)系即可；④由x≤1得出a的范圍，再結(jié)合a的范圍求出的范圍即可．
【詳解】解：解方程組得，
①當(dāng)a＝1時(shí)，，此時(shí)方程x+y＝4﹣1＝3，x＝3、y＝0是該方程的解，正確，不符合題意；
②當(dāng)a＝﹣2時(shí)，，x、y不是互為相反數(shù)，錯(cuò)誤，符合題意；
③2x+7y＝＝6，不論a取什么數(shù)，2x+7y的值始終不變，正確，不符合題意；
④若x≤1，則≤1，解得a≤，此時(shí)≥，正確，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解二元一次方程組和一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握解二元一次方程組和一元一次不等式及不等式組的能力．
14．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是______．
【答案】且
【分析】先解關(guān)于x的分式方程，求得x的值，然后再依據(jù)“解是正數(shù)”建立不等式求m的取值范圍．
【詳解】解：去分母得，，
∴，
∵方程的解是正數(shù)，
∴即，
又因?yàn)椋?br>∴，
∴，
∴，
則m的取值范圍是且．
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解及分式有意義的條件，理解題意得出相應(yīng)不等式求解是關(guān)鍵．
15．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的方程的解滿足不等式，則可取的負(fù)整數(shù)為______．
【答案】，
【分析】先解方程，求得，再解不等式得，然后解不等式，得出的取值范圍，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：解方程，得，
解不等式，得，
∵關(guān)于的方程的解滿足不等式，
∴，解得，
所以滿足條件的的負(fù)整數(shù)值為，．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，一元一次方程的解，解一元一次不等式，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．求出方程的解是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足2x+y＞5，則a的取值范圍是_______．
【答案】
【分析】將兩根方程相加可得，根據(jù)得出關(guān)于a的不等式，解之可得答案．
【詳解】解：將兩個(gè)方程相加可得，
∵，
∴，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向要改變．
17．（2022春·湖南湘西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程組的解滿足，則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】將方程組中的兩個(gè)方程相加并化簡可得，進(jìn)而可得，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：
得：
∴
∵
∴
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解法，解一元一次不等式，正確理解題意、掌握加減消元法是關(guān)鍵．
18．（2022秋·湖南郴州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的不等式組無解，且關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，那么所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為__________．
【答案】15
【分析】利用不等式無解及分式方程的解為非負(fù)數(shù)得到a的取值范圍，再求所有滿足條件的整數(shù)a的值之和即可．
【詳解】解：∵無解，即無解，
∴，解得：，
∵關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，即，
∴，
綜上：，
所有滿足條件的整數(shù)a的值之和：，
故答案為：15
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式無解的定義及分式方程的解法和非負(fù)數(shù)的定義，能夠熟練的解不等式及分式方程是解題關(guān)鍵．
19．（2022秋·廣東江門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若數(shù)使關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，且使關(guān)于的不等式組的解集為，則符合條件所有整數(shù)的積為______．
【答案】8
【分析】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)即可得出且，根據(jù)不等式組的解集為，即可得出，找出且，中所有的整數(shù)，將其相乘即可得出結(jié)論．
【詳解】解：分式方程的解為且，
∵分式方程的解為正數(shù)，
∴且，
∴且，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵關(guān)于y的不等式組的解集為，
∴，
∴且，
又為整數(shù)，則的值為2，4，
符合條件的所有整數(shù)的積為，
故答案為：8
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)結(jié)合不等式組的解集為，找出的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
20．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）要使方程組有正整數(shù)解，則整數(shù)a有___________個(gè)．
【答案】4
【分析】先解方程組，用含a的代數(shù)式表示出方程組的解，根據(jù)方程組有正整數(shù)解求出a的范圍，再求出符合的整數(shù)a即可．
【詳解】解：，
由②得：③，
把③代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
即方程組的解是，
∵方程組有正整數(shù)解，
∴，
解得：，
∴整數(shù)a有，，0，4，共4個(gè)，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組和解一元一次不等式組等知識(shí)點(diǎn)，能得出關(guān)于a的不等式組是解此題的關(guān)鍵．
21．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則m的取值范圍是 __．
【答案】
【分析】由已知方程組得出且，根據(jù)得出關(guān)于的不等式組，解之即可得出答案．
【詳解】解：，
，得：，
∴，
，得：，
∵，
∴，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程組和不等式組得出關(guān)于m的不等式組．
22．（2022秋·山東青島·九年級(jí)青島三十九中?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍．
(2)若為負(fù)整數(shù)，方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，直接寫出的值______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用根的判別式求解；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論及為負(fù)整數(shù)，可知或，分別代入原方程，求出方程的根，再根據(jù)兩個(gè)根都是整數(shù)對(duì)值進(jìn)行取舍即可．
【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
．
（2）解：，為負(fù)整數(shù)，
或，
當(dāng)時(shí)，，
，
解得，，兩個(gè)根不是整數(shù)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，
即，
解得，，兩個(gè)根都是整數(shù)，符合題意；
故，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程和一元二次方程的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
23．（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）解方程組．
(1)下面給出了部分解答過程：
將方程②變形：，即
把方程①代入③得：…
請(qǐng)完成解方程組的過程；
(2)若方程的解滿足，求整數(shù)a的值．
【答案】(1)
(2)2或3
【分析】（1）把方程①整體代入③得到關(guān)于y的方程，求得，再把代入①得到，從而得到方程組的解；
（2）把方程組的解代入得到關(guān)于a的不等式組，解不等式組求出整數(shù)解即可．
【詳解】（1）下面給出了部分解答過程：
將方程②變形：，即
把方程①代入③得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程組的解是；
（2）由（1）可知方程的解為，
∵方程的解滿足，
∴，
解得．
∴整數(shù)a為2或3．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解法，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握方程組和不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)4：不等式（組）的應(yīng)用問題
典例1：（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）順豐快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機(jī)器人來代替人工分揀，已知購買1臺(tái)甲型機(jī)器人比購買1臺(tái)乙型機(jī)器人貴2萬元，且用16萬元購回乙型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)與24萬元購回甲型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)相同．
(1)求甲、乙兩種型號(hào)的機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格各是多少萬元；
(2)已知甲型和乙型機(jī)器人每臺(tái)每小時(shí)分揀快遞分別是1200件和1000件，該公司計(jì)劃購買這兩種型號(hào)的機(jī)器人共8臺(tái)，總費(fèi)用不超過41萬元，并且使這8臺(tái)機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞件數(shù)總和不少于8300件，則該公司有哪幾種購買方案？哪個(gè)方案費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少萬元？
【答案】(1)甲種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是6萬元，則乙種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是4萬元；
(2)見解析．
【分析】（1）設(shè)甲種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是x萬元，則乙種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是萬元，然后根據(jù)等量關(guān)系“用16萬元購回乙型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)與24萬元購回甲型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)相同”列出分式方程求解即可；
（2）設(shè)購買甲種機(jī)器人m臺(tái)，則購買乙種機(jī)器人臺(tái)，然后根據(jù)題意列不等式組確定m的取值范圍，進(jìn)而確定兩種機(jī)器人的數(shù)量；然后分別求出費(fèi)用，最后比較即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)甲種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是x萬元，則乙種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是萬元，
根據(jù)題意得：
，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，且符合實(shí)際意義，
（萬元）．
答：甲種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是6萬元，則乙種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是4萬元．
（2）解：設(shè)購買甲種機(jī)器人m臺(tái)，則購買乙種機(jī)器人臺(tái)，
根據(jù)題意得：，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，
即購買甲種機(jī)器人2臺(tái)，乙種機(jī)器人6臺(tái)，費(fèi)用為：（萬元），
當(dāng)，
即購買甲種機(jī)器人3臺(tái)，乙種機(jī)器人5臺(tái)，費(fèi)用為：（萬元），
當(dāng)，
即購買甲種機(jī)器人4臺(tái)，乙種機(jī)器人4臺(tái)，費(fèi)用為：（萬元）．
綜上可知：購買甲種機(jī)器人2臺(tái)，乙種機(jī)器人6臺(tái)費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是36萬元．
答：該公司有三種購買方案，分別是：①購買甲種機(jī)器人2臺(tái)，乙種機(jī)器人6臺(tái)，②購買甲種機(jī)器人3臺(tái)，乙種機(jī)器人5臺(tái)，③購買甲種機(jī)器人4臺(tái)，乙種機(jī)器人4臺(tái)，其中購買甲種機(jī)器人2臺(tái)，乙種機(jī)器人6臺(tái)費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是36萬元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出分式方程和不等式組是解答本題的關(guān)鍵．
典例2：（2022春·北京西城·七年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀吨泄仓醒雵鴦?wù)院關(guān)于深化教育改革全面推進(jìn)素質(zhì)教育的決定》中明確指出：“健康體魄是青少年為祖國和人民服務(wù)的基本前提，是中華民族旺盛生命力的體現(xiàn)．”王老師所在的學(xué)校為加強(qiáng)學(xué)生的體育鍛煉，需要購買若干個(gè)足球和籃球．他曾三次在某商場(chǎng)購買過足球和籃球，其中有一次購買時(shí)，遇到商場(chǎng)打折銷售，其余兩次均按標(biāo)價(jià)購買．三次購買足球和籃球的數(shù)量和費(fèi)用如下表：
(1)王老師是第 次購買足球和籃球時(shí)，遇到商場(chǎng)打折銷售的；
(2)求足球和籃球的標(biāo)價(jià)；
(3)如果現(xiàn)在商場(chǎng)均以標(biāo)價(jià)的6折對(duì)足球和籃球進(jìn)行促銷，王老師決定從該商場(chǎng)一次性購買足球和籃球60個(gè)，且總費(fèi)用不能超過2500元，那么最多可以購買 個(gè)籃球．
【答案】(1)三
(2)50元，80元
(3)38個(gè)
【分析】（1）根據(jù)圖表可得按打折價(jià)購買足球和籃球是第三次購買；
（2）設(shè)足球的標(biāo)價(jià)為元，籃球的標(biāo)價(jià)為元，根據(jù)圖表列出方程組求出和的值；
（3）設(shè)購買個(gè)籃球，根據(jù)從該商場(chǎng)一次性購買足球和籃球60個(gè)，且總費(fèi)用不能超過2500元，列出不等式求解即可．
【詳解】（1）解：王老師是第三次購買足球和籃球時(shí)，遇到商場(chǎng)打折銷售．
理由：王老師在某商場(chǎng)購買足球和籃球共三次，只有一次購買時(shí)，足球和籃球同時(shí)打折，其余兩次均按標(biāo)價(jià)購買，
且只有第三次購買數(shù)量明顯增多，但是總的費(fèi)用不高，
按打折價(jià)購買足球和籃球是第三次購買；
（2）解：設(shè)足球的標(biāo)價(jià)為元，籃球的標(biāo)價(jià)為元．
根據(jù)題意，得，
解得：．
答：足球的標(biāo)價(jià)為50元，籃球的標(biāo)價(jià)為80元；
（3）解：設(shè)購買個(gè)籃球，依題意有
，
解得．
故最多可以買38個(gè)籃球．
故答案為：三；38．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程和二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．
鞏固練習(xí)
1．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某學(xué)校欲購買A，B兩種型號(hào)拖把．其中A型拖把的單價(jià)比B型拖把的單價(jià)少9元，且用3120元購買A型拖把的數(shù)量與用4200元購買B型拖把的數(shù)量相等．
(1)求A、B型拖把的單價(jià)分別是多少元？
(2)若購買兩種拖把共200個(gè)，且購買A型拖把的數(shù)量不超過B型拖把數(shù)量的，如何購買，才能使購買總費(fèi)用最低？最低是多少元？
【答案】(1)A型拖把每個(gè)價(jià)格為26元，B型拖把每個(gè)價(jià)格為35元
(2)購買50個(gè)A型拖把、150個(gè)B型拖把時(shí)總費(fèi)用最低，最低是6550元
【分析】（1）設(shè)B型拖把每個(gè)x元，則A型拖把每個(gè)元，利用用3120元購買A型拖把的數(shù)量與用4200元購買B型拖把的數(shù)量相等，建立方程即可；
（2）設(shè)購買a個(gè)A型拖把，則購買個(gè)B型拖把，總費(fèi)用w元，再利用總費(fèi)用等于購進(jìn)兩種拖把的費(fèi)用之和建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）解：設(shè)B型拖把每個(gè)x元，則A型拖把每個(gè)元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
∴．
答：A型拖把每個(gè)價(jià)格為26元，B型拖把每個(gè)價(jià)格為35元．
（2）設(shè)購買a個(gè)A型拖把，則購買個(gè)B型拖把，總費(fèi)用w元，
由得
根據(jù)題意得：，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴．
答：購買50個(gè)A型拖把、150個(gè)B型拖把時(shí)總費(fèi)用最低，最低是6550元．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，確定相等關(guān)系或不等關(guān)系建立方程或不等式或函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）2022成都世乒賽期間，某店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤銷售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）
(1)該店第一次用850元購進(jìn)A、B款紀(jì)念品共50件，求兩款紀(jì)念品分別購進(jìn)的件數(shù)；
(2)第一次購進(jìn)的紀(jì)念品售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共200件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于3200元，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少?
(3)成都世乒賽臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款紀(jì)念品調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款紀(jì)念品平均每天銷售利潤為90元？
【答案】(1)A、B兩款紀(jì)念品分別購進(jìn)20件和30件．
(2)購進(jìn)A款紀(jì)念品40件，購進(jìn)B款紀(jì)念品160件時(shí)利潤最大，最大為2520元．
(3)B款紀(jì)念品售價(jià)為24元或20元一件時(shí)，平均每天銷售利潤為90元．
【分析】(1)設(shè)A、B兩款紀(jì)念品分別購進(jìn)x和y件，根據(jù)“用850元購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共30件”列出二元一次方程組即可求解；
(2)設(shè)購進(jìn)A款紀(jì)念品m件，則購進(jìn)B款紀(jì)念品(80-m)件，根據(jù)“進(jìn)貨總價(jià)不高于3200元”列出不等式求出；設(shè)銷售利潤為元，得到，隨著m的增大而增大，結(jié)合m的范圍由此即可求出最大利潤；
(3)設(shè)B款紀(jì)念品降價(jià)a元銷售，則平均每天多銷售件，每天能銷售件，每件的利潤為元，由“平均每天銷售利潤為90元”得到，求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)A、B兩款紀(jì)念品分別購進(jìn)x和y件，
由題意可知： ，
解出：，
故A、B兩款紀(jì)念品分別購進(jìn)20件和30件．
（2）解：設(shè)購進(jìn)A款紀(jì)念品m件，則購進(jìn)B款紀(jì)念品件，
由題意可知：，
解出：，
設(shè)銷售利潤為元，則，
∴是關(guān)于m的一次函數(shù)，且，
∴隨著m的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，銷售利潤最大，最大為元，
故購進(jìn)A款紀(jì)念品40件，購進(jìn)B款紀(jì)念品160件時(shí)利潤最大，最大為2520元．
（3）解：設(shè)B款紀(jì)念品降價(jià)a元銷售，則平均每天多銷售件，每天能銷售件，每件的利潤為元，
由題意可知：，
解出： ，，
當(dāng)時(shí)，元；當(dāng)時(shí)，元
故B款紀(jì)念品售價(jià)為24元或20元一件時(shí)，平均每天銷售利潤為90元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式的應(yīng)用、一次函數(shù)增減性求利潤最大問題及一元二次方程的應(yīng)用，屬于綜合題，讀懂題意是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·山西朔州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）某服裝店到廠家選購A、B兩種品牌的兒童服裝，每套A品牌服裝進(jìn)價(jià)比B品牌服裝每套進(jìn)價(jià)多元，已知用元購進(jìn)A種服裝的數(shù)量是用元購進(jìn)B種服裝數(shù)量的2倍．
(1)求A、B兩種品牌服裝每套進(jìn)價(jià)分別為多少元？
(2)若A品牌服裝每套售價(jià)為元，B品牌服裝每套售價(jià)為元，服裝店老板決定，購進(jìn)B品牌服裝的數(shù)量比購進(jìn)A品牌服裝的數(shù)量的2倍還多4套，兩種服裝全部售出后，要使總利潤不少于元，則最少購進(jìn)A品牌的服裝多少套？
【答案】(1)A、B兩種品牌服裝每套進(jìn)價(jià)分別為元、元．
(2)至少購進(jìn)A品牌服裝的數(shù)量是9套．
【分析】（1）首先設(shè)A品牌服裝每套進(jìn)價(jià)為x元，則B品牌服裝每套進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)關(guān)鍵語句“用元購進(jìn)A種服裝的數(shù)量是用元購進(jìn)B種服裝數(shù)量的2倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先設(shè)購進(jìn)A品牌的服裝a套，則購進(jìn)B品牌服裝套，根據(jù)“可使總利潤不少于元”列出不等式，再解不等式即可．
【詳解】（1）設(shè)A品牌服裝每套進(jìn)價(jià)為x元，則B品牌服裝每套進(jìn)價(jià)為元，
由題意得：
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解
答：A、B兩種品牌服裝每套進(jìn)價(jià)分別為元、元；
（2）設(shè)購進(jìn)A品牌的服裝a套，則購進(jìn)B品牌服裝套，
由題意得：
解得
因?yàn)閍取整數(shù)
所以
答：至少購進(jìn)A品牌服裝的數(shù)量是9套．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意，表示出A、B兩種品牌服裝每套進(jìn)價(jià)，根據(jù)購進(jìn)的服裝的數(shù)量關(guān)系列出分式方程，求出進(jìn)價(jià)是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·安徽淮北·八年級(jí)校考期末）某學(xué)校購買一批籃球和排球，已知購買2個(gè)籃球和1個(gè)排球需170元，購買5個(gè)籃球和2個(gè)排球需400元．
(1)分別求籃球和排球的單價(jià)．
(2)該學(xué)校準(zhǔn)備購買籃球和排球共100個(gè)，每種球至少買一個(gè)且籃球個(gè)數(shù)不少于排球個(gè)數(shù)的3倍．
①設(shè)購買籃球（個(gè)），總費(fèi)用為（元），寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式并寫出自變量的取值范圍；
②請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)總費(fèi)用最低的購買方案，并求出最低費(fèi)用．
【答案】(1)籃球的單價(jià)是60元，排球的單價(jià)是50元
(2)①；②總費(fèi)用最低的購買方案是購買籃球75個(gè)，排球25個(gè)，此時(shí)的費(fèi)用為5750元．
【分析】（1）根據(jù)費(fèi)用可得等量關(guān)系為：購買2個(gè)籃球和1個(gè)排球需170元，購買5個(gè)籃球和2個(gè)排球需400元，列出方程組，求解即可；
（2）①根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以寫出 W 關(guān)于 m 的函數(shù)解析式；
②根據(jù)①中的結(jié)果和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到總費(fèi)用最低的購買方案，并求出最低費(fèi)用．
【詳解】（1）解：設(shè)購買一個(gè)籃球需要x元，購買一個(gè)排球需要y元，
根據(jù)題意，得，
解得：，
答：籃球的單價(jià)是60元，排球的單價(jià)是50元；
（2）解：①由題意可得：，
∵籃球個(gè)數(shù)不少于排球個(gè)數(shù)的3倍
∴
解得：
關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為：；
②由①知：，
∴隨m的增大而增大，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，
，
答：總費(fèi)用最低的購買方案是購買籃球75個(gè)，排球25個(gè)，此時(shí)的費(fèi)用為5750元．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
5．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）哈工大圖書館新進(jìn)一批圖書，張強(qiáng)和李明兩位圖書員負(fù)責(zé)整理圖書，已知張強(qiáng)3小時(shí)清點(diǎn)完這批圖書的一半，李明加入清點(diǎn)另一半圖書的工作，兩人合作小時(shí)清點(diǎn)完另一半圖書；
(1)如果李明單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書需要幾小時(shí)？
(2)經(jīng)過一段時(shí)間，這批圖書破損嚴(yán)重，哈工大圖書館決定在致知書店購買甲、乙兩種圖書共120本進(jìn)行補(bǔ)充，該書店每本甲種圖書的售價(jià)為25元，進(jìn)價(jià)20元；每本乙種圖書的售價(jià)為40元，進(jìn)價(jià)30元．如果此批圖書全部售出后所得利潤不低于950元，那么該書店至少需要賣出乙種圖書多少本？
【答案】(1)李明單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書需要4小時(shí)
(2)該書店至少需要賣出乙種圖書70本
【分析】（1）設(shè)李明單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書需要x小時(shí)，根據(jù)題意可知張強(qiáng)單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書需要6小時(shí)，列分式方程求解即可得到答案；
（2）設(shè)書店賣出乙種圖書m本，根據(jù)題意列不等式方程求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：張強(qiáng)3小時(shí)清點(diǎn)完這批圖書的一半，
張強(qiáng)單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書需要小時(shí)，
設(shè)李明單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書需要x小時(shí)，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，也符合題意，
，
答：李明單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書需要4小時(shí)；
（2）解：設(shè)書店賣出乙種圖書m本，則書店賣出甲種圖書本，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：該書店至少需要賣出乙種圖書70本．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用，讀懂題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系列方程和不等式是解題關(guān)鍵．
6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第三十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）冬季來臨，是流感的高發(fā)期，我校積極進(jìn)行班級(jí)環(huán)境消毒，總務(wù)處購買甲、乙兩種消毒液共100瓶，購買這兩種消毒液共用780元，其中甲種消毒液共用240元，且乙種消毒液的單價(jià)是甲種消毒液單價(jià)的1.5倍．
(1)求甲、乙兩種消毒液的單價(jià)各為多少元？
(2)該校準(zhǔn)備再次購買這兩種消毒液（不包括已購買的100瓶），共140瓶，且所需費(fèi)用不超過1200元，問甲種消毒液至少要購買多少瓶？
【答案】(1)甲種消毒液的單價(jià)為6元，乙種消毒液的單價(jià)為9元
(2)甲種消毒液至少要購買20瓶
【分析】（1）設(shè)甲種消毒液的單價(jià)為x元，則乙種消毒液的單價(jià)為1.5x元，根據(jù)甲、乙兩種消毒液共100瓶列出方程，解方程即可；
（2）設(shè)購買m瓶甲種消毒液，則購買瓶乙種消毒液，根據(jù)兩種消毒液所需費(fèi)用不超過1200元，列出不等式，解不等式即可．
【詳解】（1）解：設(shè)甲種消毒液的單價(jià)為x元，則乙種消毒液的單價(jià)為1.5x元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
∴．
答：甲種消毒液的單價(jià)為6元，乙種消毒液的單價(jià)為9元．
（2）解：設(shè)購買m瓶甲種消毒液，則購買瓶乙種消毒液，
依題意得：，
解得：，
∴m的最小值為20．
答：甲種消毒液至少要購買20瓶．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程和不等式．
7．（2022秋·上?！ち昙?jí)校考階段練習(xí)）一把直角三角尺的一邊緊貼在直線l上，，，，直角三角尺先繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使落在直線1上，然后繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使落在直線l上，再繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使落在直線l上，此時(shí)，三角形的放置方式與初始的放置方式一樣，我們稱這樣的旋轉(zhuǎn)為一個(gè)周期．請(qǐng)問，再經(jīng)過幾個(gè)周期，點(diǎn)B走過的路程就會(huì)超過100？
【答案】
【分析】根據(jù)弧長公式算出一個(gè)周期點(diǎn)B所走弧長和，設(shè)經(jīng)過x個(gè)周期路程就會(huì)超過100列式解出即可．
【詳解】解：設(shè)共經(jīng)過x個(gè)周期，
由題意可得，
繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)B所走弧長為： ，
繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)B所走弧長為：，
當(dāng)，取，
，
∴再經(jīng)過個(gè)周期，點(diǎn)B走過的路程就會(huì)超過100．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形弧長公式的運(yùn)用及不等式求解，解題關(guān)鍵是找到一個(gè)周期點(diǎn)B走過兩個(gè)圓?。?br>8．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成總工程的，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙隊(duì)單獨(dú)施工多少天完成全部工程？
(2)若甲隊(duì)工作4天，乙隊(duì)工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊(duì)工作5天，乙隊(duì)工作6天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)75000元，求甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為多少元？
(3)在（2）的條件下，若兩個(gè)工程隊(duì)不同時(shí)施工，在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快______天能完成總工程．
【答案】(1)30
(2)甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為3000元、10000元
(3)70
【分析】（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工x天完成全部工程，根據(jù)甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成總工程的求出甲隊(duì)單獨(dú)施工完成全部工程的天數(shù)，根據(jù)兩隊(duì)完成工程量的和等于總工程量列方程，求得乙隊(duì)單獨(dú)施工30天完成全部工程，注意分式方程要檢驗(yàn)；
（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為m元、n元, 根據(jù)甲隊(duì)工作4天，乙隊(duì)工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊(duì)工作5天，乙隊(duì)工作6天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)75000元，列方程組求解， 得到甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為3000元、10000元；
（3）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)施工a天，乙隊(duì)單獨(dú)施工b天，根據(jù)兩個(gè)工程隊(duì)不同時(shí)施工，總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元，兩隊(duì)完成工程量等于總工程量，列出與，求出a的取值范圍，根據(jù)最快完成總工程的要求，求出的最小值即可．
【詳解】（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工x天完成全部工程，
∵甲隊(duì)單獨(dú)施工完成全部工程的天數(shù)是（天），
∴，
解得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，且符合題意，
故乙隊(duì)單獨(dú)施工30天完成全部工程；
（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為m元、n元,
∴，
解得，，
故甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為3000元、10000元；
（3）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)施工a天，乙隊(duì)單獨(dú)施工b天，
則
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴
∴在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快70天能完成總工程．
故答案為：70．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了工程問題，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握工作量與工作效率和工作時(shí)間的關(guān)系，總勞務(wù)費(fèi)與每天勞務(wù)費(fèi)和勞務(wù)時(shí)間的關(guān)系，解分式方程與二元一次方程組等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)校考期末）近年來新冠疫情給人們的生活帶來很大影響，體溫問題倍受人們關(guān)注．某商場(chǎng)計(jì)劃購進(jìn)一批甲、乙兩種，每臺(tái)乙設(shè)備價(jià)格比每臺(tái)甲設(shè)備價(jià)格多1.4萬元，花6萬元購買甲設(shè)備和花14.4萬元購買乙設(shè)備的數(shù)量相同．
(1)求甲、乙設(shè)備每臺(tái)各多少萬元？
(2)根據(jù)銷售情況，需購進(jìn)甲、乙兩種設(shè)備共40臺(tái)，總費(fèi)用不高于60萬元，求甲種設(shè)備至少要購買多少臺(tái)？
(3)若每臺(tái)甲種設(shè)備售價(jià)1.8萬元，每臺(tái)乙種設(shè)備售價(jià)4萬元，在（2）的情況下商場(chǎng)應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批空氣凈化裝置售完后獲利最多？
【答案】(1)甲種設(shè)備每臺(tái)1萬元，乙種設(shè)備每臺(tái)萬元
(2)甲種設(shè)備至少購買26臺(tái)
(3)當(dāng)購買甲種設(shè)備26臺(tái)，乙種設(shè)備臺(tái)時(shí)，獲利最多
【分析】（1）設(shè)每臺(tái)甲種設(shè)備萬元，則每臺(tái)乙種設(shè)備萬元，根據(jù)花6萬元購買甲設(shè)備和花14.4萬元購買乙設(shè)備的數(shù)量相同，即可得出關(guān)于的分式方程，解之并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買甲種設(shè)備臺(tái)，則購買乙種設(shè)備臺(tái)，根據(jù)總費(fèi)用不高于60萬元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍，取其內(nèi)的最小正整數(shù)即可；
（3）設(shè)利潤為萬元，可得，由一次函數(shù)的性質(zhì)可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)每臺(tái)甲種設(shè)備萬元，則每臺(tái)乙種設(shè)備萬元，由題意得：
，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
．
答：甲種設(shè)備每臺(tái)1萬元，乙種設(shè)備每臺(tái)萬元；
（2）解：設(shè)購買甲種設(shè)備臺(tái)，則購買乙種設(shè)備臺(tái)，由題意得：
根據(jù)題意得：，
解得：，
為整數(shù)，
∴甲種設(shè)備至少購買26臺(tái)；
（3）解：設(shè)利潤為萬元，由題意得：
，
，
隨的增大而減小，
∵，且為整數(shù)，
時(shí)，有最大值，
答：當(dāng)購買甲種設(shè)備26臺(tái)，乙種設(shè)備臺(tái)時(shí)，獲利最多．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，分析題意，找到合適的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）某地由于開發(fā)建設(shè)，需要對(duì)居民進(jìn)行移民搬遷工作，2020年為做好移民搬遷，投入資金2000萬元用于移民搬遷安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2022年投入資金2880萬元．
(1)從2020年到2022年，該地投入移民搬遷安置資金的年平均增長率為多少？
(2)在2022年移民搬遷安置的具體實(shí)施中，該地計(jì)劃投入資金不低于736萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定前1000戶（含第1000戶）每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)12元，1000戶以后每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元，按租房400天計(jì)算，求2022年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)．
【答案】(1)從2020年到2022年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為；
(2)2022年該地至少有1800戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)．
【分析】（1）設(shè)年平均增長率為，根據(jù)：2020年投入資金給增長率）年投入資金，列出方程求解可得；
（2）設(shè)2022年該地有戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，根據(jù)投入的總資金前1000戶獎(jiǎng)勵(lì)的資金超出1000戶獎(jiǎng)勵(lì)的資金結(jié)合該地投入的獎(jiǎng)勵(lì)資金不低于736萬元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)該地投入異地安置資金的年平均增長率為，
根據(jù)題意得：，
解得：，（舍去），
答：從2020年到2022年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為；
（2）解：設(shè)2022年該地有戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：2022年該地至少有1800戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列出關(guān)于的一元一次不等式．
11．（2022秋·吉林白城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為了提高服務(wù)質(zhì)量，某賓館決定對(duì)甲、乙兩種套房進(jìn)行星級(jí)提升，已知甲種套房提升費(fèi)用比乙種套房提升費(fèi)用少3萬元，如果提升相同數(shù)量的套房，甲種套房費(fèi)用為625萬元，乙種套房費(fèi)用為700萬元．
(1)甲、乙兩種套房每套提升費(fèi)用各多少萬元？
(2)如果需要甲、乙兩種套房共80套，市政府籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于甲、乙種套房星級(jí)提升，市政府對(duì)兩種套房的提升有哪幾種方案？
【答案】(1)甲，乙兩種套房每套提升費(fèi)用分別為25萬元，28萬元；
(2)有三種方案：方案一：甲種套房提升48套，乙種套房提升32套；方案二：甲種套房提升49套，乙種套房提升31套；方案三：甲種套房提升50套，乙種套房提升30套．
【分析】（1）設(shè)甲種套房每套提升費(fèi)用為萬元，則乙種套房每套提升費(fèi)用為萬元，根據(jù)題意列分式方程求解即可；
（2）設(shè)甲種套房提升套，那么乙種套房提升套，根據(jù)題意，列不等式組求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)甲種套房每套提升費(fèi)用為萬元，乙種套房每套提升費(fèi)用為萬元，
依題意，可得
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，
；
答：甲，乙兩種套房每套提升費(fèi)用分別為25萬元，28萬元．
（2）解：設(shè)甲種套房提升套，那么乙種套房提升套，
依題意，得，
解得：
因?yàn)槿≌麛?shù)
即或或，所以有三種方案，
方案一：甲種套房提升48套，乙種套房提升32套．
方案二：甲種套房提升49套，乙種套房提升31套
方案三：甲種套房提升50套，乙種套房提升30套．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程和一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題中的等量關(guān)系和不等式關(guān)系，正確列出方程和不等式．
足球數(shù)量（個(gè)）
籃球數(shù)量（個(gè)）
總費(fèi)用（元）
第一次
6
5
700
第二次
3
7
710
第三次
7
8
693
類別價(jià)格
A款紀(jì)念品
B款紀(jì)念品
進(jìn)貨價(jià)（元/件）
20
15
銷售價(jià)（元/件）
35
27

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