1．計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
2．下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
4．對于多項(xiàng)式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是( )
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（4）D．（2）（4）
5．下列從左到右的變形，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
6．因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（ ）
A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④
7．已知，，則（ ）
A．24B．48C．12D．2
8．多項(xiàng)式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一個(gè)因式是x﹣2y，另一個(gè)因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
9．圖①是一個(gè)長為2m，寬為2n（m＞n）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖②那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空白部分的面積不能表示為（ ）
A．B．C．D．
10．若滿足，則（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．
11．分別觀察下列四組圖形，在每個(gè)圖形的下方，都有一個(gè)由這個(gè)圖形可以驗(yàn)證出的代數(shù)公式，其中圖形與公式之間的對應(yīng)關(guān)系表達(dá)相符的有( )
A．一組B．兩組C．三組D．四組
12．如圖，四邊形、均為正方形，其中正方形面積為，若圖中陰影部分面積為，則正方形面積為（ ）．
A．6B．16C．26D．46
二、填空題
13．計(jì)算_____．
14． ___________．
15．計(jì)算：_______．
16．計(jì)算______．
17．因式分解：________．
18．已知是完全平方式，則______．
19．多項(xiàng)式因式分解時(shí)應(yīng)提取的公因式為______．
20．已知﹐則的值等于__________．
21．觀察下列各式：
，
，
，
…
根據(jù)上述規(guī)律可得：___________．
22．若，則代數(shù)式的值為___________．
三、解答題
23．計(jì)算：
(1)；
(2)．
24．計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
25．計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)．
26．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
27．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)x（x﹣1）﹣3x+4；
(3)；
(4)．
28．已知，求的值．
29．運(yùn)用整式乘法公式先化簡，再求值．其中，a＝－2，b＝1．
30．已知化簡的結(jié)果中不含項(xiàng)和項(xiàng)．
(1)求，的值；
(2)若是一個(gè)完全平方式，求的值．
31．已知，求和的值．
32．如圖1，在一張長方形紙板的四角各切去一個(gè)大小相同的正方形，然后將四周折起，制成一個(gè)高為的長方體無蓋紙盒（如圖2）．已知紙盒的體積為，底面長方形的寬為．
(1)求原來長方形紙板的長；
(2)現(xiàn)要給這個(gè)長方體無蓋紙盒的外表面貼一層包裝紙，一共需要多少平方厘米的包裝紙？
33．“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結(jié)合思想證明代數(shù)問題的一種體現(xiàn)，做整式的乘法運(yùn)算時(shí)利用幾何直觀的方法獲取結(jié)論，在解決整式運(yùn)算問題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用．
例1：如圖l，可得等式：；
例2：由圖2，可得等式：．
(1)如圖3，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長方形拼成一個(gè)邊長為的正方形，從中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用等式表示為_______________________；
(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，．求的值．
(3)如圖4，拼成為大長方形，記長方形的面積與長方形的面積差為．設(shè)，若的值與無關(guān)，求與之間的數(shù)量關(guān)系．
34．閱讀材料：若，求的值．
解：
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
(1)，則 ， ．
(2)已知，求的值．
(3)已知的三邊長都是正整數(shù)，且滿足，求的周長．
35．閱讀材料后解決問題．
小明遇到下面一個(gè)問題：
計(jì)算．
經(jīng)過觀察，小明發(fā)現(xiàn)如果將原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏罂梢猿霈F(xiàn)特殊的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而可以應(yīng)用平方差公式解決問題，具體解法如下：
．
請你根據(jù)小明解決問題的方法，試著解決以下的問題：
(1)
(2)
36．如圖①是一個(gè)長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四個(gè)完全相同的小長方形，然后用這四塊小長方形拼成如圖②所示的正方形．
(1)觀察圖②，直接寫出，，三者的等量關(guān)系式___________；
(2)根據(jù)（1）的結(jié)論解答下列問題：
①若，求的值；
②如圖③，正方形與邊長分別為，．若，，求圖③中陰影部分的面積和．
37．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．
(1)探究一：
將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式____________________．
(2)探究二：類似地，我們可以借助一個(gè)棱長為的大正方體進(jìn)行以下探索：
在大正方體一角截去一個(gè)棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；
(3)將圖3中的幾何體分割成三個(gè)長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵，，，∴長方體①的體積為．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結(jié)果不需要化簡）
(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為______________．
(5)問題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問題：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)類比以上探究，嘗試因式分解：= ．
專題03 整式乘法與因式分解（重點(diǎn)）
一、單選題
1．計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則和單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，即可獲得答案．
【解析】解：．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方運(yùn)算和單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算，熟練掌握和運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．
2．下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平方差公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，然后逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：A.，故A錯(cuò)誤；
B.，故B錯(cuò)誤；
C.，故C正確；
D.，故D錯(cuò)誤．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、平方差公式，熟練掌握平方差公式，是解題的關(guān)鍵．
3．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由整式的乘法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，然后進(jìn)行判斷，即可得到答案
【解析】解：，故A正確；
，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
，故D正確；
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行計(jì)算
4．對于多項(xiàng)式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是( )
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（4）D．（2）（4）
【答案】C
【分析】由于平方差公式必須只有兩項(xiàng)，并且是兩個(gè)數(shù)差的形式，利用這個(gè)特點(diǎn)即可確定哪幾個(gè)能用平方差公式分解．
【解析】解：平方差公式必須只有兩項(xiàng)，并且是兩個(gè)數(shù)平方差的形式，
（1）兩平方項(xiàng)符號相反，可以利用平方差公式；
（2），兩平方項(xiàng)符號相同，不能運(yùn)用平方差公式；
（3）4雖然是兩項(xiàng)，并且是差的形式，但不是平方差的形式；
（4），兩平方項(xiàng)符號相反，可以利用平方差公式．
所以（1）（4）能用平方差公式分解．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式的特點(diǎn)，只要抓住平方差公式的特點(diǎn)：兩平方項(xiàng)，符號相反，熟記公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5．下列從左到右的變形，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)因式分解的定義即可求出答案，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式．
【解析】解：A、右邊不是整式的積的形式，是分式，不符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、從左到右的變形，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、左邊是多項(xiàng)式，右邊是整式的積的形式，符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的定義，解題的關(guān)鍵正確理解因式分解的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
6．因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（ ）
A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④
【答案】C
【分析】先把每個(gè)多項(xiàng)式分解因式，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．
【解析】解：①2x2-x=x（2x-1），
②x2+4+4x=（x+2）2，
③x2+x-2=（x+2）（x-1），
④-x2+4x-4=-（x-2）2，
即①和②沒有相同的因式，①和④沒有相同的因式，②和③有相同的因式x+2，③和④沒有相同的因式，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，能靈活運(yùn)用各種方法分解因式是解此題的關(guān)鍵．
7．已知，，則（ ）
A．24B．48C．12D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合完全平方公式，先計(jì)算出2ab的值，然后再除以2即可求出答案．
【解析】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，將a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得
2ab+25＝49，
則2ab＝24，
∴ ab＝12，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中條件，變換形式即可．
8．多項(xiàng)式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一個(gè)因式是x﹣2y，另一個(gè)因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
【答案】C
【分析】首先將原式重新分組，進(jìn)而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【解析】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查多項(xiàng)式的因式分解，項(xiàng)數(shù)多需用分組分解法，在分組后得到兩項(xiàng)中含有公因式（x-2y），將其當(dāng)成整體提出，進(jìn)而得到答案.
9．圖①是一個(gè)長為2m，寬為2n（m＞n）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖②那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空白部分的面積不能表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得圖2正方形的邊長為(m+n)，4個(gè)小長方形的長為a，寬為b，空白部分的面積為大正方的面積減去4個(gè)小長方形的面積，計(jì)算即可得出的答案．
【解析】解：根據(jù)題意可得，
圖2正方形的邊長為(m+n)，
空白部分的面積．
所以中間空白部分的面積可以表示的選項(xiàng)有：A，B，D．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式的幾何背景計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
10．若滿足，則（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．
【答案】B
【分析】將與看做整體，根據(jù)完全平方公式的變形即：，進(jìn)行簡便運(yùn)算即可．
【解析】解：
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的變形，整體代入思想，能夠熟練運(yùn)用完全平方公式的變形是解決本題的關(guān)鍵．
11．分別觀察下列四組圖形，在每個(gè)圖形的下方，都有一個(gè)由這個(gè)圖形可以驗(yàn)證出的代數(shù)公式，其中圖形與公式之間的對應(yīng)關(guān)系表達(dá)相符的有( )
A．一組B．兩組C．三組D．四組
【答案】D
【分析】分別用兩種方法表示圖形面積，用大長方形的面積等于幾個(gè)小的長方形或正方形的面積和，逐項(xiàng)分析判斷
即可求解．
【解析】解：圖，整體長方形的長為，寬為，因此面積為，
整體長方形由三個(gè)長方形構(gòu)成的，這三個(gè)長方形的面積和為、、，
所以有：，
因此圖符合題意；
圖，整體長方形的長為，寬為，因此面積為，
整體長方形由四個(gè)長方形構(gòu)成的，這四個(gè)長方形的面積和為，
所以有：，
因此圖符合題意；
圖，整體正方形的邊長為，因此面積為，
整體正方形由四個(gè)部分構(gòu)成的，這四個(gè)部分的面積和為，
所以有：，
因此圖符合題意；
圖，整體正方形的邊長為，因此面積為，
整體正方形由四個(gè)部分構(gòu)成的，其中較大的正方形的邊長為，因此面積為，較小正方形的邊長為，因此面積為，
另外兩個(gè)長方形的長為，寬為，則面積為，
所以有，
即，
因此圖4符合題意；
綜上所述，四組均符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式與圖形面積，完全平方公式與圖形面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，四邊形、均為正方形，其中正方形面積為，若圖中陰影部分面積為，則正方形面積為（ ）．
A．6B．16C．26D．46
【答案】B
【分析】根據(jù)正方形面積為，得出正方形邊長為，將陰影部分面積根據(jù)三角形面積公式表示出來可得，即可求解．
【解析】解：∵正方形面積為，
∴正方形邊長為，
設(shè)正方形邊長為x，則，
∴，，
∵陰影部分面積為，
∴，
整理得：，
∴，解得：，
∴正方形面積為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確求出正方形的邊長并且表示出陰影面積以及用平方差公式求解．．
二、填空題
13．計(jì)算_____．
【答案】
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，即可求解．
【解析】解：
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則，熟練掌握和運(yùn)用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則是解決本題的關(guān)鍵．
14． ___________．
【答案】
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算即可．
【解析】解：．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，正確運(yùn)用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則成為解答本題的關(guān)鍵．
15．計(jì)算：_______．
【答案】1
【分析】將分解成，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【解析】
．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用因式分解簡化運(yùn)算，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
16．計(jì)算______．
【答案】
【分析】原式先計(jì)算積的乘方和冪的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可求出答案．
【解析】解：
=
=
=
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方和冪的乘方以及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
17．因式分解：________．
【答案】
【分析】先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式因式分解即可求解．
【解析】解：原式
；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
18．已知是完全平方式，則______．
【答案】
【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值．
【解析】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
19．多項(xiàng)式因式分解時(shí)應(yīng)提取的公因式為______．
【答案】
【分析】根據(jù)公因式取系數(shù)最大公約數(shù)，相同字母的最低次項(xiàng)相乘即可求解．
【解析】解：多項(xiàng)式因式分解時(shí)應(yīng)提取的公因式為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了確定公因式，解題關(guān)鍵是明確公因式的確定方法．
20．已知﹐則的值等于__________．
【答案】
【分析】先將變形為，再根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則將進(jìn)行運(yùn)算并代入求值即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式運(yùn)算及代數(shù)式求值，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
21．觀察下列各式：
，
，
，
…
根據(jù)上述規(guī)律可得：___________．
【答案】
【分析】根據(jù)題目給出式子得規(guī)律，右邊x的指數(shù)正好比前邊x的最高指數(shù)大1．
【解析】解：找出等號右邊指數(shù)和等號左邊括號中第一項(xiàng)指數(shù)之間的關(guān)系，
，，．
∴，
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：右邊x的指數(shù)正好比前邊x的最高指數(shù)大1是解答本題的關(guān)鍵．
22．若，則代數(shù)式的值為___________．
【答案】
【分析】根據(jù)完全平方公式因式分解進(jìn)而即可求解．
【解析】解：∵
∴
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
23．計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式即可求解；
（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式即可求解．
【解析】（1）
（2）
【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握法則，正確計(jì)算．
24．計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）先算乘方，再根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
（4）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則分別進(jìn)行計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)即可．
【解析】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，掌握單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
25．計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則計(jì)算各項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)即可；
（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)平方差公式以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【解析】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的混合運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．
26．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法，進(jìn)行分解即可解答；
（2）利用完全平方公式，進(jìn)行分解即可解答；
（3）先利用平方差公式，再利用十字相乘法進(jìn)行分解即可解答；
（4）利用因式分解﹣分組分解法，進(jìn)行分解即可解答．
（1）
解：；
（2）
；
（3）
；
（4）
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解﹣分組分解法，提公因式法與公式法，熟練掌握各種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
27．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)x（x﹣1）﹣3x+4；
(3)；
(4)．
【答案】(1)3（a﹣b）（2a﹣2b+1）
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法分解；
（2）先利用乘法法則化簡整式，再利用完全平方公式因式分解；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；
（4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解．
（1）
解：
＝3（a﹣b）[2（a﹣b）+1]
＝3（a﹣b）（2a﹣2b+1）
（2）
解：x（x﹣1）﹣3x+4

（3）
解：
（4）
解：
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．
28．已知，求的值．
【答案】，
【分析】首先利用整式的乘法計(jì)算出等號左面的算式，與等號右邊的式子對應(yīng)，得到關(guān)于a，b的方程，解之即可．
【解析】解：
∴，，，
解得：，．
【點(diǎn)睛】此題考查整式的乘法，以及多項(xiàng)式的意義，注意對應(yīng)項(xiàng)的指數(shù)與系數(shù)的關(guān)系．
29．運(yùn)用整式乘法公式先化簡，再求值．其中，a＝－2，b＝1．
【答案】，-15
【分析】先根據(jù)平方差公式去括號，再合并同類項(xiàng)，然后把a(bǔ)、b的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解析】解：
，
當(dāng)a=-2，b＝1時(shí)，
原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算一化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式并準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算．
30．已知化簡的結(jié)果中不含項(xiàng)和項(xiàng)．
(1)求，的值；
(2)若是一個(gè)完全平方式，求的值．
【答案】(1)
(2)25
【分析】（1）先將原式化簡，再根據(jù)結(jié)果中不含項(xiàng)和項(xiàng)可得 ，即可求解；
（2）先將原式化簡，再根據(jù)原式是一個(gè)完全平方式，把化簡后的結(jié)果中 作為一個(gè)整體，再變形為完全平方形式，即可求解．
【解析】（1）解：

，
∵化簡的結(jié)果中不含項(xiàng)和項(xiàng)，
∴ ，
解得：；
（2）解：




∵是一個(gè)完全平方式，
∴，
∴ ，
解得： ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式乘法運(yùn)算中的無關(guān)項(xiàng)題，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式，不含某一項(xiàng)就是化簡后該項(xiàng)的系數(shù)等于0是解題的關(guān)鍵．
31．已知，求和的值．
【答案】5；47．
【分析】把已知條件兩邊平方，利用完全平方公式展開，然后整理即可得到的值；與的值的過程同理可求的值．
【解析】，
∵，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，利用和互為倒數(shù)乘積是1是解題的關(guān)鍵，完全平方公式：．
32．如圖1，在一張長方形紙板的四角各切去一個(gè)大小相同的正方形，然后將四周折起，制成一個(gè)高為的長方體無蓋紙盒（如圖2）．已知紙盒的體積為，底面長方形的寬為．
(1)求原來長方形紙板的長；
(2)現(xiàn)要給這個(gè)長方體無蓋紙盒的外表面貼一層包裝紙，一共需要多少平方厘米的包裝紙？
【答案】(1)厘米
(2)平方厘米
【分析】（1）根據(jù)長方體的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)長方體的表面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解析】（1）解：由題意得：
厘米，
厘米，
答：這張長方形紙板的長為厘米；
（2）解：
（平方厘米），
答：一個(gè)這樣的紙盒需要用平方厘米的紅色包裝紙．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，認(rèn)識(shí)立體圖形，熟練掌握長方體的體積公式和表面積公式是解題的關(guān)鍵．
33．“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結(jié)合思想證明代數(shù)問題的一種體現(xiàn)，做整式的乘法運(yùn)算時(shí)利用幾何直觀的方法獲取結(jié)論，在解決整式運(yùn)算問題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用．
例1：如圖l，可得等式：；
例2：由圖2，可得等式：．
(1)如圖3，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長方形拼成一個(gè)邊長為的正方形，從中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用等式表示為_______________________；
(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，．求的值．
(3)如圖4，拼成為大長方形，記長方形的面積與長方形的面積差為．設(shè)，若的值與無關(guān)，求與之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）正方形面積為，小塊四邊形面積總和為，由面積相等即可求解；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，將式子的值代入計(jì)算即可求解；
（3），，，，
根據(jù)，即可求解．
【解析】（1）解：∵正方形面積為，小塊四邊形面積總和為
∴由面積相等可得：，
故答案為：．
（2）解：由（1）可知，
∵，；
∴，
∴．
（3）解：由題意知，，，，，
∵，
∴，
即，
又∵為定值，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形面積與整式運(yùn)算的綜合，掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
34．閱讀材料：若，求的值．
解：
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
(1)，則 ， ．
(2)已知，求的值．
(3)已知的三邊長都是正整數(shù)，且滿足，求的周長．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通過完全平方公式進(jìn)行變式得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；
（2）由得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；
（3）把兩個(gè)方程通過變式得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得a、c，進(jìn)而得b，便可求得三角形的周長．
【解析】（1）解：由，得，
∵≥0，，
∴a-3=0，b=0，
∴a=3，b=0．
故答案為：3；0．
（2）由得，
∴x-y=0，y-4=0，
∴x=y=4，
∴=16；
（3）∵a+b=8，
∴b=8-a，
∵，
∴，
∴，
∴a-4=0，c-5=0，
∴a=4，c=5，
∴b=4，
∴△ABC的周長為a+b+c=4+4+5=13．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，偶次方的非負(fù)性，理解閱讀材料中的解題思路是解題的關(guān)鍵．
35．閱讀材料后解決問題．
小明遇到下面一個(gè)問題：
計(jì)算．
經(jīng)過觀察，小明發(fā)現(xiàn)如果將原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏罂梢猿霈F(xiàn)特殊的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而可以應(yīng)用平方差公式解決問題，具體解法如下：
．
請你根據(jù)小明解決問題的方法，試著解決以下的問題：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式補(bǔ)上，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）原式補(bǔ)上 ，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．
36．如圖①是一個(gè)長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四個(gè)完全相同的小長方形，然后用這四塊小長方形拼成如圖②所示的正方形．
(1)觀察圖②，直接寫出，，三者的等量關(guān)系式___________；
(2)根據(jù)（1）的結(jié)論解答下列問題：
①若，求的值；
②如圖③，正方形與邊長分別為，．若，，求圖③中陰影部分的面積和．
【答案】(1)
(2)①1；②8
【分析】（1）用不同的方法分別表示大正方形的面積即可；
（2）①由（1）的結(jié)論，代入計(jì)算即可；
②由題意可知，已知，，求出即可．
【解析】（1）解：大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，每個(gè)小長方形的面積為，由面積之間的和差關(guān)系可得：
，
故答案為：；
（2）解：①∵，即，
∴
；
答：的值為1；
②由拼圖可知，，，
∴
，
∵，，
∴，
∴
，
答：陰影部分的面積為8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式的幾何背景，三角形面積的計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則是解決問題的前提．
37．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．
(1)探究一：
將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式____________________．
(2)探究二：類似地，我們可以借助一個(gè)棱長為的大正方體進(jìn)行以下探索：
在大正方體一角截去一個(gè)棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；
(3)將圖3中的幾何體分割成三個(gè)長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵，，，∴長方體①的體積為．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結(jié)果不需要化簡）
(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為______________．
(5)問題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問題：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)類比以上探究，嘗試因式分解：= ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)252
(6)
【分析】（1）圖1中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，圖2中陰影部分的面積等于長為、寬為的長方形的面積，由此即可得；
（2）直接利用大正方體的體積減去小正方體的體積即可得出答案；
（3）根據(jù)長方體的體積公式即可得；
（4）根據(jù)（2）和（3）的結(jié)論可得，再將等號右邊利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根據(jù)（4）的結(jié)論即可得；
（6）將改寫成，再根據(jù)（4）的結(jié)論進(jìn)行因式分解即可得．
（1）
解：圖1中陰影部分的面積為，
圖2中陰影部分的面積為，
拼圖前后圖形的面積不變，
，
可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式為，
故答案為：．
（2）
解：由題意，得到的幾何體的體積為，
故答案為：．
（3）
解：，
長方體②的體積為，
，
長方體③的體積為，
故答案為：，．
（4）
解：由（2）和（3）得：，
則可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為，
故答案為：．
（5）
解：，
，
．
（6）
解：由（4）可知，，
則
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與圖形面積、利用完全平方公式變形求值、利用提公因式法分解因式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握利用不同的方法表示同一個(gè)幾何體的體積得到代數(shù)恒等式是解題關(guān)鍵．

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