A．10B．14C．23D．26
2．(2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等差數(shù)列，公差不為0，若、數(shù)列的第2項(xiàng)、數(shù)列的第5項(xiàng)恰好構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬（理））已知數(shù)列滿足，且，，則（ ）
A．2021B．C．D．
4．(2023·上海交大附中模擬）設(shè)等差數(shù)列，首項(xiàng)．設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根為．若存在唯一的，使得，則公差的取值可能為（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬（文））已知數(shù)列{}滿足，，則數(shù)列{}第2022項(xiàng)為（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·北京八十中模擬）數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)在生活中無(wú)處不在!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界!1906年瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案，他的做法如下：從一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊，分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖①?②?③等）.反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到雪花曲線.
不妨記第個(gè)圖中的圖形的周長(zhǎng)為，則（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·浙江湖州·模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，．記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，給出下列四個(gè)命題：
①若數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞增，則首項(xiàng)
②若數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞減，則首項(xiàng)
③若數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，
④若數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，
則以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．(2023·浙江溫州·二模）對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，恒有，則稱數(shù)列有界；若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列無(wú)界，已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界
C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界
9．(2023·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬）（多選題）在平面四邊形中，的面積是面積的2倍，又?jǐn)?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，恒有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．為等比數(shù)列B．為遞減數(shù)列
C．為等差數(shù)列D．
10．(2023·福建·三明一中模擬）（多選題）已知紅箱內(nèi)有6個(gè)紅球、3個(gè)白球，白箱內(nèi)有3個(gè)紅球、6個(gè)白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，依此類(lèi)推，第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去．記第次取出的球是紅球的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．第5次取出的球是紅球的概率為D．前3次取球恰有2次取到紅球的概率是
11．(2023·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）（多選題）是定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．D．
12．(2023·江蘇·鹽城中學(xué)模擬）（多選題）設(shè)，正項(xiàng)數(shù)列滿足，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A． 為中的最小項(xiàng)
B．為中的最大項(xiàng)
C．存在，使得成等差數(shù)列
D．存在，使得成等差數(shù)列
13．(2023·上海徐匯·三模）設(shè)是直線與圓在第一象限的交點(diǎn)，則___________.
14．(2023·廣東·模擬）已知函數(shù)滿足時(shí)，，．若函數(shù)的圖像與x軸恰好有個(gè)不同的交點(diǎn)，則_________．
15．(2023·上海長(zhǎng)寧·二模）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意，都有，． 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為_(kāi)_________．
16．(2023·福建·莆田二中模擬）已知數(shù)列滿足：，，且，，其中.則___________，若，則使得成立的最小正整數(shù)為_(kāi)__________.
專(zhuān)題12 數(shù)列
1．(2023·云南師大附中模擬（理））《九章算術(shù)》是我國(guó)秦漢時(shí)期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書(shū)中第三章“衰分”有如下問(wèn)題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢(qián).欲令高爵出少，以次漸多，問(wèn)各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次變低）5個(gè)人共出100錢(qián)，按照爵位從高到低每人所出錢(qián)數(shù)成遞增等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢(qián)?”在這個(gè)問(wèn)題中，若不更出17錢(qián)，則公士出的錢(qián)數(shù)為（ ）
A．10B．14C．23D．26
答案：D
【解析】解：設(shè)大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢(qián)數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列．
由題意可知，等差數(shù)列中，前5項(xiàng)和為100，
設(shè)公差為，前項(xiàng)和為，
則，解得，
所以，
所以公士出的錢(qián)數(shù)為，
故選：D．
2．(2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等差數(shù)列，公差不為0，若、數(shù)列的第2項(xiàng)、數(shù)列的第5項(xiàng)恰好構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，所以，
，又、數(shù)列的第2項(xiàng)、數(shù)列的第5項(xiàng)恰好構(gòu)成等比數(shù)列，
即，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，
解得，（舍去），所以.
故選：A.
3．(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬（理））已知數(shù)列滿足，且，，則（ ）
A．2021B．C．D．
答案：B
【解析】∵，即，則
∴數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列
則，即
∴
則
故選：B．
4．(2023·上海交大附中模擬）設(shè)等差數(shù)列，首項(xiàng)．設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根為．若存在唯一的，使得，則公差的取值可能為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】已知方程為一元二次方程，則．
首先計(jì)算方程的根的判別式，并進(jìn)行分類(lèi)討論．
第一種情況，若，即，則，
解得．
第二種情況，若，即，則，
解得，故綜合上述兩種情況，才能滿足不等式成立．
而．
若，則均符合要求；
若，則僅有符合要求；
若，則均符合要求；
若則沒(méi)有符合要求的項(xiàng)；
故選：B
5．(2023·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬（文））已知數(shù)列{}滿足，，則數(shù)列{}第2022項(xiàng)為（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】解：由.得，
又，可得
所以，，，……，
，將上式相加得
，
故選：A.
6．(2023·北京八十中模擬）數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)在生活中無(wú)處不在!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界!1906年瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案，他的做法如下：從一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊，分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖①?②?③等）.反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到雪花曲線.
不妨記第個(gè)圖中的圖形的周長(zhǎng)為，則（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由圖知：第一個(gè)圖有3條邊，各邊長(zhǎng)為2，故周長(zhǎng)；
第二個(gè)圖有12條邊，各邊長(zhǎng)為，故周長(zhǎng)；
第三個(gè)圖有48條邊，各邊長(zhǎng)為，故周長(zhǎng)；
……
所以邊的條數(shù)是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，則第n個(gè)圖的邊有條，
邊長(zhǎng)是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則第n個(gè)圖的邊長(zhǎng)為，
故.
故選：C
7．(2023·浙江湖州·模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，．記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，給出下列四個(gè)命題：
①若數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞增，則首項(xiàng)
②若數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞減，則首項(xiàng)
③若數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，
④若數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，
則以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：B
【解析】對(duì)于①，由題意，正數(shù)數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，
∴，解得，∴．
∴．∵，∴．則①成立，
對(duì)于②，由題意，正數(shù)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，且，
∴，解得，∴．
∴．故②成立.
又由，可得：．
∴．∵，
∴
．
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，∴，則，故③不成立；
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，∴，即?br>∴．則，故④成立.
故選：B
8．(2023·浙江溫州·二模）對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，恒有，則稱數(shù)列有界；若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列無(wú)界，已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界
C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界
答案：B
【解析】當(dāng)時(shí)，
令，則，
當(dāng) 時(shí)，，故 ，
因?yàn)?，則，
所以 ，（這是因?yàn)椋?br>令 ，則，
故時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，
故，則，
假設(shè) ，則，
故由歸納法可得成立，所以 ，
故數(shù)列無(wú)界，故A錯(cuò)；
又由，
設(shè)
則 ，
故遞減，則，
所以 ，則 ，
則 ，
故 ，則，
故 ，
即當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界，故B正確
當(dāng) 時(shí)，，由， ，
假設(shè) ，則 ，即成立，
所以此時(shí) 都無(wú)界，故C,D錯(cuò)誤；
9．(2023·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬）（多選題）在平面四邊形中，的面積是面積的2倍，又?jǐn)?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，恒有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．為等比數(shù)列B．為遞減數(shù)列
C．為等差數(shù)列D．
答案：BD
【解析】如圖，連交于，
則，即，
所以，所以，
所以，
設(shè)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，
所以，
，所以當(dāng)時(shí)，恒有，
所以，即，又，所以，
所以，所以，
因?yàn)椴皇浅?shù)，所以不為等比數(shù)列，故A不正確；
因?yàn)椋?，所以為遞減數(shù)列，故B正確；
因?yàn)椴皇浅?shù)，所以不為等差數(shù)列，故C不正確；
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以，故D正確.
故選：BD
10．(2023·福建·三明一中模擬）（多選題）已知紅箱內(nèi)有6個(gè)紅球、3個(gè)白球，白箱內(nèi)有3個(gè)紅球、6個(gè)白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，依此類(lèi)推，第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去．記第次取出的球是紅球的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．第5次取出的球是紅球的概率為D．前3次取球恰有2次取到紅球的概率是
答案：AC
【解析】依題意，
設(shè)第次取出球是紅球的概率為，則白球概率為，
對(duì)于第次，取出紅球有兩種情況．
①?gòu)募t箱取出的概率為，②從白箱取出的概率為，
對(duì)應(yīng)，即，故B錯(cuò)誤；
所以，
令，則數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，因?yàn)?，所以?br>故，所以，故選項(xiàng)A，C正確；
第1次取出球是紅球的概率為，第2次取出球是紅球的概率為，
第3次取出球是紅球的概率為，
前3次取球恰有2次取到紅球的概率是，
故D錯(cuò)誤；故選：AC．
11．(2023·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）（多選題）是定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．D．
答案：AD
【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),是偶函數(shù),則有，解得.
對(duì)于A：任取，則，所以.故A正確；
對(duì)于B：任取，則，所以.故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C:當(dāng)x∈(2,3)時(shí),有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以，則有，，故.故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D：由C的結(jié)論, ，則.故D正確.
故選：AD
12．(2023·江蘇·鹽城中學(xué)模擬）（多選題）設(shè)，正項(xiàng)數(shù)列滿足，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A． 為中的最小項(xiàng)
B．為中的最大項(xiàng)
C．存在，使得成等差數(shù)列
D．存在，使得成等差數(shù)列
答案：AB
【解析】解：由可得
令，
當(dāng)遞增；
當(dāng)遞減
且
是最小的項(xiàng)；
所以A正確
令
在區(qū)間內(nèi)遞減，即；即
即，
所以，綜上所述，是最大的項(xiàng)，所以B正確，
由于 是最小的項(xiàng)，是最大的項(xiàng)，則不可能使得成等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，則，
，所以不存在成等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤
故選：AB
13．(2023·上海徐匯·三模）設(shè)是直線與圓在第一象限的交點(diǎn)，則___________.
答案：
【解析】聯(lián)立，解得，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，直線趨近于直線，
此時(shí)，直線與圓在第一象限的交點(diǎn)趨近于點(diǎn)，
而可視為點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
當(dāng)時(shí)，的值會(huì)無(wú)限趨近于點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
故.
故答案為：.
14．(2023·廣東·模擬）已知函數(shù)滿足時(shí)，，．若函數(shù)的圖像與x軸恰好有個(gè)不同的交點(diǎn)，則_________．
答案：
【解析】∵，∴，所以函數(shù)周期為4，
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)周期為4，
令，
即與函數(shù)恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，
根據(jù)圖象知，直線與第個(gè)半圓相切，
故，
故，
所以．
故答案為：.
15．(2023·上海長(zhǎng)寧·二模）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意，都有，． 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為_(kāi)_________．
答案：
【解析】假設(shè)中存在相鄰兩項(xiàng) 為非負(fù)數(shù)，則，
若，則，與條件矛盾；
若，則，與條件矛盾，
故中不可能存在相鄰兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，則，則根據(jù)得,
故，
當(dāng)時(shí)，則，則根據(jù)得,
故，
所以總成立，
又當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， ，所以的奇偶性不同，則，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
故當(dāng)k為奇數(shù)時(shí), ,
此時(shí)考查數(shù)列：符合題意，
此時(shí)的最大值為0；
故當(dāng)k為偶數(shù)時(shí), ,
此時(shí)考查數(shù)列：符合題意，
此時(shí)的最大值為 ，故的最大值為 ，
故答案為：
16．(2023·福建·莆田二中模擬）已知數(shù)列滿足：，，且，，其中.則___________，若，則使得成立的最小正整數(shù)為_(kāi)__________.
答案：
【解析】，，
，又，，
；
可猜想：；
當(dāng)時(shí)，成立；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，
那么當(dāng)時(shí)，，，，
；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；，
，
解得：，使得成立的最小正整數(shù)為.
故答案為：；.

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考點(diǎn)02 等比數(shù)列-高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)小題多維練（全國(guó)通用）（原卷版）

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