福建省泉州第五中學(xué)2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性監(jiān)測(cè)（二）數(shù)學(xué)試題

這是一份福建省泉州第五中學(xué)2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性監(jiān)測(cè)（二）數(shù)學(xué)試題，共15頁。試卷主要包含了考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，已知，若，則的最小值等于，若，且與存在且唯一，則，已知函數(shù)，則，設(shè)是復(fù)數(shù)，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
本試卷共19題，滿分150分，共6頁?？荚囉脮r(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．在草稿紙、試題卷上答題無效。
3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
4．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．己知線性回歸方程相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為，則的值為（ ）
A． B． C．2.4 D．2.5
2．若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（ ）
A． B． C．或 D．或
3．在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則t的值為（ ）
A． B． C．4 D．5
4．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．直線平面PCD B．直線AF與平面PBC所成角的最小值是
C．直線直線PC D．三棱錐的體積隨BF的增大而減小
5．2024年“花開刺桐城”閩南風(fēng)情系列活動(dòng)在泉州舉辦，包含美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會(huì)，文藝晚會(huì)等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有2幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書法作品、1幅不同的攝影作品，將這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上，第一排掛4幅，第二排掛2幅，則美術(shù)作品不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，則的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
7．若，且與存在且唯一，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．雙曲線，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，已知?jiǎng)又本€l與雙曲線C左、右兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)，與其兩條漸近線分別交于R，S兩點(diǎn)，則下列命題正確的是（ ）
A．存在直線l，使得
B．當(dāng)且僅當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，
C．存在過的直線l，使得取到最大值
D．若直線l的方程為，則雙曲線C的離心率為
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．在上的最大值為 B．為偶函數(shù)
C．為奇函數(shù) D．在上單調(diào)遞減
10．設(shè)是復(fù)數(shù)，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則或 D．若，則
11．定義在R的函數(shù)滿足：任意，則（ ）
A．恒成立
B．可能是周期函數(shù)，且沒有最小正周期
C．若在R上單調(diào)，則一定是奇函數(shù)
D．若在R上單調(diào)，則存在，使得
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)利用寒假參加社區(qū)服務(wù)，分別從為老年人服務(wù)、社會(huì)保障服務(wù)、優(yōu)撫對(duì)象服務(wù)、為殘病人服務(wù)、安全防范服務(wù)等五個(gè)服務(wù)項(xiàng)目中選擇一個(gè)報(bào)名，記事件A為“五名同學(xué)所選項(xiàng)目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)選安全防范服務(wù)”，則________．
13．已知隨機(jī)變量，且，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_________．
14．在四面體ABCD中，，且，則該四面體的外接球表面積為_________．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（13分）
己知數(shù)列和的各項(xiàng)為正，且，是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
16．（15分）
如圖，四棱錐中，平面ABCD，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，點(diǎn)E、F、G分別為線段CD、PD、PB的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PAD；
（2）求平面AFG與平面PBC夾角的余弦值；
（3）設(shè)直線PC與平面AFG的交點(diǎn)為Q，求四邊形AFQG的面積．
17．（15分）
在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉．主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里．游戲規(guī)則是：主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得．現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱，在打開2號(hào)箱之前，主持人先打開了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子．按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開甲選擇之外的一個(gè)空箱子，記為X號(hào)箱．
（1）求的概率；
（2）求X的方差；
（3）若，現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì)，請(qǐng)問他是堅(jiān)持選2號(hào)箱，還是改選3號(hào)或4號(hào)箱？
18．（17分）
進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，如果約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制：滿十六進(jìn)一，就是十六進(jìn)制．k進(jìn)制的基數(shù)就是k．我們?nèi)粘Ｉ钪凶钍煜?、最常用的就是十進(jìn)制．
例如，數(shù)3721也可以表示為：
一般地，如果k是大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制數(shù)可以表示為
．
其中．為了簡(jiǎn)便，也會(huì)把它寫成一串?dāng)?shù)字連寫在一起的形式：，如果不加下標(biāo)就默認(rèn)是十進(jìn)制．
（1）令集合，將B中的元素按從大到小的順序排列，則第100個(gè)數(shù)為多少？
（2）若，記為整數(shù)n的二進(jìn)制表達(dá)式中0的個(gè)數(shù)，如，求的值．（用數(shù)字作答）
（3）十進(jìn)制中的數(shù)999在其他進(jìn)制中是否也可以表示成一個(gè)各位數(shù)字之和為27的三位數(shù)？
如果能，請(qǐng)求出所有的k進(jìn)制數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由．
19．（17分）
已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C上不同兩點(diǎn)A，B同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：①；②；③直線AB的方程為．
（1）請(qǐng)分析說明A，B滿足的是哪兩個(gè)條件？并求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線AB經(jīng)過點(diǎn)，且與（1）的拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，，若，求的值；
（3）點(diǎn)A，B，E為（1）中拋物線C上的不同三點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B，E作拋物線C的三條切線，且三條切線兩兩相交于M，N，P，求證：的外接圓過焦點(diǎn)F．
泉州五中2024屆高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性監(jiān)測(cè)（二）
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：
二、填空題：
12． 13．1215 14．
三、解答題：
15．（1）當(dāng)時(shí)，， 1分
由，知，兩式相減得
， 2分
（舍）或，即，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列， 4分
． 5分
又． 6分
（2）
7分
則
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)； 10分
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，． 12分
所以 13分
16．解：（1）取線段AB的中點(diǎn)M，連接ME、MG，
點(diǎn)E為線段CD的中點(diǎn)，
，
又平面PAD，平面PAD
平面PAD， 2分
中，點(diǎn)G為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，
，又平面PAD，平面PAD
平面PAD， 3分
又
∴平面平面PAD，又平面MEG
平面PAD 5分
（2）設(shè)平面AFG與平面PBC夾角為，連接BD和AC交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線OH垂直于平面ABCD，
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)平面AFG的法向量為，則，取 7分
設(shè)平面PBC的法向量為，則，取 8分
則，即平面AFG與平面PBC夾角的余弦值為． 10分
（3）設(shè)，
則，故，
依題意可得向量與共面，由平面向量基本定理可得，存在實(shí)數(shù)m，n，使得 12分
得，故，故，又 13分
14分
故四邊形AFQG的面積為． 15分
17解：（1）設(shè)分別表示1，2，3，4號(hào)箱子里有獎(jiǎng)品，
設(shè)分別表示主持人打開1，2，3，4號(hào)箱子，
則，且兩兩互斥．
由題意可知，事件的概率都是，，． 4分
由全概率公式，得． 5分
（2）依題意可得
，同理可得， 6分
故X的分布列為：
7分
9分
（3）在主持人打開1號(hào)箱的條件下，4號(hào)箱、2號(hào)箱、3號(hào)箱里有獎(jiǎng)品的概率分別為
，
，
，
通過概率大小比較，甲應(yīng)該改選4號(hào)或3號(hào)箱． 15分
18．（1）解：將集合B中的元素都乘以，
得集合
中的最大數(shù)為．在10進(jìn)制中，從624起從大到小排列的第100個(gè)數(shù)是，這就是中的元素按從大到小順序排列的第100個(gè)數(shù)，
所以第100個(gè)數(shù)為． 5分
（2）解：，．
∴從到中，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)從到中，最多六位數(shù)．最高位只能是1，
∴0的個(gè)數(shù)只能是1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，
或或或或或，
有共6個(gè)；
有個(gè)；
有個(gè)；
有個(gè)；
有個(gè)；
有個(gè)．
． 11分
（3）解：假設(shè)存在這樣的k進(jìn)制數(shù)，
則
①要想使且，∴x，y，z中必有大于9的數(shù)，則；
②
綜上，
所以，
綜上可知，滿足題意的k進(jìn)制數(shù)有3個(gè)，分別為：． 17分
19．（1）解：若同時(shí)滿足①②：由，可得AB過焦點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，而，所以①②不同時(shí)成立
若同時(shí)滿足①③由①，可得AB過焦點(diǎn)，
因?yàn)橹本€AB的方程為，不可能過焦點(diǎn)，所以①③不同時(shí)成立
只能同時(shí)滿足條件②③，因?yàn)棰冢?br>且直線AB的方程為，所以，解得．
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 5分
（2）解：設(shè)直線AB的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則．因?yàn)?，直線AN，BN的斜率之和為0，
即，
所以，
即，
所以，即． 10分
（3）解：設(shè)過點(diǎn)A，B，E的三條切線分別為，傾斜角分別為，
令，
由得：
所以，
聯(lián)立直線方程可得
聯(lián)立直線方程可得
又，
． 17分
部分選擇題填空題的解答：
6．解：由題設(shè)，設(shè)，則，
當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，
所以，即，
綜上，，即，所以，
設(shè)P是直線上的點(diǎn)，是圓上的點(diǎn)，
而目標(biāo)式為，
由，故．故選：A．
7．解：由，得，即，
所以，
所以，所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闈M足條件的與存在且唯一，所以唯一，所以，
（或，兩解中有一解大于經(jīng)驗(yàn)證此情況不存在）
所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>則，解得，
所以．故選：B．
8．解：對(duì)于A項(xiàng)：與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)：設(shè)直線，與雙曲線聯(lián)立，得：
，
設(shè)，由根與系數(shù)關(guān)系得：，
所以線段PQ中點(diǎn)，
將直線，與漸近線聯(lián)立得點(diǎn)S坐標(biāo)為，
將直線與漸近線聯(lián)立得點(diǎn)R坐標(biāo)為，
所以線段RS中點(diǎn)，
所以線段PQ與線段RS的中點(diǎn)重合．所以，對(duì)任意的直線l，都有，故B項(xiàng)不正確；
對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)闉槎ㄖ?，?dāng)k越來越接近漸近線的斜率時(shí)，趨向于無窮，
所以會(huì)趨向于無窮，不可能有最大值，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)：聯(lián)立直線l與漸近線，解得,
聯(lián)立直線l與漸近線，解得由題可知，，
，解得，所以，故D項(xiàng)正確．故選D．
11．解：A．令，則，于是恒成立
B．符合題意，是周期函數(shù)，且沒有最小正周期
C．令，則，解得或，
時(shí)，令，于是，這與在R上單調(diào)矛盾，
所以，同理，所以，令，則，
所以，則一定是奇函數(shù)
D．由B，若在R上單調(diào)，則，若，則，
令，則，這與在R上單調(diào)矛盾，
所以不存在，同理，不存在．
14．解：如圖，作平面ABC，連接AH，HB，HC，
易得，因平面DAH，
所以平面DAH，平面DAH，故，
由題可得，則．
不妨設(shè)，則有①，
中，由余弦定理，，
在中，②，
將兩式相減化簡(jiǎn)即得：．
取線段AC中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作平面ABC，
其中點(diǎn)O為外接球的球心，設(shè)外接球半徑為R，
由余弦定理求得，
在直角梯形HEOD中，，由計(jì)算可得：，
則該四面體的外接球表面積為．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
D
C
C
C
B
B
D
BD
BC
ABC
X
1
3
4
P
k
x
y
z
①
12
81
13
5
11
11
②
18
54
19
2
14
11
③
27
36
28
1
7
19