2024遼寧中考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題訓(xùn)練題型四規(guī)律探索題 (含答案)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

典例精講
例1 如圖，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的頂點(diǎn)A，A1，A2，A3，…，在射線OM上，頂點(diǎn)B，B1，B2，B3，B4，…，在射線ON上，連接AB2交A1B1于點(diǎn)D，連接A1B3交A2B2于點(diǎn)D1，連接A2B4交A3B3于點(diǎn)D2，…，連接B1D1交AB2于點(diǎn)E，連接B2D2交A1B3于點(diǎn)E1，…，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，設(shè)△ACD與△B1DE的面積之和為S1，△A1C1D1與△B2D1E1的面積之和為S2，△A2C2D2與△B3D2E2的面積之和為S3，…，若AB＝2，則Sn等于______．(用含有正整數(shù)n的式子表示)
例1題圖

基本模型
【解題步驟】分析圖形可知，所有圖形都是由如圖所示的基本模型構(gòu)成，故求出S1，S2，S3的面積可類(lèi)比出Sn的面積．
①求S1的面積：根據(jù)題意可得：∠AOB＝45°，∠ABO＝90°，∴OB＝AB，∵AB＝AC＝B1C＝BB1＝______，AB∥A1B1，∴A1B1＝2AB＝________，∴A1B1＝A1C1＝B2C1＝B1B2＝________，∵AC∥ON，∴eq \f(CD,DB1)＝eq \f(AC,B1B2)＝____，∴CD＝________B1C＝________，B1D＝__________ B1C＝__________．同理可得，B2D1＝________B2C1＝________．∵B1D∥B2D1，∴eq \f(DE,B2E)＝eq \f(B1D,B2D1)＝________，∴S△B1DE＝________S△B1B2D＝________，∵S△ACD＝____，∴S1＝________；
②求S2，S3，…的面積：A2B2＝________，S△B2D1E1＝________S△B2B3D1＝________，∵S△A1C1D1＝________，∴S2＝________；S3＝________；
③總結(jié)，類(lèi)比可得：Sn＝________．
例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBnCn都是等腰直角三角形，點(diǎn)B，B1，B2，B3，…，Bn都在x軸上，點(diǎn)B1與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A，C1，C2，C3，…，Cn都在直線l：y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(4,3)上，點(diǎn)C在y軸上，AB∥A1B1∥A2B2∥…∥AnBn∥y軸，AC∥A1C1∥A2C2∥…∥AnCn∥x軸，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為－1，則點(diǎn)Cn的縱坐標(biāo)是________．
例2題圖
基本模型
【解題步驟】分析圖形可知，所有圖形都是由如圖所示的基本模型構(gòu)成，故求出點(diǎn)C1，C2，C3，C4的縱坐標(biāo)可類(lèi)比出點(diǎn)Cn的縱坐標(biāo)．
①求點(diǎn)C1的坐標(biāo)：∵點(diǎn)C1在直線y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(4,3)上，∴設(shè)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(t，______)．∵△B1B2C1是等腰直角三角形，且點(diǎn)B1與原點(diǎn)O重合，∴B1B2＝B2C1，即t＝______，解得t＝2.∴點(diǎn)C1的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______；
②求點(diǎn)C2，C3，C4的坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)C2的坐標(biāo)為(m，______)，∵△B2B3C2是等腰直角三角形，∴m－2＝________，解得m＝________，∴點(diǎn)C2的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______．同理可得，點(diǎn)C3的縱坐標(biāo)為_(kāi)________；點(diǎn)C4的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______；
③總結(jié)，類(lèi)比可得：點(diǎn)Cn的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______．
遼寧近年中考真題精選
1. 如圖，四邊形ABCD是矩形，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，使AE＝DA，連接EB，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，連接EF1, BF1，得到△EF1B；點(diǎn)F2是CF1的中點(diǎn)，連接EF2，BF2，得到△EF2B；點(diǎn)F3是CF2的中點(diǎn)，連接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形ABCD的面積等于2，則△EFnB的面積為_(kāi)________________________．(用含正整數(shù)n的式子表示)
第1題圖
基本模型：
____________________
2. 如圖，在△A1C1O中，A1C1＝A1O＝2，∠A1OC1＝30°，過(guò)點(diǎn)A1作A1C2⊥OC1，垂足為C2，過(guò)點(diǎn)C2作C2A2∥C1A1交OA1于點(diǎn)A2，得到△A2C2C1；過(guò)點(diǎn)A2作A2C3⊥OC1，垂足為C3，過(guò)點(diǎn)C3作C3A3∥C1A1交OA1于點(diǎn)A3，得到△A3C3C2；過(guò)點(diǎn)A3作A3C4⊥OC1，垂足為C4，過(guò)點(diǎn)C4作C4A4∥C1A1交OA1于點(diǎn)A4，得到△A4C4C3；…；按照上面的作法進(jìn)行下去，得到△An＋1Cn＋1Cn的面積為_(kāi)_______．(用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示)
第2題圖
基本模型：
__________________
3.如圖，等邊△A1C1C2的周長(zhǎng)為1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C3，使D1C3＝D1C1，連接D1C3，以C2C3為邊作等邊△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C4，使D2C4＝D2C2，連接D2C4，以C3C4為邊作等邊△A3C3C4；…；且點(diǎn)A1，A2，A3，…都在直線C1C2同側(cè)，如此下去，則△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn＋1的周長(zhǎng)和為_(kāi)_______．(n≥2，且n為整數(shù))
第3題圖
基本模型：
__________________基本模型：,,,,, )
4. 如圖，點(diǎn)B1在直線l：y＝eq \f(1,2)x上，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，過(guò)B1作B1A1⊥l，交x軸于點(diǎn)A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長(zhǎng)B2C1交x軸于點(diǎn)A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長(zhǎng)B3C2交x軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3，延長(zhǎng)B4C3交x軸于點(diǎn)A4；…；按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)Cn的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______(結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示)．
第4題圖
基本模型：
__________________
5. 如圖，直線l1的解析式是y＝eq \f(\r(3),3)x，直線l2的解析式是y＝eq \r(3)x，點(diǎn)A1在l1上，A1的橫坐標(biāo)為eq \f(3,2)，作A1B1⊥l1交l2于點(diǎn)B1，點(diǎn)B2在l2上，以B1A1，B1B2為鄰邊在直線l1，l2間作菱形A1B1B2C1，分別以A1，B2為圓心，以A1B1為半徑畫(huà)弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，記扇形B1A1C1與扇形B1B2C1重疊部分的面積為S1；延長(zhǎng)B2C1交l1于點(diǎn)A2，點(diǎn)B3在l2上，以B2A2，B2B3為鄰邊在l1，l2間作菱形A2B2B3C2，分別以A2，B3為圓心，以A2B2為半徑畫(huà)弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，記扇形B2A2C2與扇形B2B3C2重疊部分的面積為S2；…；按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，則Sn＝__________________________(用含有正整數(shù)n的式子表示)．
第5題圖
基本模型：
________________
針對(duì)訓(xùn)練
1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB 變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．將△OAB進(jìn)行n次變換得到△OAnBn，則△OAnBn的面積為_(kāi)_______．
第1題圖
2. 如圖，∠MON＝30°，點(diǎn)A1在ON上，點(diǎn)C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON于點(diǎn)B1，以A1B1和B1C1為鄰邊作矩形A1B1C1D1，點(diǎn)A1，A2關(guān)于點(diǎn)B1對(duì)稱(chēng)，A2C2∥A1C1交OM于點(diǎn)C2，C2B2⊥ON于點(diǎn)B2，以A2B2和B2C2為鄰邊作矩形A2B2C2D2，連接D1D2，點(diǎn)A2，A3關(guān)于點(diǎn)B2對(duì)稱(chēng)，A3C3∥A2C2交OM于點(diǎn)C3，C3B3⊥ON于點(diǎn)B3，以A3B3和B3C3為鄰邊作矩形A3B3C3D3，連接D2D3，…，依此規(guī)律繼續(xù)下去，則D2021D2022＝________．
第2題圖
3. 如圖，直線y＝－x＋1分別交x軸、 y軸于點(diǎn)A、B，點(diǎn)O1、A1分別是BO、BA的中點(diǎn)，連接A1O1、AO1；O2、A2分別是BO1、BA1的中點(diǎn)，連接A2O2、A1O2，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則S△AnAn＋1On＋1的面積是________．
第3題圖
4. 如圖，四邊形OAA1B1是邊長(zhǎng)為1的正方形，以對(duì)角線OA1為邊作第二個(gè)正方形OA1A2B2，連接AA2，得到△AA1A2；再以對(duì)角線OA2為邊作第三個(gè)正方形OA2A3B3，連接A1A3，得到△A1A2A3；再以對(duì)角線OA3為邊作第四個(gè)正方形OA3A4B4，連接A2A4，得到△A2A3A4，…，則△AnAn＋1An＋2的面積等于________．
第4題圖
5. 如圖，n個(gè)腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形(Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3，…)有一條腰在同一直線上，設(shè)△A1B2C1的面積為S1，△A2B3C2的面積為S2，△A3B4C3的面積為S3，…，則Sn＝________．(用含n的代數(shù)式表示)
第5題圖
6. 如圖，分別過(guò)x軸上點(diǎn)A1(1，0)，A2(2，0)，…，An(n，0)作x軸的垂線，與反比例函數(shù)y＝eq \f(6,x)(x＞0)的圖象的交點(diǎn)分別為B1，B2，…，Bn，若△A1B1A2的面積為S1，△A2B2A3的面積為S2，…，△AnBnAn＋1的面積為Sn，則Sn＝________．(用含n的式子表示)
第6題圖
7. 已知直線m：y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)與直線n：y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)交于點(diǎn)A，直線n與x軸交于點(diǎn)B1，過(guò)B1作B1C1⊥x軸，交直線m于點(diǎn)C1，作菱形AB1D1C1得點(diǎn)D1，過(guò)D1作B2C2⊥x軸，分別與直線n和直線m交于點(diǎn)B2，C2，作菱形AB2D2C2得點(diǎn)D2，過(guò)點(diǎn)D2作B3C3⊥x軸，分別與直線n和直線m交于點(diǎn)B3，C3，作菱形AB3D3C3得點(diǎn)D3，…，設(shè)△B1C1D1的面積為S1，△B2C2D2的面積為S2，△B3C3D3的面積為S3，…，依次類(lèi)推，則△B2022C2022D2022的面積S2022的值是________．
第7題圖
8. 如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，作BC1⊥AC，垂足為C1，作CB1⊥AB，垂足為B1，BC1與CB1交于點(diǎn)A1；作B1C2⊥AC，垂足為C2，作C1B2⊥AB，垂足為B2，B1C2與C1B2交于點(diǎn)A2；作B2C3⊥AC，垂足為C3，作C2B3⊥AB，垂足為B3，B2C3與C2B3交于點(diǎn)A3；…；若△A1BC的面積為1，則四邊形AnBnAn＋1Cn的面積為_(kāi)_______．
第8題圖
9. 如圖，∠MON＝90°，點(diǎn)A1，A2，A3，….An＋1在射線OM上，點(diǎn)B1，B2，B3，…，Bn＋1在射線ON上，連接A1B2，A2B1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，A1B2∥A2B3∥A3B4…∥AnBn＋1，A2B1∥A3B2∥A4B3…∥An＋1Bn，A1B2與A2B1相交于點(diǎn)C1，A2B3與A3B2相交于點(diǎn)C2，A3B4與A4B3相交于點(diǎn)C3，…，AnBn＋1與An＋1Bn相交于點(diǎn)Cn，OA1＝OB1＝1，則四邊形AnCnBnO的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．

第9題圖
10. 如圖，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…的頂點(diǎn)A，A1，A2，A3，…在射線OM上，頂點(diǎn)B，B1，B2，B3，B4，…在射線ON上，連接AB2交A1B1于點(diǎn)D，連接A1B3交A2B2于點(diǎn)D1，連接A2B4交A3B3于點(diǎn)D2，…，連接B1D1交AB2于點(diǎn)E，連接B2D2交A1B3于點(diǎn)E1，…，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，設(shè)四邊形A1DED1的面積為S1，四邊形A2D1E1D2的面積為S2，四邊形A3D2E2D3的面積為S3，…，若AB＝2，則Sn等于________．(用含有正整數(shù)n的式子表示)
第10題圖
11. 正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如圖所示的方式放置，點(diǎn)A1，A2，A3，…和點(diǎn)B1，B2，B3，…分別在直線y＝－x＋2和x＝1上，且A1在x軸上，則點(diǎn)C2022的橫坐標(biāo)是________．
第11題圖
12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－2，0)，直線l：y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)與x軸交于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊△ABA1，過(guò)點(diǎn)A1作A1B1∥x軸，交直線l于點(diǎn)B1，以A1B1為邊作等邊△A1B1A2，過(guò)點(diǎn)A2作A2B2∥x軸，交直線l于點(diǎn)B2，以A2B2為邊作等邊△A2B2A3，以此類(lèi)推，連接AB1，與A1B交于點(diǎn)C1，連接A1B2，與A2B1交于點(diǎn)C2，以此類(lèi)推，則點(diǎn)C2022的縱坐標(biāo)是________．
第12題圖
類(lèi)型二圖形周期變化
典例精講
例3 如圖，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n為正整數(shù))均為等邊三角形，它們的邊長(zhǎng)依次為2，4，6，…，2n，頂點(diǎn)A3，A6，A9，…，A3n均在y軸上，點(diǎn)O是所有等邊三角形的中心，則點(diǎn)A2016的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
例3題圖
【解題步驟】
①確認(rèn)周期：觀察圖形可知，三角形的頂點(diǎn)______個(gè)為一個(gè)循環(huán)；
②確定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴點(diǎn)A2016在y軸上，且是第________個(gè)三角形的頂點(diǎn)；
③求A2016的坐標(biāo)：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高為_(kāi)_______．∵點(diǎn)O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴點(diǎn)A2016的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
遼寧近年中考真題精選
1. 如圖①，邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC放置在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)部，頂點(diǎn)A在正方形的一個(gè)頂點(diǎn)上，邊AB在正方形的一邊上，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C落在正方形的邊上時(shí)，完成第1次無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)(如圖②)；再將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A落在正方形的邊上時(shí)，完成第2次無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)(如圖③)；…；每次旋轉(zhuǎn)的角度都不大于120°，依次這樣操作下去，當(dāng)完成第2016次無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為_(kāi)_______．
第1題圖
針對(duì)訓(xùn)練
1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)有一條折線，構(gòu)成這條線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是這樣的：A1(1，1)、A2(1，2)、A3(2，2)、A4(2，3)、A5(3，3)、A6(3，4)、A7(4，4)，…，依此規(guī)律，點(diǎn)A71的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
第1題圖
2. 如圖，多邊形A1A2A3A4A5A6、多邊形A7A8A9A10A11A12、…、多邊形A6n－5A6n－4A6n－3A6n－2A6n－1A6n(n為正整數(shù))均為正六邊形，它們的邊長(zhǎng)依次是2、4、…、2n，頂點(diǎn)A6、A12、…、A6n均在x軸上，點(diǎn)O是所有正六邊形的中心，則A2021的坐標(biāo)是________．

第2題圖
3. 如圖，四邊形OA1B1C1是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)A1、C1分別在x軸、y軸的負(fù)半軸上，連接OB1，以O(shè)B1的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)向右側(cè)作正方形OA2B2C2，點(diǎn)A2在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C2在x軸的正半軸上，連接OB2，以O(shè)B2的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)向上方作正方形OA3B3C3，點(diǎn)A3、C3分別在x軸、y軸的正半軸上，…，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)B2021的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
第3題圖
4. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的同心圓的半徑由內(nèi)向外依次為1，2，3，4，…，同心圓與直線y＝x和y＝－x分別交于A1，A2，A3，A4，…，則點(diǎn)A30的坐標(biāo)是________．
第4題圖
5. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△OA1A2的直角邊OA1在y軸的正半軸上，且OA1＝A1A2＝1，以O(shè)A2為直角邊作第二個(gè)等腰Rt△OA2A3，以O(shè)A3為直角邊作第三個(gè)等腰Rt△OA3A4，…，依此規(guī)律，得到等腰Rt△OA2021A2022，則點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
第5題圖
6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等邊三角形，且點(diǎn)A1，A3，A5，A7，A9的坐標(biāo)分別為A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，則A100的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
第6題圖
7. 如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC，AC邊在x軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，以O(shè)B為邊作等邊△OBA1，邊OA1與AB交于點(diǎn)O1，以O(shè)1B為邊作等邊△O1BA2，邊O1A2與A1B交于點(diǎn)O2，以O(shè)2B為邊作等邊△O2BA3，邊O2A3與A2B交于點(diǎn)O3，…，依此規(guī)律繼續(xù)作等邊△On－1BAn，則A2020的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______．

第7題圖
參考答案
類(lèi)型一圖形遞推變化
典例精講
例1 eq \f(7×22n－1,9)
【解題步驟】①2，4，4，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，eq \f(4,3)，eq \f(2,3)，eq \f(8,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(4,3)×4＝eq \f(8,9)，eq \f(1,2)×2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，eq \f(2,3)＋eq \f(8,9)＝eq \f(14,9)；②8，eq \f(1,3)，eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(8,3)×8＝eq \f(32,9)，eq \f(1,2)×4×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3)，eq \f(8,3)＋eq \f(32,9)＝eq \f(56,9)，eq \f(224,9)；③eq \f(7×22n－1,9).
例2 eq \f(3n－1,2n－2)
【解題步驟】①eq \f(1,3)t＋eq \f(4,3)，eq \f(1,3)t＋eq \f(4,3)，2；②eq \f(1,3)m＋eq \f(4,3)，eq \f(1,3)m＋eq \f(4,3)，5，3，eq \f(9,2)，eq \f(27,4)；③eq \f(3n－1,2n－2).
遼寧近年中考真題精選
1. eq \f(2n＋1,2n) 【解析】設(shè)AB＝CD＝a，AD＝CB＝EA＝b，則DE＝2b，DF1＝CF1＝eq \f(1,2)a，CF2＝eq \f(1,4)a，CF3＝eq \f(1,8)a，∴S△EF1B＝S四邊形BCDE－S△DEF1－S△CBF1＝eq \f(1,2)(2b＋b)a－eq \f(1,2)×2b×eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)ab＝eq \f(3,4)ab＝eq \f(3,4)×2＝eq \f(3,2)；S△EF2B＝S四邊形BCDE－S△DEF2－S△CBF2＝eq \f(1,2)(2b＋b)a－eq \f(1,2)×2b×eq \f(3,4)a－eq \f(1,2)×eq \f(1,4)ab＝eq \f(5,8)ab＝eq \f(5,8)×2＝eq \f(5,4)；S△EF3B＝S四邊形BCDE－S△DEF3－S△CBF3＝eq \f(1,2)(2b＋b)a－eq \f(1,2)×2b×eq \f(7,8)a－eq \f(1,2)×eq \f(1,8)ab＝eq \f(9,16)ab＝eq \f(9,16)×2＝eq \f(9,8)；…；由面積變化規(guī)律可知S△EFnB＝eq \f(2n＋1,2n).
基本模型：
2. eq \f(\r(3),4n) 【解析】∵A1O＝A1C1＝2，∠A1OC1＝30°，A1C2⊥OC1，∴A1C2＝eq \f(1,2)A1O＝1，C1C2＝C2O ＝eq \r(3)，又∵A2C3⊥OC1，∴A2C3∥A1C2，∴A2C3是△A1C2O的中位線，∴A2C3＝eq \f(1,2)A1C2＝eq \f(1,2)，S△A2C2C1＝eq \f(1,2)C1C2·A2C3＝eq \f(\r(3),4)；以此類(lèi)推，S△A3C3C2＝eq \f(\r(3),42)；S△A4C4C3＝eq \f(\r(3),43)；…；∴S△An＋1Cn＋1Cn＝eq \f(\r(3),4n).
基本模型：
3. eq \f(2n－1,2n－1) 【解析】∵△A1C1C2是等邊三角形，∴∠A1C2C1＝60°，∵C1D1⊥A1C2，∴D1C2＝eq \f(1,2)C1C2，∠D1C1C2＝30°，∵C1D1＝D1C3，∴∠D1C3C2＝∠D1C1C2＝30°，∴∠C2D1C3＝∠C2C3D1＝30°，∴C2C3＝C2D1＝eq \f(1,2)C1C2，∴C△A2C2C3＝eq \f(1,2)C△A1C1C2＝eq \f(1,2)，同理C△A3C3C4＝eq \f(1,2)C△A2C2C3＝eq \f(1,22)，∴△AnCnCn＋1的周長(zhǎng)為eq \f(1,2n－1)，∴這些三角形的周長(zhǎng)和為1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,2n－1)＝eq \f(2n－1,2n－1).
基本模型：
4. 7×eq \f(3n－1,2n) 【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)B1作B1M⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C1作C1N⊥x軸于點(diǎn)N，∵點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(2，1)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)，即B1M＝1，OM ＝2，由△A1MB1∽△B1MO可得A1M ＝ eq \f(1,2)，
又∵△C1NA1≌△A1MB1，∴A1N ＝1，C1N ＝eq \f(1,2)，∴點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為eq \f(7,2)；同理可得，點(diǎn)C2的橫坐標(biāo)為eq \f(7,2)×eq \f(3,2)；點(diǎn)C3的橫坐標(biāo)為eq \f(7,2)×(eq \f(3,2))2；…；∴點(diǎn)Cn的橫坐標(biāo)為7×eq \f(3n－1,2n).
第4題解圖
基本模型：
5. (eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))2n－2 【解析】∵直線l1∶y＝eq \f(\r(3),3)x，∴∠A1Ox＝30°，∵直線l2∶y＝eq \r(3)x，∴∠B1Ox＝60°，∴∠A1OB1＝30°. ∵A1B1⊥l1，∴∠OB1A1＝60°，∵四邊形A1B1B2C1是菱形，∴A1C1∥B1B2，∴∠B1A1C1＝∠A1B1O＝60°，∵A1B1＝A1C1，∴△A1B1C1是等邊三角形，∴S1＝2(S扇形A1B1C1－S△A1B1C1). ∵點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為eq \f(3,2)，∴點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)為eq \f(\r(3),2)，OA1＝eq \r(3).如解圖，過(guò)點(diǎn)A1作A1D⊥x軸于點(diǎn)D，則△A1OB1∽△DOA1，∴eq \f(A1B1,DA1)＝eq \f(A1O,DO)，即eq \f(A1B1,\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(3),\f(3,2))，∴A1B1＝1，∴S1＝2×(eq \f(π,6)－eq \f(\r(3),4))＝eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2).在△A2A1C1中，A1C1＝A1B1＝1，∠C1A1A2＝30°，∴A2C1＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)，∴A2B2＝A2C1＋B2C1＝eq \f(3,2)，∴S2＝2[(eq \f(π,6)×(eq \f(3,2))2－eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×(eq \f(3,2))2]＝(eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))2，同理S3＝(eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))4，S4＝(eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))6，∴Sn＝(eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))2(n－1)＝(eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))2n－2.
第5題解圖
基本模型：
針對(duì)訓(xùn)練
1. 3·2n 【解析】∵A，A1，A2…An都在平行于x軸的直線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相等，∴An的縱坐標(biāo)是3，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)有一定的規(guī)律An＝2n；B，B1，B2，…，Bn都在x軸上，Bn的縱坐標(biāo)是0，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)也有一定的規(guī)律Bn＝2n＋1，點(diǎn)An的坐標(biāo)是 (2n，3)，Bn的坐標(biāo)是(2n＋1，0)，
∴△OAnBn的面積＝eq \f(1,2)×3×OBn＝3·2n.
2. 22020·eq \r(7) 【解析】由題意得D1D2＝eq \r(22＋（\r(3)）2)＝eq \r(7)＝20·eq \r(7)，D2D3＝eq \r(42＋（2\r(3)）2)＝2eq \r(7)＝21·eq \r(7)，D3D4＝eq \r(82＋（4\r(3)）2)＝4eq \r(7)＝22·eq \r(7)，…，∴DnDn＋1＝2n－1·eq \r(7).∴D2021D2022＝22020·eq \r(7).
3. eq \f(1,22n＋3) 【解析】把x＝0代入y＝－x＋1得，y＝1，∴OB＝1，把y＝0代入y＝－x＋1得，x＝1，∴OA＝1，∴OA＝OB，∵點(diǎn)O1、A1分別是BO、BA的中點(diǎn)，∴OO1＝eq \f(1,2)OB＝eq \f(1,2)，O1A1是△OAB的中位線，∴O1A1∥OA，O1A1＝eq \f(1,2)OA＝eq \f(1,2)，如解圖，連接OA1，O1A2，∵O1A1∥OA，∴S△AO1A1＝S△OO1A1＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,23)，同理，O2A2＝eq \f(1,2)O1A1＝eq \f(1,4)，O2O1＝eq \f(1,2)BO1eq \f(1,4)，S△A1O2A2＝S△O1O2A2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,25)，…，∴S△AnAn＋1On＋1＝eq \f(1,22n＋3).
第3題解圖
4. 2n－1 【解析】設(shè)△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面積分別為S1、S2、S3，∵四邊形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝eq \f(1,2)，∵∠OAA1＝90°，∴OAeq \\al(2,1)＝12＋12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝1，同理可求：S3＝2，S4＝4，…，
∴Sn＝2n－2，∴△AnAn＋1An＋2的面積Sn＋1＝2n－1.
5. eq \f(n,2n＋2) 【解析】如解圖，連接B1B2，B2B3，B3B4，∵n個(gè)腰長(zhǎng)為1的等腰三角形有一條腰在同一直線上，
∴B1B2＝B2B3＝B3B4＝1，∴△A1B1B2的面積＝eq \f(1,2)，∵B1B2∥AA4，∴eq \f(B1B2,AA1)＝1，eq \f(B2B3,AA2)＝eq \f(1,2)，eq \f(B3B4,AA3)＝eq \f(1,3)，∴S1＝eq \f(1,2)×eq \f(1,1＋1)＝eq \f(1,4)，∵S2＝eq \f(1,2)×eq \f(2,1＋2)＝eq \f(1,3)，S3＝eq \f(1,2)×eq \f(3,3＋1)＝eq \f(3,8)，∴Sn＝eq \f(1,2)×eq \f(n,n＋1)＝eq \f(n,2n＋2).
第5題解圖
6. eq \f(3,n) 【解析】如解圖，分別連接OB1，OB2，…，OBn，∵點(diǎn)A1(1，0)，A2(2，0)，…，An(n，0)，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…，∵B1，B2，…，Bn在反比例函數(shù)y＝eq \f(6,x)(x＞0)的圖象上，∴S△AnOBn＝eq \f(1,2)×6＝3，∴S1＝S△A1OB1＝3，S2＝eq \f(1,2)S△A2OB2＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(1,3)S△A3OB3＝eq \f(3,3)，…，Sn＝eq \f(1,n)S△AnOBn＝eq \f(3,n).
第6題解圖
7. 24041 【解析】由eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)＝－ eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)得x＝0，則A(0，eq \f(1,2))，令y＝0，由y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)＝0得x＝1，則B1(1，0)，C1(1，1)，∴B1C1＝1，如解圖，連接AD1，D1D2，D2D3，由菱形的對(duì)稱(chēng)性可得AD1＝2，∴S菱形AB1D1C1＝eq \f(1,2)AD1·B1C1＝eq \f(1,2)×2×1＝1，∴S1＝eq \f(1,2)S菱形AB1D1C1＝eq \f(1,2)，把x＝2分別代入y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)與y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)得y＝eq \f(3,2)和y＝－eq \f(1,2)，
∴B2(2，－eq \f(1,2))，C2(2，eq \f(3,2))，∴B2C2＝2，由菱形的對(duì)稱(chēng)性得AD2＝4，∴S2＝eq \f(1,2)S菱形AB2D2C2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×4×2＝2，把x＝4分別代入y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)與y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)得y＝eq \f(5,2)和y＝－eq \f(3,2)，∴B3(4，－eq \f(3,2))，C3(4，eq \f(5,2))，∴B3C3＝4，由菱形的對(duì)稱(chēng)性得AD3＝8，∴S3＝eq \f(1,2)S菱形AB3D3C3＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×8×4＝8，同理可得S4＝32，S5＝128，…，由上可知Sn＝22n－3，∴S2022＝24041.
第7題解圖
8. eq \f(3n,22n－1) 【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵BC1⊥AC，∴∠CBA1＝15°，同理可得∠BCB1＝15°，∴∠CA1C1＝30°，A1B＝A1C，∴CC1＝eq \f(1,2)A1C，∵△A1BC的面積為1，∴eq \f(1,2)A1B·CC1＝1，即eq \f(1,2)A1C·eq \f(1,2)A1C＝1，∴A1C＝2，∴A1C1＝eq \f(\r(3),2)A1C＝eq \r(3)，∵A1C1⊥AC，B1A2⊥AC，∴A1C1∥B1A2，同理，A1B1∥A2C1，∴四邊形A1B1A2C1是平行四邊形，∵∠B1BC＝∠C1CB，∠BB1C＝∠CC1B＝90°，BC＝CB，∴△BB1C≌△CC1B(AAS)，∴BC1＝CB1，∵A1B＝A1C，∴A1B1＝A1C1，∴四邊形A1B1A2C1是菱形，∴A1C1＝A2C1，∵CB1∥C1B2，∴∠A2C1A1＝∠CA1C1＝30°，如解圖，過(guò)點(diǎn)A1作A1M⊥A2C1于M，∴A1M＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)eq \r(3)，∴菱形A1B1A2C1的面積＝A2C1·A1M＝eq \f(3,2)＝eq \f(31,22×1－1)；同理可得，菱形A2B2A3C2的面積＝eq \f(9,8)＝eq \f(32,22×2－1)；菱形A3B3A4C3的面積＝eq \f(27,32)＝eq \f(33,22×3－1)；…；由上可知四邊形AnBnAn＋1Cn的面積＝eq \f(3n,22n－1).
第8題解圖
9. 2(eq \r(3))n 【解析】∵OA1＝OB1＝1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，∴OA2＝eq \f(1,tan∠OA2B1)＝eq \f(1,tan30°)＝eq \r(3)，∴A1A2＝OA2－OA1＝eq \r(3)－1，∵∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，∴∠B2A1O＝60°，∵∠B2A1O＝∠B1A2O＋∠A1C1A2，∴∠A1C1A2＝30°，∴∠B1A2O＝∠A1C1A2＝30°，∴A1A2＝A1C1＝eq \r(3)－1，同理OB2＝eq \r(3)，B1B2＝B1C1＝eq \r(3)－1，∴四邊形A1C1B1O的周長(zhǎng)為1＋1＋eq \r(3)－1＋eq \r(3)－1＝2eq \r(3)，∵A1B2∥A2B3，A2B1∥A3B2，∴∠OA1B2＝∠OA2B3，∠OB1A2＝∠OB2A3，∴四邊形OA1C1B1∽四邊形OA2C2B2，且相似比為eq \f(OA2,OA1)＝eq \r(3)，同理四邊形OA2C2B2∽四邊形OA3C3B3，且相似比為eq \r(3)；以此類(lèi)推，四邊形OAn－1Cn－1Bn－1∽四邊形OAnCnBn，且相似比為eq \r(3)；∴四邊形OA1C1B1∽四邊形OAnCnBn，且相似比為(eq \r(3))n－1，∴eq \f(四邊形OA1C1B1的周長(zhǎng),四邊形OAnCnBn的周長(zhǎng))＝eq \f(1,（\r(3)）n－1)，∴四邊形AnCnBnO的周長(zhǎng)為2eq \r(3)×(eq \r(3))n－1＝2(eq \r(3))n.
10. eq \f(1,9)×4n＋2 【解析】設(shè)△ADC的面積為S，由題意得，AC∥B1B2，AC＝AB＝2，B1B2＝4，∴△ACD∽△B2B1D，∴eq \f(S△ADC,S△B1B2D)＝(eq \f(AC,B1B2))2＝eq \f(1,4)，∴S△B1B2D＝4S，∵eq \f(CD,DB1)＝eq \f(AC,B1B2)＝eq \f(1,2)，CB1＝2，∴DB1＝eq \f(4,3)，同理D1B2＝eq \f(8,3)，設(shè)△B1DE的邊B1D上的高為h1，△B2D1E的邊B2D1上的高為h2，∵B1D∥B2D1，∴△B1DE∽△D1B2E，∴eq \f(h1,h2)＝eq \f(B1D,B2D1)＝eq \f(\f(4,3),\f(8,3))＝eq \f(1,2)，又∵h(yuǎn)1＋h2＝4，∴h1＝eq \f(4,3)，S1＝eq \f(1,2)(B1B2)2－eq \f(1,2)B1D·h1＝eq \f(1,9)×43，同理可得S2＝eq \f(1,9)×44，…，Sn＝eq \f(1,9)×4n＋2.
11. 22021＋1 【解析】如解圖，令y＝0，則y＝－x＋2＝0，得x＝2，∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2，0)．令x＝0，則y＝－x＋2＝2，∴M(0，2)，∴OM＝OA1＝2，∴∠MA1O＝45°，∴∠A1PN＝45°，∵四邊形A1B1C1A2為正方形，∴∠MA1B1＝90°，∴∠NA1B1＝45°，∴∠A1B1N＝45°，∴A1N＝B1N＝2－1＝1，∴A1P＝A1B1＝A1A2＝A2C1＝B1C1＝eq \r(2)，B1(1，－1)，如解圖，連接A2B1，A1C1，則∠A1B1A2＝∠C1A1B1＝45°，∴∠A2B1N＝∠C1A1N＝90°，∴點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)與A1的橫坐標(biāo)相等為2，A2與B1的縱坐標(biāo)相等為－1，當(dāng)y＝－1時(shí)，y＝－x＋2＝－1，得x＝3，∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(3，－1)．∵四邊形A2B2C2A3為正方形，∴∠PA2B2＝90°，∵∠A1PN＝45°，∵A2B2＝A2P＝2eq \r(2)，∴PB2＝eq \r(2)A2B2＝4，∴B2(1，－3)，如解圖，連接A3B2，A2C2，則A3B2∥x軸，A2C2∥y軸，∴點(diǎn)C2的橫坐標(biāo)與A2的橫坐標(biāo)相等為3，A3與B2的縱坐標(biāo)相等為－3，當(dāng)y＝－3時(shí)，y＝－x＋2＝－3，得x＝5，∴點(diǎn)A3的坐標(biāo)為(5，－3)．∴點(diǎn)C3的橫坐標(biāo)為5.同理可得，C4的橫坐標(biāo)為9，C5的橫坐標(biāo)為17，…，由上可得規(guī)律，Cn的橫坐標(biāo)為2n－1＋1(n≥2)，∴點(diǎn)C2022的縱坐標(biāo)為22021＋1.
第11題解圖
12. eq \f(22023－3,6)eq \r(3) 【解析】∵直線l：y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)與x軸交于點(diǎn)B，∴B(－1，0)，∴OB＝1，∵A(－2，0)，∴OA＝2，∴AB＝1，∵△ABA1是等邊三角形，∴A1(－eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))，把y＝eq \f(\r(3),2)代入y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)，求得x＝eq \f(1,2)，∴B1(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，∴A1B1＝2，設(shè)C1到x軸的距離為h1，C1到A1B1的距離為h1′，∴h1＋h1′＝y(tǒng)A1＝eq \f(1,2)eq \r(3)，∵A1B1//AB，∴△A1B1C1∽△BAC1，∴eq \f(h1,h1′)＝eq \f(BA,A1B1)＝eq \f(1,2)，∴h1＝eq \f(1,3)(h1＋h1′)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)eq \r(3)＝eq \f(1,6)eq \r(3)，∴C1的縱坐標(biāo)為eq \f(1,6)eq \r(3)；∵A1B1＝2，∴A2(－eq \f(1,2)，eq \f(3\r(3),2))，將y＝eq \f(3\r(3),2)代入y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)中，得eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)＝eq \f(3\r(3),2)，求得x＝eq \f(7,2)，∴B2(eq \f(7,2)，eq \f(3\r(3),2))，∴A2B2＝4，設(shè)C2到A1B1的距離為h2，C2到A2B2的距離為h2′，∴h2＋h2′＝eq \f(1,2)A1B1·eq \r(3)＝eq \r(3)，∵A1B1//A2B2，∴△A1B1C2∽△B2A2C2，∴eq \f(h2,h2′)＝eq \f(A1B1,A2B2)＝eq \f(1,2)，∴h2＝eq \f(1,3)(h2＋h2′)＝eq \f(1,3)×eq \r(3)＝eq \f(1,3)eq \r(3)，∴C2的縱坐標(biāo)為yA1＋h2＝eq \f(1,2)eq \r(3)＋eq \f(1,3)eq \r(3)＝eq \f(5,6)eq \r(3)；同理可得，C3的縱坐標(biāo)為eq \f(13,6)eq \r(3)；C4的縱坐標(biāo)為eq \f(29,6)eq \r(3)；…，∴Cn的縱坐標(biāo)為eq \f(2n＋1－3,6)eq \r(3).∴點(diǎn)C2022的縱坐標(biāo)是eq \f(22023－3,6)eq \r(3).
第12題解圖
類(lèi)型二圖形周期變化
典例精講
例3 (0，448eq \r(3))
【解題步驟】①3；②3，672, 672；③eq \r(3)，eq \f(2\r(3),3)，eq \f(4\r(3),3)，2eq \r(3)，(0，448eq \r(3))
遼寧近年中考真題精選
1. 560π 【解析】第一次操作：A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為l1＝eq \f(120×π×1,180)＝eq \f(2,3)π，第二次操作：A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為l2＝eq \f(30×π×1,180)＝eq \f(1,6)π，第三次操作：A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為l3＝0，第四次操作：A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為l4＝eq \f(30×π×1,180)＝eq \f(1,6)π，第五次操作：A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為l5＝eq \f(120×π×1,180)＝eq \f(2,3)π，第六次操作：A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為l6＝0，第七次操作：A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為l7＝eq \f(120,180)×π×1＝eq \f(2,3)π，…，以此類(lèi)推，不難發(fā)現(xiàn)每三次操作，A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑總長(zhǎng)相同，即為l＝eq \f(2,3)π＋eq \f(1,6)π＋0＝eq \f(5,6)π，又∵2016÷3＝672剛好整除，∴A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總路徑長(zhǎng)為l總＝672×eq \f(5,6)π＝560π.
針對(duì)訓(xùn)練
1. (36，36) 【解析】觀察這些端點(diǎn)的坐標(biāo)，有以下規(guī)律：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq \f(n＋1,2)，eq \f(n＋1,2))；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq \f(1,2)n，eq \f(1,2)n＋1)．由此可知，點(diǎn)A71的坐標(biāo)為(36，36)．
2. (337，－337eq \r(3)) 【解析】觀察圖形可知，六邊形的頂點(diǎn)是6個(gè)為一個(gè)循環(huán)，∵2021÷6＝336……5，∴點(diǎn)A2021是第337個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，且在第四象限，如解圖連接OA5，A5，A11，并延長(zhǎng)至A2021，∵點(diǎn)O是所有正六邊形的中心，易得△OA5A6、△OA11A12…，都是等邊三角形，∴OA5＝2、OA11＝4、…，OA2021＝337×2＝674，作A2021P⊥x軸于點(diǎn)P，∵∠A2021OP＝60°，∴A2021P＝OA2021·sin60°＝337eq \r(3)，OP＝OA2021·cs60°＝337，∴點(diǎn)A2021的坐標(biāo)是(337，－337eq \r(3))．
第2題解圖
3. (－21010，－21010) 【解析】由題意得，點(diǎn)B1，B2，B3，B4分別在第三象限，第四象限，第一象限，第二象限的角平分線上，且點(diǎn)B5與點(diǎn)B1在一條直線上，∴周期為4.∵2021÷4＝505……1，∴點(diǎn)B2021在第三象限的角平分線上．∵四邊形OA1B1C1是邊長(zhǎng)為1的正方形，∴OA1＝1，∴OB1＝eq \r(2).∵正方形OA2B2C2的邊長(zhǎng)等于OB1，∴OA2＝eq \r(2)，∴OB2＝eq \r(2)OA2＝2＝(eq \r(2))2.∵正方形OA3B3C3的邊長(zhǎng)等于OB2，∴OA3＝2，∴OB3＝eq \r(2)OA3＝2eq \r(2)＝(eq \r(2))3.同理可得，OB2021＝(eq \r(2))2021，∴點(diǎn)B2021的橫坐標(biāo)為－(eq \r(2))2021×cs45°＝－eq \f(（\r(2)）2022,2)＝－eq \f(21011,2)＝－21010，縱坐標(biāo)為－(eq \r(2))2021×sin45°＝－eq \f(（\r(2)）2022,2)＝－eq \f(21011,2)＝－21010，∴點(diǎn)B2021的坐標(biāo)為(－21010，－21010)．
4. (－4eq \r(2)，4eq \r(2)) 【解析】觀察題圖可知，每4個(gè)點(diǎn)在一個(gè)圖上，∴周期為4，∵30÷4＝7……2，∴A30在直線y＝－x上，且在第二象限第8個(gè)圓上，即射線OA30與x軸的夾角是45°，∵在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的同心圓的半徑由內(nèi)向外依次為1，2，3，4，…，∴OA30＝8，如解圖，OA＝8，∠AOB＝45°，∵sin45°＝eq \f(AB,8)，cs45°＝eq \f(OB,8)，∴AB＝4eq \r(2)，OB＝4eq \r(2)，∵A30在第二象限，∴A30的橫坐標(biāo)是－4eq \r(2)，縱坐標(biāo)是4eq \r(2)，即A30的坐標(biāo)是(－4eq \r(2)，4eq \r(2))．
第4題解圖
5. (－21010，－21010) 【解析】∵等腰Rt△OA1A2的直角邊OA1在y軸的正半軸上，且OA1＝A1A2＝1＝(eq \r(2))°，以O(shè)A2為直角邊作第二個(gè)等腰Rt△OA2A3，以O(shè)A3為直角邊作第三個(gè)等腰Rt△OA3A4，…，∴OA1＝1＝(eq \r(2))°，OA2＝eq \r(2)，OA3＝(eq \r(2))2，…，OA2022＝(eq \r(2))2021，∵A1、A2、A3、…，每8個(gè)一循環(huán)，再回到y(tǒng)軸的正半軸，2022÷8＝252……6，∴點(diǎn)A2022在第三象限對(duì)角線上，∵OA2022＝(eq \r(2))2021，∴點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為(－21010，－21010)．
6. (eq \f(5,2)，－eq \f(51\r(3),2)) 【解析】觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A2(2，eq \r(3))，A4(eq \f(5,2)，－eq \f(3\r(3),2))，A6(2，2eq \r(3))，A8(eq \f(5,2)，－eq \f(5\r(3),2))，…，∴A4n＋2(2，eq \r(3)n＋eq \r(3))，A4n＋4(eq \f(5,2)，－eq \f(（2n＋3）\r(3),2))(n為自然數(shù))，∵100＝4×24＋4，∴A100的坐標(biāo)為(eq \f(5,2)，－eq \f(51\r(3),2))．
7. －eq \f(31010,22019) 【解析】∵邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC，AC邊在x軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB⊥AC，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∠ABO＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°，∴AO＝eq \f(1,2)AB＝2，OB＝eq \r(3)AO＝2eq \r(3)；∵以O(shè)B為邊作等邊△OBA1，邊OA1與AB交于點(diǎn)O1，以O(shè)1B為邊作等邊△O1BA2，邊O1A2與A1B交于點(diǎn)O2，∴∠BA1O＝∠A1OB＝∠A2O1B＝60°，∠A1BO1＝∠OBO1＝eq \f(1,2)∠A1BO＝30°，∴∠AOO1＝∠A1O1O2＝90°－60°＝30°，在△OO1A與△O1O2A1中eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠OAO1＝∠A1,∠AOO1＝∠A1O1O2))，∴△OO1A∽△O1O2A1，同理，可得△OO1A∽△O1O2A1∽△O2O3A2∽…∽△On－1OnAn－1，相似比eq \f(O1A1,OA)＝eq \f(O1O2,OO1)＝sin60°＝eq \f(\r(3),2)，∴O1A1＝eq \f(\r(3),2)OA，同理O2A2＝eq \f(\r(3),2)O1A1＝(eq \f(\r(3),2))2OA，…，OnAn＝(eq \f(\r(3),2))nOA∵∠OBA＝∠O1BA1＝∠O2BA2＝∠O3BA3＝…＝∠On－2BAn－2＝∠On－1BAn－1＝30°，360°÷30°＝12，∴這些點(diǎn)所在的位置以12個(gè)為一個(gè)周期依次循環(huán)，∵2020÷12＝168……4，∴O2020A2020為4÷2×(eq \f(\r(3),2))2020＝eq \f(31010,22019).∴△O2019BA2020的邊長(zhǎng)為2O2020A2020＝2×(eq \f(31010,22019))＝eq \f(31010,22018)，∵點(diǎn)A2020與點(diǎn)A4位置類(lèi)似，∴點(diǎn)A2020的橫坐標(biāo)為－eq \f(31010,22019)·sin30°＝－eq \f(31010,22019).

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