一、單選題
1．現(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性.下列漢字是軸對稱圖形的是( )
A.B.C.D.
2．小美和小好同學(xué)做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時出相同的手勢，這個事件是( )
A.隨機事件B.不可能事件C.必然事件D.確定性事件
3．如圖是由兩個寬度相同的長方體組成的幾何體，它的主視圖是( )
A.B.C.D.
4．國家統(tǒng)計局2024年4月16日發(fā)布數(shù)據(jù)，今年第一季度國內(nèi)生產(chǎn)總值接近億元，同比增長，國家高質(zhì)量發(fā)展取得新成效.將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示是( )
A.B.C.D.
5．下列計算正確的是( )
A.B.C.D.
6．如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注水.下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數(shù)關(guān)系的是( )
A.B.C.D.
7．小美同學(xué)按如下步驟作四邊形：①畫；②以點A為圓心，1個單位長為半徑畫弧，分別交，于點B，D；③分別以點B，D為圓心，1個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點C；④連接，，.若，則的大小是( )
A.B.C.D.
8．經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，這三種可能性大小相同.若兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口，則至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是( )
A.B.C.D.
9．如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，則的半徑是( )
A.B.C.D.
10．如圖，小好同學(xué)用計算機軟件繪制函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點中心對稱.若點，，，……，，都在函數(shù)圖象上，這個點的橫坐標(biāo)從開始依次增加，則的值是( )
A.B.C.0D.1
二、填空題
11．中國是世界上最早使用負(fù)數(shù)的國家.負(fù)數(shù)廣泛應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中，例如，若零上記作，則零下記作_________.
12．某反比例函數(shù)具有下列性質(zhì)：當(dāng)時，y隨x的增大而減小，寫出一個滿足條件的k的值是__________.
13．分式方程的解是______.
14．黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽.在一次綜合實踐活動中，某數(shù)學(xué)小組用無人機測量黃鶴樓的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升至距水平地面的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為，底端B的俯角為，則測得黃鶴樓的高度是__________m.（參考數(shù)據(jù)：）
15．如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形.直線交正方形的兩邊于點E，F(xiàn)，記正方形的面積為，正方形的面積為.若，則用含k的式子表示的值是___________.
16．拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且.下列四個結(jié)論：
①；
②若，則；
③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)解；
④點，在拋物線上，若，，總有，則.
其中正確的是__________（填寫序號）.
三、解答題
17．求不等式組的整數(shù)解.
18．如圖，在中，點E，F(xiàn)分別在邊，上，.
（1）求證：；
（2）連接.請?zhí)砑右粋€與線段相關(guān)的條件，使四邊形是平行四邊形.（不需要說明理由）
19．為加強體育鍛煉，增強學(xué)生體質(zhì)，某校在“陽光體育一小時”活動中組織九年級學(xué)生定點投籃技能測試，每人投籃4次，投中一次計1分.隨機抽取m名學(xué)生的成績作為樣本，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成如下的統(tǒng)計圖表.
測試成績頻數(shù)分布表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）直接寫出m，n的值和樣本的眾數(shù)；
（2）若該校九年級有名學(xué)生參加測試，估計得分超過2分的學(xué)生人數(shù).
20．如圖，為等腰三角形，O是底邊的中點，腰與半圓O相切于點D，底邊與半圓O交于E，F(xiàn)兩點.
（1）求證：與半圓O相切；
（2）連接.若，，求的值.
21．如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務(wù)，每個任務(wù)的畫線不得超過三條.
（1）在圖（1）中，畫射線交于點D，使平分的面積；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在射線上畫點E，使；
（3）在圖（2）中，先畫點F，使點A繞點F順時針旋轉(zhuǎn)到點C，再畫射線交于點G；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將線段繞點G旋轉(zhuǎn)，畫對應(yīng)線段（點A與點M對應(yīng)，點B與點N對應(yīng)）.
22．16世紀(jì)中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖.火箭第一級運行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行.某科技小組運用信息技術(shù)模擬火箭運行過程.如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線和直線.其中，當(dāng)火箭運行的水平距離為時，自動引發(fā)火箭的第二級.
（1）若火箭第二級的引發(fā)點的高度為.
①直接寫出a，b的值；
②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離.
（2）直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發(fā)射點的水平距離超過.
23．問題背景：如圖（1），在矩形中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，連接，，求證：.
問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點E是的中點，點F在邊上，，與交于點G，求證：.
問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值.
24．拋物線交x軸于A，B兩點（A在B的右邊），交y軸于點C.
（1）直接寫出點A，B，C的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點P作直線，交y軸于點Q.若平分線段，求點P的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），點D與原點O關(guān)于點C對稱，過原點的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點（點E在x軸下方），線段交拋物線于另一點G，連接.若，求直線的解析式.
參考答案
1．答案：C
解析：A，B，D選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形.
故選：C.
2．答案：A
解析：兩人同時出相同的手勢，這個事件是隨機事件，
故選：A.
3．答案：B
解析：從正面看該幾何體，下面是一個大長方形，上面疊著一個小長方形，
故選：B.
4．答案：C
解析：，
故選：C.
5．答案：B
解析：A.，故該選項不正確，不符合題意；
B.，故該選項正確，符合題意；
C.，故該選項不正確，不符合題意；
D.，故該選項不正確，不符合題意；
故選：B.
6．答案：D
解析：下層圓柱底面半徑大，水面上升快，上層圓柱底面半徑稍小，水面上升稍慢，再往上則水面上升更慢，
所以對應(yīng)圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩，第三段比第二段緩.
故選：D.
7．答案：C
解析：作圖可得，
四邊形是菱形，
，，
，
，
，
故選：C.
8．答案：D
解析：列樹狀圖如圖所示，
共有9種情況，至少一輛車向右轉(zhuǎn)有5種，
至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是，
故選：D.
9．答案：A
解析：延長至點E，使，連接，連接并延長交于點F，連接，
四邊形內(nèi)接于，
，
，
，
，，
是的直徑，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
.
故選：A.
10．答案：D
解析：這個點的橫坐標(biāo)從開始依次增加，
，
，
，而即，
，
當(dāng)時，，即，
關(guān)于點中心對稱的點為，
即當(dāng)時，，
，
故選：D.
11．答案：
解析：零上記作，則零下記作，
故答案為：.
12．答案：1（答案不唯一）
解析：當(dāng)時，y隨x的增大而減小，
故答案為：1（答案不唯一）.
13．答案：
解析：，
等號兩邊同時乘以，得，
去括號，得，
移項、合并同類項，得，
經(jīng)檢驗，是該分式方程的解，
所以，該分式方程的解為.
故答案為：.
14．答案：51
解析：延長交距水平地面水平線的水平線于點D，如圖，
由題可知，，
設(shè)，
，
，
，
，
.
故答案為：51.
15．答案：
解析：作交于點G，不妨設(shè)，設(shè)，
四邊形是正方形，
，
，
，
在和中，，，
，
，
，
，
，
，
由題意可知，，
，
，
，
，
，
正方形的面積，
正方形的面積，
，
，
，
.
16．答案：②③④
解析：（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且.
對稱軸為直線，，
，
，故①錯誤，
，
，即，兩點之間的距離大于1，
又，
時，，
若，則，故②正確；
③由①可得，
，即，
當(dāng)時，拋物線解析式，
設(shè)頂點縱坐標(biāo)為，
拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，
，
，
，
，，對稱軸為直線，
當(dāng)時，t取得最大值為2，而，
關(guān)于x的一元二次方程無解，故③正確；
④，拋物線開口向下，點，在拋物線上，，，總有，
又，
點離較遠(yuǎn)，
對稱軸
解得：，故④正確.
故答案為：②③④.
17．答案：整數(shù)解為：-1，0，1
解析：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式組的解集為：，
整數(shù)解為：-1，0，1.
18．答案：（1）見解析
（2）添加（答案不唯一）
解析：（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
即，
在與中，
，
；
（2）添加（答案不唯一）
如圖所示，連接.
四邊形是平行四邊形，
，即，
當(dāng)時，四邊形是平行四邊形.
19．答案：（1），，眾數(shù)為3分
（2）該校九年級有名學(xué)生參加測試，估計得分超過2分的學(xué)生人數(shù)為人
解析：（1）依題意，（人），（人），（人），
，
，
3分的人數(shù)為18個，出現(xiàn)次數(shù)最多，
眾數(shù)為3分，
（2）（人）
答：該校九年級有名學(xué)生參加測試，估計得分超過2分的學(xué)生人數(shù)為人.
20．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明：連接、，作交于N，如圖，
為等腰三角形，O是底邊的中點，
，平分，
與半圓O相切于點D，
，
由，
，
是半圓O的切線.
（2）由（1）可知，，
，，
，，
，
，
又，，
在中，，，
，
，
解得：，
.
21．答案：（1）作圖見解析
（2）作圖見解析
（3）作圖見解析
（4）作圖見解析
解析：（1）如圖所示，點D即為所求.
（2）如圖所示，點E即為所求.
（3）如圖所示.
（4）如圖所示.
22．答案：（1）①，；②
（2）
解析：（1）①火箭第二級的引發(fā)點的高度為，
拋物線和直線均經(jīng)過點，
，，
解得，.
②由①知，，，
，
最大值，
當(dāng)時，
則，
解得，，
又時，，
當(dāng)時，
則，
解得，
，
這兩個位置之間的距離.
（2）當(dāng)水平距離超過時，
火箭第二級的引發(fā)點為，
將，代入，得
，
解得，
.
23．答案：問題背景：見解析
問題探究：見解析
問題拓展：
解析：問題背景：四邊形是矩形，
，
E，F(xiàn)分別是，的中點
，
即，
；
問題探究：如圖所示，取的中點H，連接，，
E是的中點，H是的中點，
，，
又，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
又，H是的中點，
，
，
，
；
問題拓展：如圖所示，過點F作，則四邊形是矩形，連接，
，
，
設(shè)，則，，
在中，，
，由（2）
，
又E是的中點，
垂直平分
，，
在，中，
，
，
設(shè)，則，
，
又，
，
，
又，
，
.
24．答案：（1），，
（2）
（3）
解析：（1）由，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)，，
解得：，，
A在B的右邊
，，
（2）設(shè)直線的解析式為，
將，代入得，
，
解得：，
直線的解析式為，
，
設(shè)直線的解析式為，
P在第三象限的拋物線上，
設(shè)，，
，
，
，
設(shè)的中點為M，則，
由，，設(shè)直線的解析式為，
將代入得，
，
解得：，
直線的解析式為，
平分線段，
M在直線上，
，
解得：，（舍去），
當(dāng)時，，
；
（3）如圖所示，過點G作軸，過點E，F(xiàn)分別作的垂線，垂足分別為T，S，
，
，
，
，
即，
點D與原點O關(guān)于點對稱，
，
設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，
聯(lián)立直線與拋物線解析式可得，，
即，
聯(lián)立直線與拋物線解析式可得，，
即，
設(shè)，，，
，，，
，
，
，
，
，
將代入得：，
，
，
直線解析式為.
成績/分
頻數(shù)
4
12
3
a
2
15
1
b
0
6

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