2024年全國甲卷高考數(shù)學（理數(shù)）真題試題（原卷版+含解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、單選題
1．設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．10D． SKIPIF 1 < 0
2．集合 SKIPIF 1 < 0 ，則（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．若實數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足約束條件 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
5．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）
A．4B．3C．2D． SKIPIF 1 < 0
6．設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則曲線 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的大致圖像為（）
A．B．
C．D．
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，則（）
A．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要條件B．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要條件
C．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分條件D．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分條件
10．設(shè) SKIPIF 1 < 0 是兩個平面， SKIPIF 1 < 0 是兩條直線，且 SKIPIF 1 < 0 .下列四個命題：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ②若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
③若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ④若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成的角相等，則 SKIPIF 1 < 0
其中所有真命題的編號是（）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
11．在 SKIPIF 1 < 0 中內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 所對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．已知b是 SKIPIF 1 < 0 的等差中項，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（）
A．2B．3C．4D． SKIPIF 1 < 0
二、填空題
13． SKIPIF 1 < 0 的展開式中，各項系數(shù)的最大值是．
14．已知甲、乙兩個圓臺上、下底面的半徑均為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，母線長分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，則兩個圓臺的體積之比 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
16．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機抽取3次，每次取1個球.記 SKIPIF 1 < 0 為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值， SKIPIF 1 < 0 為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 差的絕對值不超過 SKIPIF 1 < 0 的概率是．
三、解答題
17．某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：
(1)填寫如下列聯(lián)表：
能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？
(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果 SKIPIF 1 < 0 ，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（ SKIPIF 1 < 0 ）
附： SKIPIF 1 < 0
18．記 SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ．
19．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
20．設(shè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 軸．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 的直線與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點，直線 SKIPIF 1 < 0 交直線 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 軸．
21．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)當 SKIPIF 1 < 0 時，求 SKIPIF 1 < 0 的極值；
(2)當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
22．在平面直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 中，以坐標原點 SKIPIF 1 < 0 為極點， SKIPIF 1 < 0 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 SKIPIF 1 < 0 的極坐標方程為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)寫出 SKIPIF 1 < 0 的直角坐標方程；
(2)設(shè)直線l： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為參數(shù)），若 SKIPIF 1 < 0 與l相交于 SKIPIF 1 < 0 兩點，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
23．實數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)證明： SKIPIF 1 < 0 ．
2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）
一、單選題
1．設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．10D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
故選A
2．集合 SKIPIF 1 < 0 ，則（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則，
故選D
3．若實數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足約束條件 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】實數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，作出可行域如圖：
根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的幾何意義為 SKIPIF 1 < 0 的截距的 SKIPIF 1 < 0 ，
則該直線截距取最大值時， SKIPIF 1 < 0 有最小值，此時直線 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 .
故選D.
4．等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 結(jié)合等差中項的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可計算出公差，即可得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故選B.
5．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）
A．4B．3C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由焦點坐標可得焦距 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合雙曲線定義計算可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得離心率.
【解析】根據(jù)題意， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
故選C.
6．設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則曲線 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】借助導數(shù)的幾何意義計算可得其在點 SKIPIF 1 < 0 處的切線方程，即可得其與坐標軸交點坐標，即可得其面積.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即該切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積 SKIPIF 1 < 0 .
故選A.
7．函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的大致圖像為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，可排除D.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
又函數(shù)定義域為 SKIPIF 1 < 0 ，故該函數(shù)為偶函數(shù)，故A、C錯誤，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
故D錯誤.
故選B.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先將 SKIPIF 1 < 0 弦化切求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.
【解析】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選B.
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，則（）
A．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要條件B．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要條件
C．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分條件D．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分條件
【答案】C
【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.
【解析】A，當 SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即必要性不成立，A錯誤；
B，當 SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即必要性不成立，B錯誤；
C，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即充分性成立，C正確；
D，當 SKIPIF 1 < 0 時，不滿足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不成立，即充分性不立，D錯誤.
故選C.
10．設(shè) SKIPIF 1 < 0 是兩個平面， SKIPIF 1 < 0 是兩條直線，且 SKIPIF 1 < 0 .下列四個命題：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ②若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
③若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ④若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成的角相等，則 SKIPIF 1 < 0
其中所有真命題的編號是（）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
【答案】A
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.
【解析】①，當 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 既不在 SKIPIF 1 < 0 也不在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，①正確；
②，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不一定垂直，②錯誤；
③，過直線 SKIPIF 1 < 0 分別作兩平面與 SKIPIF 1 < 0 分別相交于直線 SKIPIF 1 < 0 和直線 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，過直線 SKIPIF 1 < 0 的平面與平面 SKIPIF 1 < 0 的交線為直線 SKIPIF 1 < 0 ，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又因為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，③正確；
④，若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成的角相等，如果 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，④錯誤；
①③正確，
故選A.
11．在 SKIPIF 1 < 0 中內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 所對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 的值，最后代入計算即可.
【解析】因為 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
由余弦定理可得: SKIPIF 1 < 0 ，即: SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 為三角形內(nèi)角，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
故選C.
12．已知b是 SKIPIF 1 < 0 的等差中項，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（）
A．2B．3C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將 SKIPIF 1 < 0 代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入直線方程 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直線恒過 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，圓化為標準方程得： SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 最小，
SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 .

故選C
二、填空題
13． SKIPIF 1 < 0 的展開式中，各項系數(shù)的最大值是．
【答案】5
【分析】先設(shè)展開式中第 SKIPIF 1 < 0 項系數(shù)最大，則根據(jù)通項公式有 SKIPIF 1 < 0 ，進而求出 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【解析】根據(jù)題展開式通項公式為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)展開式中第 SKIPIF 1 < 0 項系數(shù)最大，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .
答案為：5.
14．已知甲、乙兩個圓臺上、下底面的半徑均為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，母線長分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，則兩個圓臺的體積之比 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計算即可得解.
【解析】根據(jù)題可得兩個圓臺的高分別為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
答案為： SKIPIF 1 < 0 .
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】64
【分析】將 SKIPIF 1 < 0 利用換底公式轉(zhuǎn)化成 SKIPIF 1 < 0 來表示即可求解.
【解析】由題 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
答案為：64.
16．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機抽取3次，每次取1個球.記 SKIPIF 1 < 0 為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值， SKIPIF 1 < 0 為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 差的絕對值不超過 SKIPIF 1 < 0 的概率是．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個球的號碼為 SKIPIF 1 < 0 ，第三個球的號碼為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，就 SKIPIF 1 < 0 的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.
【解析】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有 SKIPIF 1 < 0 種，
設(shè)前兩個球的號碼為 SKIPIF 1 < 0 ，第三個球的號碼為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為： SKIPIF 1 < 0 ，因此有2種，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因此有10種，
當 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此有16種，當 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，同理有16種，當 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，同理有10種，當 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，同理有2種，
共 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的差的絕對值不超過 SKIPIF 1 < 0 時不同的抽取方法總數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，因此所求概率為 SKIPIF 1 < 0 .
答案為： SKIPIF 1 < 0
三、解答題
17．某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：
(1)填寫如下列聯(lián)表：
能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？
(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果 SKIPIF 1 < 0 ，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（ SKIPIF 1 < 0 ）
附： SKIPIF 1 < 0
【答案】(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算 SKIPIF 1 < 0 ，并與臨界值對比分析；
（2）用頻率估計概率可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)題意計算 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合題意分析判斷.
【解析】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：
可得 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有 SKIPIF 1 < 0 的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.
（2）根據(jù)題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為 SKIPIF 1 < 0 ，
用頻率估計概率可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可以認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.
18．記 SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通項公式；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用退位法可求 SKIPIF 1 < 0 的通項公式．
（2）利用錯位相減法可求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以4為首項， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
19．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【答案】(1)見詳解；
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，可證 SKIPIF 1 < 0 ，進而得證；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，易證 SKIPIF 1 < 0 三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.
【解析】（1）因為 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖所示，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因為四邊形 SKIPIF 1 < 0 為等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
結(jié)合（1） SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因為四邊形 SKIPIF 1 < 0 為等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 底邊上中點 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，
以 SKIPIF 1 < 0 方向為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 方向為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 方向為 SKIPIF 1 < 0 軸，建立 SKIPIF 1 < 0 空間直角坐標系，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
20．設(shè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 軸．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 的直線與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點，直線 SKIPIF 1 < 0 交直線 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 軸．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 的坐標及 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 軸可求基本量，故可求橢圓方程.
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用 SKIPIF 1 < 0 的坐標表示 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合韋達定理化簡前者可得 SKIPIF 1 < 0 ，故可證 SKIPIF 1 < 0 軸.
【解析】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由題設(shè)有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故橢圓方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率必定存在，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故直線 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 軸.
21．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)當 SKIPIF 1 < 0 時，求 SKIPIF 1 < 0 的極值；
(2)當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【答案】(1)極小值為 SKIPIF 1 < 0 ，無極大值.
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.
（2）求出函數(shù)的二階導數(shù)，就 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上為增函數(shù)，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上為增函數(shù)，而 SKIPIF 1 < 0 ，故當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處取極小值且極小值為 SKIPIF 1 < 0 ，無極大值.
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上為增函數(shù)，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上為增函數(shù)，故 SKIPIF 1 < 0 .
當 SKIPIF 1 < 0 時，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù)，故在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
即在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 為減函數(shù)，
故在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，錯誤.
當 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
同理可得在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 恒成立，錯誤；
綜上， SKIPIF 1 < 0 .
22．在平面直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 中，以坐標原點 SKIPIF 1 < 0 為極點， SKIPIF 1 < 0 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 SKIPIF 1 < 0 的極坐標方程為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)寫出 SKIPIF 1 < 0 的直角坐標方程；
(2)設(shè)直線l： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為參數(shù)），若 SKIPIF 1 < 0 與l相交于 SKIPIF 1 < 0 兩點，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的直角方程.
（2）將直線的新的參數(shù)方程代入 SKIPIF 1 < 0 的直角方程，
法1：結(jié)合參數(shù) SKIPIF 1 < 0 的幾何意義可得關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程，從而可求參數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值；
法2：將直線的直角方程與曲線的直角方程聯(lián)立，結(jié)合弦長公式可求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 ，兩邊平方后可得曲線的直角坐標方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）對于直線 SKIPIF 1 < 0 的參數(shù)方程消去參數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，得直線的普通方程為 SKIPIF 1 < 0 .
法1：直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，故傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 ，
故直線的參數(shù)方程可設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
將其代入 SKIPIF 1 < 0 中得 SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
法2：聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
23．實數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）直接利用 SKIPIF 1 < 0 即可證明.
（2）根據(jù)絕對值不等式并結(jié)合（1）中結(jié)論即可證明.
【解析】（1）因為 SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 時等號成立，則 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ;
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
優(yōu)級品
合格品
不合格品
總計
甲車間
26
24
0
50
乙車間
70
28
2
100
總計
96
52
2
150
優(yōu)級品
非優(yōu)級品
甲車間
乙車間
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
優(yōu)級品
合格品
不合格品
總計
甲車間
26
24
0
50
乙車間
70
28
2
100
總計
96
52
2
150
優(yōu)級品
非優(yōu)級品
甲車間
乙車間
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
優(yōu)級品
非優(yōu)級品
甲車間
26
24
乙車間
70
30

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