例1．(2023秋·河北邯鄲·七年級(jí)?？计谀┫铝凶冃畏系仁降男再|(zhì)的是（ ）
A．如果2x?3=7，那么2x=7?3
B．如果3x?2=x+1，那么3x?x=1?2
C．如果?2x=5，那么x=5+2
D．如果?2x=6，那么x=?3
知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練
1．(2023秋·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在下列式子中，變形一定成立的是（ ）
A．如果a=b，那么a+m=b+nB．如果?a3=b，那么a=?3b
C．如果a?x=b?x，那么a+b=0D．如果ma=mb，那么a=b
2．(2023秋·天津河西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程變形正確的是（ ）
A．由?2x=1得x=?2B．由x?1=3得x=3?1
C．由?32x=1得x=?23D．由x+2=7得x=7+2
3．(2023秋·河北·七年級(jí)校聯(lián)考期末）下列等式變形錯(cuò)誤的是（ ）
A．若x=2y，則x+1=2y+1B．若3x=2y，則3xm=2ym
C．若3xa=2ya，則3x=2yD．若x=y，則m2+1x=m2+1y
4．(2023秋·廣東江門·八年級(jí)江門市第一中學(xué)?？计谥校└鶕?jù)等式的性質(zhì)，下列變形中正確的是（ ）
A．若m+4=n?44，則m=nB．若a2x=a2y，則x=y
C．若xa=ya，則x=yD．若?32k=8，則k=?12
5．(2023秋·河北保定·七年級(jí)校考期末）如圖，兩個(gè)天平都平衡．當(dāng)天平的一邊放置3個(gè)蘋果時(shí)，要使天平保持平衡，則另一邊需要放香蕉（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
6．(2023秋·江蘇南通·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列運(yùn)用等式性質(zhì)正確的是（ ）
A．如果a=b，那么a+c=b?cB．如果a=b，那么ac=bc
C．如果ac=bc，那么a=bD．如果a=3，那么a2=3a2
7．(2023秋·陜西西安·七年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中：①若x=y，則?m+x=?m+y；②若xa=ya，則x=y；③若x=y，則xt2+1=yt2+1；④若ax=ay，則x=y，正確的個(gè)數(shù)（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
8．(2023秋·湖南郴州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形，錯(cuò)誤的是（ ）
A．如果x+2=y+2，則x=yB．如果 x=y，則x?2=y?2
C．如果 mx=my，則x=yD．如果 xm=ym，則x=y
考點(diǎn)2：方程的解
例2．（1）(2023秋·湖北武漢·七年級(jí)?？计谀┤绻鹸=3是方程3x?2a=a?3的解，則a的值為______．
（2）（(2023秋·湖北黃石·七年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x的一元一次方程12021x+4=2x+b的解為x=2，那么關(guān)于y的一元一次方程12021y+1+4=2y+1+b的解為y=_____．
例3．（1）(2023秋·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若x=3y=?2是二元一次方程ax+by=?2的一個(gè)解，則3a?2b+2024的值為______．
（2）（2023春·重慶渝中·七年級(jí)重慶市求精中學(xué)校校考期中）關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+2y=32x?by=4，下列說法正確的是______．
①當(dāng)a=b=2時(shí)，方程組的解為x=74y=?14．
②當(dāng)a=b=0時(shí)，方程組無解．
③當(dāng)a≠0時(shí)，b無論為何值，方程組均有解．
④當(dāng)a2≠?2b時(shí)，方程組有解．
例4．（1）（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鬭，b分別是方程3x2?9x+5=0的兩根，則a2?4a?b=______________．
（2）（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)東莞市華僑中學(xué)校考期中）已知x=0是關(guān)于x的一元二次方程m+1x2+x+m2?1=0的一個(gè)根，則m=（ ）
A．1B．?1C．1或?1D．無法確定
例5．（1）(2023秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中校考期末）已知關(guān)于x的方程xx?5?m5?x=?1的解大于1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
（2）(2023秋·湖南衡陽·八年級(jí)校考期中）已知關(guān)于x的分式方程2x?1+mxx?1x+2=1x+2
(1)若方程的增根為x=1，求m的值；
(2)若方程無解，求m的值．
例6．(2023秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中校考期末）已知關(guān)于x的分式方程2x?3+mxx2?9=5x+3．
(1)若這個(gè)方程的解是負(fù)數(shù)，求m的取值范圍；
(2)若這個(gè)方程無解，則m=______．（直接寫出答案）
知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練
1．(2023秋·北京東城·七年級(jí)東直門中學(xué)校考期末）關(guān)于x的方程ax=2的解是x=?2，則a的值為（ ）
A．1B．?1C．12D．?12
2．(2023秋·河北石家莊·七年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)校考期末）已知關(guān)于x的方程3m?2x+1=0的解是x=2，則m的值是（ ）
A．2B．1C．?1D．?2
3．(2023秋·河北保定·八年級(jí)保定市第十七中學(xué)校考期末）若x=2y=1是關(guān)于x、y的二元一次方程ax+2y=5的解，則a的值是（ ）
A．32B．?23C．?32D．23
4．(2023秋·吉林松原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）方程x2?2x+1=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根為m，則2022?m2+2m的值是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
5．（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）已知x=1是一元二次方程2x2?kx?3=0的根，則k的值為（ ）
A．?1B．1C．2D．?2
6．(2023秋·湖北武漢·八年級(jí)校考期末）已知關(guān)于x的方程4x?m2x+4=1的解是負(fù)數(shù)，那么m的取值范圍是（ ）
A．m>?4B．m2x?2≤3x+8有且只有4個(gè)整數(shù)解，并且使得關(guān)于y的分式方程5y?3?m3?y=2的解為整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)m的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
11．(2023秋·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分式方程mx?1x?1=0有解，則m的取值范圍是（ ）
A．m≠0B．m≠1C．m≠0或m≠1D．m≠0且m≠1
12．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎獂=5是方程ax?8=20+a的解，則a=______．
13．(2023春·廣東江門·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知x=ay=1是二元一次方程2x+y=4的一組解，則a的值是___________．
14．(2023秋·全國(guó)·九年級(jí)期中）已知m為方程x2+3x?2022=0的一個(gè)根，那么m3+2m2?2025m+2022的值為_______．
15．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┤絷P(guān)于x的分式方程xx?3?mx3?x=1無解，則m的值為______．
16．（2023秋·江蘇南通·八年級(jí)啟東市長(zhǎng)江中學(xué)?？计谀┤絷P(guān)于x的分式方程2x?3=1?m3?x的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是 _______．
17．(2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于x的分式方程m?2x?1?2xx?1=1有增根，則m的值為___________．
18．（2023秋·重慶·七年級(jí)西南大學(xué)附中校考期末）關(guān)于x，y的方程組2x+3y=19ax+by=?1與3x?2y=9bx+ay=?7有相同的解，則 a ?4b ?3 的值為（ ）
A．? 1B．? 6C．? 10D．? 12
考點(diǎn)3：方程（組）的解法
例7. (2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程
(1)3x?2=1?2(x+1)
(2)3y?14?1=5y?76
例8.（1）（2023春·重慶渝中·七年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？计谥校┯么敕ń庖辉畏匠?x+y=5①3x+4y=7②過程中，下列變形不正確的是（ ）
A．由①得x=5?y2B．由①得y=5?2x
C．由②得x=7+4y3D．由②得y=7?3x4
（2）(2023秋·廣東佛山·八年級(jí)佛山市南海石門實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎獂、y滿足方程組x+5y=123x?y=4，則x+y的值為（ ）
A．?4B．4C．?2D．2
（3）（2023春·江蘇南通·七年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的唯一解是x=4y=1，則關(guān)于m，n的方程組a1(2m?4)+b1n=c1+b1a2(2m?4)+b2n=c2+b2的解是（ ）
A．m=3n=2B．m=3n=4C．m=4n=2D．m=4n=3
（4）(2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程組：
(1)x?3y=4x+2y=9；
(2)x+y=53x?1+2y=9
例9. （1）(2023秋·陜西漢中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用公式法解方程：4x2+x?3=0．
（2）(2023秋·河北廊坊·九年級(jí)校考期末）嘉嘉解方程x2+2x?3=0的過程如圖14所示．
(1)在嘉嘉解方程過程中，是用_____________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）來求解的；從第_____________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
(2)請(qǐng)你用不同于（1）中的方法解該方程．
例10. (2023秋·重慶合川·八年級(jí)?？计谀┙夥质椒匠蹋?br>(1)2x+3=1x?2；
(2)x+5x?5=1+10x2?10x+25．
知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練
1．(2023秋·黑龍江綏化·六年級(jí)校考期中）解方程：29x+16=125
2．(2023秋·北京東城·七年級(jí)東直門中學(xué)?？计谀┙夥匠蹋?br>(1)3x?1=5x+1；
(2)2x+13=1?2x?16
3．(2023秋·黑龍江綏化·六年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋簒?15x=23÷1718
4．(2023秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）a?b+c=02a?3b+c=0，則a?cb=（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．(2023春·河南漯河·七年級(jí)?？计谀┤絷P(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=2y=?3，則關(guān)于m，n的二元一次方程組a1m?n+b1m+n=c1a2m?n+b2m+n=c2的解是（ ）
A．m=?12n=?52B．m=?12n=52C．m=?52n=?12D．m=52n=12
6．(2023春·上海浦東新·八年級(jí)?？计谥校┬∶髟诮夥匠探M2x+3y=12①2x+1yx+1=1②的過程中，以下說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．②?①可得y=2x?4，再用代入消元法解
B．令1x=a，1y=b，可用換元法將原方程組化為關(guān)于a、b的二元一次方程組
C．由①得y=6xx?4，再代入②，可得一個(gè)關(guān)于x的分式方程，亦可求解
D．經(jīng)檢驗(yàn)：x=8y=12是方程組的一組解
7．（2023秋·重慶大渡口·八年級(jí)重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校?？计谀╆P(guān)于x，y的二元一次方程組3x+5y=a+22x+3y=a的解適合x+y=10，則a的值為（ ）
A．14B．12C．6D．?10
8．(2023春·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程組x2+y3=24x?y=5
9．(2023春·湖南邵陽·七年級(jí)?？计谥校?duì)于有理數(shù)x，y定義新運(yùn)算：x?y=ax+by+5，其中a，b為常數(shù)．已知1?2=9，（?3）?3=2，那么1?3 的值是多少？
10．(2023春·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x，y的方程組a1x+y?b1x?y=c1a2x+y?b2x?y=c2，解為x=2022y=2023．則關(guān)于x，y的方程組a1x+b1y=15c1a2x+b2y=15c2的解是（ ）
A．x=809y=15B．x=4045y=1C．x=2022y=2023D．x=20225y=?20235
11．(2023秋·遼寧·八年級(jí)校考期末）解方程組：2x+3y=102x+y2?1+y4=1．
12．（2023秋·重慶·七年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┙夥匠蹋ńM）．
(1)6x?21?x=9x?5x+2．
(2)2x+3y2=23(2x+3y)?2y=6．
13．(2023秋·湖南郴州·九年級(jí)?？计谀⒁辉畏匠蘹2+4x?1=0化成形如(x+p)2=q的形式，則p+q的值為（ ）
A．7B．3C．?5D．10
14．(2023秋·陜西榆林·九年級(jí)校考期末）把方程x2?6x+2=0化成(x?m)2=n的形式，則m+n的值是（ ）
A．?4B．4C．?10D．10
15．(2023秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，代數(shù)式?x2+4x?5的值是一個(gè)（ ）
A．正數(shù)B．負(fù)數(shù)C．非負(fù)數(shù)D．無法確定
16．(2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）用配方法解方程x2?4x?1=0，配方后的方程是（ ）
A．x?22=3B．x?22=5C．x+22=3D．x+22=5
17．(2023秋·黑龍江牡丹江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）把方程x2+6x?9=0化為x+a2=b的形式，下列方程中正確的是（ ）
A．x?32=18B．x+32=18C．x+32=15D．x?32=15
18．(2023秋·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）用配方法解方程x2?4x?3=0，配方后的方程是（ ）
A．(x?2)2=7B．(x+2)2=7C．(x?2)2=1D．(x+2)2=1
19．(2023秋·全國(guó)·九年級(jí)期中）先閱讀材料，再解決下列問題．
例如：用配方法求代數(shù)式x2+4x+6的最小值．
原式=x2+4x+4+2=x+22+2．
∵x+22≥0，
∴當(dāng)x=?2時(shí)，x2+4x+6有最小值是2．
根據(jù)上述所用方法，解決下列問題：
(1)求代數(shù)式x2?6x+12的最小值；
(2)若y=?x2+2x?3，當(dāng)x=_______時(shí)，y有最_______值（填“大”或“小”），這個(gè)值是_______；
(3)當(dāng)a，b，c分別為△ABC的三邊時(shí)，且滿足a2+b2+c2?6a?10b?8c+50=0時(shí)，判斷△ABC的形狀并說明理由．
20．(2023秋·江蘇無錫·九年級(jí)無錫市江南中學(xué)校考期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>(1)3x2?x=0
(2)x+12?9=0
(3)x2?2x?5=0
(4)xx?3=10
21．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?br>(1)x2?6x?6=0
(2)2x2?7x+6=0
22．(2023秋·河南信陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）用合適的方法解方程：
(1)x?52=16．
(2)x2?2x?4=0．
(3)y?12+2y1?y=0．
(4)2x2?7x+1=0．
23．(2023秋·天津紅橋·九年級(jí)?？计谀┙庀铝蟹匠蹋?br>(1)xx?3+x?3=0；
(2)3x2?5x+1=0．
24．(2023秋·天津河?xùn)|·九年級(jí)校考期末）解方程
(1)x2?2x?6=0 ；
(2)(x+4)2=5(x+4) ．
25．(2023秋·遼寧大連·九年級(jí)校考期末）解方程：
(1)x2?8x+1=0
(2)xx?2+x?2=0
26．(2023秋·北京東城·九年級(jí)北京二中校聯(lián)考期末）把關(guān)于x的一元二次方程2x2?4x+m=0配方，得到x+p2=12．
(1)寫出完整的配方過程，并求常數(shù)m與p的值；
(2)求此方程的解．
27．(2023秋·河北唐山·八年級(jí)校考期末）已知關(guān)于x的方程x+1x=a+1a的兩個(gè)解分別為a，1a，則方程x+1x+1=a+1a+1的解是（ ）
A．a(chǎn)，?aa+1B．1a+1，a+1C．1a，a+1D．a(chǎn)，?1a+1
28．(2023秋·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第四十中學(xué)校考期末）把分式方程1x?2?1?x2?x=1化為整式方程正確的是（ ）
A．1?1?x=1B．1+1?x=1
C．1?1?x=x?2D．1+1?x=x?2
29．(2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┙夥匠蹋?br>(1)2x?5=15?x+1；
(2)xx?2?1=1x?2x+3．
30．(2023秋·湖北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：
(1)2x+1?1x=0
(2)x?2x+2?16x2?4=1
31．（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)郯城縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┙庀铝蟹匠蹋?br>(1)2x?3=3x
(2)4x2?1=x+2x?1?1
32．(2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：
(1)x2?3xx?2+x2?22?x=1
(2)3x?1?x+2xx?1=0
考點(diǎn)4：一元二次方程根的判別式
例11. (2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程2x2?3x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí)，求該方程的解．
知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練
1．(2023秋·陜西西安·九年級(jí)校考期末）若方程x2?2x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為（ ）
A．4B．2C．1D．0
2．(2023秋·遼寧鞍山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程kx2?4x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k≤4B．k≥?4C．k≤4且k≠0D．k≥?4且k≠0
3．（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)東莞市華僑中學(xué)?？计谥校╆P(guān)于x的方程x2?2x?5=0的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無實(shí)數(shù)根D．不能確定
4．(2023秋·上海青浦·八年級(jí)校考期末）下列一元二次方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的方程是（ ）
A．x2+14=xB．x?22=5C．x2+2x=0D．2x2?2x+1=0
5．(2023秋·河北廊坊·九年級(jí)校考期末）若關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則方程x2+mx+n=?1的根的情況是（ ）
A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．沒有實(shí)數(shù)根
6．(2023秋·湖南郴州·九年級(jí)校考期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?m=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A． m>?1B． m>1C． m≥?1D． m≤?1
7．(2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．(2023秋·廣東東莞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程k?1x2?2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k取值范圍是（ ）
A．k≥?2B．k>2C．k2且k≠1
9．(2023秋·全國(guó)·九年級(jí)期中）關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+(m?1)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m>0且m≠1B．m≥0且m≠1C．m>0D．m0，等式成立，不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)．熟練掌握等式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
4．(2023秋·廣東江門·八年級(jí)江門市第一中學(xué)?？计谥校└鶕?jù)等式的性質(zhì)，下列變形中正確的是（ ）
A．若m+4=n?44，則m=nB．若a2x=a2y，則x=y
C．若xa=ya，則x=yD．若?32k=8，則k=?12
答案：C
分析：根據(jù)等式的基本性質(zhì)，逐個(gè)進(jìn)行判斷，即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：A、若m+4=n?44，則m≠n，故A不正確，不符合題意；
B、若a2x=a2y，a≠0，則x=y，故B不正確，不符合題意；
C、若xa=ya，則x=y，故C正確，符合題意；
D、若?32k=8，則k=?163，故D不正確，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)一：等式兩邊同時(shí)加上或者是減去同一個(gè)整式，等式仍然成立．性質(zhì)二：等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立．
5．(2023秋·河北保定·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，兩個(gè)天平都平衡．當(dāng)天平的一邊放置3個(gè)蘋果時(shí)，要使天平保持平衡，則另一邊需要放香蕉（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
答案：D
分析：通過等量關(guān)系，建立方程求解．
【詳解】解：設(shè)一個(gè)蘋果的重量是a，一個(gè)香蕉的重量是b，一根三角形物體的重量是c，由題意得：
2a=5c2b=3c，
∴a=52cb=32c，
∴3a=3×52c=152c，
152c÷32c=5（個(gè)），
即另一邊需要放香蕉5個(gè)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查等式性質(zhì)，找到題中的等量關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．
6．(2023秋·江蘇南通·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列運(yùn)用等式性質(zhì)正確的是（ ）
A．如果a=b，那么a+c=b?cB．如果a=b，那么ac=bc
C．如果ac=bc，那么a=bD．如果a=3，那么a2=3a2
答案：C
分析：根據(jù)等式的性質(zhì)：等式的左、右兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立；等式的左、右兩邊同時(shí)乘上或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），等式仍然成立，由此進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、如果a=b，那么a+c=b?c，不正確，本選項(xiàng)不符合題意；
B、如果a=b，當(dāng)c ≠0時(shí)，那么ac=bc，原說法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不合題意；
C、如果ac=bc，這時(shí)c ≠0時(shí)，那么a=b，原說法正確，本選項(xiàng)合題意；
D、如果a=3，，那么a2=3a2，兩邊乘的數(shù)不相同，本選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練運(yùn)用等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。
7．(2023秋·陜西西安·七年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考期末）下列說法中：①若x=y，則?m+x=?m+y；②若xa=ya，則x=y；③若x=y，則xt2+1=yt2+1；④若ax=ay，則x=y，正確的個(gè)數(shù)（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
答案：C
分析：根據(jù)等式的性質(zhì)依次判斷即可．
【詳解】解：∵等式兩邊同時(shí)加上或者是減去同一個(gè)整式，等式仍然成立，
∴若x=y，則?m+x=?m+y；
∵等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立，
∴若xa=ya，則x=y，故②正確；
∴若x=y，則xt2+1=yt2+1，故③正確；
∴若ax=ay，當(dāng)a≠0時(shí)x=y，故④錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知：等式兩邊同時(shí)加上或者是減去同一個(gè)整式，等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立．
8．(2023秋·湖南郴州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形，錯(cuò)誤的是（ ）
A．如果x+2=y+2，則x=yB．如果 x=y，則x?2=y?2
C．如果 mx=my，則x=yD．如果 xm=ym，則x=y
答案：C
分析：根據(jù)等式的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：A. 如果x+2=y+2，則x=y，說法正確，故不符合題意；
B. 如果 x=y，則x?2=y?2，說法正確，故不符合題意；
C. 如果 mx=my，則x=y，只有當(dāng)m≠0的時(shí)候才成立，說法錯(cuò)誤，故符合題意；
D. 如果 xm=ym，則x=y，說法正確，故不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵
考點(diǎn)2：方程的解
例2．（1）(2023秋·湖北武漢·七年級(jí)校考期末）如果x=3是方程3x?2a=a?3的解，則a的值為______．
答案：4
分析：把x=3代入原方程，即可求解．
【詳解】解：∵x=3是方程3x?2a=a?3的解，
∴3×3?2a=a?3，
解得：a=4，
故答案為：4
（2）（(2023秋·湖北黃石·七年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x的一元一次方程12021x+4=2x+b的解為x=2，那么關(guān)于y的一元一次方程12021y+1+4=2y+1+b的解為y=_____．
答案：1
分析：利用換元法可求得y+1=2，即可求解
【詳解】解：設(shè)y+1=x，原方程可變?yōu)椋?2021x+4=2x+b，
∵方程12021x+4=2x+b的解為x=2，
∴y+1=2，
∴y=1，
故答案為：1
例3．（1）(2023秋·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若x=3y=?2是二元一次方程ax+by=?2的一個(gè)解，則3a?2b+2024的值為______．
答案：2022
分析：根據(jù)方程的解滿足方程，把解代入方程，可得關(guān)于a，b的方程，可得整體代數(shù)式的值，再代入代數(shù)式3a?2b+2024可得答案．
【詳解】解：∵x=3y=?2是二元一次方程ax+by=?2的一個(gè)解，
∴代入得：3a?2b=?2，
∴3a?2b+2024=?2+2024=2022，
故答案為：2022．
（2）（2023春·重慶渝中·七年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？计谥校╆P(guān)于x，y的二元一次方程組ax+2y=32x?by=4，下列說法正確的是______．
①當(dāng)a=b=2時(shí)，方程組的解為x=74y=?14．
②當(dāng)a=b=0時(shí)，方程組無解．
③當(dāng)a≠0時(shí)，b無論為何值，方程組均有解．
④當(dāng)a2≠?2b時(shí)，方程組有解．
答案：①④
分析：根據(jù)解二元一次方程的知識(shí)，進(jìn)行求解，即可．
【詳解】①當(dāng)a=b=2時(shí)，二元一次方程組為：2x+2y=32x?2y=4
令2x+2y=3,①2x?2y=4,②
①+②得，4x=7，解得：x=74
把x=74代入①式，得2×74+2y=3，解得：y=?14
∴當(dāng)a=b=2時(shí)，方程組的解為：x=74y=?14；
故①正確；
②當(dāng)a=b=0時(shí)，二元一次方程組為：2y=32x=4
解得：y=32x=2
∴當(dāng)a=b=0時(shí)，方程組的解為：y=32x=2；
故②錯(cuò)誤；
③∵ax+2y=3
∴y=?a2x+32
把y=?a2x+32代入2x?by=4中，得x=3b+84+ab
∴y=12?8a24+ab
若4+ab=0，則ab=?4，方程無解
當(dāng)a≠0，ab=?4且b≠?83時(shí)，方程無解
∴③錯(cuò)誤；
④當(dāng)a2≠?2b，
∴ab≠?4，
∴在x=3b+84+aby=12?8a24+ab中，x，y有意義，
∴當(dāng)a2≠?2b時(shí)，二元一次方程組ax+2y=32x?by=4有解，
∴④正確，
∴正確的為：①④．
故答案為：①④．
例4．（1）（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）若a，b分別是方程3x2?9x+5=0的兩根，則a2?4a?b=______________．
答案：?143##?423
分析：根據(jù)a，b分別是方程3x2?9x+5=0的兩根，得出3a2?9a+5=0，a+b=??93=3，將3a2?9a+5=0變形得出a2?3a=?53，然后變形a2?4a?b=a2?3a?a+b，最后代入求值即可．
【詳解】解：∵a，b分別是方程3x2?9x+5=0的兩根，
∴3a2?9a+5=0，a+b=??93=3，
∴3a2?9a=?5，
即a2?3a=?53，
∴a2?4a?b
=a2?3a?a?b
=a2?3a?a+b
=?53?3
=?143．
故答案為：?143．
（2）（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)東莞市華僑中學(xué)校考期中）已知x=0是關(guān)于x的一元二次方程m+1x2+x+m2?1=0的一個(gè)根，則m=（ ）
A．1B．?1C．1或?1D．無法確定
答案：A
分析：根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=0代入已知方程列出關(guān)于系數(shù)m的新方程，通過解方程即可求得m的值．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程m+1x2+x+m2?1=0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
∴m≠?1．
根據(jù)題意，知x=0滿足關(guān)于x的一元二次方程m+1x2+x+m2?1=0，
則m2?1=0，即(m+1)(m?1)=0，
解得，m=?1（不合題意，舍去），或m=1．
故選：A．
例5．（1）(2023秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┮阎P(guān)于x的方程xx?5?m5?x=?1的解大于1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
答案：m1，且5?m2≠5，
解得m0，且k?1≠0，求出k的取值范圍，即可得出答案．
【詳解】解：由題意知：k?1≠0，Δ=?22?4×1×k?1=4?4k+4=8?4k>0，
解得：k0且m≠1B．m≥0且m≠1C．m>0D．m0，
即4?4(m?1)>0．
解得m0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
10．（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)東莞市華僑中學(xué)?？计谥校┤絷P(guān)于x的一元二次方程x2+2x+a?2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是___________．
答案：a≤3
分析：根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+a?2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴Δ=22?4×1×a?2≥0，
得4?4a+8≥0，
解得a≤3，
故a的取值范圍是a≤3，
故答案為：a≤3．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程根的判別式是解決本題的關(guān)鍵．
11．(2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程x2+2x+k?4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）k的取值范圍是______；
（2）若x=?2是該方程的一個(gè)根，則k=______．
答案： k0，即22?4k?4>0，即可求得k的取值范圍；
（2）設(shè)方程另一個(gè)根為x2，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系有?2+x2=?2?2x2=k?4，即可得到方程的另一個(gè)根．
【詳解】解：（1）∵關(guān)于x的方程x2+2x+k?4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ=22?4k?4>0
解得：k

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