一、選擇題
1．已知函數(shù),則為( )
A.9B.8C.-8D.-9
二、選擇題
2．一個三層書架，分別放置語文類讀物7本，政治類讀物8本，英語類讀物9本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有( )
A.3種B.504種C.24種D.12種
三、選擇題
3．已知在處的導(dǎo)數(shù)為2,則( )
A.2B.6C.D.
四、選擇題
4．已知函數(shù),則的最大值為( )
A.B.0C.D.
五、選擇題
5．函數(shù)的圖象大致為( )
A.B.
C.D.
六、選擇題
6．若函數(shù)恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
七、選擇題
7．若,,,則( )
A.B.C.D.
八、選擇題
8．著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時,給出了“牛頓數(shù)列”,它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對于函數(shù),若數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列,若函數(shù),且,則的值是( )
A.8B.2C.-4D.-6
九、多項選擇題
9．下列求導(dǎo)運算正確的是( )
A.B.
C.D.
一十、多項選擇題
10．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則( )
A.-3是函數(shù)的極值點B.-1是函數(shù)的極小值點
C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.-2是函數(shù)的極大值點
一十一、多項選擇題
11．已知函數(shù),則( )
A.當(dāng)時,函數(shù)存在極值點
B.若函數(shù)在點處的切線方程為直線,則
C.點是曲線的對稱中心
D.當(dāng)時,函數(shù)有三個零點
一十二、多項選擇題
12．已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）,則下列結(jié)論正確的是( )
A.為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則方程有3個不等的實數(shù)解
B.,
C.若對任意,不等式恒成立,則實數(shù)a的最大值為-1
D.若,則的最大值為
一十三、填空題
13．有3位高三學(xué)生參加4所重點院校的自主招生考試,每人參加且只能參加一所學(xué)校的考試,則不同的考試方法種數(shù)為__________________.
一十四、填空題
14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為______________.
一十五、填空題
15．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示,若,不等式的解集為________________.
一十六、填空題
16．已知函數(shù),對任意且,恒有成立,則實數(shù)a的取值范圍是_________________.
一十七、解答題
17．已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程;
（2）求在區(qū)間上的最值.
一十八、解答題
18．已知函數(shù) 在時取得極值.
（1）求實數(shù)a;
（2）若,求的單調(diào)區(qū)間和極值.
一十九、解答題
19．設(shè)的極小值為-8,其導(dǎo)函數(shù)的圖像經(jīng)過點,.
（1）求的解析式;
（2）若對都有恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
二十、解答題
20．已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;
（2）證明：當(dāng)時,
二十一、解答題
21．某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為13萬元/輛,年銷售量為輛,本年度為適應(yīng)市場需求,計劃提高產(chǎn)品檔次,適當(dāng)增加投入成本,若每輛車投入成本增加的比例為,則出廠價相應(yīng)提高的比例為,年銷售量也相應(yīng)增加.已知年利潤＝(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量.
（1）若年銷售量增加的比例為,寫出本年度的年利潤p(萬元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
（2）若年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為,則當(dāng)x為何值時,本年度年利潤最大？最大年利潤是多少？
二十二、解答題
22．已知函數(shù),其中.
（1）求當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點,.
①求實數(shù)a的取值范圍;
②證明：.
參考答案
1．答案：B
解析：,
故選：B.
2．答案：C
解析：從書架上取一本書，由分類加法計數(shù)原理可知，不同的取法共有種.
故選：C.
3．答案：A
解析：,.
故選：A.
4．答案：C
解析：,令,得,
當(dāng),,為減函數(shù),
當(dāng),,增函數(shù),
又,則.
故選：C.
5．答案：C
解析：
由函數(shù)的定義域為R,
且,所以函數(shù)為偶函數(shù),
當(dāng)時,,則,
當(dāng)時,;當(dāng)時,,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
故選：C.
6．答案：D
解析：依題意知，有兩個不相等的零點，故，解得且.
7．答案：C
解析：因為,
構(gòu)造函數(shù),,則,
令,解得;當(dāng)時,令,解得;
可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
且,所以,即.
故選：C.
8．答案：D
解析：因為,則,
則,故,
所以數(shù)列是以首項,公差為-1的等數(shù)列,可得.
故選：D.
9．答案：BC
解析：,故A錯誤;
,故B正確;
,故C正確;
,故D錯誤.
故選：BC.
10．答案：AC
解析：由圖像可得,當(dāng)時,當(dāng)時,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故是函數(shù)的極值點,-2 、-1不是函數(shù)的極值點,
故選：AC.
11．答案：BC
解析：由,可得,
對A,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,
故函數(shù)不存在極值點,故A錯誤;
對B,由切線方程知,解得,故B正確;
對C,因為,所以函數(shù)關(guān)于成中心對稱,故C正確;
對D,當(dāng)時,,當(dāng)或時,,當(dāng)時,,
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
極大值為,極小值為,
故函數(shù)一定不會有3個零點,至多1個零點,故D錯誤.
故選：BC.
12．答案：AC
解析：對于A,若,則或,
而,,
所以當(dāng)時,,即單調(diào)遞減,當(dāng)時,,即單調(diào)遞增,
所以,而,
所以方程有3個不等的實數(shù)解,故A正確;
對于B,若,,由A選項分析可知,即單調(diào)遞增,
所以,令,,,,所以單調(diào)遞增,
所以,矛盾,故B選項錯誤;
對于C,由B選項分析可知在上單調(diào)遞增,而由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增,
若對任意,不等式恒成立,則,
即在上恒成立,
令,當(dāng)時,,令,,
則,,
所以當(dāng)時,,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,
所以,
因為,在上恒成立,
所以,即,故C正確;
對于D,若,
又在上單調(diào)遞增,所以,
所以,,
所以,,所以當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,
所以,即的最大值為,故D錯誤.
故選：AC.
13．答案：64
解析：每位學(xué)生可以有4種參加重點院校的自主招生考試,由分步乘法計數(shù)原理可得,不同的考試方法種數(shù)為種.
故答案為：64.
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：由圖可知當(dāng)時,,時,,時,,
當(dāng)時,,故滿足題意;
當(dāng)時,,故滿足題意;
當(dāng)時,或或,故或滿足題意;
綜上所述：不等式的解集為.
故答案為：.
16．答案：
解析：由對任意且,恒有,
可得,整理得,
因為任意,且,
設(shè)函數(shù),則函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù),
因為,可得在為單調(diào)遞增函數(shù),
可得在上恒成立,所以在上恒成立,
即在上恒成立,所以,
所以實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
17．答案：（1）
（2）最大值為4,最小值為0
解析：（1）對函數(shù)求導(dǎo),,
,,
所求得的切線方程為,
即;
（2）由（1）有,
令,解得：或,
故函數(shù)在遞增,在遞減,
故函數(shù)在取最大值,
,,
故函數(shù)在的最大值為4,最小值為0.
18．答案：（1）2
（2）答案見解析
解析：（1）因為,所以,
由題意得,
即,解得,經(jīng)檢驗符合題意;
（2）由（1）得,,
則,
由得或,得,
即的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為,
所以的極大值為,極小值為
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因為函數(shù),可得,
且的圖像經(jīng)過,
則-2,為的兩個根,可得,
所以
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,單調(diào)遞減,
所以在上單調(diào)遞增,在和單調(diào)遞減,
可得,所以,所以.
（2）要使得都有恒成立,只需,
又由（1）知在上單調(diào)遞增,在和單調(diào)遞減,
且,,所以,
可得,解得,所以所示實數(shù)m的取值范圍是.
20．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）依題意,,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,由得,由得,
即當(dāng)時函數(shù)在是減函數(shù);
當(dāng)時在是減函數(shù),在是減函數(shù);
（2）由（1）知當(dāng)時,的最小值為,
,
設(shè),
則,
函數(shù)在是減函數(shù),在是減函數(shù),
即的最小值為,即,
,即的最小值,
.
21．答案：（1）
（2）當(dāng)時,本年度的年利潤最大,最大年利潤為20000萬元
解析：（1）由題意得：本年度每輛車的投入成本為,出廠價為,年銷售量為.
因此本年度的年利潤
.
（2）本年度的年利潤為
,
則,
令,解得或(舍去).
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以時,有最大值.
所以當(dāng)時,本年度的年利潤最大,最大年利潤為20000萬元.
22．答案：（1）
（2）①;②證明見解析
解析：（1）當(dāng)時,,定義域為,
若,則;若,則;
所以的增區(qū)間為,減區(qū)間為
（2）（i）函數(shù)的定義域是,
.
當(dāng)時,令則或(舍).
當(dāng),即時,,在上單調(diào)遞減,
在上的最小值是,
當(dāng),即時,
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,
在上的最小值是,
當(dāng),即時,,,在上單調(diào)遞增,
在上的最小值是.
綜上,.
（ii）①有兩個不同的零點即有兩個不同實根,
得,令,,令,得,
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,
時,取得最大值,且,當(dāng)時,
得的大致圖像如圖所示：
,所以實數(shù)a的取值范圍為.
②當(dāng)時,有兩個不同的零點.
兩根滿足,,
兩式相加得：,兩式相減得：,
上述兩式相除得,不妨設(shè),要證：,
只需證：,即證,
設(shè),令,則,
函數(shù)在上單調(diào)遞增,且.
,即,.

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