（2022秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
類型2-正多邊形的圖形變換問題
（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，邊長為4的正六邊形的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，軸，將正六邊形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)次，每次旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．
類型3-與正多邊形有關(guān)的作圖問題
（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)期中）如圖，正五邊形內(nèi)接于，依照以下作圖過程回答問題：
作法：
（1）作直徑．
（2）以F為圓心，為半徑作圓弧，與交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在直徑左側(cè)，點(diǎn)N在直徑右側(cè)）．
（3）連接．
通過以上作圖，若從點(diǎn)A開始，以長為半徑，在上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些點(diǎn)，可以得到正n邊形，則n的值為 _____．
類型4-同圓（正多邊形）與多個(gè)正多邊形（圓）問題
（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1所示的正六邊形（記為“圖形”）邊長為6，將每條邊三等分，沿每個(gè)頂點(diǎn)相鄰的兩個(gè)等分點(diǎn)連線剪下6個(gè)小三角形（如圖1中6個(gè)陰影部分的三角形），把剪下的這6個(gè)小三角形拼接成圖2外輪廓所示的正六邊形（記為“圖形”），作出圖形的內(nèi)切圓⊙O，如圖3，得到如下結(jié)論：
①圖1中剩余的多邊形（即空白部分）為正十二邊形；
②把圖2中空白部分記作“圖形”，則圖形的周長之比為3：2：；
③圖3中正六邊形的邊上任意一點(diǎn)到⊙O上任意一點(diǎn)的最大距離為4+．
以上結(jié)論正確的是（ ）
A．②③B．①③C．②D．①
綜合訓(xùn)練
1．（2022秋·遼寧盤錦·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正八邊形的中心角等于（ ）度
A．36B．45C．60D．72
2．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多邊形是的內(nèi)接正n邊形，已知的半徑為r，的度數(shù)為，點(diǎn)O到的距離為d，的面積為S．下面三個(gè)推斷中．
①當(dāng)n變化時(shí)，隨n的變化而變化，與n滿足的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；
②若為定值，當(dāng)r變化時(shí)，d隨r的變化而變化，d與r滿足的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；
③若n為定值，當(dāng)r變化時(shí)，S隨r的變化而變化，S與r滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系．
其中正確的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
3．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．10B．12C．15D．20
4．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)大的正六邊形，它的一個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)邊長為的小正六邊形的中心重合，且與邊，相交于點(diǎn)，．圖中陰影部分的面積記為，三條線段，，的長度之和記為，在大正六邊形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，和的值分別是( )
A．，B．，C．，D．和的值不能5．（2023秋·云南昆明·九年級(jí)云大附中?？计谀┫铝袌D形中，繞它的中心旋轉(zhuǎn)后可以和原圖形重合的是（ ）
A．正六邊形B．正五邊形C．正方形D．正三角形
6．（2022秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若是正n邊形的一個(gè)中心角，則n的值為（ ）
A．8B．10C．12D．16
7．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)O為正六邊形的中心，P、Q分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長度，則第2021次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）
8．（2022秋·天津·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，要擰開一個(gè)邊長為的正六邊形，扳手張開的開口b至少為（ ）
A．B．C． D．
9．（2023秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，六邊形正六邊形，曲線…叫做“正六邊形的漸開線”，其中弧 ，弧，弧，弧，弧? ．的圓心依次按點(diǎn)循環(huán)，其弧長分別記為…．當(dāng)時(shí)，等于（ ）
A．1011πB．C．D．
10．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一張菱形紙片，分別把沿著兩條平行于的直線進(jìn)行對(duì)折，得到一個(gè)六邊形，如果這個(gè)六邊形是正六邊形，則菱形的對(duì)角線長的比（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角α至少為______度．
13．（2023春·天津和平·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）正六邊形的邊心距為3，這個(gè)正六邊形的面積為___________．
14．（2023秋·甘肅慶陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正多邊形的中心角是，則這個(gè)多邊形是正______邊形．
17．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）中心角為 60°的正多邊形有_____條對(duì)稱軸．
15．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，為一個(gè)外角為的正多邊形的頂點(diǎn)．若為正多邊形的中心，則_______．
16．（2022·四川成都·?？级＃┠硵?shù)學(xué)小組利用作圖軟件，將反比例函數(shù)和的圖象繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到了美麗的“雪花”圖案，再順次將圖象交點(diǎn)連接，得到一個(gè)八邊形，若該八邊形的周長為16，則k＝_____．
17．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）【問題提出】
正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的半徑和中心角有什么關(guān)系？
【問題探究】
如圖①，是等邊三角形，半徑，是中心角，是內(nèi)任意一點(diǎn)，到各邊距離、、分別為，設(shè)的邊長是，面積為．過點(diǎn)作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
聯(lián)立①②得
∴
∴
【問題解決】
如圖②，五邊形是正五邊形，半徑，是中心角，是五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，到五邊形各邊距分別為、、、、，參照（1）的分析過程，探究的值與正五邊形的半徑及中心角的關(guān)系．
【性質(zhì)應(yīng)用】
（1）正六邊形（半徑是）內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和_______．
（2）如圖③，正邊形（半徑是）內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和______．
18．（2021·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）尺規(guī)作圖是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容．小明按以下步驟進(jìn)行尺規(guī)作圖：①將半徑為的六等分，依次得到六個(gè)分點(diǎn)；②分別以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；③連結(jié)．則的長是（ ）
A．B．C．D．
19．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知的半徑為a，按照下列步驟作圖：（1）作的內(nèi)接正方形ABCD（如圖1）；（2）作正方形的內(nèi)接圓，再作較小圓的內(nèi)接正方形（如圖2）；（3）作正方形的內(nèi)接圓，再作其內(nèi)接正方形（如圖3）；…；依次作下去，則正方形的邊長是______．
20．（2022春·寧夏銀川·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，作邊長為1的正六邊形，邊、分別在射線OM、ON上，邊所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)、，以為邊作正六邊形，邊所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)、，再以為邊作正六邊形，…，依此規(guī)律，經(jīng)第n次作圖后，點(diǎn)到ON的距離是______．
21．（2023春·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作的一個(gè)內(nèi)接正方形（保留作圖痕跡，不寫作法）．
22．（2021春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正六邊形ABCDEF，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．
(1)在圖1中，G是AF的中點(diǎn)，過G點(diǎn)作圖形的對(duì)稱軸；
(2)在圖2中，G、H分別是AF、CD的中點(diǎn)，畫出頂點(diǎn)在六邊形的邊的中點(diǎn)上的矩形．
23．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正五邊形內(nèi)接于⊙，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點(diǎn)M，N；③連接．
(1)求的度數(shù)．
(2)是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由．
(3)從點(diǎn)A開始，以長為半徑，在⊙上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．
24．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請(qǐng)用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．
(1)在圖1中的邊上求作點(diǎn)，使；
(2)在圖2中的邊上求作點(diǎn)，使．
25．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知．
求作：的內(nèi)接等邊．
小麗同學(xué)的作法及證明過程如下：
作法：①作直徑；
②作半徑的垂直平分線，垂足為，交于兩點(diǎn)；
③連接，．
所以即為的內(nèi)接等邊三角形．
∵在中，垂直平分
∴，
∵
∴（①）
∵
∴為等邊三角形
∴
∴（②）
∴為的內(nèi)接等邊三角形．
（1）在小麗同學(xué)的證明過程中，①、②兩處的推理依據(jù)分別是 ； ．
（2）請(qǐng)你再給出一種作圖方法．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
26．（2020秋·江蘇無錫·九年級(jí)無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）門環(huán)，在中國綿延了數(shù)千多年的，集實(shí)用、裝飾和門第等級(jí)為一體的一種古建筑構(gòu)件，也成為中國古建“門文化”中的一部分，現(xiàn)有一個(gè)門環(huán)的示意圖如圖所示，點(diǎn)O為正六邊形 ABCDEF的中心．

（1）請(qǐng)用無刻度直尺與圓規(guī)，過點(diǎn)O作一個(gè)⊙P，使⊙P與直線AF和直線AB同時(shí)相切．（請(qǐng)保留作圖痕跡）
（2）若正六邊形 ABCDEF E的邊長為18cm，試求（1）中⊙P的半徑．（結(jié)果保留根號(hào)）
25．（2020·浙江·九年級(jí)期末）尺規(guī)作圖：如圖，為的直徑．
（1）求作：的內(nèi)接正六邊形；（要求：在所給圓中作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）中已畫出的圖形上連接，已知的半徑為4，求的長．曉敏的解法如下，請(qǐng)你完善解答過程中的兩個(gè)空格的內(nèi)容．
解：在中，連接．
∵正六邊形內(nèi)接于，
∴，
∴，
∴________（填推理的依據(jù)）．
∵為直徑，
∴，
∵，
∴________．
26．（2020秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）尺規(guī)作圖：如圖，為⊙的直徑
（1）求作：⊙的內(nèi)接正六邊形.（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）已知連接，⊙的半徑為4，求的長.
小明的做法如下，請(qǐng)你幫助他完成解答過程.
在⊙中，連接.
∵正六邊形內(nèi)接于⊙
∴
∴
∴ （填推理依據(jù)）
∵為⊙直徑
∴
∵
∴
27.（2023春·四川涼山·九年級(jí)統(tǒng)考專題練習(xí)）如圖，正三角形內(nèi)接于，其邊長為；則的內(nèi)接正方形的邊長為（ ）
A．B．C．D．
28．（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形和正方形都內(nèi)接于，連接，則弦所對(duì)圓周角的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
29．（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知四個(gè)正六邊形按如圖所示擺放在圖中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在上，連接．若兩個(gè)大正六邊形的邊長均為4，兩個(gè)小正六邊形全等，則小正六邊形的邊長是（ ）
A．B．C．D．
30．（2022秋·北京東城·九年級(jí)北京二中校聯(lián)考期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，的半徑為3，則這個(gè)正六邊形的邊心距的長為（ ）
A．B．C．D．
31．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：如圖，①在上任取一點(diǎn)A，連接并延長交于點(diǎn)B；②以點(diǎn)B為圓心，為半徑作圓弧分別交于C，D兩點(diǎn)；③連接，并延長分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)；④順次連接，，，，，，得到六邊形．連接，，交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)GB．
C．點(diǎn)G是線段的三等分點(diǎn)D．
32．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
41．（2022·山東濟(jì)寧·二模）如圖，的內(nèi)接正六邊形的邊心距為，分別以、、為圓心，正六邊形的半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．B．C．D．
33．（2023秋·四川廣元·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，的半徑為1，則邊心距的長為______．
34．（2023·新疆烏魯木齊·烏市八中校考一模）如圖，正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為________.
35．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）劉徽是我國魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他首次提出“割圓術(shù)”，利用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計(jì)算圓周率．如圖，多邊形A1A2A3…An是⊙O的內(nèi)接正n邊形．已知⊙O的半徑為r，∠A1OA2的度數(shù)為，點(diǎn)O到A1A2的距離為d，△A1OA2的面積為S．下面四個(gè)推斷中，
①當(dāng)n變化時(shí)，隨n的變化而變化，與n滿足函數(shù)關(guān)系．
②若為定值，當(dāng)r變化時(shí)，d隨r的變化而變化，d與r滿足正比例函數(shù)關(guān)系．
③無論n，r為何值，總有．
④若n為定值，當(dāng)r變化時(shí)，S隨r的變化而變化，S與r滿足二次函數(shù)關(guān)系．
其中錯(cuò)誤的是_______（填序號(hào)）．
36．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，如果、分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，則__________，一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么__________．
37．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，正方形內(nèi)接于，其邊長為2，則的內(nèi)接正三角形的邊長為______．
38．（2022·四川綿陽·校考二模）如圖，內(nèi)切于正方形中，與邊相切的點(diǎn)分別為，對(duì)角線交于點(diǎn)，連接，則的值是______．
39．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形和等邊都內(nèi)接于圓O，與別相交于點(diǎn)G，H．若，則的半徑長為 _____；的長為 _____．
40．（2022秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形和正三角形都內(nèi)接于，則的度數(shù)為________°．
41．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓．現(xiàn)假設(shè)可以隨意在圖中取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是_________．
42．（2022秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形是半徑為1的的內(nèi)接六邊形，連接并延長到點(diǎn)，過點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．
(1)是___________（填“直角”“等腰”或“等邊”）三角形；
(2)當(dāng)___________時(shí)，直線與相切，此時(shí)通過計(jì)算比較線段和劣弧長度哪個(gè)更長；（參考數(shù)據(jù)：取3）
(3)已知是上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)A，重合）．
①連接，，求的度數(shù)；
②已知，過點(diǎn)作的切線，當(dāng)切線與直線交于點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出長的最小值．
43．（2023秋·河南周口·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正六邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n個(gè)，得到正六邊形，當(dāng)時(shí)，正六邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
44．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長為）重合在一起，下面一張保持不動(dòng)，將上面一張紙片六邊形沿水平方向向左平移個(gè)單位長度，則上面正六邊形紙片面積與折線掃過的面積（陰影部分面積）之比是（ ）
A．B．C．D．
45．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將正六邊形放置在直角坐標(biāo)系內(nèi)，，點(diǎn)B在原點(diǎn)，點(diǎn)P是正六邊形的中心，現(xiàn)把正六邊形沿x軸正半軸作無滑動(dòng)的連續(xù)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)，經(jīng)過2022次翻轉(zhuǎn)之后，則點(diǎn)Р的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
46.（2021春·江蘇無錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將邊長為6的正六邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，延長交于點(diǎn)，則的長為（ ）
A．1B．1.2C．1.5D．1.8
47．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）把邊長為2+的正方形沿過中心的一條直線折疊，兩旁重疊部分恰為正八邊形的一半，則這個(gè)正八邊形的邊EF的長為（ ）
A．1B．2C．D．2
48．（2022·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學(xué)?？级＃┤鐖D，圓內(nèi)接正八邊形的邊長為1，以正八邊形的一邊AB作正方形ABCD，將正方形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與正八邊形的另一邊重合，則正方形ABCD與正方形 重疊部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
49．（2023春·浙江金華·九年級(jí)浙江省義烏市后宅中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，已知正方形的頂點(diǎn)A、B在上，頂點(diǎn)C、D在內(nèi)，將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在上．若正方形的邊長和的半徑均為，則點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長為 ___________．
50．（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果邊長為1的正六邊形繞著頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與正六邊形重合．
（1）則的長是________；
（2）點(diǎn)在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，所經(jīng)過的路徑長為________（結(jié)果保留）．
51．（2022秋·河北衡水·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，邊長為3的正方形ABCD在正六邊形外部做順時(shí)針方向的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，滾動(dòng)一周回到初始位置時(shí)停止，點(diǎn)A在滾動(dòng)過程中到出發(fā)點(diǎn)的最大距離是______．
52．（2021·江蘇常州·校聯(lián)考一模）如圖，⊙O的半徑為2，圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)A、B在第二象限，點(diǎn)C、D在⊙O上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），現(xiàn)將正方形ABCD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了⊙O上的點(diǎn)B1處，點(diǎn)A、D分別運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1、D1處，即得到正方形A1B1C1D1（點(diǎn)C1與C重合）；再將正方形A1B1C1D1繞點(diǎn)B1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°，點(diǎn)A1運(yùn)動(dòng)到了⊙O上的點(diǎn)A2處，點(diǎn)D1、C1分別運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)D2、C2處，即得到正方形A2B2C2D2（點(diǎn)B2與B1重合），…，按上述方法旋轉(zhuǎn)2020次后，點(diǎn)A2020的坐標(biāo)為 _____．
53．（2022春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：如果幾個(gè)全等的正邊形依次有一邊重合，排成一圈，中間可以圍成一個(gè)正多邊形，那么我們稱作正邊形的環(huán)狀連接．如圖1，我們可以看作正八邊形的環(huán)狀連接，中間圍成一個(gè)正方形．
（1）若正六邊形作環(huán)狀連接，如圖2，中間可以圍成的正多邊形的邊數(shù)為______；
（2）若邊長為的正邊形作環(huán)狀連接，中間圍成的是等邊三角形，則這個(gè)環(huán)狀連接的外輪廓長為_____．（用含的代數(shù)式表示）
題型2：弧長公式
類型-1 求弧長
（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則的長為（ ）
A．B．C．D．
類型-2 求半徑
（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）把長度為的一根鐵絲彎成圓心角是的一條弧，那么這條弧所在圓的半徑是（ ）
A．1B．2C．3D．4
類型-3 求圓心角
（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）一個(gè)扇形的弧長是，半徑是4，則該扇形的圓心角的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
類型-4 求動(dòng)點(diǎn)的路徑長
（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到的位置，此時(shí)C，B，在同一直線上，則點(diǎn)A經(jīng)過的最短路徑長為（ ）
A．B．C．D．
綜合訓(xùn)練
1．（2023·河北衡水·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，的半徑為9，、分別切于點(diǎn)A，B．若，則的長為（ ）
A．πB．πC．D．π
2．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知圓的半徑為6，的圓心角所對(duì)的弧長是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，從一塊半徑為的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角是的扇形，則扇形中弧的長為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，B，C，D為上的點(diǎn)，且直線與夾角為．若，，的長分別為，和，則的半徑是（ ）
A．4B．C．5D．
5．（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明同學(xué)在計(jì)算某扇形的面積和弧長時(shí)，分別寫出如下式子：，，經(jīng)核對(duì)，兩個(gè)結(jié)果均正確，則下列說法正確的（ ）
A．該扇形的圓心角為，直徑是4B．該扇形的圓心角為，直徑是3
C．該扇形的圓心角為，直徑是6D．該扇形的圓心角為，直徑是4
70．
6．（2023秋·陜西西安·七年級(jí)西安市五環(huán)中學(xué)校聯(lián)考期末）若將一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積比為，則最小的扇形的圓心角為（ ）
A．B．C．D．
7．（2021秋·甘肅金昌·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在半徑為6 cm的圓中，長為2π cm的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為 （ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．（2023秋·湖北隨州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，等腰梯形的腰長為3，正方形的邊長為1，它的一邊在上，且頂點(diǎn)A與M重合．現(xiàn)將正方形在梯形的外面沿邊進(jìn)行翻滾，翻滾到有一個(gè)頂點(diǎn)與N重合即停止?jié)L動(dòng)，求正方形在翻滾過程中點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，半徑為10的半圓的初始狀態(tài)是直徑平行于桌面上的直線，然后把半圓沿直線進(jìn)行無滑動(dòng)滾動(dòng)，使半圓的直徑與直線重合為止，則圓心運(yùn)動(dòng)路徑的長度等于（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·浙江衢州·衢州巨化中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)A在半圓O上，BC為直徑．若∠ABC=30°，BC=3，則的長是 ___________．
12．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)扇形的弧長是，圓心角是，則此扇形的半徑是_______cm．
13．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑為_____．
14．（2023秋·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在一個(gè)圓中，如果的圓心角所對(duì)弧長為，那么這個(gè)圓的半徑為___．
15．（2022秋·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖1所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形．若制作一個(gè)圓心角為的圓弧形窗簾軌道（如圖2）需用此材料，則此圓弧所在圓的半徑為______mm．
16．（2022秋·廣東珠海·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用一個(gè)半徑為的定滑輪拉動(dòng)重物上升，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與滑輪之間沒有滑動(dòng)．若重物上升，則滑輪旋轉(zhuǎn)的角度為______．
17．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)扇形的弧長是，半徑是，則這個(gè)扇形的圓心角是______．
18．（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知扇形弧長是米，半徑是米，那么扇形的圓心角是____．（ ?。?br>19．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直角三角形中，，，將三角形的斜邊放在定直線上，將點(diǎn)按順時(shí)針方向在上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，轉(zhuǎn)動(dòng)到的位置，設(shè)，，，則點(diǎn)所經(jīng)過的路線長是_____．
20．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖①位置，繼續(xù)繞右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖②位置，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次．若，則頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為______．
21．（2023秋·廣西防城港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，．
(1)以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的；
(2)在（1）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑的長度（結(jié)果保留π）．
22．（2022秋·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，若，求圓心角x的度數(shù)．
23．（2023春·江西南昌·九年級(jí)南昌市第三中學(xué)校考期中）如圖所示，扇形從圖①無滑動(dòng)旋轉(zhuǎn)到圖②，再由圖②到圖③（由圖②到圖③的過程中，弧始終與射線相切，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為一段線段），，．
(1)求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長；
(2)求點(diǎn)走過路徑與射線圍成的面積．
24．（2023·安徽合肥·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、
(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在第二象限內(nèi)畫出將放大為原來的2倍后的．
(2)畫出繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的．
(3)直接寫出點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長 ．
25．（2023秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．
(1)請(qǐng)畫出與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；
(2)將繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，請(qǐng)畫出；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長______（結(jié)果保留根號(hào)π）．
26．（2022秋·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)畫出把繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（請(qǐng)使用鉛筆和直尺畫圖）
(2)求出在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)C經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）
27．（2022春·吉林松原·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，半徑為r的圓O從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向滾動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．請(qǐng)你根據(jù)題意，解答問題：
(1)在圖上畫出圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的示意圖
(2)求出圓心O運(yùn)動(dòng)的路程是多少．
題型3：與扇形有關(guān)的面積計(jì)算
類型1-求扇形面積
5．（2022春·河北邯鄲·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將邊長為的正方形鐵絲框，變形為以為圓心、為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細(xì))，則所得的扇形的面積為( )
A．B．C．D．
類型2-旋轉(zhuǎn)圖形掃過面積計(jì)算
（2022秋·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，已知，，則線段掃過的圖形面積為（ ）
A．B．C．D．
類型3-不規(guī)則圖形面積計(jì)算
（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為2，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．以C為圓心，為半徑作圓弧，再分別以E，F(xiàn)為圓心，為半徑作圓弧，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
綜合訓(xùn)練
1．（2023春·山東泰安·六年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在半徑為1的圓中，60°圓心角所對(duì)的扇形的面積是（ ）
A．2πB．πC．D．3π
2．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若扇形的圓心角為，半徑為6，則扇形的面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）最近“羊了個(gè)羊”游戲非?；馃幔惱蠋熢O(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)版“羊了個(gè)羊”游戲，如圖，一根長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊(羊只能在草地上活動(dòng))那么小羊在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積是( )
A． B．C．D．
4．（2022秋·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，連接，則扇形的面積為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，扇形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將扇形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到扇形，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形的邊長為2，以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫，連接，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，正方形的邊長為1，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作扇形，弧與相交于點(diǎn)，設(shè)正方形與扇形之間的陰影部分的面積為；然后以為對(duì)角線作正方形，又以點(diǎn)O為圓心，為半徑作扇形，弧與相交于點(diǎn)，設(shè)正方形與扇形之間的陰影部分面積為；按此規(guī)律繼續(xù)作下去，設(shè)正方形與扇形之間的陰影部分面積為，則等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，，與的一邊相切于點(diǎn)P，與另一邊相交于B，C兩點(diǎn)，且，，則扇形的面積為____________
9．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，E為的中點(diǎn)，以E為圓心，長為半徑畫弧交對(duì)角線于點(diǎn)F，若，，，則扇形的面積為______．
10．（2023春·北京海淀·九年級(jí)清華附中?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，C是上一點(diǎn)，，，則扇形（陰影部分）的面積為___．
11．（2023春·四川成都·九年級(jí)四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校校考階段練習(xí)）一個(gè)窗戶被裝飾布擋住一部分，其中窗戶的長與寬之比為，裝飾布由一個(gè)半圓和兩個(gè)四分之一圓組成，圓的直徑都是，這個(gè)窗口末被遮擋部分的面積為__________．
12．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，把一個(gè)含30°的直角三角板的斜邊AB放在定直線l上，按順時(shí)針方向在l上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到位置．設(shè)，則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路線與直線l所圍成的面積是___________．
13．（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？奸_學(xué)考試）如圖，在矩形中，，，以為圓心為半徑畫弧交于點(diǎn)，以為直徑畫半圓交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為______．
14．（2022秋·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，若把線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)落在直線上的處，旋轉(zhuǎn)角度大于0度小于180度，那么線段掃過的面積等于_______．（結(jié)果保留）
15．（2022秋·新疆·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的個(gè)頂點(diǎn)都在的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長均為個(gè)單位長度）的格點(diǎn)上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，且點(diǎn)、仍落在格點(diǎn)上，則線段掃過的圖形面積是______平方單位（結(jié)果保留）．
16．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)南寧十四中校聯(lián)考期中）如圖，中，，，，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)在的延長線上，則邊掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為________．（結(jié)果保留）
17．（2022春·吉林長春·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，將矩形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)恰好落在矩形的邊上，則掃過的部分(即陰影部分)面積為 ___________．
18．（2022秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以點(diǎn)C為中心，把△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A′B′C，則圖中陰影部分的面積為______．
19．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，，將三角形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（）后得到三角形，點(diǎn)經(jīng)過的路徑為弧，則圖中陰影部分的面積是_________．
20．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________．
21．（2023秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在中，，D為中點(diǎn)，以D為圓心，作圓心角為的扇形，點(diǎn)C恰好在弧上，則圖中陰影面積為__________．
22．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，扇形紙片的半徑為2，沿折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為______．
23．（2023·河南南陽·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D．若，則圖中陰影部分的面積為 _____．
24．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為，，，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，將沿弦翻折，交于點(diǎn)，圖中陰影部分的面積_______．
25．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直徑的半圓，繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，此時(shí)點(diǎn)A到了點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是______．
26．（2022秋·重慶渝北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為________．（結(jié)果不取近似值）
27．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考一模）如圖，曲線和是兩個(gè)半圓，，大半圓半徑為4，則陰影部分的面積是______．
28．（2022·廣東佛山·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長為的正方形內(nèi)部，以各邊為直徑畫四個(gè)半圓，則圖中陰影部分的面積是_____．
29．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解答題
如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)、、均在格點(diǎn)上．
(1)畫出向左平移5個(gè)單位后的圖形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
(2)畫出繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的圖形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
(3)在（2）的條件下，求線段掃過的面積．
30．（2022秋·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知是直角三角形，其中．
(1)畫出繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的；
(2)線段在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的周長是 （保留π）；
(3)求線段在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的面積（結(jié)果保留π）．
31．（2021秋·廣東揭陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為的正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到．
(1)畫出，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求在旋轉(zhuǎn)過程中，線段所掃過的面積．
32．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，
(1)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
(2)將△向右平移6個(gè)單位得△，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
(3)從到△能否看作是繞某一點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換？若能，則旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為 在旋轉(zhuǎn)變換中所掃過的面積為 ．
33．（2022·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，平分，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)若，的半徑是2，求圖中陰影部分的面積．
34．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以的邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)E，D為的下半圓弧的中點(diǎn)，連接交于F，若．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求陰影部分的面積．
35．（2022·江西新余·新余市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，為等腰三角形，，O是底邊的中點(diǎn)，⊙O與腰相切于點(diǎn)D．
(1)求證：與⊙O相切；
(2)已知半徑為，，求陰影部分的面積．
題型4：與圓錐有關(guān)的計(jì)算
類型1-圓錐側(cè)面積的相關(guān)計(jì)算
例1：（2023·廣東汕頭·?？家荒＃﹫A錐的底面直徑是8，母線長是9，則該圓錐的全面積為（ ）
A．B．C．D．
例2：（2023秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）圓錐的底面半徑為，母線長，則它的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
例3：（2023·浙江舟山·?？家荒＃┮粋€(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為6的半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
類型2-實(shí)際問題中的圓錐計(jì)算
（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（ ）
A．B．C．D．
類型3-圓錐側(cè)面上的最短路徑
48．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐的底面半徑R＝3，母線l＝5dm，AB為底面直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，∠COB＝150°，D為VB上一點(diǎn)，VD＝．現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點(diǎn)C爬到D．則螞蟻爬行的最短路程是（ ）
A．3B．4C．D．2
綜合訓(xùn)練
1．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為，設(shè)圓錐的母線與高的夾角為（如圖所示），且的值為，則側(cè)面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)?？计谀┠硤A錐的三視圖如圖所示，由圖中數(shù)據(jù)可知，該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的扇形紙片的半徑為5，用它圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，若該圓錐的高為3，則該圓錐的底面周長是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則它的母線長為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知圓錐的母線長為2，底面圓的半徑為1，如果一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)出發(fā)，沿表面爬到的中點(diǎn)處，則最短路線長為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)圓錐的底面直徑是，母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為__________（結(jié)果保留）．
7．（2022秋·山西大同·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)圓錐的主視圖是邊長為的等邊三角形，則該圓錐的表面積（側(cè)面加底面）是______．（結(jié)果保留π）
8．（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)底面直徑為6cm，母線長為10cm的圓錐沿一條母線剪開，所得的側(cè)面展開圖的面積為_____cm2．
9．（2023·廣西河池·?？寄M預(yù)測(cè)）小宇同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，制作了一個(gè)側(cè)面積為，底面半徑為3的圓錐模型，則此圓錐的母線長為_____．
10．（2023春·江蘇徐州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，是正五邊形的外接圓，半徑為5，若用扇形（圖中陰影部分）圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑是______．
11．（2022春·江蘇淮安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知圓錐的母線長為4，其側(cè)面積為，則它的底面圓的半徑等于 _____．
12．（2022秋·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知圓錐的高為，母線長為，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為__________．
13．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一頂由扇形紙板圍成的圓錐形生日帽，陰影部分是扇形紙板重疊的部分（用于黏貼）．已知生日帽的母線長為25cm，高為24cm，長為，則原扇形紙板的圓心角度數(shù)為______°．
14．（2022秋·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是一個(gè)圓錐形狀的生日帽，若該圓錐形狀帽子的母線長為，底面半徑為，將該帽子沿母線剪開，則其側(cè)面展開扇形的圓心角為_________．
15．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓錐底面圓的周長為，圓錐的母線為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為_____．
16．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)?？计谀┮阎獔A錐的母線長為13，高為12，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長為_______．（用含π的代數(shù)式表示），圓心角為______度．
17．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑，母線長，則側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為______．
18．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)武漢市卓刀泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點(diǎn)為的中點(diǎn)，若一只螞蟻從點(diǎn)處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)處，則螞蟻爬行的最短路程為_____________．
19．（2022秋·重慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，一只螞蟻從圓錐底端點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)，將圓錐沿母線剪開，其側(cè)面展開圖如圖2所示，若，，則螞蟻爬行的最短距離是____________．
20．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知圓錐的底面半徑是，母線長是．如果A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，則這根繩子的最短長度是________．
21．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐的底面圓直徑為，母線長為，若小蟲從點(diǎn)開始繞著圓錐表面爬行一圈到的中點(diǎn)，則小蟲爬行的最短距離為________．
22．（2023秋·河南周口·九年級(jí)?？计谀﹫D1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝雷要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，，將扇形EAF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合，已知圓錐的底面圓直徑，母線長．
(1)求這種加工材料的頂角的大?。?br>(2)求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留）
23．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，糧倉的頂部是圓錐形，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為4m，高為3m．
(1)求這個(gè)圓錐的母線長；
(2)為了防雨，需要在它的頂部鋪上油氈，所需油氈的面積至少是多少？（π取3.14，結(jié)果精確到1m2）
24．（2021秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，錨標(biāo)浮筒是打撈作業(yè)中用來標(biāo)記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：），電鍍時(shí)，如果每平方米用鋅，電鍍100個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒，需要用多少鋅？
25．（2021秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．如果想用毛氈搭建20個(gè)底面積為，高為，外圍高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈（取3.142，結(jié)果取整數(shù)）？
26．（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，等腰三角形中，當(dāng)頂角的大小確定時(shí)，它的對(duì)邊（即底邊）與鄰邊（即腰或）的比值也就確定了，我們把這個(gè)比值記作，即 ，當(dāng)時(shí)，如．
(1) ， ，的取值范圍是 ；
(2)如圖2，圓錐的母線長為18，底面直徑，一只螞蟻從點(diǎn)P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)Q，求螞蟻爬行的最短路徑長．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）
27．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測(cè)）如圖所示，已知圓錐底面半徑，母線長為．
(1)求它的側(cè)面展開圖的圓心角；
(2)若一甲蟲從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓錐側(cè)面繞行到母線的中點(diǎn)B，請(qǐng)你動(dòng)腦筋想一想它所走的最短路線是多少？
28．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是1，母線長是4．
（1）求這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)．
（2）如果A是底面圓周上一點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，求這只螞蟻爬過的最短距離．
6.3與圓有關(guān)的計(jì)算重難點(diǎn)題型講練
題型1：正多邊形和圓
類型1-正多邊形的基礎(chǔ)計(jì)算
（2022秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正邊形的中心角的計(jì)算公式（為正整數(shù)，）解答即可．
【詳解】解：∵正五邊形內(nèi)接于，
∴正五邊形的中心角．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正邊形的中心角的計(jì)算公式（為正整數(shù)，）是解題的關(guān)鍵．
類型2-正多邊形的圖形變換問題
（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，邊長為4的正六邊形的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，軸，將正六邊形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)次，每次旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．
【答案】
【分析】先求出旋轉(zhuǎn)2017次與正六邊形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1次時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是一樣的，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，與原F點(diǎn)重合．連接，過點(diǎn)F作軸，垂足為H；證明是等邊三角形，得到，求出，得到點(diǎn)F的坐標(biāo)即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴旋轉(zhuǎn)2017次與正六邊形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1次時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是一樣的，
∵正六邊形的中心角度數(shù)為，即，
∴當(dāng)點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，與原F點(diǎn)重合．
連接，過點(diǎn)F作軸，垂足為H；
由已知，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴旋轉(zhuǎn)2017次后點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確判斷出當(dāng)點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，與原F點(diǎn)重合是解題的關(guān)鍵．
類型3-與正多邊形有關(guān)的作圖問題
（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)期中）如圖，正五邊形內(nèi)接于，依照以下作圖過程回答問題：
作法：
（1）作直徑．
（2）以F為圓心，為半徑作圓弧，與交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在直徑左側(cè)，點(diǎn)N在直徑右側(cè)）．
（3）連接．
通過以上作圖，若從點(diǎn)A開始，以長為半徑，在上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些點(diǎn)，可以得到正n邊形，則n的值為 _____．
【答案】15
【分析】連接，根據(jù)作法得：，可得到是等邊三角形，從而得到，再根據(jù)正五邊形內(nèi)接于，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
根據(jù)作法得：，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵正五邊形內(nèi)接于，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：15
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了正多邊形與圓．
類型4-同圓（正多邊形）與多個(gè)正多邊形（圓）問題
（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1所示的正六邊形（記為“圖形”）邊長為6，將每條邊三等分，沿每個(gè)頂點(diǎn)相鄰的兩個(gè)等分點(diǎn)連線剪下6個(gè)小三角形（如圖1中6個(gè)陰影部分的三角形），把剪下的這6個(gè)小三角形拼接成圖2外輪廓所示的正六邊形（記為“圖形”），作出圖形的內(nèi)切圓⊙O，如圖3，得到如下結(jié)論：
①圖1中剩余的多邊形（即空白部分）為正十二邊形；
②把圖2中空白部分記作“圖形”，則圖形的周長之比為3：2：；
③圖3中正六邊形的邊上任意一點(diǎn)到⊙O上任意一點(diǎn)的最大距離為4+．
以上結(jié)論正確的是（ ）
A．②③B．①③C．②D．①
【答案】A
【分析】①根據(jù)題意可知過點(diǎn)作于，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，即可判斷①；
②根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合①的結(jié)論，分別求得三個(gè)正六邊形的邊長，即可判②；
③依題意可知圖形的內(nèi)接圓的半徑與外接圓的半徑之和即為所求，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：標(biāo)注字母如圖，過點(diǎn)作于
，為的三等分點(diǎn)，為是三等分點(diǎn)
，
∵正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為
∴中，，
在中
，
，
①不正確，
圖形，邊長為6，所以圖形的周長為
如圖，依題意可得
則，依題意，是正六邊形，

所以圖形的周長為
把圖2中空白部分記作“圖形”，由①可得，
是正六邊形，
所以圖形的周長為
∴圖形的周長之比為=3：2：；
故②正確；
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)， 交內(nèi)切圓于點(diǎn)，則即為所求，
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得是等邊三角形，
，
，
，
，
故③正確，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形與內(nèi)切圓的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，理解題意求得各線段長是解題的關(guān)鍵．
綜合訓(xùn)練
1．（2022秋·遼寧盤錦·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正八邊形的中心角等于（ ）度
A．36B．45C．60D．72
【答案】B
【分析】直接用360度除以邊數(shù)即可得到答案．
【詳解】解：，
∴正八邊形的中心角等于45度，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，熟知正n邊形的中心角度數(shù)為是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多邊形是的內(nèi)接正n邊形，已知的半徑為r，的度數(shù)為，點(diǎn)O到的距離為d，的面積為S．下面三個(gè)推斷中．
①當(dāng)n變化時(shí)，隨n的變化而變化，與n滿足的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；
②若為定值，當(dāng)r變化時(shí)，d隨r的變化而變化，d與r滿足的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；
③若n為定值，當(dāng)r變化時(shí)，S隨r的變化而變化，S與r滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系．
其中正確的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】（1）正n邊形每條邊對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為，因此為反比例函數(shù)關(guān)系；
（2）d與r是的鄰邊和斜邊，因此是化簡后即正比例函數(shù)關(guān)系；
（3）三角形面積為×底×高，底為，高為，直接代入即可．
【詳解】①，所以與n滿足的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系，正確；
②，所以，所以d與r滿足的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系，正確；
③，所以S與r滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系，正確．
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形、圓心角的度數(shù)、弦心距、三角形的面積之間的函數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出其中的函數(shù)關(guān)系式．
3．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．10B．12C．15D．20
【答案】A
【分析】作正多邊形的外接圓，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)中心角的定義即可求解．
【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，
∵，
∴，
∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．
4．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)大的正六邊形，它的一個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)邊長為的小正六邊形的中心重合，且與邊，相交于點(diǎn)，．圖中陰影部分的面積記為，三條線段，，的長度之和記為，在大正六邊形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，和的值分別是( )
A．，B．，C．，D．和的值不能確定
【答案】A
【分析】連接，作，垂足為，證明，再利用平行四邊形的面積公式和正六邊形的性質(zhì)即可得到陰影部分的面積和的長度．
【詳解】解：連接，作，垂足為，
∵多邊形是正六邊形，
∴，
∵，
∴和是等邊三角形，
∵，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，掌握全等三角形判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023秋·云南昆明·九年級(jí)云大附中?？计谀┫铝袌D形中，繞它的中心旋轉(zhuǎn)后可以和原圖形重合的是（ ）
A．正六邊形B．正五邊形C．正方形D．正三角形
【答案】A
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、正六邊形的中心角為：，繞它的中心旋轉(zhuǎn)后可以和原圖形重合，符合題意；
B、正五邊形的中心角為：，繞它的中心旋轉(zhuǎn)后不能和原圖形重合，不符合題意；
C、正方形的中心角為：，繞它的中心旋轉(zhuǎn)后不能和原圖形重合，不符合題意；
D、正三角形的中心角為：，繞它的中心旋轉(zhuǎn)后不能和原圖形重合，不符合題意；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．熟練掌握正多邊形的中心角等于，以及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義，是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若是正n邊形的一個(gè)中心角，則n的值為（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】C
【分析】連接，先求出的度數(shù)，然后利用正多邊形外角和等于，即可求出答案．
【詳解】解：連接，如圖：
根據(jù)題意，正六邊形和正方形的中心都是點(diǎn)O，
∴，，
∴；
∵是某正n邊形的一個(gè)中心角，
∴；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的性質(zhì)，正確求出的度數(shù)．
7．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)O為正六邊形的中心，P、Q分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長度，則第2021次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）
【答案】C
【分析】連接，證是等邊三角形，得，過B作于點(diǎn)G，則，，得，再由題意得P，Q第一次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)在點(diǎn)，第二次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)，第三次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)，如此循環(huán)下去，即可求出第2021次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：連接OB，如圖所示，
∵，O為正六邊形的中心，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
過B作于點(diǎn)G，則，，
∴，
∴，，
∵正六邊形的邊長＝1，
∴正六邊形的周長＝6，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長度，
∴第1次相遇需要的時(shí)間為：（秒），
此時(shí)點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)的Q路程為，
此時(shí)P，Q相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)在點(diǎn)，
以此類推：第二次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)，
第三次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)，…如此下去，
∵，
∴第2021次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)E，E的坐標(biāo)為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、規(guī)律型﹣點(diǎn)的坐標(biāo)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律.
8．（2022秋·天津·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，要擰開一個(gè)邊長為的正六邊形，扳手張開的開口b至少為（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍．構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，且其半邊所對(duì)的角是30度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)求解．
【詳解】解：設(shè)正多邊形的中心是O，其一邊是，如圖，
，
，
∴四邊形是菱形，
，，
，
，
，且，
，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解．
9．（2023秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，六邊形正六邊形，曲線…叫做“正六邊形的漸開線”，其中弧 ，弧，弧，弧，弧? ．的圓心依次按點(diǎn)循環(huán)，其弧長分別記為…．當(dāng)時(shí)，等于（ ）
A．1011πB．C．D．
【答案】B
【分析】利用弧長公式，分別計(jì)算出，…的長，尋找其中的規(guī)律，確定的長．
【詳解】解：根據(jù)題意得： ，
，
π，
，
按照這種規(guī)律可以得到： ，
所以．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長的計(jì)算，先用公式計(jì)算，找出規(guī)律，求出的長．
10．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】計(jì)算出1個(gè)正六邊形的面積，利用矩形的面積減去圖中未涂色部分的面積即可．
【詳解】解：如圖所示，
∵正六邊形的中心角為60°，
∴每個(gè)邊長為1的正六邊形由六個(gè)全等的等邊三角形組成，
∴，，，
因此每個(gè)正六邊形的面積為：，
圖中未涂色部分面積等于16個(gè)正六邊形的面積：．
整個(gè)圖形是一個(gè)矩形，長為12，寬為，
矩形的面積為：，
因此圖中陰影部分的面積是：，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形相關(guān)計(jì)算，利用等邊三角形計(jì)算出每個(gè)正六邊形的面積是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一張菱形紙片，分別把沿著兩條平行于的直線進(jìn)行對(duì)折，得到一個(gè)六邊形，如果這個(gè)六邊形是正六邊形，則菱形的對(duì)角線長的比（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)AC與BD相于O， EF與AC相較于Q，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可得，，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，可求得OE=2EQ，可得，根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)得， AC=4OQ，據(jù)此即可解答．
【詳解】解：如圖：設(shè)AC與BD相交于O， EF與AC相交于Q，
∵六邊形BGHDFE是正六邊形，
∴，，
∵ 四邊形ABCD是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴OE=2EQ，
在中，
，
∴，
由對(duì)折的性質(zhì)得， AC=4OQ，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
12．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角α至少為______度．
【答案】60
【分析】先求出正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：，
則這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后能夠與它本身重合，
故答案為：60．
【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形、正多邊形的性質(zhì)，求出正六邊形的中心角是解題的關(guān)鍵．
14．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正五邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，將正五邊形繞著它的旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則的正切值______．
【答案】##
【分析】分兩種情形，分別作出圖形求出的度數(shù)，然后再求正確值即可．
【詳解】解：∵五邊形為正五邊形，
∴，，
∴，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，
∴，
如圖1， ，
∵，
∴，
∴，
∴；
如圖2，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形，旋轉(zhuǎn)變換，特殊角的三角函數(shù)值，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
13．（2023春·天津和平·九年級(jí)校考階段練習(xí)）正六邊形的邊心距為3，這個(gè)正六邊形的面積為___________．
【答案】
【分析】首先根據(jù)題意作出圖形，然后可得是等邊三角形，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得的長，繼而求得正六邊形的面積．
【詳解】解：如圖，連接、，過點(diǎn)作于，
六邊形是正六邊形，
，
，
是等邊三角形，
，
正六邊形的邊心距為，即
在中，，即
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)、正多邊形的內(nèi)角和、等邊三角形的判定及性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)，此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
14．（2023秋·甘肅慶陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正多邊形的中心角是，則這個(gè)多邊形是正______邊形．
【答案】六
【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)=周角÷中心角，計(jì)算即可得．
【詳解】∵正多邊形的中心角是，
∴這個(gè)多邊形是：，
∴這個(gè)多邊形是正六邊形，
故答案為：六．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系．
17．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）中心角為 60°的正多邊形有_____條對(duì)稱軸．
【答案】
【分析】用除以中心角的度數(shù)即可求得多邊形的邊數(shù)，然后根據(jù)正邊形有條對(duì)稱軸即可求解．
【詳解】解：正多邊形的邊數(shù)是，
正六邊形有條對(duì)稱軸，
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的計(jì)算以及正多邊形的性質(zhì)，理解正邊形有條對(duì)稱軸是解決問題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為一個(gè)外角為的正多邊形的頂點(diǎn)．若為正多邊形的中心，則_______．
【答案】##度
【分析】利用任意凸多邊形的外角和均為，正多邊形的每個(gè)外角相等即可求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)正多邊形的中心角的概念求出的度數(shù)，再由正多邊形的半徑，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】多邊形的每個(gè)外角相等，且其和為，
據(jù)此可得多邊形的邊數(shù)為：，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的外角，正多邊形的中心角，等邊對(duì)等角等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·四川成都·?？级＃┠硵?shù)學(xué)小組利用作圖軟件，將反比例函數(shù)和的圖象繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到了美麗的“雪花”圖案，再順次將圖象交點(diǎn)連接，得到一個(gè)八邊形，若該八邊形的周長為16，則k＝_____．
【答案】##
【分析】先判斷八邊形為正八邊形，進(jìn)而得出八邊形的邊長，然后連接OA、OB、OC、BC、AB過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，求出一個(gè)中心角的度數(shù)，設(shè)，用a和正八邊形的邊長把△ABE三邊表示出來，利用求出a的值，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出k的值．
【詳解】解：連接OA、OB、OC、BC、AB，過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，BC于x軸交于點(diǎn)D，如圖所示：
∵反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，的圖像也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱成中心對(duì)稱圖形，且反比例函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于x軸或y軸也成軸的對(duì)稱圖形，
∴將反比例函數(shù)和的圖象繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，將圖象交點(diǎn)連接，得到的八邊形為正八邊形，且O點(diǎn)為八邊形的中心，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
設(shè)，則，
，
、關(guān)于x軸對(duì)稱，
，
，
，
，
，
，
即
解得：，
，
點(diǎn)坐標(biāo)為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正八邊形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)，求反比例函數(shù)關(guān)系式，旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)、以及解三角形的知識(shí)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）【問題提出】
正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的半徑和中心角有什么關(guān)系？
【問題探究】
如圖①，是等邊三角形，半徑，是中心角，是內(nèi)任意一點(diǎn)，到各邊距離、、分別為，設(shè)的邊長是，面積為．過點(diǎn)作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
聯(lián)立①②得
∴
∴
【問題解決】
如圖②，五邊形是正五邊形，半徑，是中心角，是五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，到五邊形各邊距分別為、、、、，參照（1）的分析過程，探究的值與正五邊形的半徑及中心角的關(guān)系．
【性質(zhì)應(yīng)用】
（1）正六邊形（半徑是）內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和_______．
（2）如圖③，正邊形（半徑是）內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和______．
【答案】【問題解決】：；【性質(zhì)應(yīng)用】：（1）；（2）
【分析】問題解決：
設(shè)正五邊形的邊長是a，面積為S，得到，O為正五邊形的中心，連接、、、、，它們將五邊形分成五個(gè)全等的等腰三角形，過點(diǎn)O作，垂足為Q，中表示出、、后即可表示出與正多邊形的半徑R的關(guān)系式；
性質(zhì)應(yīng)用：
（1）同【問題探究】的方法，可得答案；
（2）總結(jié)規(guī)律可表示出正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和與半徑R和中心角的關(guān)系．
【詳解】解：【問題解決】設(shè)正五邊形的邊長是，面積為，顯然，
為正五邊形的中心，連接，它們將五邊形分成五個(gè)全等的等腰三角形，
過點(diǎn)作，垂足為，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴
∴
即：
∴
【性質(zhì)應(yīng)用】（1）同【問題解決】可得：正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和，
故答案為：；
（2）正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和，
.
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的綜合題，涉及正多邊形和圓，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知正多邊形各元素與外接圓之間的關(guān)系．
18．（2021·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）尺規(guī)作圖是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容．小明按以下步驟進(jìn)行尺規(guī)作圖：①將半徑為的六等分，依次得到六個(gè)分點(diǎn)；②分別以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；③連結(jié)．則的長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如圖（見解析），先根據(jù)六等分點(diǎn)可得是的直徑，，再根據(jù)圓周角定理、勾股定理可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【詳解】解：如圖，連接，
是的六等分點(diǎn)，
是的直徑，，
由圓周角定理得：，
在中，，
分別以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，
，
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，
（等腰三角形的三線合一），
在中，，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的三線合一等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．
19．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知的半徑為a，按照下列步驟作圖：（1）作的內(nèi)接正方形ABCD（如圖1）；（2）作正方形的內(nèi)接圓，再作較小圓的內(nèi)接正方形（如圖2）；（3）作正方形的內(nèi)接圓，再作其內(nèi)接正方形（如圖3）；…；依次作下去，則正方形的邊長是______．
【答案】
【分析】觀察圖形，先根據(jù)圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)求得前幾個(gè)正方形的邊長，進(jìn)而得出變化規(guī)律即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，
在圖1中圓的半徑為a，則正方形的邊長，
在圖2中，，
則正方形的邊長，
在圖3中，，
則正方形的邊長，
……
依次類推，正方形的邊長為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接正多邊形與圓的規(guī)律探究型問題、正方形的性質(zhì)，觀察圖形，正確得出邊長的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵．
20．（2022春·寧夏銀川·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，作邊長為1的正六邊形，邊、分別在射線OM、ON上，邊所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)、，以為邊作正六邊形，邊所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)、，再以為邊作正六邊形，…，依此規(guī)律，經(jīng)第n次作圖后，點(diǎn)到ON的距離是______．
【答案】
【分析】尋找規(guī)律求出OBn的長，根據(jù)Bn到ON的距離為OBn?sin60°計(jì)算即可．
【詳解】解：觀察圖象可知OB1=2=2×30，
OB2=2×31，
OB3=2×32=18，
OB4=2×33=54，
OBn=2×3n-1，
∴Bn到ON的距離為2×3n-1?sin60°=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)、正六邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握從特殊到一般的探究方法，屬于中考?？碱}型．
21．（2023春·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作的一個(gè)內(nèi)接正方形（保留作圖痕跡，不寫作法）．
【答案】見解析
【分析】先作直徑，再作的垂直平分線交于點(diǎn)，，則四邊形為的內(nèi)接正方形．
【詳解】解：如圖，正方形即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖：首先要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作出圖，同時(shí)此題也考查了正多邊形和圓．
22．（2021春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正六邊形ABCDEF，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．
(1)在圖1中，G是AF的中點(diǎn)，過G點(diǎn)作圖形的對(duì)稱軸；
(2)在圖2中，G、H分別是AF、CD的中點(diǎn)，畫出頂點(diǎn)在六邊形的邊的中點(diǎn)上的矩形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）連接AD，CF就有點(diǎn)O，作直線OG即為；
（2）利用△BEF的中線交于一點(diǎn)，作出EF的中點(diǎn)M，同法作出BC的中點(diǎn)N，連接GM，MH，HN，NG，四邊形GMHN即為所求．
（1）
如圖1中，直線OG即為所求；
（2）
如圖2中，矩形GMHN即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-軸對(duì)稱變換，正多邊形與圓，矩形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
23．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正五邊形內(nèi)接于⊙，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點(diǎn)M，N；③連接．
(1)求的度數(shù)．
(2)是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由．
(3)從點(diǎn)A開始，以長為半徑，在⊙上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．
【答案】(1)
(2)是正三角形，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)可得，則(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，然后根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)所作圖形以及圓周角定理即可得出結(jié)論；
（3）運(yùn)用圓周角定理并結(jié)合（1）（2）中結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵正五邊形．
∴，
∴，
∵，
∴(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，
∴；
（2）解：是正三角形，理由如下：
連接，
由作圖知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
（3）∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，正多邊形的性質(zhì)，讀懂題意，明確題目中的作圖方式，熟練運(yùn)用圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．
24．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請(qǐng)用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．
(1)在圖1中的邊上求作點(diǎn)，使；
(2)在圖2中的邊上求作點(diǎn)，使．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）連接AO并延長 與CD相交，連接EF交AO延長線于M，連接BM與DE的交點(diǎn)即為所求作；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長與DE相交，連接AG交BO延長線于N，連接CN并延長即可．
【詳解】（1）連接AO并延長 與CD相交，連接EF交AO延長線于M，連接BM交DE于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為所求作，如圖1所示；
理由：
∵⊙O為正五邊形的外接圓，
∴直線AO是正五邊形ABCDE的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)D分別是一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)．
∵點(diǎn)M在直線AO上，
∴射線BM與射線EF關(guān)于直線AO對(duì)稱，從而點(diǎn)F與點(diǎn)G關(guān)于直線AO對(duì)稱，
∴CF與DG關(guān)于直線AO對(duì)稱．
∴DG=CF．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長與DE相交，連接AG交BO延長線于N，連接CN，如圖2所示；
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖：無刻度直尺作圖，考查了正五邊形的對(duì)稱性質(zhì)，掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知．
求作：的內(nèi)接等邊．
小麗同學(xué)的作法及證明過程如下：
作法：①作直徑；
②作半徑的垂直平分線，垂足為，交于兩點(diǎn)；
③連接，．
所以即為的內(nèi)接等邊三角形．
∵在中，垂直平分
∴，
∵
∴（①）
∵
∴為等邊三角形
∴
∴（②）
∴為的內(nèi)接等邊三角形．
（1）在小麗同學(xué)的證明過程中，①、②兩處的推理依據(jù)分別是 ； ．
（2）請(qǐng)你再給出一種作圖方法．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
【答案】（1）垂直平分線的性質(zhì)；同弧所對(duì)圓周角相等；（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)前面的證明條件以及結(jié)論可以求得所用的推理依據(jù)；
（2）以圓周上一點(diǎn)為圓心，以圓的半徑長為半徑畫圓弧，交圓于一點(diǎn)，再以此點(diǎn)為圓心，繼續(xù)畫圓弧，以此類推，將圓周六等分，連接不相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)即可．
【詳解】解：（1），，∴為的垂直平分線，因此，理論依據(jù)為：垂直平分線的性質(zhì)；
和都是弦所對(duì)的圓周角，因此，理論依據(jù)為：同弧所對(duì)的圓周角相等；
（2）以圓周上一點(diǎn)為圓心，以圓的半徑長為半徑畫圓弧，交圓于一點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，保持半徑不變，繼續(xù)畫圓弧，交圓于點(diǎn)，以此類推，依次得到點(diǎn)，則即為所求，如下圖：
【點(diǎn)睛】此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，涉及了同弧所對(duì)的圓周角相等，熟練掌握并應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（2020秋·江蘇無錫·九年級(jí)無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校╅T環(huán)，在中國綿延了數(shù)千多年的，集實(shí)用、裝飾和門第等級(jí)為一體的一種古建筑構(gòu)件，也成為中國古建“門文化”中的一部分，現(xiàn)有一個(gè)門環(huán)的示意圖如圖所示，點(diǎn)O為正六邊形 ABCDEF的中心．

（1）請(qǐng)用無刻度直尺與圓規(guī)，過點(diǎn)O作一個(gè)⊙P，使⊙P與直線AF和直線AB同時(shí)相切．（請(qǐng)保留作圖痕跡）
（2）若正六邊形 ABCDEF E的邊長為18cm，試求（1）中⊙P的半徑．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】（1）作圖見解析；（2）⊙P的半徑為．
【分析】(1)先過點(diǎn)O作OM⊥AF交AF于點(diǎn)M(或延長EF、BA交于點(diǎn)H，作直線HO)，然后作∠HOA的角平分線OI交AF于點(diǎn)I，再過點(diǎn)I作IP//MO交OA于點(diǎn)P(或在KC上截取KL=MI)，最后以點(diǎn)P為圓心，PO長為半徑作圓，⊙P即為所求；
(2)設(shè)OP=PI=r，由題意可得PA=，在Rt△API中，PA+PO=18，代入求解即可．
【詳解】解：(1)第一步過點(diǎn)O作OM⊥AF交AF于點(diǎn)M(或延長EF、BA交于點(diǎn)H，作直線HO)
第二步作∠HOA的角平分線OI交AF于點(diǎn)I
第三步過點(diǎn)I作IP//MO交OA于點(diǎn)P(或在KC上截取KL=MI)
第四步以點(diǎn)P為圓心，PO長為半徑作圓，⊙P即為所求．
(2)∵AF=18，
∴AO=18，∠AOM=∠API=30°(△OAF為等邊三角形)，
設(shè)OP=PI=r，
PA=PI÷cs30°=，
在Rt△API中， =18 ，
解得r=．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形和正多邊形與圓的關(guān)系，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（2020·浙江·九年級(jí)期末）尺規(guī)作圖：如圖，為的直徑．
（1）求作：的內(nèi)接正六邊形；（要求：在所給圓中作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）中已畫出的圖形上連接，已知的半徑為4，求的長．曉敏的解法如下，請(qǐng)你完善解答過程中的兩個(gè)空格的內(nèi)容．
解：在中，連接．
∵正六邊形內(nèi)接于，
∴，
∴，
∴________（填推理的依據(jù)）．
∵為直徑，
∴，
∵，
∴________．
【答案】（1）見解析；（2）同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，
【分析】（1）用的半徑去截圓周即可解決問題；
（2）連接，在中，解直角三角形即可解決問題．
【詳解】解：（1）的內(nèi)接正六邊形如圖所示；
（2）在中，連接．
正六邊形內(nèi)接于，
，
，
（同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半），
為直徑，
，
，
，
故答案為：同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解直角三角形，正多邊形與圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
26．（2020秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）尺規(guī)作圖：如圖，為⊙的直徑
（1）求作：⊙的內(nèi)接正六邊形.（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）已知連接，⊙的半徑為4，求的長.
小明的做法如下，請(qǐng)你幫助他完成解答過程.
在⊙中，連接.
∵正六邊形內(nèi)接于⊙
∴
∴
∴ （填推理依據(jù)）
∵為⊙直徑
∴
∵
∴
【答案】（1）詳見解析；（2）一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，
【分析】（1）用⊙O的半徑去截圓周即可解決問題；
（2）連接OF，在Rt△ADF中，解直角三角形即可解決問題.
【詳解】（1）⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF如圖所示:
（2）在⊙O中，連接OF．
∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O
∴
∴∠AOF=60°
∴∠ADF=∠AOF=30°（一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半）
∵AD為⊙O直徑
∴∠AFD=90°
∵cs30°=,
∴DF=
故答案為一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，4
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，正多邊形與圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí).
27.（2023春·四川涼山·九年級(jí)統(tǒng)考專題練習(xí)）如圖，正三角形內(nèi)接于，其邊長為；則的內(nèi)接正方形的邊長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接、、，作于，由正方形和圓的性質(zhì)求得，結(jié)合正三角形的外接圓的性質(zhì)得到，由此得到，求解即可．
【詳解】解；連接、、，作于，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴是直徑，，
∴，
∵是等邊三角形，邊長為，點(diǎn)是正三角形的外接圓圓心，
∴，
∴，
∴，
∴．
即的內(nèi)接正方形的邊長為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，的圓周角所對(duì)的弦為直徑，銳角三角函數(shù)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識(shí)解決問題．
28．（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形和正方形都內(nèi)接于，連接，則弦所對(duì)圓周角的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】先求出正六邊形和正方形的邊所對(duì)的圓心角，求差可得弦所對(duì)得圓心角，再分別求出優(yōu)弧和劣弧所對(duì)得圓周角即可．
【詳解】如圖，連接,,
∵四邊形是正方形
∴
∵六邊形是正六邊形
∴
∴
∴弦所對(duì)圓周角的度數(shù)為或
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓的關(guān)系，以及同弧所對(duì)圓周角是它所對(duì)圓心角得一半，注意有兩個(gè)答案．
29．（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知四個(gè)正六邊形按如圖所示擺放在圖中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在上，連接．若兩個(gè)大正六邊形的邊長均為4，兩個(gè)小正六邊形全等，則小正六邊形的邊長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在邊長為4的大正六邊形中，根據(jù)正六邊形和圓的性質(zhì)可求出和半徑，進(jìn)而得出小正六邊形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出半徑，即邊長即可．
【詳解】解：∵連接交于，
∴點(diǎn)是圓心，
過點(diǎn)作于，連接，取的中點(diǎn)，連接，，
由對(duì)稱性可知，，
由正六邊形的性質(zhì)可得，
，
，
由正六邊形的性質(zhì)可知，、、都是正三角形，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形和圓的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
30．（2022秋·北京東城·九年級(jí)北京二中校聯(lián)考期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，的半徑為3，則這個(gè)正六邊形的邊心距的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出，利用銳角的余弦計(jì)算即可．
【詳解】解：連接，
∵六邊形是內(nèi)接正六邊形，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式、熟記余弦的概念是解題的關(guān)鍵．
31．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：如圖，①在上任取一點(diǎn)A，連接并延長交于點(diǎn)B；②以點(diǎn)B為圓心，為半徑作圓弧分別交于C，D兩點(diǎn)；③連接，并延長分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)；④順次連接，，，，，，得到六邊形．連接，，交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)GB．
C．點(diǎn)G是線段的三等分點(diǎn)D．
【答案】D
【分析】證明是等邊三角形，，，可判斷A；證明，可判斷B；證明，可判斷C；證明，可得結(jié)論．
【詳解】解：在正六邊形中，，
∵，
∴，，都是等邊三角形，
∴，，
∴四邊形，四邊形都是菱形，
∴，，
∴的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)G，故A正確，
∵，，
∴，
∵，
∴，故B正確，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)G是線段F的三等分點(diǎn)，故C正確，
∵，，
∴，故D錯(cuò)誤，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)心，外心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明四邊形，四邊形都是菱形．
32．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正六邊形的面積減去2個(gè)扇形的面積即可得出陰影部分的面積．
【詳解】解：設(shè)圓心為O，連接OA，OB，
∵六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，
∴∠AOB＝60°，∠ABC＝120°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴S△AOB＝ ×22＝，
∴陰影部分的面積為S正六邊形ABCDEF﹣S扇形AOC﹣S扇形DOF
＝6﹣
＝．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)陰影部分面積的問題．通過割補(bǔ)法，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵．
41．（2022·山東濟(jì)寧·二模）如圖，的內(nèi)接正六邊形的邊心距為，分別以、、為圓心，正六邊形的半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖，連接，，作于點(diǎn)，由題意知，是等邊三角形，則，，由勾股定理得，解得，則，根據(jù)計(jì)算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，，作于點(diǎn)，
由題意知．
∵，，
∴是等邊三角形
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴
．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
33．（2023秋·四川廣元·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，的半徑為1，則邊心距的長為______．
【答案】##
【分析】連接，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得出，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
六邊形是內(nèi)接正六邊形，
，
，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，解直角三角形，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
34．（2023·新疆烏魯木齊·烏市八中校考一模）如圖，正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為________.
【答案】##36度
【分析】圓內(nèi)接正五邊形的頂點(diǎn)把圓五等分，連接，可求出，再根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】解：連接，如圖，
∵五邊形是正五邊形，
∴正五邊形的頂點(diǎn)把圓五等分，
∴
∴．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的計(jì)算，理解正五邊形的頂點(diǎn)是圓的五等分點(diǎn)是關(guān)鍵．
35．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)校考階段練習(xí)）劉徽是我國魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他首次提出“割圓術(shù)”，利用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計(jì)算圓周率．如圖，多邊形A1A2A3…An是⊙O的內(nèi)接正n邊形．已知⊙O的半徑為r，∠A1OA2的度數(shù)為，點(diǎn)O到A1A2的距離為d，△A1OA2的面積為S．下面四個(gè)推斷中，
①當(dāng)n變化時(shí)，隨n的變化而變化，與n滿足函數(shù)關(guān)系．
②若為定值，當(dāng)r變化時(shí)，d隨r的變化而變化，d與r滿足正比例函數(shù)關(guān)系．
③無論n，r為何值，總有．
④若n為定值，當(dāng)r變化時(shí)，S隨r的變化而變化，S與r滿足二次函數(shù)關(guān)系．
其中錯(cuò)誤的是_______（填序號(hào)）．
【答案】③
【分析】分別表示出與n、d與r、S與r的關(guān)系式，進(jìn)而判定得出結(jié)論．
【詳解】解：①當(dāng)n變化時(shí)，隨n的變化而變化，與n滿足函數(shù)關(guān)系，①正確；
②如圖，
∵，∴，
∴，
∵為定值，∴為定值，
∴d與r滿足正比例函數(shù)關(guān)系，②正確；
③當(dāng)時(shí)，，，
∴，③錯(cuò)誤；
④∵n為定值，，
∴為定值，
∵，
∴，
∴S與r滿足二次函數(shù)關(guān)系． ④正確；
故答案為：③．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系，解直角三角形，正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的定義等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．
36．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，如果、分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，則__________，一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么__________．
【答案】 30 12
【分析】利用正多邊形與圓，分別計(jì)算圓O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的中心角得到，，則，然后計(jì)算即可得到n的值．
【詳解】解：如圖，
∵、分別為圓O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的一邊，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：30，12．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念是關(guān)鍵．
37．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）如圖，正方形內(nèi)接于，其邊長為2，則的內(nèi)接正三角形的邊長為______．
【答案】
【分析】連接、、，作于M，先求出圓的半徑，在中利用30度角的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解；連接、、，作于M，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴是直徑，，
∴，
∵，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
在中，
∵，，
∴，，
∴．
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
38．（2022·四川綿陽·?？级＃┤鐖D，內(nèi)切于正方形中，與邊相切的點(diǎn)分別為，對(duì)角線交于點(diǎn)，連接，則的值是______．
【答案】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、圓周角定理以及正方形的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得到，再構(gòu)造含有角的直角三角形，利用勾股定理和銳角三角函數(shù)即可求解．
【詳解】解：
如圖，連接，
∵是正方形的內(nèi)切圓，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵角不是特殊角，
∴要求的正切值，需要重新構(gòu)造一個(gè)含角的，
如圖2所示，則，，
在線段上取，則是等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
在中，
；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理以及解直角三角形，掌握正方形的性質(zhì)、圓周角定理以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
39．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形和等邊都內(nèi)接于圓O，與別相交于點(diǎn)G，H．若，則的半徑長為 _____；的長為 _____．
【答案】
【分析】連接正方形和等邊都內(nèi)接于，得證是的直徑，，，，從而得，，得到，直線是線段的垂直平分線，從而得到，，得證，，從而得證，，，結(jié)合，確定，，根據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】如圖，連接
∵正方形和等邊都內(nèi)接于，
∴是的直徑，，，，
∴，，
∴，
∴直線是線段的垂直平分線，
∴，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
解得，故半徑為，
∴，
∴=．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
40．（2022秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形和正三角形都內(nèi)接于，則的度數(shù)為________°．
【答案】
【分析】連接，，，，分別求出正五邊形和正三角形的中心角，結(jié)合圖形計(jì)算即可．
【詳解】解：連接，，，，
∵五邊形是正五邊形，
∴，
∴，
∵是正三角形，
∴，
∴．
∴的度數(shù)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓心角和弧之間的關(guān)系，正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算．掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
41．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓．現(xiàn)假設(shè)可以隨意在圖中取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是_________．
【答案】
【分析】如圖，設(shè)OA=a，則OB=OC=a，根據(jù)正方形內(nèi)接圓和外接圓的關(guān)系，求出大正方形、小正方形和圓的面積，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)OA=a，則OB=OC=a，
由正方形的性質(zhì)可知∠AOB=90°，
，
由正方形的性質(zhì)可得CD=CE=OC=a，
∴DE=2a，
S陰影=S圓-S小正方形=，
S大正方形=，
∴這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式、正方形的性質(zhì)、正方形外接圓和內(nèi)切圓的特點(diǎn)、圓的面積計(jì)算，根據(jù)題意弄清楚圖形之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
42．（2022秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形是半徑為1的的內(nèi)接六邊形，連接并延長到點(diǎn)，過點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．
(1)是___________（填“直角”“等腰”或“等邊”）三角形；
(2)當(dāng)___________時(shí)，直線與相切，此時(shí)通過計(jì)算比較線段和劣弧長度哪個(gè)更長；（參考數(shù)據(jù)：取3）
(3)已知是上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)A，重合）．
①連接，，求的度數(shù)；
②已知，過點(diǎn)作的切線，當(dāng)切線與直線交于點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出長的最小值．
【答案】(1)等邊
(2)
(3)①或，②
【分析】（1）先證明為等邊三角形，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)果；
（2）連接，根據(jù)切線性質(zhì)得出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，，利用三角函數(shù)求出，求出劣弧長度，進(jìn)行比較即可；
（3）①根據(jù)圓周角定理，分兩種情況求出結(jié)果即可；
②根據(jù)切線性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出，從而得出當(dāng)?shù)拈L度最短時(shí)，的長取得最小值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出最小值即可．
【詳解】（1）解：∵六邊形是正六邊形，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形；
故答案為：等邊；
（2）解：連接，
∵與與相切，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴在中，，
即當(dāng)時(shí)，直線與相切；
∵取3，
∴，
∵，
∴，
∴線段的長度更長；
（3）解：①根據(jù)解析（1）可知，，
當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，，
綜上所述，的度數(shù)為或；
②∵與相切，
∴，
∴，
當(dāng)?shù)拈L度最短時(shí)，的長取得最小值，
∴當(dāng)時(shí)，的長取得最小值，如圖所示：
∵為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即長的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接正六邊形，勾股定理，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握基本性質(zhì)和定理．
43．（2023秋·河南周口·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正六邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n個(gè)，得到正六邊形，當(dāng)時(shí)，正六邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知正六邊形循環(huán)了８次，由可知和的坐標(biāo)相同，即可求出結(jié)果．
【詳解】解：由題意可知：正六邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，旋轉(zhuǎn)了8個(gè)，
∵當(dāng)時(shí)，，
的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，
如圖所示：過點(diǎn)于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，
，，
，
∴在中，，
，
∴在中，，
，
，，
又，在中
，，
，，
又∵點(diǎn)在第三象限，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，坐標(biāo)與圖形的變化，解直角三角形，學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，確定和是解決問題的關(guān)鍵．
44．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長為）重合在一起，下面一張保持不動(dòng)，將上面一張紙片六邊形沿水平方向向左平移個(gè)單位長度，則上面正六邊形紙片面積與折線掃過的面積（陰影部分面積）之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出正六邊形和陰影部分的面積即可解決問題．
【詳解】解：如下圖，正六邊形由六個(gè)等邊三角形組成，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
根據(jù)題意，正六邊形紙片邊長為，即，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
同理，，
∴，
∴正六邊形的面積，
∵將上面一張紙片六邊形沿水平方向向左平移個(gè)單位長度，
又∵，
∴陰影部分的面積，
∴空白部分與陰影部分面積之比是．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、平移變換等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
45．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將正六邊形放置在直角坐標(biāo)系內(nèi)，，點(diǎn)B在原點(diǎn)，點(diǎn)P是正六邊形的中心，現(xiàn)把正六邊形沿x軸正半軸作無滑動(dòng)的連續(xù)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)，經(jīng)過2022次翻轉(zhuǎn)之后，則點(diǎn)Р的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析出第一次翻轉(zhuǎn)后的位置，連接，與y軸交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作軸，垂足為G，利用正六邊形的性質(zhì)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)變化情況，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：如圖，由題意可知：
第一次翻轉(zhuǎn)，中點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)C的位置，點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)P的位置，
連接，與y軸交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作軸，垂足為G，
∵，
∴，
由正六邊形可知：
，，，
∴是等邊三角形，，，
∴，，，
∴第一次翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)增加2，縱坐標(biāo)不變，
∴經(jīng)過2022次翻轉(zhuǎn)之后，點(diǎn)Р的坐標(biāo)是，即，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)、含30°角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；求出每次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的坐標(biāo)變化是解題的關(guān)鍵．
46.（2021春·江蘇無錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將邊長為6的正六邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，延長交于點(diǎn)，則的長為（ ）
A．1B．1.2C．1.5D．1.8
【答案】A
【分析】過點(diǎn)作交的延長線于，如圖所示，設(shè)，解直角三角形求出，利用相似三角形的性質(zhì)求出，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：過點(diǎn)作交的延長線于，如圖所示：
設(shè)，則，
∵六邊形是正六邊形，
∴，
∴，，
在中，，，
在中，，即，解得，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓、翻折變換、勾股定理、解直角三角形、相似三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用條輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
47．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）把邊長為2+的正方形沿過中心的一條直線折疊，兩旁重疊部分恰為正八邊形的一半，則這個(gè)正八邊形的邊EF的長為（ ）
A．1B．2C．D．2
【答案】C
【分析】重疊部分為正八邊形的一半，則△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，設(shè)CG=x，則GF=x，B'F=x，從而BC=x+x+x=2+，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，
∵重疊部分為正八邊形的一半，
∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，
∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
設(shè)CG=x，則GF=x，B'F=x，
∴BG=B'G=x+x，
∴BC=x+x+x=2+，
∴x=1，
∴GF=，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，正八邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)等知識(shí)，用參數(shù)x表示出BC的長是解題的關(guān)鍵．
48．（2022·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學(xué)?？级＃┤鐖D，圓內(nèi)接正八邊形的邊長為1，以正八邊形的一邊AB作正方形ABCD，將正方形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與正八邊形的另一邊重合，則正方形ABCD與正方形 重疊部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先計(jì)算出正八邊形的內(nèi)角∠ABC′=135°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABC=∠A′BC′=90°，∠BA′D′=∠BAD=90°，所以∠ABA′=135°-90°=45°，則延長BA′過點(diǎn)D，然后利用正方形ABCD與正方形A′BC′D′重疊部分的面積=S△BDC-S△DA′E進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】解：正八邊形的一個(gè)內(nèi)角為：，
∵正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使BC與正八邊形的另一邊重合，
，，
，
延長至點(diǎn)D，DC與相交于點(diǎn)E，如圖所示：
，
，，
，
∴正方形與正方形重疊部分的面積為：
，故A正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，把一個(gè)圓分成n等份，依次連接各點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，也考查了正方形和正八邊形的性質(zhì)．
49．（2023春·浙江金華·九年級(jí)浙江省義烏市后宅中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知正方形的頂點(diǎn)A、B在上，頂點(diǎn)C、D在內(nèi)，將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在上．若正方形的邊長和的半徑均為，則點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長為 ___________．
【答案】
【分析】設(shè)圓心為O，連接，易證三角形是等邊三角形，確定，再利用弧長公式計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)圓心為O，連接，
∵，
∴，
∴三角形是等邊三角形，
∴，
同理：是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及弧長公式的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確的求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
50．（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果邊長為1的正六邊形繞著頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與正六邊形重合．
（1）則的長是________；
（2）點(diǎn)在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，所經(jīng)過的路徑長為________（結(jié)果保留）．
【答案】
【分析】（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)接可求出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接AE，過F點(diǎn)向AE作垂線，利用銳角三角函數(shù)的定義及直角三角形的性質(zhì)可求出AE的長；
（2）利用弧長公式即可求出E在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，所經(jīng)過的路徑長．
【詳解】（1）∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴此六邊形的各內(nèi)角是120°，
∵正六邊形ABCDEF繞著頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與正六邊形AGHMNP重合，
∴B點(diǎn)只能與G點(diǎn)重合，
連接AE，過F點(diǎn)向AE作垂線，垂足為I，連接BD，
∵EF=AF=1，IF⊥AE，
∴AE=2EI，
∵∠AFE=120°，
∴∠EFI=60°，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）E點(diǎn)所經(jīng)過的路線是以A為圓心，以AE為半徑，圓心角為60度的一段弧，
∴E在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，所經(jīng)過的路徑長．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正多邊形和圓及弧長的計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．
51．（2022秋·河北衡水·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，邊長為3的正方形ABCD在正六邊形外部做順時(shí)針方向的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，滾動(dòng)一周回到初始位置時(shí)停止，點(diǎn)A在滾動(dòng)過程中到出發(fā)點(diǎn)的最大距離是______．
【答案】##
【分析】如圖，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中弧線，延長AE交弧線于H，線段AH的長即為點(diǎn)A在滾動(dòng)過程中到出發(fā)點(diǎn)的最大距離．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中弧線，延長AE交弧線于H，線段AH的長即為點(diǎn)A在滾動(dòng)過程中到出發(fā)點(diǎn)的最大距離．
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴點(diǎn)A在滾動(dòng)過程中到出發(fā)點(diǎn)的最大距離是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換、正方形的性質(zhì)、正六邊形的性質(zhì)、解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡．
52．（2021·江蘇常州·校聯(lián)考一模）如圖，⊙O的半徑為2，圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)A、B在第二象限，點(diǎn)C、D在⊙O上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），現(xiàn)將正方形ABCD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了⊙O上的點(diǎn)B1處，點(diǎn)A、D分別運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1、D1處，即得到正方形A1B1C1D1（點(diǎn)C1與C重合）；再將正方形A1B1C1D1繞點(diǎn)B1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°，點(diǎn)A1運(yùn)動(dòng)到了⊙O上的點(diǎn)A2處，點(diǎn)D1、C1分別運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)D2、C2處，即得到正方形A2B2C2D2（點(diǎn)B2與B1重合），…，按上述方法旋轉(zhuǎn)2020次后，點(diǎn)A2020的坐標(biāo)為 _____．
【答案】（2，﹣1）
【分析】由題意發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)12次一個(gè)循環(huán)，由2020÷12＝168余數(shù)為4，推出A2020的坐標(biāo)與A4相同，由此即可解決問題
【詳解】解：如圖，由題意發(fā)現(xiàn)12次一個(gè)循環(huán)，
∵2020÷12＝168余數(shù)為4，
∴A2020的坐標(biāo)與A4相同，
∵⊙O的半徑為2，正方形ABCD的邊長為2，
，，
又，
，
，
∴A4（2，﹣1），
∴A2020（2，﹣1），
故答案為：（2，﹣1）．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化——旋轉(zhuǎn)，屬于規(guī)律性問題，解決問題的關(guān)鍵是找到旋轉(zhuǎn)的規(guī)律．
53．（2022春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：如果幾個(gè)全等的正邊形依次有一邊重合，排成一圈，中間可以圍成一個(gè)正多邊形，那么我們稱作正邊形的環(huán)狀連接．如圖1，我們可以看作正八邊形的環(huán)狀連接，中間圍成一個(gè)正方形．
（1）若正六邊形作環(huán)狀連接，如圖2，中間可以圍成的正多邊形的邊數(shù)為______；
（2）若邊長為的正邊形作環(huán)狀連接，中間圍成的是等邊三角形，則這個(gè)環(huán)狀連接的外輪廓長為_____．（用含的代數(shù)式表示）
【答案】 6
【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）?180°，可求出正多邊形密鋪時(shí)需要的正多邊形的內(nèi)角，繼而可求出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)．
【詳解】解：（1）正六邊形作環(huán)狀連接，一個(gè)公共點(diǎn)處組成的角度為240°，
故如果要密鋪，則需要一個(gè)內(nèi)角為120°的正多邊形，
而正六邊形的內(nèi)角為120°，
所以正六邊形作環(huán)狀連接，中間可以圍的正多邊形的邊數(shù)為6；
（2）若邊長為1的正n邊形作環(huán)狀連接，中間圍成的是等邊三角形，
則一個(gè)公共點(diǎn)處組成的角度為360°-60°=300°，
所以正n邊形的一個(gè)內(nèi)角是150°，
所以（n-2）×180=150n，
解得n=12，
所以邊長為a的正十二邊形作環(huán)狀連接，中間圍成的是等邊三角形，則這個(gè)環(huán)狀連接的外輪廓長為27a．
故答案為：6；27a．
【點(diǎn)睛】此題考查了平面密鋪的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是求出在密鋪條件下需要的正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，有一定難度．
題型2：弧長公式
類型-1 求弧長
（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接，則，根據(jù)折疊可知，，從而得到是等邊三角形，進(jìn)而得到，，再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：連接，則，
∵將扇形沿著過點(diǎn)B的直線折疊，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴的長；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查求弧長．熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形，是解題的關(guān)鍵．
類型-2 求半徑
（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）把長度為的一根鐵絲彎成圓心角是的一條弧，那么這條弧所在圓的半徑是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】設(shè)半徑為R，利用弧長公式構(gòu)建方程求出R即可．
【詳解】解：設(shè)半徑為R．
由題意，，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式．
類型-3 求圓心角
（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）一個(gè)扇形的弧長是，半徑是4，則該扇形的圓心角的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用弧長公式求解即可．
【詳解】解：設(shè)圓心角為，根據(jù)題意得：
，
解得：，
∴該扇形的圓心角的度數(shù)是，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的弧長公式
類型-4 求動(dòng)點(diǎn)的路徑長
（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到的位置，此時(shí)C，B，在同一直線上，則點(diǎn)A經(jīng)過的最短路徑長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和銳角三角函數(shù)，得出，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)弧長公式計(jì)算，即可得出答案．
【詳解】解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
又∵將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到的位置，此時(shí)C，B，在同一直線上，
∴，
∴點(diǎn)A經(jīng)過的最短路徑長為：．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握弧長公式．
綜合訓(xùn)練
1．（2023·河北衡水·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，的半徑為9，、分別切于點(diǎn)A，B．若，則的長為（ ）
A．πB．πC．D．π
【答案】C
【分析】連接，，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接，，
∵直線、分別與相切于點(diǎn)A、B，
∴，
∵，
∴，
∵的半徑為9，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，正確的作出輔助線掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知圓的半徑為6，的圓心角所對(duì)的弧長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)弧長公式可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由題意得：；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
3．（2023秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，從一塊半徑為的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角是的扇形，則扇形中弧的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】連接，過O作交于點(diǎn)D，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)垂徑定理可得，，，即可得到，根據(jù)扇形可得，，可得是等邊三角形，再結(jié)合扇形弧長公式即可得到答案；
【詳解】解：連接，過O作交于點(diǎn)D，
∵，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
故選D；
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，扇形弧長公式，解題的關(guān)鍵是作輔助線．
4．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，B，C，D為上的點(diǎn)，且直線與夾角為．若，，的長分別為，和，則的半徑是（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】A
【分析】延長，與直線交于E，連接，設(shè)弧長為所對(duì)的圓周角為，根據(jù)題意得出，，利用三角形內(nèi)角和定理求得，即可求得弧長為所對(duì)的圓心角為，代入弧長公式即可求得的半徑．
【詳解】解：延長，與直線交于E，連接，
，，的長分別為，和，
的長為，的長為，
設(shè)弧長為所對(duì)的圓周角為，則，，
，，
，
，
弧長為所對(duì)的圓心角為，
，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，求得弧長為所對(duì)的圓心角是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明同學(xué)在計(jì)算某扇形的面積和弧長時(shí)，分別寫出如下式子：，，經(jīng)核對(duì)，兩個(gè)結(jié)果均正確，則下列說法正確的（ ）
A．該扇形的圓心角為，直徑是4B．該扇形的圓心角為，直徑是3
C．該扇形的圓心角為，直徑是6D．該扇形的圓心角為，直徑是4
【答案】D
【分析】根據(jù)，，可以寫出和的形式，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)是正確的，本題得以解決．
【詳解】解：，，
，，
該扇形的圓心角為，直徑是4，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算、弧長的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確扇形的和．
70．
．
6．（2023秋·陜西西安·七年級(jí)西安市五環(huán)中學(xué)校聯(lián)考期末）若將一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積比為，則最小的扇形的圓心角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的圓心角的和為，再由三個(gè)圓心角的度數(shù)比為，可求出最小的圓心角度數(shù)．
【詳解】解：由題意可得，三個(gè)圓心角的和為，
∵它們的面積之比為，
∴三個(gè)圓心角的度數(shù)比為，
∴最小扇形的圓心角度數(shù)為：，故A正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角，解答此題的關(guān)鍵是由題意得出三個(gè)圓心角的和為．
7．（2021秋·甘肅金昌·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在半徑為6 cm的圓中，長為2π cm的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為 （ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】根據(jù)弧長公式，即可求出弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)．
【詳解】∵，
∴圓心角的度數(shù)為n=2×30°=60°．
∴長為2π cm的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，牢記弧長公式是解題的關(guān)鍵．
8．（2023秋·湖北隨州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，再利用弧長公式計(jì)算即可．
【詳解】∵，，
∴，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，
∴點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變換—旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，弧長公式是解決問題的關(guān)鍵．
9．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，等腰梯形的腰長為3，正方形的邊長為1，它的一邊在上，且頂點(diǎn)A與M重合．現(xiàn)將正方形在梯形的外面沿邊進(jìn)行翻滾，翻滾到有一個(gè)頂點(diǎn)與N重合即停止?jié)L動(dòng)，求正方形在翻滾過程中點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)點(diǎn)繞點(diǎn)翻滾，然后繞點(diǎn)翻滾，半徑分別為1、，翻轉(zhuǎn)角分別為、，據(jù)此畫出圖形．再結(jié)合總結(jié)的翻轉(zhuǎn)角度和翻轉(zhuǎn)半徑，求出兩端圓弧之和即可．
【詳解】解：作圖如圖；
∵點(diǎn)繞點(diǎn)翻滾，然后繞點(diǎn)翻滾，半徑分別為1、，翻轉(zhuǎn)角分別為、，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出圖形并掌握弧長公式解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，半徑為10的半圓的初始狀態(tài)是直徑平行于桌面上的直線，然后把半圓沿直線進(jìn)行無滑動(dòng)滾動(dòng)，使半圓的直徑與直線重合為止，則圓心運(yùn)動(dòng)路徑的長度等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖，圓心運(yùn)動(dòng)路徑的長度弧的長，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．
【詳解】如圖所示：
圓心運(yùn)動(dòng)路徑的長度弧的長
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡、圓的周長公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理清楚軌跡是什么圖形，記住弧長公式，圓的周長公式是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·浙江衢州·衢州巨化中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)A在半圓O上，BC為直徑．若∠ABC=30°，BC=3，則的長是 ___________．
【答案】
【分析】根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系可求出的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴由弧長公式得，的長為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、求弧長等知識(shí)，熟練掌握弧長公式是解題關(guān)鍵．
12．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)扇形的弧長是，圓心角是，則此扇形的半徑是_______cm．
【答案】6
【分析】根據(jù)弧長公式可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由題意得：
，
解得：；
故答案為6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
13．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑為_____．
【答案】3
【分析】設(shè)扇形的半徑為，由題意可得：，求解即可．
【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，由題意可得：
解得
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了扇形的弧長公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的弧長公式，列出方程．
14．（2023秋·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在一個(gè)圓中，如果的圓心角所對(duì)弧長為，那么這個(gè)圓的半徑為___．
【答案】3
【分析】利用弧長公式求解．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓的半徑為cm，
由題意可得：，
解得：．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)弧長求圓的半徑，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式，的圓心角所對(duì)弧長為．
15．（2022秋·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖1所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形．若制作一個(gè)圓心角為的圓弧形窗簾軌道（如圖2）需用此材料，則此圓弧所在圓的半徑為______mm．
【答案】900
【分析】由弧長公式得到R的方程，解方程即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得，，
解得：，
答：這段圓弧所在圓的半徑R是．
故答案是：900．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是熟記弧長公式，其中l(wèi)表示弧長，n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)．
16．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，用一個(gè)半徑為的定滑輪拉動(dòng)重物上升，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與滑輪之間沒有滑動(dòng)．若重物上升，則滑輪旋轉(zhuǎn)的角度為______．
【答案】270
【分析】根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，
即滑輪旋轉(zhuǎn)的角度為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式，．
17．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)扇形的弧長是，半徑是，則這個(gè)扇形的圓心角是______．
【答案】
【分析】根據(jù)弧長公式計(jì)算即可求解．
【詳解】根據(jù)弧長公式，
解得.
故答案為：150.
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟記公式：弧長公式.
18．（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知扇形弧長是米，半徑是米，那么扇形的圓心角是____．（ ?。?br>【答案】
【分析】直接根據(jù)弧長公式列方程解答即可．
【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角是
由題意可得：，解得：．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用弧長公式求扇形的公式，掌握扇形的弧長公式為（n為扇形的圓心角）是解答本題的關(guān)鍵．
19．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直角三角形中，，，將三角形的斜邊放在定直線上，將點(diǎn)按順時(shí)針方向在上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，轉(zhuǎn)動(dòng)到的位置，設(shè)，，，則點(diǎn)所經(jīng)過的路線長是_____．
【答案】
【分析】根據(jù)題目要求找出點(diǎn)所經(jīng)過的路線分別為以為圓心，圓心角，為半徑的圓弧，和以為圓心，圓心角為，為半徑的圓弧，再利用弧長計(jì)算公式求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵如圖，第一次轉(zhuǎn)動(dòng)是以為圓心，圓心角，為半徑的圓弧，
第二次轉(zhuǎn)動(dòng)是以為圓心，圓心角為，為半徑的圓弧，
∴點(diǎn)所經(jīng)過的路線長為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長計(jì)算公式，正確找出點(diǎn)所經(jīng)過的路線，及熟練應(yīng)用弧長計(jì)算公式求弧長是解答本題的關(guān)鍵．
20．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖①位置，繼續(xù)繞右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖②位置，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次．若，則頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為______．
【答案】
【分析】首先求得每一次轉(zhuǎn)動(dòng)的路線的長，發(fā)現(xiàn)每4次循環(huán)，找到規(guī)律然后計(jì)算即可．
【詳解】解：,
,
轉(zhuǎn)動(dòng)一次的路線長是：
轉(zhuǎn)動(dòng)第二次的路線長是：
轉(zhuǎn)動(dòng)第三次的路線長是：
轉(zhuǎn)動(dòng)第四次的路線長是：0，
以此類推，每四次循環(huán)，
故頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)四次經(jīng)過的路線長為：
,
頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)四次經(jīng)過的路線長為：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了探索規(guī)律問題和弧長公式的運(yùn)用，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈活運(yùn)用弧長的計(jì)算公式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．
21．（2023秋·廣西防城港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，．
(1)以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的；
(2)在（1）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑的長度（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接可得；
（2）根據(jù)弧長公式列式計(jì)算即可．
【詳解】（1）如圖所示．
（2）∵，
∴點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑的長度．
【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
22．（2022秋·上?！ち昙?jí)校考階段練習(xí)）如圖，若，求圓心角x的度數(shù)．
【答案】57.6°
【分析】根據(jù)扇形面積公式直接列等式即可的得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
，，
∵，
∴，
解得，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查求扇形的面積，解題關(guān)鍵是根據(jù)扇形面積公式列等式．
23．（2023春·江西南昌·九年級(jí)南昌市第三中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，扇形從圖①無滑動(dòng)旋轉(zhuǎn)到圖②，再由圖②到圖③（由圖②到圖③的過程中，弧始終與射線相切，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為一段線段），，．
(1)求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長；
(2)求點(diǎn)走過路徑與射線圍成的面積．
【答案】(1)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為；
(2)點(diǎn)走過路徑與射線圍成的面積為．
【分析】（1）一共轉(zhuǎn)動(dòng)了三次，分析每一次轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心角和半徑，然后利用弧長公式即可求解；
（2）同（1）的方法，利用扇形面積公式的長方形面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，
運(yùn)動(dòng)路徑第一段弧長，
第二段路徑為線段長為，
第三段路徑為，
即O在射線上運(yùn)動(dòng)路徑為；
（2）解：圍成面積，
，，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查弧長公式、扇形面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
24．（2023·安徽合肥·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、
(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在第二象限內(nèi)畫出將放大為原來的2倍后的．
(2)畫出繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的．
(3)直接寫出點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長 ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）把點(diǎn)A、B、C的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得到；
（3）先求出的長，再根據(jù)弧長公式計(jì)算，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）解：如圖，△A2B2C2即為所求．
（3）解：根據(jù)題意得：，
所以點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——位似變換以及旋轉(zhuǎn)變換，求弧長公式，正確掌握?qǐng)D形變換的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
25．（2023秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．
(1)請(qǐng)畫出與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；
(2)將繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，請(qǐng)畫出；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長______（結(jié)果保留根號(hào)π）．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】(1)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，畫出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；
(2)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；
(3)先計(jì)算出的長，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑的長即可．
【詳解】（1）解：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的如下圖：
（2）解：如圖：即為所求，
（3）解：，
點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及中心對(duì)稱變換，弧長公式應(yīng)用，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．
26．（2022秋·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)畫出把繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（請(qǐng)使用鉛筆和直尺畫圖）
(2)求出在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)C經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）
【答案】(1)圖見解析，
(2)
【分析】（1）利用作中心對(duì)稱的圖像的方法作圖，并由圖像得出的坐標(biāo)即可．
（2）由題意可知點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，求半圓弧的弧長即可．
【詳解】（1）
（2）解：
【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)圖像的畫法以及圓弧弧長的計(jì)算，熟練掌握弧長的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
27．（2022春·吉林松原·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，半徑為r的圓O從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向滾動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．請(qǐng)你根據(jù)題意，解答問題：
(1)在圖上畫出圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的示意圖
(2)求出圓心O運(yùn)動(dòng)的路程是多少．
【答案】(1)見解析
(2)圓心O運(yùn)動(dòng)的路程長為
【分析】（1）根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的示意圖即可；
（2）根據(jù)（1）可知圓心O運(yùn)動(dòng)的路程長，由此求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求：
（2）解：圓心O運(yùn)動(dòng)的路程長
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求弧長，正確畫出圓心O的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖是解題的關(guān)鍵．
題型3：與扇形有關(guān)的面積計(jì)算
類型1-求扇形面積
5．（2022春·河北邯鄲·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將邊長為的正方形鐵絲框，變形為以為圓心、為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細(xì))，則所得的扇形的面積為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意求得，進(jìn)而根據(jù)扇形面積公式即可求解．
【詳解】解：∵正方形的邊長為，
∴弧的弧長，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了求扇形面積公式，正方形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
類型2-旋轉(zhuǎn)圖形掃過面積計(jì)算
（2022秋·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，已知，，則線段掃過的圖形面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖形可以得出AB掃過的圖形的面積=，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出就可以得出AB掃過的圖形的面積=求出其值即可．
【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴， ．
∵AB掃過的圖形的面積=，
∴AB掃過的圖形的面積=，
∴AB掃過的圖形的面積=．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，扇形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．
類型3-不規(guī)則圖形面積計(jì)算
（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為2，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．以C為圓心，為半徑作圓弧，再分別以E，F(xiàn)為圓心，為半徑作圓弧，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧，所對(duì)的弦分別相等，利用面積割補(bǔ)法可得陰影部分的面積等于弓形面積，即等于扇形減去直角三角形的面積之差．
【詳解】連接，如圖，
∵正方形的邊長為2，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，
由題意可得：經(jīng)過點(diǎn)O，且．
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，
∴，
∴，．
∴弓形＝弓形．
∴陰影部分的面積等于弓形BD的面積．
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算．通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將不規(guī)則的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的差是解題的關(guān)鍵．
綜合訓(xùn)練
1．（2023春·山東泰安·六年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）在半徑為1的圓中，60°圓心角所對(duì)的扇形的面積是（ ）
A．2πB．πC．D．3π
【答案】C
【分析】直接利用扇形的面積公式求解即可．
【詳解】解：扇形的面積為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了扇形的面積公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為r的扇形面積為S，則，熟記公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若扇形的圓心角為，半徑為6，則扇形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)扇形的面積計(jì)算公式計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意得：
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積計(jì)算，熟練掌握扇形的面積計(jì)算公式是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）最近“羊了個(gè)羊”游戲非常火熱，陳老師設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)版“羊了個(gè)羊”游戲，如圖，一根長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊(羊只能在草地上活動(dòng))那么小羊在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積是( )
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，小羊在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積等于大扇形的面積加上小扇形的面積即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
大扇形的圓心角是90度，半徑是6，
所以面積=；
小扇形的圓心角是，半徑是，
則面積，
則小羊在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積(m2)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了求扇形面積，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，連接，則扇形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解直角三角形求出，推出，再利用扇形的面積公式求解．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，度角直接三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)．
5．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，扇形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將扇形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到扇形，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∵
則四邊形是正方形，
，
∴，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了求扇形面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形的邊長為2，以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫，連接，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正六邊形的性質(zhì)計(jì)算出的長度，再根據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】解：過B點(diǎn)作AC垂線，垂足為G，
∵正六邊形的邊長為2，
∴，
∴，
∴，，
∴，
同理：，
∴；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查正六邊形的性質(zhì)，求陰影部分的面積．熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，扇形的面積公式，是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·山東淄博·校考一模）如圖，正方形的邊長為1，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作扇形，弧與相交于點(diǎn)，設(shè)正方形與扇形之間的陰影部分的面積為；然后以為對(duì)角線作正方形，又以點(diǎn)O為圓心，為半徑作扇形，弧與相交于點(diǎn)，設(shè)正方形與扇形之間的陰影部分面積為；按此規(guī)律繼續(xù)作下去，設(shè)正方形與扇形之間的陰影部分面積為，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求出和，找到陰影部分面積的變化規(guī)律，即可得到．
【詳解】解：正方形的邊長為1，
則正方形的面積為1， ，以O(shè)為圓心，為半徑作扇形，得到，
以為對(duì)角線作正方形，又以O(shè)為圓心，為半徑作扇形，得到，
以此類推得到﹣，
故．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、扇形面積公式等知識(shí)，找到圖形面積的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，，與的一邊相切于點(diǎn)P，與另一邊相交于B，C兩點(diǎn)，且，，則扇形的面積為____________
【答案】##
【分析】連接，過O點(diǎn)作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，利用垂徑定理的內(nèi)容得出，再證明四邊形、四邊形是矩形，即有，進(jìn)而有，從而得出是等邊三角形，即，利用扇形面積公式求出即可．
【詳解】連接，過O點(diǎn)作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，如圖，
∵，，
∴，
∵與的一邊相切于點(diǎn)P，
∴，
∵，，，
∴可得四邊形、四邊形是矩形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定方法以及扇形的面積求法等知識(shí)，利用已知得出是解決問題的關(guān)鍵．
9．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，E為的中點(diǎn)，以E為圓心，長為半徑畫弧交對(duì)角線于點(diǎn)F，若，，，則扇形的面積為______．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和、三角形的外角以及等腰三角形性質(zhì)求出，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵E為BC的中點(diǎn)，EB、EF為半徑，
∴
∴，
∴，
∴扇形的面積．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積計(jì)算、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
10．（2023春·北京海淀·九年級(jí)清華附中?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，C是上一點(diǎn)，，，則扇形（陰影部分）的面積為___．
【答案】
【分析】直接由圓周角定理得出的度數(shù)，再利用扇形面積求法得出答案．
【詳解】∵，
∴，
∴扇形（陰影部分）的面積為： ，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理，扇形面積求法，正確記憶扇形面積公式是解題關(guān)鍵．
11．（2023春·四川成都·九年級(jí)四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）一個(gè)窗戶被裝飾布擋住一部分，其中窗戶的長與寬之比為，裝飾布由一個(gè)半圓和兩個(gè)四分之一圓組成，圓的直徑都是，這個(gè)窗口末被遮擋部分的面積為__________．
【答案】
【分析】這個(gè)窗口未被遮擋部分的面積就是長方形的面積減半圓的面積減2個(gè)小扇形的面積．
【詳解】解：這個(gè)窗口末被遮擋部分的面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是由直徑求出長方形的長和寬，然后按長方形，扇形的面積公式計(jì)算即可．
12．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，把一個(gè)含30°的直角三角板的斜邊AB放在定直線l上，按順時(shí)針方向在l上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到位置．設(shè)，則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路線與直線l所圍成的面積是___________．
【答案】
【分析】在中，先得出，，頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A″的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路線與直線l所圍成的面積=扇形的面積+的面積+扇形的面積．根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式可以進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∵，，且直角三角板順時(shí)針方向在l上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到位置．
∴，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積計(jì)算，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是弄清頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A″的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路線與直線l所圍成的圖形的形狀．
13．（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中校考開學(xué)考試）如圖，在矩形中，，，以為圓心為半徑畫弧交于點(diǎn)，以為直徑畫半圓交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接，根據(jù)，，得到，，，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，根據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接，
∵，，
∴，，，，
過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，
∴，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積公式，等邊三角形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，若把線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)落在直線上的處，旋轉(zhuǎn)角度大于0度小于180度，那么線段掃過的面積等于_______．（結(jié)果保留）
【答案】或
【分析】根據(jù)扇形的面積公式代入，再求出即可．
【詳解】若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度，BC掃過的面積等于；
若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，BC掃過的面積為．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積公式的應(yīng)用，注意：圓心角為n°，半徑為r的扇形的面積為．
15．（2022秋·新疆·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的個(gè)頂點(diǎn)都在的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長均為個(gè)單位長度）的格點(diǎn)上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，且點(diǎn)、仍落在格點(diǎn)上，則線段掃過的圖形面積是______平方單位（結(jié)果保留）．
【答案】
【分析】在中，由勾股定理求，觀察圖形可知，線段掃過的圖形為扇形，旋轉(zhuǎn)角為，根據(jù)扇形面積公式求解．
【詳解】解：在中，由勾股定理，得，
由圖形可知，線段掃過的圖形為扇形，旋轉(zhuǎn)角為，
線段掃過的圖形面積．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形面積公式的運(yùn)用．關(guān)鍵是理解題意，明確線段掃過的圖形是的扇形．
16．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)南寧十四中校聯(lián)考期中）如圖，中，，，，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)在的延長線上，則邊掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為________．（結(jié)果保留）
【答案】
【分析】先在中利用特殊角求出、、，進(jìn)而可求出，接著可以求出，則可以表示出、、，則陰影部分的面積可求．
【詳解】在中，，，，
∴，
∴
∴，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，
∴，，，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要是考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形面積的求解以及解含特殊角的直角三角形等知識(shí)，求出、、是解答本題的關(guān)鍵．
17．（2022春·吉林長春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，將矩形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)恰好落在矩形的邊上，則掃過的部分(即陰影部分)面積為 ___________．
【答案】
【分析】本題首先利用點(diǎn)恰好落在邊上，可以求出，又因?yàn)榭梢缘贸鰹榈妊苯侨切?，即可以得出的大小，然后將陰影部分利用切割法分為兩個(gè)部分來求，即面積和面積
【詳解】如圖，連接，
∵，，
∴矩形的面積為，,
∵,
∴,
∴，
∴扇形的面積為，
扇形的面積為，
面積；
面積，
∴陰影部分面積
故答案為：．
【點(diǎn)睛】熟練掌握面積的切割法和一些基本圖形的面積的求法是本題解題的關(guān)鍵．
18．（2022秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)校考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以點(diǎn)C為中心，把△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A′B′C，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】2π
【分析】先在△ABC中利用勾股定理求出BC＝，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABC≌△A′B′C，然后根據(jù)陰影部分的面積＝（扇形CBB'的面積?△CA'B'的面積）＋（△ABC的面積?扇形CAA'的面積），代入數(shù)值解答即可．
【詳解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，
∵把△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′C B′＝45°，A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝4，∠C A′B′＝∠CAB＝90°，
∴陰影部分的面積＝? ×4×4＋×4×4?＝2π，
故答案為2π．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理以及扇形面積公式的應(yīng)用．
19．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，，將三角形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（）后得到三角形，點(diǎn)經(jīng)過的路徑為弧，則圖中陰影部分的面積是_________．
【答案】
【分析】把△ADE順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到△ABC，要求的陰影部分的面積就是邊長為5，角為60°的扇形面積．
【詳解】圓形面積= =25π
扇形的面積= =
【點(diǎn)睛】此題考查了求陰影部分的面積，解題關(guān)鍵是把陰影的面積變成求扇形的面積．
20．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________．
【答案】 ##
【分析】根據(jù)弧長公式可求得的長；根據(jù)圖形可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．
【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．
∴的長為:2π；
∵AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，
∴AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′，
∴AB掃過的圖形的面積= ．
故答案為：2π；．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，弧長公式以及扇形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．
21．（2023秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在中，，D為中點(diǎn)，以D為圓心，作圓心角為的扇形，點(diǎn)C恰好在弧上，則圖中陰影面積為__________．
【答案】##
【分析】連接，證明，則，再求得扇形的面積，則陰影部分的面積即可求得．
【詳解】解：如圖，連接，
∵，
∴．
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
22．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，扇形紙片的半徑為2，沿折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為______．
【答案】
【分析】根據(jù)折疊的想找得到，推出四邊形是菱形，連接交于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)菱形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：沿折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)C處，
∴，
∵，
∴四邊形是菱形，
連接交于D，則，，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴圖中陰影部分的面積．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形的面積，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·河南南陽·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D．若，則圖中陰影部分的面積為 _____．
【答案】
【分析】根據(jù)直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，即可得到扇形圓心角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)得到等腰三角形即可得到答案；
【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)M，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴陰影部分的面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，解題的關(guān)鍵是得到等腰三角形．
24．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為，，，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，將沿弦翻折，交于點(diǎn)，圖中陰影部分的面積_______．
【答案】
【分析】如圖，連接，將陰影部分沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可求出的半徑，由對(duì)稱性可知，，，連接，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，將陰影部分沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
為的直徑，，，
，
∵，，垂足為，
設(shè)的半徑為，則，
∴，解得：或（舍去），
，即的半徑是，
連接，則，
，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，
∴，即，
即圖中陰影部分的面積是：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的，圓，扇形面積的計(jì)算，折疊知識(shí)的綜合，理解圓的基礎(chǔ)知識(shí)，直角三角形的勾股定理，扇形面積的計(jì)算方法，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直徑的半圓，繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，此時(shí)點(diǎn)A到了點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是______．
【答案】
【分析】利用，進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵半圓繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到半圓，
∴，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查求陰影部分面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
26．（2022秋·重慶渝北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為________．（結(jié)果不取近似值）
【答案】
【分析】先求出，再根據(jù)扇形的面積公式求解即可．
【詳解】解：∵正方形，
，
S陰影 ．
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，綜合掌握以上知識(shí)點(diǎn)并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考一模）如圖，曲線和是兩個(gè)半圓，，大半圓半徑為4，則陰影部分的面積是______．
【答案】
【分析】連接、，則，陰影部分面積為扇形的面積半圓的面積三角形的面積．
【詳解】解：如圖，連接、，
是半圓的直徑，
，且，
，，
，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了組合圖形的面積計(jì)算，涉及到扇形面積、三角形面積、半圓的面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是把不規(guī)則圖形面積計(jì)算通過割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則的已學(xué)過的圖形面積的計(jì)算．
28．（2022·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在邊長為的正方形內(nèi)部，以各邊為直徑畫四個(gè)半圓，則圖中陰影部分的面積是_____．
【答案】
【分析】如圖所示：作正方形的對(duì)角線，由圖可知陰影部分的面積等于正方形面積的由此可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖所示：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題意作出輔助線，利用割補(bǔ)法求面積是解答此題的關(guān)鍵．
29．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解答題
如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)、、均在格點(diǎn)上．
(1)畫出向左平移5個(gè)單位后的圖形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
(2)畫出繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的圖形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
(3)在（2）的條件下，求線段掃過的面積．
【答案】(1)詳見解析，
(2)詳見解析，
(3)
【分析】（1）分別確定的三個(gè)頂點(diǎn)、、向左平移5個(gè)單位后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，再順次連接，，即可，再根據(jù)的位置寫出其坐標(biāo)；
（2）分別確定，，繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，再順次連接，，，再根據(jù)的位置寫出坐標(biāo)即可；
（3）線段掃過的面積是以為圓心，為半徑的圓的面積的，計(jì)算可得答案．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，
由圖形可知，；
（2）解：如圖所示，即為所求，
由圖形可知，；
（3）解：，
線段掃過的面積為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)與圖形，扇形面積的計(jì)算，熟練掌握“繞非原點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)圖形”的方法是解題的關(guān)鍵．
30．（2022秋·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知是直角三角形，其中．
(1)畫出繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的；
(2)線段在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的周長是 （保留π）；
(3)求線段在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的面積（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)36π
【分析】（1）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可畫出繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，再利用弧長公式計(jì)算出弧的長度，弧的長度，所以線段在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的周長＝＋弧的長＋＋弧的長；
（3）由于，則，然后利用扇形面積公式和線段在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的面積＝﹣進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）如圖所示，即為所求．
（2）∵繞A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到，
∴，，，
∴弧的長度，弧的長度，
∴線段在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的周長
＝＋弧的長＋＋弧的長
，
故答案為：；
（3）∵，
∴，
∵，
∴線段在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的面積
＝﹣
＝﹣
＝36π．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式、扇形的面積公式以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決問題的關(guān)鍵是利用面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．
31．（2021秋·廣東揭陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為的正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到．
(1)畫出，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求在旋轉(zhuǎn)過程中，線段所掃過的面積．
【答案】(1)見解析，，
(2)
【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A，B繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用勾股定理列式求出，的長，再利用扇形面積公式列式計(jì)算即可得解．
【詳解】（1）如圖，即為所求三角形，，；
（2），，
，
，
則線段所掃過的面積為：
【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，扇形的面積，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置和熟記扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
32．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，
(1)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
(2)將△向右平移6個(gè)單位得△，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
(3)從到△能否看作是繞某一點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換？若能，則旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為 在旋轉(zhuǎn)變換中所掃過的面積為 ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的△，即可得到答案；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得的橫坐標(biāo)為，即可求解；
（3）根據(jù)的中垂線的方程與的中垂線，的交點(diǎn)的就是旋轉(zhuǎn)中心，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，得到答案，根據(jù)扇形面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△，如圖所示：故的坐標(biāo)為．
故答案為：；
（2）解：由（1）可知，的坐標(biāo)為，向右平移6個(gè)單位得△，的橫坐標(biāo)向右平移6個(gè)單位，即的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：；
（3）解：連接，，的中垂線的方程與的中垂線，的交點(diǎn)的就是旋轉(zhuǎn)中心，坐標(biāo)為．
,,
,掃過的面積【點(diǎn)睛】本題主要考查坐標(biāo)與圖形，平移，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，扇形面積公式，根據(jù)題意畫出變換后的圖形是關(guān)鍵．
33．（2022·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，平分，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)若，的半徑是2，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，如圖，由切線的性質(zhì)得到，再由角平分線的性質(zhì)得到，由此即可證明是的切線；
（2）連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，如圖，先證明四邊形為正方形．得到．求出，即可求出．證明平分，進(jìn)而推出，則．即可得到=10．
【詳解】（1）證明：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，如圖，
∵為的切線，
∴．
∵平分，，
∴．
∴直線經(jīng)過半徑的外端G，且垂直于半徑，
∴是的切線；
（2）解：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，如圖，
∵與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∵，
∴四邊形為正方形．
∴．
∵，
∴，
∴．
由（1）知：，
∴，
∵，
∴平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∴，
∴．
∴=10．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，角平分線的性質(zhì)與判定，求不規(guī)則圖形面積得到，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
34．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以的邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)E，D為的下半圓弧的中點(diǎn)，連接交于F，若．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接、，易得，證明，即可得證；
（2）連接，利用，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）證明：連接、，
∵D為弧的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為半徑，
∴是切線；
（2）解：連接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
在中，，
∴，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理的推論，切線的判定和性質(zhì)，求陰影部分的面積．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．
35．（2022·江西新余·新余市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，為等腰三角形，，O是底邊的中點(diǎn)，⊙O與腰相切于點(diǎn)D．
(1)求證：與⊙O相切；
(2)已知半徑為，，求陰影部分的面積．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）過點(diǎn)O作，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)得出點(diǎn)O到的距離等于半徑即可；
（2）根據(jù)正三角形的性質(zhì)求出圓心角度數(shù)，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接、，過點(diǎn)O作，垂足為F，
與⊙O相切于點(diǎn)D，
，
，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，
，
，
即點(diǎn)O到的距離等于半徑，
是⊙O的切線；
（2）解：∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，，
，
在中，，，
，
，
同理，
，
在中，，，
，
，
答：陰影部分的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，扇形面積的計(jì)算切線的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，掌握切線的判定方法，扇形面積的計(jì)算方法以及正多邊形與圓的性質(zhì)是正確解答的前提．
題型4：與圓錐有關(guān)的計(jì)算
類型1-圓錐側(cè)面積的相關(guān)計(jì)算
例1：（2023·廣東汕頭·?？家荒＃﹫A錐的底面直徑是8，母線長是9，則該圓錐的全面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】圓錐的側(cè)面積底面周長母線長，圓錐的底面積底面半徑的平方，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
【詳解】解：圓錐的側(cè)面積，
圓錐的底面積，
∴圓錐的全面積，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐的全面積，熟知圓錐的側(cè)面積和底面積的求法是解題的關(guān)鍵．
例2：（2023秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）圓錐的底面半徑為，母線長，則它的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑求得圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長，再利用已知的母線長求得圓錐的側(cè)面展開扇形的面積，再利用扇形的另一種面積的計(jì)算方法求得圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角即可.
【詳解】圓錐的底面半徑為
圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為
母線長
圓錐的側(cè)面展開扇形的面積為
解得，
側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為
故答案選A．
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的底面半徑，側(cè)面積，明確圓錐的側(cè)面展開扇形與圓錐的側(cè)面關(guān)系解題的關(guān)鍵．
例3：（2023·浙江舟山·?？家荒＃┮粋€(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為6的半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【答案】A
【分析】先求出扇形的弧長，再根據(jù)扇形的弧長是圓錐的底面周長即可求出答案．
【詳解】圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長，
可知圓錐的底面周長是．
設(shè)圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意，得
，
解得．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的側(cè)面展開圖，掌握?qǐng)A錐的底面周長是其側(cè)面展開圖扇形的弧長是解題的關(guān)鍵．
類型2-實(shí)際問題中的圓錐計(jì)算
（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根據(jù)園錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．
【詳解】解：如圖，作圓錐的高AC，在BC上取點(diǎn)E，過點(diǎn)E作DE⊥AC于點(diǎn)D，則AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圓柱體內(nèi)液體的體積為：
圓錐的體積為，
設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，
∴，
∴，
解得：x=3，
即此時(shí)“沙漏”中液體的高度3cm．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體、圓錐體體積問題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問題．
類型3-圓錐側(cè)面上的最短路徑
48．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐的底面半徑R＝3，母線l＝5dm，AB為底面直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，∠COB＝150°，D為VB上一點(diǎn)，VD＝．現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點(diǎn)C爬到D．則螞蟻爬行的最短路程是（ ）
A．3B．4C．D．2
【答案】B
【分析】易得弧BC的長，然后求得弧BC所對(duì)的圓心角的度數(shù)，從而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的長即可．
【詳解】解：如圖:
∵，
∴設(shè)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為n，
∴，
解得，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】求立體圖形中兩點(diǎn)之間的最短路線長，一般應(yīng)放在平面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，求兩點(diǎn)之間的線段的長度．解題的關(guān)鍵是理解并掌握?qǐng)A錐的弧長等于底面周長．
綜合訓(xùn)練
1．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為，設(shè)圓錐的母線與高的夾角為（如圖所示），且的值為，則側(cè)面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可知圓錐母線長為，求出底面圓周長，再由圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，利用扇形面積公式求解即可得到答案．
【詳解】解：的值為，圓錐的底面半徑為，
母線長為，
底面圓周長為，
圓錐的側(cè)面積，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐側(cè)面積，涉及三角函數(shù)求邊長、圓周長及扇形面積公式，熟記圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形是解決問題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)?？计谀┠硤A錐的三視圖如圖所示，由圖中數(shù)據(jù)可知，該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三視圖得出圓錐的高和底面圓的半徑，再根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：觀察三視圖得：這個(gè)圓錐的高為，底面圓的半徑為，
所以圓錐的母線長，
所以圓錐的側(cè)面積，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖以及圓錐體積公式的知識(shí)，三視圖得出圓錐的高和底面圓的半徑是解題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的扇形紙片的半徑為5，用它圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，若該圓錐的高為3，則該圓錐的底面周長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)圓的周長公式計(jì)算，即可得到答案．
【詳解】解：扇形紙片的半徑為5，
圓錐的母線長為5，
圓錐的高為3，
圓錐的底面半徑為：，
圓錐的底面周長為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2023秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則它的母線長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圓錐底面圓的周長是側(cè)面展開圖扇形的弧長，列式計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)底面圓的半徑為，母線長為，
由題意，得：，
∴；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐的母線長．熟練掌握?qǐng)A錐底面圓的周長是側(cè)面展開圖扇形的弧長，是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知圓錐的母線長為2，底面圓的半徑為1，如果一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)出發(fā)，沿表面爬到的中點(diǎn)處，則最短路線長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把圓錐的側(cè)面展開，易得展開圖是一個(gè)半圓，在平面內(nèi)求出線段BD的長，則此時(shí)便是最短路線長，這只要在直角三角形中應(yīng)用勾股定理解決即可．
【詳解】∵圓錐的底面周長為2π
∴圓錐的側(cè)面展開后的扇形的圓心角為，如圖
∴∠BAD=90゜
∵D為AC的中點(diǎn)
∴
在Rt△BAD中，由勾股定理得
即最短路線長為
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖，勾股定理，扇形弧長公式，本題體現(xiàn)了空間問題平面化，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．
6．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)圓錐的底面直徑是，母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為__________（結(jié)果保留）．
【答案】
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是牢記圓錐的側(cè)面積的計(jì)算公式．
7．（2022秋·山西大同·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)圓錐的主視圖是邊長為的等邊三角形，則該圓錐的表面積（側(cè)面加底面）是______．（結(jié)果保留π）
【答案】
【分析】根據(jù)視圖的意義得到圓錐的母線長為4，底面圓的半徑為2，然后根據(jù)圓錐的表面積=圓錐的側(cè)面積+圓錐的底面積求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得圓錐的母線長為4，底面圓的半徑為2，
所以這個(gè)圓錐的表面積．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
8．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測(cè)）將一個(gè)底面直徑為6cm，母線長為10cm的圓錐沿一條母線剪開，所得的側(cè)面展開圖的面積為_____cm2．
【答案】
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可．
【詳解】∵將一個(gè)底面直徑為6cm，母線長為10cm的圓錐沿一條母線剪開，
∴圓錐側(cè)面積為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式．掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積=π×底面圓的半徑×母線長是解題關(guān)鍵．
9．（2023·廣西河池·?？寄M預(yù)測(cè)）小宇同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，制作了一個(gè)側(cè)面積為，底面半徑為3的圓錐模型，則此圓錐的母線長為_____．
【答案】
【分析】設(shè)此圓錐的母線長為l，利用扇形的面積公式得到，然后解方程即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)此圓錐的母線長為l，
根據(jù)題意得，
解得l＝10，
所以此圓錐的母線長為10．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，正確記憶圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長是解題關(guān)鍵．
10．（2023春·江蘇徐州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是正五邊形的外接圓，半徑為5，若用扇形（圖中陰影部分）圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑是______．
【答案】2
【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得的長度為周長的，再根據(jù)的長度為圓錐底面周長，列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐底面圓的半徑是r，
∵是正五邊形的外接圓，
∴，
解得：．
∴這個(gè)圓錐底面圓的半徑是2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接正多邊形，求圓錐底面半徑，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出的長度為圓錐底面周長．
11．（2022春·江蘇淮安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知圓錐的母線長為4，其側(cè)面積為，則它的底面圓的半徑等于 _____．
【答案】1.5
【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的面積，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)底面半徑為r，則底面周長，圓錐的底面周長等于扇形的弧長，即圓錐側(cè)面積，
解得．
故答案為：1.5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積，掌握?qǐng)A錐的底面周長和扇形的弧長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知圓錐的高為，母線長為，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為__________．
【答案】##216度
【分析】設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，先利用勾股定理計(jì)算出圓錐的底面圓的半徑為，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．則根據(jù)弧長公式得到，然后解關(guān)于的方程即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，
圓錐的底面圓的半徑，
根據(jù)題意得，
解得，
即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
13．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一頂由扇形紙板圍成的圓錐形生日帽，陰影部分是扇形紙板重疊的部分（用于黏貼）．已知生日帽的母線長為25cm，高為24cm，長為，則原扇形紙板的圓心角度數(shù)為______°．
【答案】108
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的弧長等于圓錐底面周長計(jì)算．
【詳解】解∶圓錐的底面半徑為，底面周長為，
設(shè)原扇形紙板的圓心角度數(shù)為度，
解得．
故答案為∶108
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解．
14．（2022秋·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是一個(gè)圓錐形狀的生日帽，若該圓錐形狀帽子的母線長為，底面半徑為，將該帽子沿母線剪開，則其側(cè)面展開扇形的圓心角為_________．
【答案】##度
【分析】設(shè)側(cè)面展開扇形的圓心角為，則，代入數(shù)據(jù)即可求解．
【詳解】設(shè)側(cè)面展開扇形的圓心角為，則
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了求圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角，掌握?qǐng)A錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．
15．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓錐底面圓的周長為，圓錐的母線為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為_____．
【答案】##度
【分析】根據(jù)圓錐底面圓周長是其展開圖的扇形弧長進(jìn)行求解即可
【詳解】解：設(shè)該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，
由題意得，，
∴，
∴該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)，熟知圓錐底面圓周長是其展開圖的扇形弧長是解題的關(guān)鍵．
16．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)?？计谀┮阎獔A錐的母線長為13，高為12，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長為_______．（用含π的代數(shù)式表示），圓心角為______度．
【答案】 ，
【分析】根據(jù)圓錐的展開圖為扇形，結(jié)合圓周長公式求解．
【詳解】解：設(shè)底面圓的半徑為，
由勾股定理得：，
∴，
根據(jù)題意得，
解得，
即這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
17．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑，母線長，則側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為______．
【答案】##90度
【分析】先根據(jù)條件求出側(cè)面展開圖（扇形）的面積，在根據(jù)扇形面積公式求角度即可．
【詳解】解：圓錐的側(cè)面積公式為
將，代入公式得：
代入數(shù)據(jù)解得：
故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積與扇形各元素的關(guān)系，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：圓錐的側(cè)面積公式、扇形的面積公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．
18．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)武漢市卓刀泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點(diǎn)為的中點(diǎn)，若一只螞蟻從點(diǎn)處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)處，則螞蟻爬行的最短路程為_____________．
【答案】##
【分析】先畫出圓錐側(cè)面展開圖（見解析），再利用弧長公式求出圓心角的度數(shù)，然后利用等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得．
【詳解】畫出圓錐側(cè)面展開圖如下：
如圖，連接、，
設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為，
因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形的弧長等于底面圓的周長，扇形的半徑等于母線長，
所以，
解得，
則，
又，
是等邊三角形，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，，
在中，，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻爬行的最短路程為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖、弧長公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開圖是解題關(guān)鍵．
19．（2022秋·重慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，一只螞蟻從圓錐底端點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)，將圓錐沿母線剪開，其側(cè)面展開圖如圖2所示，若，，則螞蟻爬行的最短距離是____________．
【答案】6
【分析】連接，作于點(diǎn)，根據(jù)題意，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短，得出即為螞蟻爬行的最短距離，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出，再根據(jù)直角三角形中，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，得出，進(jìn)而即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，連接，作于點(diǎn)，
∴即為螞蟻爬行的最短距離，
∵，，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴螞蟻爬行的最短距離為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面上最短路徑問題、三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三線合一的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在正確作出輔助線和熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理．
20．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知圓錐的底面半徑是，母線長是．如果A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，則這根繩子的最短長度是________．
【答案】18
【分析】連接AC，過B作BD⊥AC于D，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角∠ABC為n．利用弧長公式可求出n的值，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可得AC為這根繩子的最短長度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用∠CBD的正弦值求出AC的長即可得答案．
【詳解】如圖，連接AC，過B作BD⊥AC于D，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n．
∵兩點(diǎn)間線段最短，
∴AC為這根繩子的最短長度，
∵圓錐的底面半徑是，
∴，
∴=，
解得：，
∵BD⊥AC，BC=AB，
∴∠CBD=∠ABC=60°，CD=AC，
∴CD=BC·sin60°=×=9，
∴AC=2CD=18，
故答案為：18
【點(diǎn)睛】此題考查了圓錐的計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握?qǐng)A錐的底面圓的周長和扇形弧長相等并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
21．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐的底面圓直徑為，母線長為，若小蟲從點(diǎn)開始繞著圓錐表面爬行一圈到的中點(diǎn)，則小蟲爬行的最短距離為________．
【答案】
【分析】將圓錐的側(cè)面展開，是一個(gè)扇形，AC就是小蟲爬行的最短路程，利用弧長與圓心角的公式，求展開圖的圓心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90o，利用勾股定理可求AC的長即可．
【詳解】把圓錐的側(cè)面展開，弧長是2πr=2π，母線AS=4，
側(cè)面展開的圓心角，n=90o即∠ASC=90o，
C為SD的中點(diǎn)SD=4，
線段AC是小蟲爬行的最短距離，
在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面的最短路徑問題，掌握弧長公式，會(huì)利用弧長與圓錐底面圓的關(guān)系確定側(cè)面展開圖的圓心角，會(huì)用勾股定理求出最短路徑是解題關(guān)鍵．
22．（2023秋·河南周口·九年級(jí)校考期末）圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝雷要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，，將扇形EAF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合，已知圓錐的底面圓直徑，母線長．
(1)求這種加工材料的頂角的大?。?br>(2)求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的扇形面積公式，即可求解；
（2）分別求得和扇形的面積，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)，依題意，
∴，
∴；
（2）解：設(shè)加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積為，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴,
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積公式，扇形面積公式，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
23．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，糧倉的頂部是圓錐形，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為4m，高為3m．
(1)求這個(gè)圓錐的母線長；
(2)為了防雨，需要在它的頂部鋪上油氈，所需油氈的面積至少是多少？（π取3.14，結(jié)果精確到1m2）
【答案】(1)5m(2)63m2
【分析】（1）如圖，構(gòu)造Rt，為圓錐的高，為圓錐底面圓的半徑，為圓錐的母線長，根據(jù)勾股定理進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）先求出頂部圓錐的底面圓周長，再求出圓錐的側(cè)面積即可求出所需油氈的面積．
【詳解】（1）如圖，圓錐的軸截面為，
為圓錐的高，為圓錐底面圓的半徑，為圓錐的母線長，
由題意可知，m，m，
∴母線長m；
（2）頂部圓錐的底面圓周長為m，
∴圓錐的側(cè)面積為m2，
∴所需油氈的面積至少是m2．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積和頂部圓錐的底面圓周長，正確掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．
24．（2021秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，錨標(biāo)浮筒是打撈作業(yè)中用來標(biāo)記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：），電鍍時(shí)，如果每平方米用鋅，電鍍100個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒，需要用多少鋅？
【答案】11.44πkg
【分析】由圖形可知，浮筒的表面積＝2S圓錐側(cè)面積+S圓柱側(cè)面積，由題給圖形的數(shù)據(jù)可分別求出圓錐的側(cè)面積和圓柱的側(cè)面積，即可求得浮筒表面積，又已知每平方米用鋅0.11kg，可求出一個(gè)浮筒需用鋅量，即可求出100個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒需用鋅量．
【詳解】解：由圖形可知圓錐的底面圓的半徑為400mm=0.4m，
圓錐的高為300mm=0.3m，
則圓錐的母線長為：＝0.5m．
∴圓錐的側(cè)面積＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2），
∵圓柱的高為800mm=0.8m．
圓柱的側(cè)面積＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2），
∴浮筒的表面積＝＝2S圓錐側(cè)面積+S圓柱側(cè)面積，＝1.04π（m2），
∵每平方米用鋅0.11kg，
∴一個(gè)浮筒需用鋅：1.04π×0.11kg，
∴100個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒需用鋅：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）．
答：100個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒需用鋅11.44πkg．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算和圓柱側(cè)面積的計(jì)算在實(shí)際問題中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是了解幾何體的構(gòu)成，熟記側(cè)面積公式．
25．（2021秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．如果想用毛氈搭建20個(gè)底面積為，高為，外圍高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈（取3.142，結(jié)果取整數(shù)）？
【答案】
【分析】先利用勾股定理計(jì)算出圓錐母線l的長，再計(jì)算圓錐的側(cè)面積和圓柱的側(cè)面積，然后計(jì)算20個(gè)蒙古包所需毛氈的面積．
【詳解】解：如圖是一個(gè)蒙古包的示意圖．
根據(jù)題意，下部圓柱的底面積為，高；上部圓錐的高．
圓柱的底面圓的半徑，
側(cè)面積為．
圓錐的母線長，
側(cè)面展開扇形的弧長為，
圓錐的側(cè)面積為．
因此，搭建20個(gè)這樣的蒙古包至少需要毛氈．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算:圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．注意在取近似值時(shí)需需面積應(yīng)該用收尾法．
26．（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，等腰三角形中，當(dāng)頂角的大小確定時(shí)，它的對(duì)邊（即底邊）與鄰邊（即腰或）的比值也就確定了，我們把這個(gè)比值記作，即 ，當(dāng)時(shí)，如．
(1) ， ，的取值范圍是 ；
(2)如圖2，圓錐的母線長為18，底面直徑，一只螞蟻從點(diǎn)P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)Q，求螞蟻爬行的最短路徑長．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)
(2)20.7
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的知識(shí)和扇形的弧長公式計(jì)算，可求扇形的圓心角；再根據(jù)的定義即可解答．
【詳解】（1）解：如圖1，
，則，
∴，
如圖2，
，作于D，則，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
（2）解：∵圓錐的底面直徑，
∴圓錐的底面周長為，即側(cè)面展開圖扇形的弧長為，
設(shè)扇形的圓心角為，
則，解得，
∵，
∴螞蟻爬行的最短路徑長為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓錐的側(cè)面展開圖、弧長公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理和的定義是解本題的關(guān)鍵．
27．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）如圖所示，已知圓錐底面半徑，母線長為．
(1)求它的側(cè)面展開圖的圓心角；
(2)若一甲蟲從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓錐側(cè)面繞行到母線的中點(diǎn)B，請(qǐng)你動(dòng)腦筋想一想它所走的最短路線是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圓錐的底面周長就是側(cè)面展開圖（扇形）的弧長求解即可；
（2）畫出展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解即可．
（1）
解：設(shè)它的側(cè)面展開圖的圓心角為，
根據(jù)圓錐的底面周長就是側(cè)面展開圖（扇形）的弧長得：
，
又∵．
，
解得：．
∴它的側(cè)面展開圖的圓心角是90°；
（2）
根據(jù)側(cè)面展開圖的圓心角是90°，畫出展開圖如下：
根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知AB為最短路徑，
，B為的中點(diǎn)，
由（1）知
∴
∴它所走的最短路線長是．
【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角，圓錐側(cè)面上最短路徑問題，涉及弧長公式，圓的周長公式，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，掌握?qǐng)A錐的底面周長就是側(cè)面展開圖（扇形）的弧長和兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．
28．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是1，母線長是4．
（1）求這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)．
（2）如果A是底面圓周上一點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，求這只螞蟻爬過的最短距離．
【答案】（1）90°；（2）4
【分析】（1）利用側(cè)面展開圖是以4為半徑，2π為弧長的扇形，由弧長公式求圓心角，進(jìn)而即可求解；
（2）在側(cè)面展開圖中，由兩點(diǎn)之間線段最短得螞蟻爬行的最短距離為AC的距離，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：（1）設(shè)∠ABC的度數(shù)為n，底面圓的周長等于2π×1＝，解得n＝90°；
（2）連接AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD＝45°．
∴是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4÷=2，
∴AC＝2AD＝4，
即這只螞蟻爬過的最短距離4．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓錐的側(cè)面展開圖弧長的計(jì)算；得到圓錐的底面圓的周長和扇形弧長相等是解決本題的關(guān)鍵．

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