作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形：
（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；
（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）四邊都相等的四邊形是菱形．
坐標(biāo)系中的菱形存在性問(wèn)題也是依據(jù)以上去得到方法．和平行四邊形相比，菱形多一個(gè)“對(duì)角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價(jià)的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)需滿足：
SKIPIF 1 < 0
考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等．
即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的3個(gè)等式，
故菱形存在性問(wèn)題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有3個(gè)未知量，與矩形相同．
因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則有3個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可細(xì)分如下兩大類題型：
（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)
（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)
解決問(wèn)題的方法也可有如下兩種：
思路1：先平四，再菱形
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD為對(duì)角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組．
思路2：先等腰，再菱形
在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn)．
看個(gè)例子：
如圖，在坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5,4），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，求D點(diǎn)坐標(biāo)，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．
思路1：先平四，再菱形
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（p，q）．
（1）當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由題意得：（AB和CD互相平分及AC=BC）
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
（2）當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，由題意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（3）當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，由題意得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
思路2：先等腰，再菱形
先求點(diǎn)C，點(diǎn)C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問(wèn)題的方法先確定C，再確定D點(diǎn)．
（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，
C點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ；
C點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）當(dāng)BA=BC時(shí)，
C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）；
C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3）．
（3）AC=BC時(shí)，
C點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，D點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．
以上只是兩種簡(jiǎn)單的處理方法，對(duì)于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問(wèn)題具體分析，或許有更為簡(jiǎn)便的方法．
二、典例精析
如圖，拋物線 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，OA=2，OC=6，連接AC和BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】
（1）拋物線： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）先考慮M點(diǎn)位置，即由A、C、M三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形：
①當(dāng)CA=CM時(shí)，
即CM=CA= SKIPIF 1 < 0 ，M點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
②當(dāng)AC=AM時(shí)，
即AM=AC= SKIPIF 1 < 0 ，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
③當(dāng)MA=MC時(shí)，
勾股定理可求得M點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．
綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、（2，0）、 SKIPIF 1 < 0 ．
如下圖依次從左到右．
三、中考真題演練
1．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；
(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ,即可得出答案；
（3）拋物線 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱軸為直線 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分三種情況：以 SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線或以 SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線或以 SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線．
【詳解】（1）解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)在拋物線上，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴拋物線的解析式為： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）存在，理由如下：
拋物線 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱軸為：直線 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵以 SKIPIF 1 < 0 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
∴分三種情況：以 SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線或以 SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線或以 SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線，
當(dāng)以 SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，如圖1，

∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互相垂直平分，即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)重合，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
以 SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，如圖2，

∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互相垂直平分，即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng)以 SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，如圖3，

∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互相垂直平分，即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
2．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，拋物線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(3)在（2）的條件下，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【詳解】（1）解：∵拋物線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴拋物線的表達(dá)式為： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：存在，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
如下圖，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于對(duì)稱軸 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式為： SKIPIF 1 < 0 ．
與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．
如下圖，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

同理可證： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式為： SKIPIF 1 < 0 ．
與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)稱軸是直線 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【詳解】（1）解：由題意可得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形
①如圖：線段 SKIPIF 1 < 0 作為菱形的邊，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為菱形的對(duì)角線時(shí)，作 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱線段交 SKIPIF 1 < 0 于E，連接 SKIPIF 1 < 0 ,作點(diǎn)E關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn)F，即 SKIPIF 1 < 0 為菱形，由對(duì)稱性可得F的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，故存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為菱形對(duì)角線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
②線段 SKIPIF 1 < 0 作為菱形的對(duì)角線時(shí)，
如圖：設(shè) SKIPIF 1 < 0
∵菱形 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)G是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則有： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．

綜上，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．
4．（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且與直線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)（點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的右側(cè)），點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為直線 SKIPIF 1 < 0 上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的橫坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求拋物線的解析式．
(3)拋物線與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以 SKIPIF 1 < 0 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)．
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（3）根據(jù)題意，分別求得 SKIPIF 1 < 0 ，①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為邊時(shí)，分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴拋物線解析式為： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）∵拋物線與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，

∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為邊時(shí)，
當(dāng)四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形， SKIPIF 1 < 0

∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)；
如圖所示，即四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，

點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)即為四邊形 SKIPIF 1 < 0 為菱形時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，
∴ SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問(wèn)題，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，細(xì)心的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)稱軸是直線 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 軸上一動(dòng)點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 軸，交直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交拋物線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
(3)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上運(yùn)動(dòng)，則在 SKIPIF 1 < 0 軸上是否存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再把 SKIPIF 1 < 0 代入二次函數(shù)解析式中進(jìn)行求解即可；
（3）分如圖3-1，圖3-2，圖3-3，圖3-4，圖3-5，圖3-6所示， SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線和邊，利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行列式求解即可．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱軸為直線 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴二次函數(shù)解析式為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且對(duì)稱軸為直線 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵二次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與y軸交于點(diǎn)C，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最大，最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 軸，
∴ SKIPIF 1 < 0 軸，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為頂點(diǎn)的菱形的邊；
如圖3-1所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線時(shí)，

∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 軸，
∴ SKIPIF 1 < 0 軸，即 SKIPIF 1 < 0 軸，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
如圖3-2所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為邊時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，

∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
如圖3-3所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為邊時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，

同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
如圖3-4所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為邊時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，

同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）；
如圖3-5所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線時(shí)，

∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 軸，
∴ SKIPIF 1 < 0 軸，這與題意相矛盾，
∴此種情形不存在
如圖3-6所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 交于S，

∵ SKIPIF 1 < 0 軸，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，這與三角形內(nèi)角和為180度矛盾，
∴此種情況不存在；
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求二次函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且交x軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P是直線 SKIPIF 1 < 0 上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E，求 SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在（2）中 SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線 SKIPIF 1 < 0 方向平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最大值 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0
(3)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）把 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 計(jì)算即可；
（2）延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值即可；
（3）先求出平移后的解析式，再設(shè)出M，N的坐標(biāo)，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)和判定計(jì)算即可．
【詳解】（1）把 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴拋物線的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，

∵過(guò)點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 最大時(shí) SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最大
∵拋物線的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直線 SKIPIF 1 < 0 解析式為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 最大，此時(shí) SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最大值 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
（3）∵將該拋物線沿射線 SKIPIF 1 < 0 方向平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，可以看成是向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴平移后的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，此拋物線對(duì)稱軸為直線 SKIPIF 1 < 0 ，
∴設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形
∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互相平分，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為邊長(zhǎng)且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形
∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互相平分，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
同理，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為邊長(zhǎng)且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形
∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互相平分，且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，此方程無(wú)解；
綜上所述，以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)及應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及相關(guān)線段的長(zhǎng)度．
7．（2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，拋物線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求拋物線的解析式；
(3)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以 SKIPIF 1 < 0 為邊，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；
（3）分兩種情況進(jìn)行分析：若 SKIPIF 1 < 0 為菱形的邊長(zhǎng)，利用菱形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 代入解析式得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴拋物線的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，證明如下：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∵拋物線的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴對(duì)稱軸為： SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 為菱形的邊長(zhǎng)，菱形 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 為菱形的邊長(zhǎng)，菱形 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
綜上可得：
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問(wèn)題及特殊四邊形問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．

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