北師大版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)專題三：圖形與幾何—圓和扇形的周長、面積【四大篇目】(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列
期末復(fù)習(xí)專題三：圖形與幾何—圓和扇形的周長、面積
【四大篇目】
專題解讀
本專題是期末復(fù)習(xí)專題三：圖形與幾何—圓和扇形的周長、面積。本部分內(nèi)容包括圓的認(rèn)識(shí)、周長、面積以及利用方向與距離描述路線等，該部分根據(jù)篇目進(jìn)行分類，每個(gè)篇目又包含多個(gè)?？伎键c(diǎn)，建議作為期末復(fù)習(xí)核心內(nèi)容進(jìn)行講解，一共劃分為四個(gè)篇目，歡迎使用。
目錄導(dǎo)航
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc17908" 【第一篇】圓和扇形的基本概念
\l "_Tc6674" 【知識(shí)總覽】 PAGEREF _Tc6674 \h 4
\l "_Tc2198" 【考點(diǎn)一】圓和扇形的基礎(chǔ)概念 PAGEREF _Tc2198 \h 5
\l "_Tc14433" 【考點(diǎn)二】圓規(guī)畫圓和作圖 PAGEREF _Tc14433 \h 6
\l "_Tc17199" 【考點(diǎn)三】直徑和半徑的關(guān)系 PAGEREF _Tc17199 \h 7
\l "_Tc28580" 【考點(diǎn)四】圓的裁剪 PAGEREF _Tc28580 \h 8
\l "_Tc29016" 【第二篇】圓和扇形的周長
\l "_Tc19960" 【知識(shí)總覽】 PAGEREF _Tc19960 \h 9
\l "_Tc28177" 【考點(diǎn)一】扇形的弧長和周長 PAGEREF _Tc28177 \h 10
\l "_Tc6732" 【考點(diǎn)二】關(guān)于圓周率 PAGEREF _Tc6732 \h 10
\l "_Tc9402" 【考點(diǎn)三】圓的周長與實(shí)際應(yīng)用 PAGEREF _Tc9402 \h 11
\l "_Tc31234" 【考點(diǎn)四】周長的增減變化問題 PAGEREF _Tc31234 \h 12
\l "_Tc30374" 【考點(diǎn)五】最圓問題 PAGEREF _Tc30374 \h 13
\l "_Tc15536" 【考點(diǎn)六】圓周長的大小比較 PAGEREF _Tc15536 \h 13
\l "_Tc25181" 【第三篇】圓和扇形的面積
\l "_Tc18153" 【知識(shí)總覽】 PAGEREF _Tc18153 \h 15
\l "_Tc8643" 【考點(diǎn)一】圓面積的推導(dǎo)（轉(zhuǎn)化法） PAGEREF _Tc8643 \h 16
\l "_Tc7208" 【考點(diǎn)二】圓（半圓）的面積與實(shí)際應(yīng)用 PAGEREF _Tc7208 \h 17
\l "_Tc24265" 【考點(diǎn)三】等長轉(zhuǎn)化問題 PAGEREF _Tc24265 \h 18
\l "_Tc18787" 【考點(diǎn)四】圓面積的三大關(guān)系問題 PAGEREF _Tc18787 \h 19
\l "_Tc23122" 【考點(diǎn)五】外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方 PAGEREF _Tc23122 \h 20
\l "_Tc15555" 【考點(diǎn)六】圓環(huán)的面積 PAGEREF _Tc15555 \h 21
\l "_Tc32611" 【第四篇】含圓的不規(guī)則或組合圖形周長與面積
\l "_Tc15513" 【知識(shí)總覽】 PAGEREF _Tc15513 \h 23
\l "_Tc27882" 【考點(diǎn)一】含圓的不規(guī)則圖形或組合圖形周長 PAGEREF _Tc27882 \h 24
\l "_Tc32396" 【考點(diǎn)二】含圓的不規(guī)則圖形或組合圖形面積 PAGEREF _Tc32396 \h 25
【第一篇】圓和扇形的基本概念
【知識(shí)總覽】
一、圓的認(rèn)識(shí)。
1.圓的定義。
一條線段繞著它固定的一端在平面上旋轉(zhuǎn)一周，它的另一端就會(huì)畫出一條封閉的曲線，這條封閉的曲線叫做圓。
2.圓規(guī)畫圓。
定好兩腳之間的距離，把帶有針尖的腳固定在一點(diǎn)上，把裝有鉛筆的腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出了一個(gè)圓。
3.圓的各部分。
4.圓的直徑和半徑。
在同一個(gè)圓內(nèi)，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的一半，用字母表示為：d＝2r，r＝d÷2。
注意：在同一個(gè)圓內(nèi)，有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑。
二、扇形的認(rèn)識(shí)。
1.圓上A、B兩點(diǎn)之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”，一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形，頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
2.同一個(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角有關(guān)，同一個(gè)圓中，扇形的圓心角越大，扇形越大。
3.同一個(gè)圓中，扇形圓心角與圓周角的比值等于扇形面積與圓面積的比值。
三、直徑和半徑的關(guān)系。
1.在同一個(gè)圓內(nèi)，有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑。
2.在同一個(gè)圓內(nèi)，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的一半。
3.用字母表示為：d＝2r r＝d÷2
用文字表示為：半徑=直徑÷2 直徑=半徑×2。
【考點(diǎn)一】圓和扇形的基礎(chǔ)概念。
【典型例題】
1.將一條線段的一個(gè)端點(diǎn)不動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，其軌跡所形成的圖形是( )。
2.如圖，圓周上A、B兩點(diǎn)之間的部分叫做（），由半徑OA、OB和孤AB圍成的涂色部分是（），這一部分面積是圓面積的。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.在研究“圓的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，亮亮用直尺從點(diǎn)O出發(fā)依次畫出很多條長度為4厘米的線段，形成一個(gè)近似的圓。這一想法，正好體現(xiàn)我們古代著名教育家墨子在2400多年前寫的一句話：“圓，( )也”。
2.下面圖形中哪些角是圓心角？在（）里畫“√”。
【考點(diǎn)二】圓規(guī)畫圓和作圖。
【典型例題】
1．請(qǐng)畫出一個(gè)直徑5厘米的圓，并在這個(gè)圓中畫一個(gè)圓心角是130°的扇形。
2．按要求操作。
（1）在上面的正方形中畫一個(gè)最大的圓。
（2）畫出這個(gè)組合圖形所有的對(duì)稱軸。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．畫一個(gè)直徑是4厘米的圓，并用字母標(biāo)出圓心、直徑。
2．根據(jù)對(duì)稱軸畫出軸對(duì)稱圖形的另外一半。

3．在下面的方格圖中，請(qǐng)你先在這個(gè)長方形中涂色或畫斜線表示“”，即長方形面積的的；再在這個(gè)正方形中畫一個(gè)最大的圓。（每個(gè)小方格的邊長是1cm）

【考點(diǎn)三】直徑和半徑的關(guān)系。
【典型例題】
1.畫圓時(shí)，圓規(guī)兩腳之間的距離是5厘米，那么畫出的圓的直徑是( )厘米，半徑是( )厘米。
2.看圖填空。
d＝( )
r＝( )
d＝( )
r＝( )
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.一個(gè)圓形花壇的直徑是40米，那么它的半徑是( )米。
2.如圖是一個(gè)長方形，其中包含了兩個(gè)大小不同的圓。那么大圓的半徑是( )cm，小圓的直徑是( )cm。
【考點(diǎn)四】圓的裁剪。
【典型例題】
1．在一塊長16分米，寬5分米的長方形鐵板上，最多能取( )個(gè)直徑2分米的圓形鐵板。
2．一個(gè)邊長是6分米的正方形紙片，最多可以剪下( )個(gè)直徑為2分米的圓。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．用一張長24cm、寬20cm的長方形紙，剪半徑為3cm的圓片，最多可以剪( )個(gè)。
2．在一張長12厘米，寬6厘米的長方形紙中，最多可以剪( )個(gè)直徑為3厘米的圓。
【第二篇】圓和扇形的周長
【知識(shí)總覽】
一、扇形的弧長和周長。
1.扇形弧長：
扇形弧長=（其中n表示圓心角的度數(shù)）。
2.扇形周長：
扇形周長=扇形弧長+兩條半徑的長。
二、圓與半圓的周長。
1.圍成圓的曲線的長是圓的周長。
2.圓的周長÷直徑=圓周率（π）≈3.14，是無限不循環(huán)小數(shù)，π=3.14159265……
3.圓的周長=直徑×圓周率或圓的周長=半徑×2×圓周率，如果用C表示圓的周長，用r表示圓的半徑，用d表示圓的直徑，那么圓的周長計(jì)算公式是C=πd或C=2πr。
4.半圓的周長指的是圓的周長的一半與1條直徑或2條半徑的長度和，半圓的周長計(jì)算公式是C半圓=πd+d或C半圓=πr+2r。
5.半徑、直徑和周長的倍數(shù)關(guān)系。
（1）在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。
例如：在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大4倍，那么直徑和周長就都擴(kuò)大4倍。
（2）在同一個(gè)圓里，大圓半徑是小圓半徑的a倍，則大圓直徑或周長都是小圓直徑或周長的a倍。
6.半徑、直徑和周長的增減變化關(guān)系。
（1）當(dāng)一個(gè)圓的半徑增加a厘米時(shí)，它的周長就增加2πa厘米；
（2）當(dāng)一個(gè)圓的直徑增加a厘米時(shí)，它的周長就增加πa厘米。
7.最圓問題。
（1）在正方形內(nèi)畫最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長；
（2）在長方形內(nèi)畫最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。
【考點(diǎn)一】扇形的弧長和周長。
【典型例題1】弧長。
下圖是直徑6cm的圓。其中陰影扇形的半徑是( )厘米，圓心角是( )度，弧AB長( ) cm。
【典型例題2】周長。
已知一個(gè)扇形的半徑為6厘米，圓心角為120°，那么這個(gè)扇形的弧長為（）厘米，周長是（）厘米，
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
在一個(gè)半徑是2厘米的圓內(nèi)畫一個(gè)圓心角是90°的扇形，這個(gè)扇形的周長是( )厘米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
如圖中圓的半徑是4cm，那么陰影部分的周長是( )cm。
【考點(diǎn)二】關(guān)于圓周率。
【典型例題】
圓周率最早是由我國古代數(shù)學(xué)家（）計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后7位的。
A．楊輝B．祖沖之C．劉徽D．賈思賢
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．我國一位數(shù)學(xué)家的事跡：①他是我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家；②他發(fā)現(xiàn)了球體積的計(jì)算公式：③他算出了圓周率大于3.1415926，小于3.1415927。結(jié)合事跡這位數(shù)學(xué)家是（）。
A．劉徽B．陳景潤C(jī)．祖沖之
2．關(guān)于圓周率π說法正確的是（）。
A．圓的直徑與它的周長的比值B．圓的周長是它半徑的π倍
C．＝3.14D．任意一個(gè)圓的周長與它直徑的比值
3．下列關(guān)于圓周率說法錯(cuò)誤的是（）。
A．圓周率是圓的直徑與周長的比值B．計(jì)算時(shí)圓周率通常取3.14
C．圓周率是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)D．大圓的圓周率和小圓的圓周率一樣大
【考點(diǎn)三】圓的周長與實(shí)際應(yīng)用。
【典型例題】
1．一只掛鐘時(shí)針長10厘米，經(jīng)過6小時(shí)后，時(shí)針的尖端所走過的路程是多少米？
2．一個(gè)圓形花壇的半徑是15米，如果在花壇的周圍每隔0.3米栽一株月季花，能栽多少株月季花？
3．雜技演員表演獨(dú)輪車走鋼絲，車輪的直徑為40厘米，車輪轉(zhuǎn)1圈走多少厘米？要騎過50.24米長的鋼絲，車輪要轉(zhuǎn)動(dòng)多少圈？
4．一輛汽車的車輪直徑是0.6米，如果你每分鐘轉(zhuǎn)800周，那么這輛汽車每小時(shí)可行多少千米？
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．鐘樓上裝有一個(gè)圓形大鐘，它的分針長50厘米。分針的尖端每小時(shí)所走的路程是多少厘米？
2．一個(gè)餐桌的桌面半徑是2米，如果每位客人坐在桌邊要占用0.8米的位置，這個(gè)餐桌最多可以坐多少位客人？
3．一輛汽車輪胎的外半徑為50厘米，如果車輪平均每分鐘轉(zhuǎn)250圈，那么4分鐘后這輛汽車前進(jìn)了多少米？（π取3.14）
4．小俊玩滾鐵環(huán)。鐵環(huán)半徑是0.2米，從A點(diǎn)滾到B點(diǎn)，鐵環(huán)滾動(dòng)了幾圈？
【考點(diǎn)四】周長的增減變化問題。
【典型例題】
1.把一個(gè)圓形紙板剪成兩個(gè)相等的半圓，它的周長增加了40厘米，這個(gè)圓形紙板的半徑是( )厘米。
2.甲圓的半徑是乙圓半徑的2倍，那么甲圓的周長是乙圓周長的( )倍。
3.一個(gè)圓的半徑由3厘米增加到5厘米，周長增加了( )厘米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.一個(gè)圓的周長是37.68分米，把它分成兩個(gè)半圓后，兩個(gè)半圓的周長和比原來圓的周長增加了( )分米。
2.圓的半徑擴(kuò)大3倍，直徑就擴(kuò)大( )倍，周長會(huì)擴(kuò)大( )倍。
3.圓的直徑增加2厘米，周長增加( )厘米。圓的周長增加3π厘米，半徑增加( )厘米。
【考點(diǎn)五】最圓問題。
【典型例題】
1.在一張邊長為10cm的正方形紙上剪下一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的周長是( )cm。
2.在一個(gè)長是8cm寬是6cm的長方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，圓規(guī)兩腳間的距離應(yīng)取( )cm，圓的周長為( )cm。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.在一個(gè)邊長為10cm的正方形中畫一個(gè)最大的圓，這個(gè)圖形有( )條對(duì)稱軸。正方形中這個(gè)最大圓的周長是( )cm。
2.在一個(gè)長16cm，寬8cm的長方形中畫一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的半徑是( )cm，周長是( )cm。
【考點(diǎn)六】圓周長的大小比較。
【典型例題】
①號(hào)圖形是由2個(gè)相同的小半圓、1個(gè)中半圓、1個(gè)大半圓組成，②號(hào)是由正方形和多個(gè)半圓組成。①號(hào)、②號(hào)陰影部分圖形的周長相比（）。
A．①號(hào)周長長B．②號(hào)周長長
C．周長一樣長D．無法確定
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．如圖，從點(diǎn)A到點(diǎn)B有甲、乙、丙三條路線，每條路線都是由一個(gè)或兩個(gè)半圓組成的。比較這三條路線的長度，你認(rèn)為（）。

A．甲最長B．乙最長C．丙最長D．三條路線長度相等
2．如圖，從甲地到乙地有A、B兩條路可走，這兩條路的長度相比，結(jié)果是（）。
A．路線A長B．路線B長C．同樣長D．不能確定
3．如圖，從Ａ到Ｂ沿外側(cè)大圓的周長走比較近，還是沿內(nèi)側(cè)小圓的周長走比較近（）。
A．沿大圓周長B．沿小圓周長C．一樣近D．無法確定
【第三篇】圓和扇形的面積
【知識(shí)總覽】
一、圓的面積。（轉(zhuǎn)化思想）
把一個(gè)圓割成一個(gè)近似的長方形，割拼成的長方形的長相當(dāng)于圓周長的一半，用字母πr表示，寬相當(dāng)于圓的半徑，用字母r表示，因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr2。
二、外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方。
1.外方內(nèi)圓：
在正方形里面畫最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長，圓的面積與正方形面積比為π:4。
2.外圓內(nèi)方：
在圓里面畫最大的正方形，圓的直徑等于正方形的對(duì)角線的長，圓的面積與正方形的面積比為π:2。
三、圓環(huán)的面積。
圓環(huán)的面積：S=πR2-πr2。
四、扇形的面積。
1.在計(jì)算扇形面積時(shí)要還是看扇形的圓心角，圓心角占周角的幾分之幾，扇形面積就占這個(gè)圓面積的幾分之幾。
扇形面積=（其中n表示圓心角的度數(shù)）。
2.扇環(huán)面積=大扇形的面積-小扇形的面積。
四、圓面積的三大關(guān)系問題。
1.半徑、直徑和周長、面積的倍數(shù)關(guān)系。
在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，面積擴(kuò)大倍數(shù)的平方倍。
2.半徑、直徑和周長、面積的比例關(guān)系。
（1）兩個(gè)圓的半徑比等于直徑比等于周長比，而面積比等于以上比的平方。
（2）圓周長和直徑的比是π:1，比值是π；圓周長和半徑的比是2π:1，比值是2π。
3.半徑、直徑和周長、面積的增減變化問題。
（1）周長的變化：算出增加后圓的周長和原來的周長進(jìn)行相減得到周長增加的部分。
當(dāng)一個(gè)圓的半徑增加a厘米時(shí)，它的周長就增加2πa厘米；
當(dāng)一個(gè)圓的直徑增加a厘米時(shí)，它的周長就增加πa厘米。
（2）面積的變化：算出增加后圓的面積和原來的面積進(jìn)行相減得到面積增加的部分。
【考點(diǎn)一】圓面積的推導(dǎo)（轉(zhuǎn)化法）。
【典型例題】
1.把圓按下圖所示的順序逐步細(xì)分，拼成長方形的樣子。這樣細(xì)分下去，圓的面積就是a和b的積。從圖中可以看出：

(1)a是圓的( )。
(2)b是圓的( )。
(3)如果a＝2厘米，這個(gè)圓的面積為( )。
2.把圓剪開，拼成一個(gè)近似的長方形，長方形的周長為41.4cm，這個(gè)圓的面積是( )。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.如圖，將一個(gè)圓形紙片等分成若干份，拼成一個(gè)近似的長方形，周長比原來圓周長多8厘米，圓形紙片的半徑是( )厘米，這張圓形紙片的面積是( )平方厘米。

2.如下圖，把一個(gè)圓等分后拼成一個(gè)近似長方形，這個(gè)長方形的周長是33.12厘米，那么這個(gè)圓的面積是( )平方厘米。
【考點(diǎn)二】圓（半圓）的面積與實(shí)際應(yīng)用。
【典型例題】
1．小明圍繞一個(gè)圓形花園走一圈，一共走了628步，他平均每步的長度是0.5米。這個(gè)圓形花園占地多少平方米？
2．如圖，廣場(chǎng)上有兩個(gè)半圓形的草坪，它們的周長都是257米，這兩塊草坪的面積是多少平方米？
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．幸福廣場(chǎng)中央建有一個(gè)圓形音樂噴泉池，小明以每分鐘62.8米的速度沿池邊快步行走一圈需要2分30秒。這個(gè)圓形音樂噴泉池占地多少平方米？
2．如下圖所示，張大爺利用一面墻，用籬笆圍了一個(gè)直徑10米的半圓形雞舍。
（1）圍成這個(gè)雞舍至少要多長的籬笆？
（2）這個(gè)雞舍的面積是多少平方米？
（3）如果將這個(gè)半圓形雞舍的直徑增加2米，這個(gè)雞舍的面積將擴(kuò)大多少平方米？
【考點(diǎn)三】等長轉(zhuǎn)化問題。
【典型例題】
1.一根鐵絲圍成了一個(gè)邊長7.85厘米的正方形（接頭不計(jì)），如果把這根鐵絲圍成最大的圓（接頭不計(jì)），圓的周長是( )厘米，圓的面積是( )平方厘米。
2.一根鐵絲剛好能圍成一個(gè)長8厘米，寬4.56厘米的長方形。如果將這根鐵絲圍成一個(gè)圓，這個(gè)圓的面積有多少平方厘米？
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.用一根長15.7厘米的鐵絲圍成一個(gè)正方形，正方形的面積是( )平方厘米；如果用這根鐵絲圍成一個(gè)圓，這個(gè)圓的面積是( )平方厘米。
2.一根鐵絲圍成一個(gè)長10cm，寬5.7cm的長方形，用這根鐵絲再圍成一個(gè)最大的圓形，這個(gè)圓形的面積是多少?
【考點(diǎn)四】圓面積的三大關(guān)系問題。
【典型例題1】半徑、直徑和周長、面積的倍數(shù)關(guān)系。
1.圓的半徑擴(kuò)大3倍，它的面積就擴(kuò)大( )，周長就擴(kuò)大( )倍。
2.大圓的半徑是小圓的半徑的2倍，則小圓周長是大圓周長的( )，大圓面積是小圓面積的( )倍。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大a倍，直徑擴(kuò)大( )倍，周長擴(kuò)大( )倍，面積擴(kuò)大( )倍。
2.大圓半徑是小圓半徑的5倍，大圓周長是小圓周長的( )倍，大圓面積是小圓面積的( )倍。
【典型例題2】半徑、直徑和周長、面積的比例關(guān)系。
1.兩圓的半徑之比，它們的面積之比是( )，周長之比是( )。
2.如圖：大圓半徑為8厘米，小圓半徑為4厘米，則大圓與小圓的直徑之比是( )，周長之比是( )，面積之比是( )?，F(xiàn)在讓小圓沿著大圓的外側(cè)滾動(dòng)一周后回到原處，那么小圓的圓心移動(dòng)的長度是( )厘米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.已知小圓半徑是大圓半徑的，則小圓與大圓的周長之比是( )，如果小圓面積是，則大圓面積是( )。
2.如圖，如果大圓的半徑和小圓的直徑相等，那么大圓面積與小圓面積之比是( )。
A．2∶1B．4∶1C．D．
【典型例題3】半徑、直徑和周長、面積的增減變化問題。
一個(gè)半徑是3dm的圓，如果半徑增加1dm，那么周長增加( )dm，面積增加( )dm2。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.一個(gè)圓的半徑是6m，周長是( )m，面積是( )m2；如果這個(gè)圓的半徑增加1m，則周長增加( )m，面積增加( )m2。
2.用籬笆圍一個(gè)半圓形養(yǎng)雞場(chǎng)，一面靠墻，籬笆長15.7米。如果將養(yǎng)雞場(chǎng)半徑增加1米，需要增加圍欄( )米，則面積增加( )平方米。
【考點(diǎn)五】外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方。
【典型例題】
1.如圖，在一張邊長10cm的正方形紙上剪下一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是( )，剩余部分的面積是( )。
2.在一個(gè)圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的面積是72平方厘米，那么這個(gè)圓的面積是( )平方厘米，周長是( )厘米。
3.如圖中，在邊長是2cm的正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，再在圓里畫一個(gè)最大的正方形，那么陰影部分的面積是( )cm2。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.數(shù)學(xué)課上，小明用邊長8cm的正方形紙，小華用邊長10cm的正方形紙，各剪了一個(gè)最大的圓，小明和小華所剪的圓的周長之比是( )，面積之比是( )。
2.如圖，在周長是18.84厘米的圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，陰影部分的面積是( )平方厘米。
3.大圓內(nèi)有一個(gè)最大的正方形，正方形內(nèi)有一個(gè)最大的圓，大圓面積和小圓面積的比是( )。
A．4∶1B．200∶157C．2∶1D．200∶43
【考點(diǎn)六】圓環(huán)的面積。
【典型例題】
1.在一個(gè)半徑為3米的圓形花園外鋪一條寬1米的小路，小路的面積是多少？
2.在一個(gè)半徑為10米的圓形噴泉周圍修一條寬3米的小路，小路一半面積鋪鵝卵石，一半面積鋪水泥。小路鋪水泥（如下圖）的面積是多少平方米？
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.小林爸爸新買了一張圓形餐桌，桌面的直徑是2米。
（1）如果每個(gè)人需要0.5米寬的位置就餐，這張餐桌最多能坐多少人？
（2）為了方便大家夾菜，爸爸又在餐桌中央放了一個(gè)直徑是1米的圓形轉(zhuǎn)盤，剩下桌面的面積是多少？
2.一個(gè)半圓形花壇，一周的長是35.98米。
（1）這個(gè)花壇的面積有多大？
（2）如果擴(kuò)建這個(gè)花壇，把半徑增加1米，花壇的面積增大多少？
【第四篇】含圓的不規(guī)則或組合圖形周長與面積
【知識(shí)總覽】
一、不規(guī)則圖形或組合圖形的周長。
不規(guī)則或組合圖形的周長，尋找該圖形是由哪些邊組合而成的，將這些邊的長度相互加起來，注意觀察弧形是否可以組合一起構(gòu)成半圓或整圓。
二、不規(guī)則圖形或組合圖形的面積。（十二種陰影部分面積法）
【01】直接求法，即根據(jù)已知條件，從整體出發(fā)，利用面積相關(guān)公式直接求出陰影部分的面積，是最為簡(jiǎn)單的求面積方法，熟練掌握?qǐng)D形面積公式是解決問題的關(guān)鍵。
【02】相加法，即加法分割思路，把所求陰影部分面積分割成幾塊能用公式計(jì)算的規(guī)則圖形（三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形、圓、扇形），分別計(jì)算出面積，并相加得出陰影部分的面積。
【03】相減法，即減法拓展思路，是把不規(guī)則圖形陰影部分面積拓展到包含陰影部分的規(guī)則圖形中進(jìn)行分析，通過計(jì)算這個(gè)規(guī)則圖形的面積和規(guī)則圖形中除陰影部分面積之外多余的面積，運(yùn)用“總的”減去“部分的”方法解得答案。
【04】混合型圖形，處理起來非常困難，可以首先觀察圖形，然后合理分解成部分可求的圖形，最后再相加或相減。
【05】旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法），即根據(jù)圖形的特征，將原圖的某一部分進(jìn)行翻轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)，最后得到便于求解的新圖形。
【06】拼接法，即在部分扇形半徑相等的情況下，可以通過移動(dòng)扇形，把扇形拼接成一個(gè)整體。
【07】割補(bǔ)法，即分割拼補(bǔ)的思路，是把不規(guī)則的陰影面積通過分割和拼補(bǔ)，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形。
【08】重組法，即根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要把原來圖形拆開，并加以重新組合，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形，然后結(jié)合相減法求出陰影面積。
【09】等積轉(zhuǎn)化法，即通過平面圖形之間的等積變換，化難為易，求出陰影部分的面積，要注意分析長方形、正方形、三角形面積公式與圓的面積的共同特點(diǎn)，以達(dá)到合理轉(zhuǎn)化。
【10】輔助線法，即在通常手段無法求出陰影部分面積時(shí)，需要嘗試使用添加輔助線的方法解決。
【11】容斥原理，即重疊、分層思路，把圖形中不規(guī)則的陰影部分看作幾個(gè)規(guī)則圖形用不同的方法重疊的結(jié)果，利用分層把重疊部分分出來，組成重疊圖形各個(gè)規(guī)則圖形的面積總和減去分掉的那面積，就是剩下所求那部分面積。
【12】差不變思想，即利用等式的性質(zhì)來求面積，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。
（注意：十二種陰影部分面積法請(qǐng)盡可能參考本系列第一單元內(nèi)容，此部分內(nèi)容考慮篇幅問題，考點(diǎn)考題便不再過多贅述。）
【考點(diǎn)一】含圓的不規(guī)則圖形或組合圖形周長。
【典型例題】
計(jì)算陰影部分的周長。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．求陰影部分的周長。

2．求下圖中陰影部分的周長。（單位：厘米）

3．求下面圖陰影部分的周長。
【考點(diǎn)二】含圓的不規(guī)則圖形或組合圖形面積。
【典型例題1】一般型。
求下面陰影部分的面積。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．計(jì)算陰影部分的面積。
（1）
（2）
2．求下列圖形中陰影部分的面積。（單位：cm）

3．計(jì)算下面各圖中涂色部分的面積。
（1）（2）
【典型例題2】拓展型。
1．求陰影部分的面積。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．求陰影部分面積。（單位：cm，π取3.14）
（1）（2）
2．求陰影部分的面積（單位：厘米）。
2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列
期末復(fù)習(xí)專題三：圖形與幾何—圓和扇形的周長、面積
【四大篇目】
專題解讀
本專題是期末復(fù)習(xí)專題三：圖形與幾何—圓和扇形的周長、面積。本部分內(nèi)容包括圓的認(rèn)識(shí)、周長、面積以及利用方向與距離描述路線等，該部分根據(jù)篇目進(jìn)行分類，每個(gè)篇目又包含多個(gè)常考考點(diǎn)，建議作為期末復(fù)習(xí)核心內(nèi)容進(jìn)行講解，一共劃分為四個(gè)篇目，歡迎使用。
目錄導(dǎo)航
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc18790" 【第一篇】圓和扇形的基本概念
\l "_Tc27527" 【知識(shí)總覽】 PAGEREF _Tc27527 \h 4
\l "_Tc10484" 【考點(diǎn)一】圓和扇形的基礎(chǔ)概念 PAGEREF _Tc10484 \h 5
\l "_Tc5938" 【考點(diǎn)二】圓規(guī)畫圓和作圖 PAGEREF _Tc5938 \h 6
\l "_Tc4481" 【考點(diǎn)三】直徑和半徑的關(guān)系 PAGEREF _Tc4481 \h 9
\l "_Tc21963" 【考點(diǎn)四】圓的裁剪 PAGEREF _Tc21963 \h 12
\l "_Tc30900" 【第二篇】圓和扇形的周長
\l "_Tc19115" 【知識(shí)總覽】 PAGEREF _Tc19115 \h 14
\l "_Tc32483" 【考點(diǎn)一】扇形的弧長和周長 PAGEREF _Tc32483 \h 15
\l "_Tc5459" 【考點(diǎn)二】關(guān)于圓周率 PAGEREF _Tc5459 \h 16
\l "_Tc25709" 【考點(diǎn)三】圓的周長與實(shí)際應(yīng)用 PAGEREF _Tc25709 \h 18
\l "_Tc31952" 【考點(diǎn)四】周長的增減變化問題 PAGEREF _Tc31952 \h 22
\l "_Tc11204" 【考點(diǎn)五】最圓問題 PAGEREF _Tc11204 \h 23
\l "_Tc23292" 【考點(diǎn)六】圓周長的大小比較 PAGEREF _Tc23292 \h 24
\l "_Tc27589" 【第三篇】圓和扇形的面積
\l "_Tc9735" 【知識(shí)總覽】 PAGEREF _Tc9735 \h 29
\l "_Tc6558" 【考點(diǎn)一】圓面積的推導(dǎo)（轉(zhuǎn)化法） PAGEREF _Tc6558 \h 30
\l "_Tc24375" 【考點(diǎn)二】圓（半圓）的面積與實(shí)際應(yīng)用 PAGEREF _Tc24375 \h 33
\l "_Tc22273" 【考點(diǎn)三】等長轉(zhuǎn)化問題 PAGEREF _Tc22273 \h 36
\l "_Tc22743" 【考點(diǎn)四】圓面積的三大關(guān)系問題 PAGEREF _Tc22743 \h 38
\l "_Tc3815" 【考點(diǎn)五】外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方 PAGEREF _Tc3815 \h 44
\l "_Tc5228" 【考點(diǎn)六】圓環(huán)的面積 PAGEREF _Tc5228 \h 49
\l "_Tc15727" 【第四篇】含圓的不規(guī)則或組合圖形周長與面積
\l "_Tc17311" 【知識(shí)總覽】 PAGEREF _Tc17311 \h 52
\l "_Tc25495" 【考點(diǎn)一】含圓的不規(guī)則圖形或組合圖形周長 PAGEREF _Tc25495 \h 53
\l "_Tc2439" 【考點(diǎn)二】含圓的不規(guī)則圖形或組合圖形面積 PAGEREF _Tc2439 \h 55
【第一篇】圓和扇形的基本概念
【知識(shí)總覽】
一、圓的認(rèn)識(shí)。
1.圓的定義。
一條線段繞著它固定的一端在平面上旋轉(zhuǎn)一周，它的另一端就會(huì)畫出一條封閉的曲線，這條封閉的曲線叫做圓。
2.圓規(guī)畫圓。
定好兩腳之間的距離，把帶有針尖的腳固定在一點(diǎn)上，把裝有鉛筆的腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出了一個(gè)圓。
3.圓的各部分。
4.圓的直徑和半徑。
在同一個(gè)圓內(nèi)，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的一半，用字母表示為：d＝2r，r＝d÷2。
注意：在同一個(gè)圓內(nèi)，有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑。
二、扇形的認(rèn)識(shí)。
1.圓上A、B兩點(diǎn)之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”，一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形，頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
2.同一個(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角有關(guān)，同一個(gè)圓中，扇形的圓心角越大，扇形越大。
3.同一個(gè)圓中，扇形圓心角與圓周角的比值等于扇形面積與圓面積的比值。
三、直徑和半徑的關(guān)系。
1.在同一個(gè)圓內(nèi)，有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑。
2.在同一個(gè)圓內(nèi)，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的一半。
3.用字母表示為：d＝2r r＝d÷2
用文字表示為：半徑=直徑÷2 直徑=半徑×2。
【考點(diǎn)一】圓和扇形的基礎(chǔ)概念。
【典型例題】
1.將一條線段的一個(gè)端點(diǎn)不動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，其軌跡所形成的圖形是( )。
【答案】圓
【分析】一條線段的一個(gè)端點(diǎn)不動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，根據(jù)點(diǎn)動(dòng)成線的原理即可理解。
【詳解】將一條線段的一個(gè)端點(diǎn)不動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，其軌跡所形成的圖形是（圓）。
【點(diǎn)睛】此題考查了對(duì)圓的認(rèn)識(shí)。一個(gè)端點(diǎn)不動(dòng)，就是圓心，一條線段就是半徑，另一端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，其軌跡所形成的圖形就是圓。
2.如圖，圓周上A、B兩點(diǎn)之間的部分叫做（），由半徑OA、OB和孤AB圍成的涂色部分是（），這一部分面積是圓面積的。
解析：?。簧刃?；
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.在研究“圓的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，亮亮用直尺從點(diǎn)O出發(fā)依次畫出很多條長度為4厘米的線段，形成一個(gè)近似的圓。這一想法，正好體現(xiàn)我們古代著名教育家墨子在2400多年前寫的一句話：“圓，( )也”。
【答案】一中同長
【分析】圓這種圖形，有一個(gè)中心，從這個(gè)中心到圓上各點(diǎn)都一樣長。數(shù)學(xué)意義：圓有一個(gè)圓心，圓心到圓上各點(diǎn)的距離（即半徑）都相等，即在同一個(gè)圓里，有無數(shù)條半徑，所有半徑長度都相等。早在2400多年前，我國古代著名教育家墨子就曾寫過這樣一句話“圓，一中同長也”，正是詮釋了圓的這一特征。
【詳解】根據(jù)分析得，亮亮的想法正好體現(xiàn)我們古代著名教育家墨子在2400多年前寫的一句話：“圓，一中同長也”。
【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)理解圓的特征。
2.下面圖形中哪些角是圓心角？在（）里畫“√”。
解析：根據(jù)圓心角的定義判斷如下：
【考點(diǎn)二】圓規(guī)畫圓和作圖。
【典型例題】
1．請(qǐng)畫出一個(gè)直徑5厘米的圓，并在這個(gè)圓中畫一個(gè)圓心角是130°的扇形。
【答案】見詳解
【分析】根據(jù)題意可知，半徑是（5÷2）厘米，也就是2.5厘米，畫圓的方法：①把圓規(guī)的兩腳分開，以半徑為兩腳間的距離；②以一個(gè)點(diǎn)為圓心，以半徑的長度畫圓。③把有針尖的一只腳固定在圓心上。④把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一個(gè)圓。以畫出的圓的圓心為扇形的頂點(diǎn)，然后畫出一條半徑，再利用量角器畫出另一條半徑即可畫出圓心角是130°的扇形。
【詳解】如圖：
【點(diǎn)睛】本題考查了畫圓、扇形的方法以及學(xué)生的動(dòng)手操作的能力。畫圓有兩要素：圓心、半徑。
2．按要求操作。
（1）在上面的正方形中畫一個(gè)最大的圓。
（2）畫出這個(gè)組合圖形所有的對(duì)稱軸。
【答案】見詳解
【分析】（1）所畫圓的直徑等于正方形的邊長；
（2）正方形有4條對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸，所以（1）的組合圖形有4條對(duì)稱軸。據(jù)此解答。
【詳解】由分析可作圖：
（1）
（2）
【點(diǎn)睛】本題考查圓的畫法以及對(duì)稱軸畫法以及數(shù)量。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．畫一個(gè)直徑是4厘米的圓，并用字母標(biāo)出圓心、直徑。
【答案】見詳解
【分析】以點(diǎn)O為圓心，圓規(guī)兩腳間的距離為半徑，即4÷2＝2厘米，據(jù)此畫圓即可；圓心用字母O表示，直徑用字母d表示。
【詳解】4÷2＝2（厘米）
如圖所示：
【點(diǎn)睛】本題考查圓的畫法，抓住圓的兩大要素：圓心和半徑，即可解決此類問題。
2．根據(jù)對(duì)稱軸畫出軸對(duì)稱圖形的另外一半。

【答案】見詳解
【分析】補(bǔ)全軸對(duì)稱圖形的方法：找出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，依據(jù)對(duì)稱軸畫出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再依據(jù)圖形的形狀順次連接各點(diǎn)，畫出最終的軸對(duì)稱圖形。
【詳解】
【點(diǎn)睛】本題考查了作軸對(duì)稱圖形的作法。關(guān)鍵是把對(duì)稱點(diǎn)的位置畫正確。
3．在下面的方格圖中，請(qǐng)你先在這個(gè)長方形中涂色或畫斜線表示“”，即長方形面積的的；再在這個(gè)正方形中畫一個(gè)最大的圓。（每個(gè)小方格的邊長是1cm）

【答案】圖見詳解
【分析】先把這個(gè)長方形橫向平均分成4份，其中1份畫單斜線表示，把這1份縱向平均分成8份，其中3份畫雙斜線表示，據(jù)此即可表示“”；在正方形中畫一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長，據(jù)此畫圖即可。
【詳解】畫圖如下：

【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)乘法的意義，正方形、圓的特征等，畫圓時(shí)關(guān)鍵是確定圓的直徑等于正方形的邊長。
【考點(diǎn)三】直徑和半徑的關(guān)系。
【典型例題】
1.畫圓時(shí)，圓規(guī)兩腳之間的距離是5厘米，那么畫出的圓的直徑是( )厘米，半徑是( )厘米。
解析：10；5
2.看圖填空。
d＝( )
r＝( )
d＝( )
r＝( )
【答案】 6cm/6厘米 3cm/3厘米 10cm/10厘米 3.5cm/3.5厘米
【分析】直徑＝半徑×2，半徑＝直徑÷2，第三個(gè)圖形，圓的直徑＝正方形的邊長，最后一個(gè)圖形，圓的半徑＝梯形的高，據(jù)此填空。
【詳解】3×2＝6（cm）、6÷2＝3（cm）
d＝6cm
r＝3cm
d＝10cm
r＝3.5cm
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是看懂圖示，熟悉圓的特征。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.一個(gè)圓形花壇的直徑是40米，那么它的半徑是( )米。
解析：20
2.如圖是一個(gè)長方形，其中包含了兩個(gè)大小不同的圓。那么大圓的半徑是( )cm，小圓的直徑是( )cm。
【答案】 1.5 2
【分析】由圖可知，大圓的直徑等于長方形的寬，大圓的半徑是大圓直徑的一半，小圓的直徑等于長方形的長減去大圓的直徑，據(jù)此解答。
【詳解】分析可知，大圓的直徑為3cm。
3÷2＝1.5（cm）
5－3＝2（cm）
所以，大圓的半徑是1.5cm，小圓的直徑是2cm。
【點(diǎn)睛】根據(jù)圖形確定大圓的直徑，并掌握在同圓或等圓中半徑是直徑的一半是解答題目的關(guān)鍵。
【考點(diǎn)四】圓的裁剪。
【典型例題】
1．在一塊長16分米，寬5分米的長方形鐵板上，最多能取( )個(gè)直徑2分米的圓形鐵板。
【答案】16
【分析】直徑是圓中最長的線段，用長方形的長除以直徑，計(jì)算長上面可以截取幾個(gè)圓形鐵板，同樣求出長方形的寬上面可以截取幾個(gè)圓形鐵板，結(jié)果用去尾法取整數(shù)，最后求出兩個(gè)數(shù)的乘積，據(jù)此解答。
【詳解】
長：16÷2＝8（個(gè)）
寬：5÷2≈2（個(gè)）
8×2＝16（個(gè)）
所以，最多能取16個(gè)直徑2分米的圓形鐵板。
【點(diǎn)睛】掌握?qǐng)A的特征，求出長和寬上面最多可以取的圓的數(shù)量是解答題目的關(guān)鍵。
2．一個(gè)邊長是6分米的正方形紙片，最多可以剪下( )個(gè)直徑為2分米的圓。
【答案】9
【分析】把剪下直徑為2分米的圓看作剪下邊長為2分米的正方形，計(jì)算大正方形紙片上可以剪下多少個(gè)小正方形。
【詳解】（6÷2）×（6÷2）
＝3×3
＝9（個(gè)）
【點(diǎn)睛】直徑為2分米的圓是邊長為2分米的正方形內(nèi)面積最大的圓，也可以用大正方形的面積除以小正方形的面積。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．用一張長24cm、寬20cm的長方形紙，剪半徑為3cm的圓片，最多可以剪( )個(gè)。
【答案】12
【分析】先看長24厘米，能剪幾個(gè)圓，寬能剪幾個(gè)圓，再把長寬剪的圓的數(shù)量相乘，據(jù)此解答即可。
【詳解】3×2＝6（厘米）
24÷6＝4（個(gè)）
20÷6≈3（個(gè)）
4×3＝12（個(gè)）
【點(diǎn)睛】本題考查圓，解答本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的特征。
2．在一張長12厘米，寬6厘米的長方形紙中，最多可以剪( )個(gè)直徑為3厘米的圓。
【答案】8
【分析】沿長方形的長可以剪出12÷3＝4（個(gè)），沿寬可以剪出6÷3＝2（個(gè)），據(jù)此解答。
【詳解】（12÷3）×（6÷3）
＝4×2
＝8（個(gè)）
最多可以剪8個(gè)直徑為3厘米的圓。
【點(diǎn)睛】抓住在長方形內(nèi)剪切圓的方法即可解答此類問題。
【第二篇】圓和扇形的周長
【知識(shí)總覽】
一、扇形的弧長和周長。
1.扇形弧長：
扇形弧長=（其中n表示圓心角的度數(shù)）。
2.扇形周長：
扇形周長=扇形弧長+兩條半徑的長。
二、圓與半圓的周長。
1.圍成圓的曲線的長是圓的周長。
2.圓的周長÷直徑=圓周率（π）≈3.14，是無限不循環(huán)小數(shù)，π=3.14159265……
3.圓的周長=直徑×圓周率或圓的周長=半徑×2×圓周率，如果用C表示圓的周長，用r表示圓的半徑，用d表示圓的直徑，那么圓的周長計(jì)算公式是C=πd或C=2πr。
4.半圓的周長指的是圓的周長的一半與1條直徑或2條半徑的長度和，半圓的周長計(jì)算公式是C半圓=πd+d或C半圓=πr+2r。
5.半徑、直徑和周長的倍數(shù)關(guān)系。
（1）在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。
例如：在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大4倍，那么直徑和周長就都擴(kuò)大4倍。
（2）在同一個(gè)圓里，大圓半徑是小圓半徑的a倍，則大圓直徑或周長都是小圓直徑或周長的a倍。
6.半徑、直徑和周長的增減變化關(guān)系。
（1）當(dāng)一個(gè)圓的半徑增加a厘米時(shí)，它的周長就增加2πa厘米；
（2）當(dāng)一個(gè)圓的直徑增加a厘米時(shí)，它的周長就增加πa厘米。
7.最圓問題。
（1）在正方形內(nèi)畫最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長；
（2）在長方形內(nèi)畫最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。
【考點(diǎn)一】扇形的弧長和周長。
【典型例題1】弧長。
下圖是直徑6cm的圓。其中陰影扇形的半徑是( )厘米，圓心角是( )度，弧AB長( ) cm。
解析：
直徑6cm的圓。其中陰影扇形的半徑是3厘米，圓心角是360÷4＝90°，
弧AB長：
3.14×6×
＝18.84×
＝4.71（厘米）
【典型例題2】周長。
已知一個(gè)扇形的半徑為6厘米，圓心角為120°，那么這個(gè)扇形的弧長為（）厘米，周長是（）厘米，
解析：
弧長：
＝12.56（厘米）
周長：12.56＋2×6
＝12.56＋12
＝24.56（厘米）
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
在一個(gè)半徑是2厘米的圓內(nèi)畫一個(gè)圓心角是90°的扇形，這個(gè)扇形的周長是( )厘米。
解析：
90°÷360°＝
這個(gè)扇形的周長：
2×3.14×2×＋2×2
＝6.28×2×＋4
＝12.56×＋4
＝7.14（厘米）
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
如圖中圓的半徑是4cm，那么陰影部分的周長是( )cm。
解析：
3.14×4×2÷4＋4×2
＝6.28＋8
＝14.28（cm）
【考點(diǎn)二】關(guān)于圓周率。
【典型例題】
圓周率最早是由我國古代數(shù)學(xué)家（）計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后7位的。
A．楊輝B．祖沖之C．劉徽D．賈思賢
【答案】B
【分析】我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之計(jì)算出圓周率的值在3.1415926到3.1415927之間，是世界上第一個(gè)將圓周率的值精確到7位小數(shù)的人，據(jù)此解答。
【詳解】圓周率最早是由我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之利用并發(fā)展前人創(chuàng)造的“割圓術(shù)”，在世界上第一次把圓周率的數(shù)值精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位數(shù)字。
因此圓周率最早是由我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后7位的。
故答案為：B
【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是除了掌握?qǐng)A周率的相關(guān)知識(shí)外，還應(yīng)熟悉與其相關(guān)聯(lián)的知識(shí)。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．我國一位數(shù)學(xué)家的事跡：①他是我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家；②他發(fā)現(xiàn)了球體積的計(jì)算公式：③他算出了圓周率大于3.1415926，小于3.1415927。結(jié)合事跡這位數(shù)學(xué)家是（）。
A．劉徽B．陳景潤C(jī)．祖沖之
【答案】C
【分析】祖沖之在劉徽開創(chuàng)的探索圓周率的精確方法的基礎(chǔ)上，首次將圓周率精算到小數(shù)第七位，即在3.1415926和3.1415927之間，他提出的“祖率”對(duì)數(shù)學(xué)的研究有重大貢獻(xiàn)。直到16世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾?卡西才打破了這一紀(jì)錄。
【詳解】祖沖之是我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家；他發(fā)現(xiàn)了球體積的計(jì)算公式；他算出了圓周率大于3.1415926，小于3.1415927。
故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周率的歷史的認(rèn)識(shí)。
2．關(guān)于圓周率π說法正確的是（）。
A．圓的直徑與它的周長的比值B．圓的周長是它半徑的π倍
C．＝3.14D．任意一個(gè)圓的周長與它直徑的比值
【答案】D
【分析】根據(jù)圓的周長公式：可知，圓的直徑與它的周長比是：d∶，所以圓的直徑與它的周長的比值；根據(jù)圓的周長公式可知，圓的周長比上它的半徑為，所以圓的周長是它半徑的倍；根據(jù)圓周率的意義可知，是無限不循環(huán)小數(shù)；根據(jù)圓的周長公式可知，圓的周長與它直徑的比為，所以圓的直徑與它的周長的比值為。據(jù)此解答。
【詳解】A．根據(jù)圓的周長公式可知，圓的直徑與它的周長的比值為，所以不符合題意；
B．根據(jù)圓的周長公式可知，圓的周長是它半徑的倍，所以不符合題意；
C．是無限不循環(huán)小數(shù)，＝3.1415926…，所以不符合題意；
D．根據(jù)圓的周長公式可知，所以圓的周長與它的直徑的比值為，所以符合題意。
故答案為：D
【點(diǎn)睛】此題考查了圓周率的意義、圓的周長公式以及求比值。
3．下列關(guān)于圓周率說法錯(cuò)誤的是（）。
A．圓周率是圓的直徑與周長的比值B．計(jì)算時(shí)圓周率通常取3.14
C．圓周率是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)D．大圓的圓周率和小圓的圓周率一樣大
【答案】A
【分析】圓周率是任意一個(gè)圓的周長與它的直徑的比值，這個(gè)比值是一個(gè)固定的數(shù)，用字母表示。它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，＝3.1415926535……但在實(shí)際應(yīng)用中常常只取它的近似值，例如≈3.14。
【詳解】A．圓周率是任意一個(gè)圓的周長與它的直徑的比值，而不是圓的直徑與周長的比值，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤。
B．保留兩位小數(shù)時(shí)，≈3.14，計(jì)算時(shí)圓周率通常取3.14，所以B選項(xiàng)正確。
C．圓的周長除以它的直徑，商是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，即圓周率是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，所以C選項(xiàng)正確。
D．圓周率是一個(gè)固定的數(shù)，不因圓的大小而改變，即大圓的圓周率和小圓的圓周率一樣大，所以D選項(xiàng)正確。
故答案為：A
【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是明確圓周率的意義。
【考點(diǎn)三】圓的周長與實(shí)際應(yīng)用。
【典型例題】
1．一只掛鐘時(shí)針長10厘米，經(jīng)過6小時(shí)后，時(shí)針的尖端所走過的路程是多少米？
【答案】0.314米
【分析】鐘面是個(gè)圓形，一圈是360°，共有12大格，根據(jù)題意，時(shí)針走了6個(gè)大格，是180°，那么時(shí)針的尖端所走過的路程是圓周長的一半。
【詳解】10×2×3.14÷2
＝20×3.14÷2
＝62.8÷2
＝31.4（厘米）
31.4厘米＝0.314米
答：時(shí)針的尖端所走過的路程是0.314米。
【點(diǎn)睛】此題考查了圓的周長公式。要求熟練掌握并靈活運(yùn)用。
2．一個(gè)圓形花壇的半徑是15米，如果在花壇的周圍每隔0.3米栽一株月季花，能栽多少株月季花？
【答案】314株
【分析】根據(jù)圓的周長＝2πr，代入數(shù)據(jù)求出這個(gè)花壇的周長，再根據(jù)除法的意義，用周長除以0.3即可求出能栽多少株月季花。
【詳解】2×3.14×15÷0.3
＝94.2÷0.3
＝314（株）
答：能栽314株月季花。
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長和“封閉型”植樹問題。封閉型植樹問題中，棵數(shù)＝段數(shù)。
3．雜技演員表演獨(dú)輪車走鋼絲，車輪的直徑為40厘米，車輪轉(zhuǎn)1圈走多少厘米？要騎過50.24米長的鋼絲，車輪要轉(zhuǎn)動(dòng)多少圈？
【答案】125.6厘米；40圈
【分析】已知車輪的直徑為40厘米，要求車輪轉(zhuǎn)1圈走多少厘米，就是求車輪的周長，根據(jù)：圓的周長＝πd，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；
又知要通過長50.24米的鋼絲，問車輪轉(zhuǎn)動(dòng)多少圈，根據(jù)：圈數(shù)＝鋼絲的長度÷車輪一周的長度，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。
【詳解】（厘米）
50.24米＝5024厘米
（圈）
答：車輪轉(zhuǎn)1圈走125.6厘米；要騎過50.24米長的鋼絲，車輪要轉(zhuǎn)動(dòng)40圈。
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長的實(shí)際應(yīng)用，需要理解圓周長公式，同時(shí)充分理解題意。
4．一輛汽車的車輪直徑是0.6米，如果你每分鐘轉(zhuǎn)800周，那么這輛汽車每小時(shí)可行多少千米？
【答案】90.432千米
【分析】根據(jù)圓周長公式：C＝πd，用3.14×0.6即可求出車輪的周長，再乘800即可求出800周經(jīng)過的路程；已知1小時(shí)＝60分鐘，用800周經(jīng)過的路程×60即可求出這輛汽車每小時(shí)行駛的米數(shù)，根據(jù)1千米＝1000米，將這輛汽車每小時(shí)行駛的米數(shù)除以1000即可化為千米數(shù)。
【詳解】（千米）
答：這輛汽車每小時(shí)可行90.432千米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．鐘樓上裝有一個(gè)圓形大鐘，它的分針長50厘米。分針的尖端每小時(shí)所走的路程是多少厘米？
【答案】314厘米
【分析】分針每小時(shí)（60分鐘）轉(zhuǎn)一圈，那么分針尖端每小時(shí)所走的路程就是半徑為50厘米的圓的周長；根據(jù)圓的周長公式C＝2πr，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。
【詳解】2×3.14×50＝314（厘米）
答：分針的尖端每小時(shí)所走的路程是314厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查圓周長公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是明確分針的尖端每小時(shí)走的路程是圓的周長。
2．一個(gè)餐桌的桌面半徑是2米，如果每位客人坐在桌邊要占用0.8米的位置，這個(gè)餐桌最多可以坐多少位客人？
【答案】15位
【分析】根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr，據(jù)此求出餐桌的周長，再根據(jù)除法的意義，用餐桌的周長除以0.8進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)實(shí)際情況其結(jié)果要保留整數(shù)。
【詳解】3.14×2×2
＝3.14×（2×2）
＝3.14×4
＝12.56（米）
12.56÷0.8＝15.7≈15（位）
答：這個(gè)餐桌最多可以坐15位客人。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長，熟記公式是解題的關(guān)鍵。
3．一輛汽車輪胎的外半徑為50厘米，如果車輪平均每分鐘轉(zhuǎn)250圈，那么4分鐘后這輛汽車前進(jìn)了多少米？（π取3.14）
【答案】
【分析】根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr，據(jù)此求出汽車輪胎一周的長度，再乘250即可得到車輪每分鐘轉(zhuǎn)的圈數(shù)，再乘4就是4分鐘這輛車前進(jìn)的長度，最后根據(jù)1米＝100厘米，把結(jié)果轉(zhuǎn)化為米作單位。
【詳解】
＝
＝
＝
＝
＝（米）
答：這輛汽車前進(jìn)了3140米。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長，熟記公式是解題的關(guān)鍵。
4．小俊玩滾鐵環(huán)。鐵環(huán)半徑是0.2米，從A點(diǎn)滾到B點(diǎn)，鐵環(huán)滾動(dòng)了幾圈？
【答案】10圈
【分析】根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，代入數(shù)據(jù)，求出鐵環(huán)的周長，再用A點(diǎn)到B點(diǎn)的路程÷鐵環(huán)的周長，即可解答。
【詳解】12.56÷（3.14×0.2×2）
＝12.56÷（0.628×2）
＝12.56÷1.256
＝10（圈）
答：鐵環(huán)滾動(dòng)10圈。
【點(diǎn)睛】熟練掌握?qǐng)A的周長公式是解答本題的關(guān)鍵。
【考點(diǎn)四】周長的增減變化問題。
【典型例題】
1.把一個(gè)圓形紙板剪成兩個(gè)相等的半圓，它的周長增加了40厘米，這個(gè)圓形紙板的半徑是( )厘米。
【答案】10
【分析】半圓形的周長等于圓周長的一半加上一條直徑的長度之和，所以把一個(gè)圓形紙板剪成兩個(gè)相等的半圓，它的周長實(shí)際上增加的是兩條直徑的長，據(jù)此求出圓的直徑，繼而求出這個(gè)圓形紙板的半徑。
【詳解】40÷2÷2＝10（厘米）
即這個(gè)圓形紙板的半徑是10厘米。
【點(diǎn)睛】理解增加的周長是兩條直徑是解題的關(guān)鍵。
2.甲圓的半徑是乙圓半徑的2倍，那么甲圓的周長是乙圓周長的( )倍。
解析：
設(shè)乙圓的半徑是r，（2π×2r）÷（2πr）＝（4πr）÷（2πr）＝2。
甲圓的周長是乙圓周長的2倍。
3.一個(gè)圓的半徑由3厘米增加到5厘米，周長增加了( )厘米。
解析：
2×3.14×（5－3）
＝2×3.14×2
＝12.56（厘米）
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.一個(gè)圓的周長是37.68分米，把它分成兩個(gè)半圓后，兩個(gè)半圓的周長和比原來圓的周長增加了( )分米。
【答案】24
【分析】先求出這個(gè)圓的直徑，因?yàn)槊總€(gè)半圓的周長等于整圓的周長的一半＋直徑的長度，所以兩個(gè)半圓的周長之和比這個(gè)圓的周長增加了兩條直徑的長度；由此即可解答。
【詳解】37.68÷3.14×2
＝12×2
＝24（分米）
【點(diǎn)睛】此題考查圓的周長公式以及半圓的周長的計(jì)算方法。
2.圓的半徑擴(kuò)大3倍，直徑就擴(kuò)大( )倍，周長會(huì)擴(kuò)大( )倍。
解析：3；3
3.圓的直徑增加2厘米，周長增加( )厘米。圓的周長增加3π厘米，半徑增加( )厘米。
解析：6.28；1.5
【考點(diǎn)五】最圓問題。
【典型例題】
1.在一張邊長為10cm的正方形紙上剪下一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的周長是( )cm。
【答案】31.4
【分析】根據(jù)題意可知，在這張正方形紙上剪下一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的直徑等于正方形的邊長，根據(jù)圓的周長公式：，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【詳解】（cm）
【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的周長公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。
2.在一個(gè)長是8cm寬是6cm的長方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，圓規(guī)兩腳間的距離應(yīng)取( )cm，圓的周長為( )cm。
【答案】 3 18.84
【分析】根據(jù)題意，長方形內(nèi)畫最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬，圓規(guī)兩腳間的距離是圓的半徑；半徑＝直徑÷2，求出半徑；再根據(jù)圓的周長公式：π×直徑，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】半徑：6÷2＝3（cm）
周長：3.14×6＝18.84（cm）
【點(diǎn)睛】本題考查圓的特征，圓的周長公式的應(yīng)用，關(guān)鍵明確長方形內(nèi)畫最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.在一個(gè)邊長為10cm的正方形中畫一個(gè)最大的圓，這個(gè)圖形有( )條對(duì)稱軸。正方形中這個(gè)最大圓的周長是( )cm。
【答案】 4 31.4
【分析】軸對(duì)稱圖形定義為平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，直線叫做對(duì)稱軸。
正方形中這個(gè)最大圓的直徑＝正方形邊長，根據(jù)圓的周長＝πd，求出圓的周長。
【詳解】
3.14×10＝31.4（厘米）
這個(gè)圖形有4條對(duì)稱軸。正方形中這個(gè)最大圓的周長是31.4cm。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是熟悉軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，掌握?qǐng)A的周長公式。
2.在一個(gè)長16cm，寬8cm的長方形中畫一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的半徑是( )cm，周長是( )cm。
【答案】 4 25.12
【分析】長方形里面畫出的最大圓的直徑與長方形的寬相等，由此用長方形的寬除以2即可求出圓的半徑長度，根據(jù)圓的周長＝2πr求出周長。
【詳解】8÷2＝4（厘米）
3.14×4×2＝25.12（厘米）
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的周長公式，解題的關(guān)鍵是明確圓的直徑等于長方形的寬。
【考點(diǎn)六】圓周長的大小比較。
【典型例題】
①號(hào)圖形是由2個(gè)相同的小半圓、1個(gè)中半圓、1個(gè)大半圓組成，②號(hào)是由正方形和多個(gè)半圓組成。①號(hào)、②號(hào)陰影部分圖形的周長相比（）。
A．①號(hào)周長長B．②號(hào)周長長
C．周長一樣長D．無法確定
【答案】C
【分析】看圖，①的周長＝大半圓周長÷2＋三個(gè)小半圓周長÷2，②的周長＝圓周長×2，圓周長＝3.14×直徑。將①的三個(gè)小半圓直徑設(shè)為未知數(shù)，再將數(shù)據(jù)分別代入求出①和②的周長公式，從而比較。
【詳解】①的周長：
設(shè)三個(gè)小半圓的直徑分別是a、b、c
a＋b＋c
＝5×2
＝10（cm）
2×3.14×5÷2＋3.14×a÷2＋3.14×b÷2＋3.14×c÷2
＝15.7＋1.57×a＋1.57×b＋1.57×c
＝15.7＋1.57×（a＋b＋c）
＝15.7＋1.57×10
＝15.7＋15.7
＝31.4（cm）
②的周長：5×3.14×2＝31.4（cm）
所以，①和②的周長一樣長。
故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題考查了陰影部分的周長，有一定觀察能力，熟記圓的周長公式是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．如圖，從點(diǎn)A到點(diǎn)B有甲、乙、丙三條路線，每條路線都是由一個(gè)或兩個(gè)半圓組成的。比較這三條路線的長度，你認(rèn)為（）。

A．甲最長B．乙最長C．丙最長D．三條路線長度相等
【答案】D
【分析】假設(shè)甲路線的半圓直徑是d，乙路線從左到右的半圓直徑分別為d1、d2，丙路線從左到右的半圓直徑分別為d3、d4；根據(jù)圓的周長公式，分別求出三條路線的長度，再比較即可。
【詳解】假設(shè)甲路線的半圓直徑是d，
甲的長度為πd÷2
乙的長度為πd1÷2＋πd2÷2
＝（πd1＋πd2）÷2
＝π（d1＋d2）÷2
因?yàn)閐＝d1＋d2
所以πd÷2＝π（d1＋d2）÷2
丙的長度為πd3÷2＋πd4÷2
＝（πd3＋πd4）÷2
＝π（d3＋d4）÷2
因?yàn)閐＝d3＋d4
所以πd÷2＝π（d3＋d4）÷2
所以三條路線的長度相等。
故答案為：D
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周長公式的實(shí)際應(yīng)用，明確最大的半圓直徑是另外兩個(gè)半圓直徑的和是解題的關(guān)鍵。
2．如圖，從甲地到乙地有A、B兩條路可走，這兩條路的長度相比，結(jié)果是（）。
A．路線A長B．路線B長C．同樣長D．不能確定
【答案】C
【分析】由圖中可得到：A走的路線是圓的周長，圓的直徑是A、B兩地直線距離的一半；B走的路線是圓的周長一半，直徑是A、B兩地直線距離?？稍O(shè)A路線的圓周長的直徑為d，則B走的路線直徑是2d，根據(jù)圓周長＝πd，計(jì)算得出答案。
【詳解】設(shè)A路線的圓周長的直徑為d，則B走的路線直徑是2d。則：
A路線長：；B路線長：。即A路線與B路線一樣長。
故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的周長和用字母表示數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的周長計(jì)算公式，進(jìn)而得出答案。
3．如圖，從Ａ到Ｂ沿外側(cè)大圓的周長走比較近，還是沿內(nèi)側(cè)小圓的周長走比較近（）。
A．沿大圓周長B．沿小圓周長C．一樣近D．無法確定
【答案】C
【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，沿大圓周走，走過的距離是2個(gè)半圓弧的長度，也就是1個(gè)大圓的周長；沿小圓周走，走過的距離是4個(gè)半圓弧的長度，也就是2個(gè)小圓的周長；并且大圓的直徑是小圓直徑的2倍，所以大圓周長是小圓周長是2倍，那么1個(gè)大圓的周長等于2個(gè)小圓的周長，據(jù)此解答。
【詳解】設(shè)小圓直徑是1厘米，那么大圓直徑是2厘米；
沿大圓周走，需要走1個(gè)大圓的周長：3.14×2＝6.28（厘米）
沿小圓周走，需要走2個(gè)小圓的周長，3.14×1×2＝6.28（厘米）
所以從A到B沿大圓周走與沿小圓周走一樣近；
故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題實(shí)質(zhì)上考查的是圓的周長計(jì)算。
【第三篇】圓和扇形的面積
【知識(shí)總覽】
一、圓的面積。（轉(zhuǎn)化思想）
把一個(gè)圓割成一個(gè)近似的長方形，割拼成的長方形的長相當(dāng)于圓周長的一半，用字母πr表示，寬相當(dāng)于圓的半徑，用字母r表示，因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr2。
二、外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方。
1.外方內(nèi)圓：
在正方形里面畫最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長，圓的面積與正方形面積比為π:4。
2.外圓內(nèi)方：
在圓里面畫最大的正方形，圓的直徑等于正方形的對(duì)角線的長，圓的面積與正方形的面積比為π:2。
三、圓環(huán)的面積。
圓環(huán)的面積：S=πR2-πr2。
四、扇形的面積。
1.在計(jì)算扇形面積時(shí)要還是看扇形的圓心角，圓心角占周角的幾分之幾，扇形面積就占這個(gè)圓面積的幾分之幾。
扇形面積=（其中n表示圓心角的度數(shù)）。
2.扇環(huán)面積=大扇形的面積-小扇形的面積。
四、圓面積的三大關(guān)系問題。
1.半徑、直徑和周長、面積的倍數(shù)關(guān)系。
在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，面積擴(kuò)大倍數(shù)的平方倍。
2.半徑、直徑和周長、面積的比例關(guān)系。
（1）兩個(gè)圓的半徑比等于直徑比等于周長比，而面積比等于以上比的平方。
（2）圓周長和直徑的比是π:1，比值是π；圓周長和半徑的比是2π:1，比值是2π。
3.半徑、直徑和周長、面積的增減變化問題。
（1）周長的變化：算出增加后圓的周長和原來的周長進(jìn)行相減得到周長增加的部分。
當(dāng)一個(gè)圓的半徑增加a厘米時(shí)，它的周長就增加2πa厘米；
當(dāng)一個(gè)圓的直徑增加a厘米時(shí)，它的周長就增加πa厘米。
（2）面積的變化：算出增加后圓的面積和原來的面積進(jìn)行相減得到面積增加的部分。
【考點(diǎn)一】圓面積的推導(dǎo)（轉(zhuǎn)化法）。
【典型例題】
1.把圓按下圖所示的順序逐步細(xì)分，拼成長方形的樣子。這樣細(xì)分下去，圓的面積就是a和b的積。從圖中可以看出：

(1)a是圓的( )。
(2)b是圓的( )。
(3)如果a＝2厘米，這個(gè)圓的面積為( )。
【答案】(1)半徑
(2)周長的一半
(3)12.56平方厘米
【分析】根據(jù)題圖可知，一個(gè)圓被平均分成的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長方形。長方形的寬a就是圓的半徑，長方形的長b就是圓周長的一半。根據(jù)“S＝πr2”求出圓的面積即可。
【詳解】（1）a是圓的半徑。
（2）b是圓的周長的一半。
（3）3.14×42＝12.56（平方厘米）
【點(diǎn)睛】熟練掌握?qǐng)A面積的推導(dǎo)過程是解答本題的關(guān)鍵。
2.把圓剪開，拼成一個(gè)近似的長方形，長方形的周長為41.4cm，這個(gè)圓的面積是( )。
【答案】78.5平方厘米/78.5cm2
【分析】將圓剪開拼接成一個(gè)近似的長方形，，如圖所示，長方形的周長＝圓的周長＋兩個(gè)半徑，據(jù)此等量關(guān)系列方程求出圓的半徑，再代入圓的面積公式即可。
【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r厘米。
2×3.14×r＋2r＝41.4
6.28r＋2r＝41.4
8.28r＝41.4
8.28r÷8.28＝41.4÷8.28
r＝5
圓的面積：
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
這個(gè)圓的面積是78.5平方厘米。
【點(diǎn)睛】此題考查圓的面積公式，明確圓拼接成長方形周長會(huì)多兩個(gè)半徑是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.如圖，將一個(gè)圓形紙片等分成若干份，拼成一個(gè)近似的長方形，周長比原來圓周長多8厘米，圓形紙片的半徑是( )厘米，這張圓形紙片的面積是( )平方厘米。

【答案】 4 50.24
【分析】根據(jù)圓面積公式的推導(dǎo)過程可知，把一個(gè)圓平均分成若干份，沿半徑剪開，再拼成一個(gè)近似長方形，這個(gè)長方形的長等于圓周長的一半，寬等于圓的半徑，拼成的長方形的周長比圓的周長增加了兩條半徑的長度，據(jù)此可以求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式：；把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【詳解】8÷2＝4（厘米）
3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
圓形紙片的半徑是4厘米，這張圓形紙片的面積是50.24平方厘米。
【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握?qǐng)A面積公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用，圓的周長的意義及應(yīng)用。
2.如下圖，把一個(gè)圓等分后拼成一個(gè)近似長方形，這個(gè)長方形的周長是33.12厘米，那么這個(gè)圓的面積是( )平方厘米。
【答案】50.24
【分析】把圓等分后拼成一個(gè)近似長方形，長方形的周長是圓形周長加直徑，由此算出圓的半徑，代入圓的面積公式即可算出。
【詳解】設(shè)圓的半徑為r厘米
2r＋2πr＝33.12
解：2r＋2×3.14r＝33.12
2r＋6.28r＝33.12
8.28r＝33.12
r＝33.12÷8.28
r＝4
圓的面積：3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是知道圓的周長與近似長方形周長關(guān)系，求出圓的半徑，解答問題。
【考點(diǎn)二】圓（半圓）的面積與實(shí)際應(yīng)用。
【典型例題】
1．小明圍繞一個(gè)圓形花園走一圈，一共走了628步，他平均每步的長度是0.5米。這個(gè)圓形花園占地多少平方米？
【答案】7850平方米
【分析】根據(jù)乘法的意義，用628乘0.5即可得到圓形花園的周長，再根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr，據(jù)此求出花園的半徑，再根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可。
【詳解】628×0.5÷3.14÷2
＝314÷3.14÷2
＝100÷2
＝50（米）
3.14×502
＝3.14×2500
＝7850（平方米）
答：這個(gè)圓形花園占地7850平方米。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長和面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。
2．如圖，廣場(chǎng)上有兩個(gè)半圓形的草坪，它們的周長都是257米，這兩塊草坪的面積是多少平方米？
【答案】7850平方米
【分析】根據(jù)題意可知，草坪是半圓形的，要求它的面積，需要先求半徑，已知這個(gè)草坪的周長是257米，根據(jù)半圓的周長公式：可知，用257÷（3.14＋2）求出半徑，再根據(jù)圓的面積公式：計(jì)算即可。
【詳解】半徑：257÷（3.14＋2）
＝257÷5.14
＝50（米）
草坪面積：3.14×
＝3.14×2500
＝7850（平方米）
答：這兩塊草坪的面積是7850平方米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．幸福廣場(chǎng)中央建有一個(gè)圓形音樂噴泉池，小明以每分鐘62.8米的速度沿池邊快步行走一圈需要2分30秒。這個(gè)圓形音樂噴泉池占地多少平方米？
【答案】1962.5平方米
【分析】1分＝60秒，低級(jí)單位轉(zhuǎn)化成高級(jí)單位除以進(jìn)率，將2分30秒轉(zhuǎn)化為2.5分；根據(jù)速度×?xí)r間＝路程，即可求出圓形噴泉的周長；根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr代入求半徑；再根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2即可求解。
【詳解】2分30秒＝2.5分
62.8×2.5＝157（米）
157÷2÷3.14
＝78.5÷3.14
＝25（米）
3.14×252
＝3.14×625
＝1962.5（平方米）
答：這個(gè)圓形音樂噴泉池占地1962.5平方米。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長和面積，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵。
2．如下圖所示，張大爺利用一面墻，用籬笆圍了一個(gè)直徑10米的半圓形雞舍。
（1）圍成這個(gè)雞舍至少要多長的籬笆？
（2）這個(gè)雞舍的面積是多少平方米？
（3）如果將這個(gè)半圓形雞舍的直徑增加2米，這個(gè)雞舍的面積將擴(kuò)大多少平方米？
【答案】（1）15.7米；（2）39.25平方米；（3）17.27平方米
【分析】（1）圓周長＝3.14×直徑，據(jù)此求出直徑是10米的圓的周長，再將其除以2，即可求出圍成這個(gè)雞舍至少要多長的籬笆；
（2）圓面積＝3.14×半徑2，據(jù)此先求出直徑是10米圓的面積，再將其除以2，即可求出雞舍的面積；
（3）根據(jù)（2）的求法，求出直徑增加2米后雞舍的面積，再利用減法求出這個(gè)雞舍的面積將擴(kuò)大多少平方米。
【詳解】（1）3.14×10＝31.4（米）
31.4÷2＝15.7（米）
答：圍成這個(gè)雞舍至少要15.7米的籬笆。
（2）3.14×（10÷2）2÷2
＝3.14×52÷2
＝39.25（平方米）
答：這個(gè)雞舍的面積是39.25平方米。
（3）10＋2＝12（米）
3.14×（12÷2）2÷2
＝3.14×62÷2
＝56.52（平方米）
56.52―39.25＝17.27（平方米）
答：這個(gè)雞舍的面積將擴(kuò)大17.27平方米。
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長和面積，熟記并靈活運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵。
【考點(diǎn)三】等長轉(zhuǎn)化問題。
【典型例題】
1.一根鐵絲圍成了一個(gè)邊長7.85厘米的正方形（接頭不計(jì)），如果把這根鐵絲圍成最大的圓（接頭不計(jì)），圓的周長是( )厘米，圓的面積是( )平方厘米。
【答案】 31.4 78.5
【分析】用一根鐵絲圍成了一個(gè)正方形，那么鐵絲的長度等于正方形的周長；根據(jù)正方形的周長＝邊長×4，求出這根鐵絲的長度；
又用這根鐵絲圍成最大的圓，那么圓的周長等于這根鐵絲的長度，根據(jù)r＝C÷π÷2，求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積S＝πr2，即可求出圓的面積。
【詳解】正方形的周長（圓的周長）：
7.85×4＝31.4（厘米）
圓的半徑：
31.4÷3.14÷2＝5（厘米）
圓的面積：
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
圓的周長是31.4厘米，面積是78.5平方厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的周長、圓的周長、圓的面積公式的靈活運(yùn)用，明確用一根鐵絲圍成一個(gè)圖形，鐵絲長度等于這個(gè)圖形的周長。
2.一根鐵絲剛好能圍成一個(gè)長8厘米，寬4.56厘米的長方形。如果將這根鐵絲圍成一個(gè)圓，這個(gè)圓的面積有多少平方厘米？
【答案】50.24平方厘米
【分析】長方形周長＝（長＋寬）×2，據(jù)此先求出長方形的周長，即圍成圓的周長。將圓的周長除以2再除以圓周率3.14，求出圓的半徑。圓的面積S＝πr2，將數(shù)據(jù)代入其中，求出圍成圓的面積。
【詳解】（8＋4.56）×2
＝12.56×2
＝25.12（厘米）
25.12÷2÷3.14
＝12.56÷3.14
＝4（厘米）
3.14×42＝50.24（平方厘米）
答：這個(gè)圓的面積有50.24平方厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長和面積，熟記圓的周長和面積公式是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.用一根長15.7厘米的鐵絲圍成一個(gè)正方形，正方形的面積是( )平方厘米；如果用這根鐵絲圍成一個(gè)圓，這個(gè)圓的面積是( )平方厘米。
【答案】15.405625，19.625
【詳解】試題分析：（1）用一根長15.7厘米的鐵絲圍成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的周長就是15.7厘米，用它除以4，求出這個(gè)正方形的邊長，再根據(jù)正方形的面積公式，求出它面積，
（2）用一根長15.7厘米的鐵絲圍成一個(gè)圓，這個(gè)圓的周長就是15.7，用它除以2，再除以π，求出這個(gè)圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式求出圓的面積．
解：（1）15.7÷4=3.925（厘米），
3.925×3.925=15.405625（平方厘米）．
（2）15.7÷2÷3.14=2.5（厘米），
3.14×2.52=3.14×6.25=19.625（平方厘米）．
故答案為15.405625，19.625．
點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是求出這個(gè)正方形的邊長和圓的半徑，再根據(jù)正方形和圓的面積公式進(jìn)行解答．
2.一根鐵絲圍成一個(gè)長10cm，寬5.7cm的長方形，用這根鐵絲再圍成一個(gè)最大的圓形，這個(gè)圓形的面積是多少?
【答案】78.5cm2
【詳解】(10+5.7)×2÷2÷3.14=5(cm)
3.14×=78.5(cm2)
【考點(diǎn)四】圓面積的三大關(guān)系問題。
【典型例題1】半徑、直徑和周長、面積的倍數(shù)關(guān)系。
1.圓的半徑擴(kuò)大3倍，它的面積就擴(kuò)大( )，周長就擴(kuò)大( )倍。
【答案】 9倍 3
【詳解】略
2.大圓的半徑是小圓的半徑的2倍，則小圓周長是大圓周長的( )，大圓面積是小圓面積的( )倍。
【答案】 4
【分析】根據(jù)半徑的倍數(shù)等于周長的倍數(shù)，倍數(shù)×倍數(shù)是面積之間的倍數(shù)，據(jù)此分析。
【詳解】2×2＝4，大圓的半徑是小圓的半徑的2倍，則小圓周長是大圓周長的，大圓面積是小圓面積的4倍。
【點(diǎn)睛】圓的周長＝πd＝2πr，圓的面積＝πr2。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大a倍，直徑擴(kuò)大( )倍，周長擴(kuò)大( )倍，面積擴(kuò)大( )倍。
【答案】 a a a2
【分析】假設(shè)圓原來的半徑為2，則擴(kuò)大后圓的半徑為2a，直徑由原來的4變?yōu)?a，周長由原來的4π變?yōu)?aπ，面積由π×22＝4π變?yōu)棣小粒?a）2＝4πa2，由此解答即可。
【詳解】一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大a倍，直徑擴(kuò)大a倍，周長擴(kuò)大a倍，面積擴(kuò)大a2倍。
【點(diǎn)睛】本題采用了假設(shè)法，假設(shè)法使題目變得具體化，簡(jiǎn)單化。
2.大圓半徑是小圓半徑的5倍，大圓周長是小圓周長的( )倍，大圓面積是小圓面積的( )倍。
【答案】 5 25
【分析】由題意可知，假設(shè)小圓的半徑是1，則大圓的半徑是5，根據(jù)圓的周長公式C＝2πr，圓的面積公式S＝πr2，據(jù)此解答即可。
【詳解】假設(shè)小圓的半徑是1，則大圓的半徑是5，
（2π×5）÷2π
＝10π÷2π
＝5
π×52÷π×12
＝25π÷π
＝25
則大圓周長是小圓周長的5倍，大圓面積是小圓面積的25倍。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長和面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。
【典型例題2】半徑、直徑和周長、面積的比例關(guān)系。
1.兩圓的半徑之比，它們的面積之比是( )，周長之比是( )。
【答案】 9∶25 3∶5
【分析】圓的周長，圓的面積，根據(jù)圓的周長和面積公式可知，兩圓的面積之比等于半徑的平方之比，兩圓的周長之比等于半徑之比，據(jù)此解答即可。
【詳解】?jī)蓤A的半徑之比 3:5 ，它們的面積之比是9∶25，周長之比是3∶5。
【點(diǎn)睛】本題考查比、圓的周長和面積，解答本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的周長和面積計(jì)算公式。
2.如圖：大圓半徑為8厘米，小圓半徑為4厘米，則大圓與小圓的直徑之比是( )，周長之比是( )，面積之比是( )?，F(xiàn)在讓小圓沿著大圓的外側(cè)滾動(dòng)一周后回到原處，那么小圓的圓心移動(dòng)的長度是( )厘米。
【答案】 2∶1 2∶1 4∶1 75.36
【分析】根據(jù)圓的直徑d＝2r，圓的周長C＝2πr，圓的面積S＝πr2，可知兩個(gè)圓的直徑之比、周長之比等于它們的半徑之比，兩個(gè)圓的面積之比等于它們的半徑的平方比。
從圖中可知，小圓的圓心移動(dòng)的長度是以（8＋4）厘米為半徑的圓的周長，根據(jù)圓的周長C＝2πr，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解。
【詳解】大圓與小圓的直徑之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；
大圓與小圓的周長之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；
大圓與小圓的面積之比是82∶42＝64∶16＝（64÷16）∶（16÷16）＝4∶1；
2×3.14×（8＋4）
＝2×3.14×12
＝75.36（厘米）
小圓的圓心移動(dòng)的長度是75.36厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的直徑、周長、面積公式的運(yùn)用以及比的意義、比的化簡(jiǎn)。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.已知小圓半徑是大圓半徑的，則小圓與大圓的周長之比是( )，如果小圓面積是，則大圓面積是( )。
【答案】 1∶3 28.26
【分析】已知小圓半徑是大圓半徑的，利用比與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，可得小圓和大圓的半徑之比是1∶3，根據(jù)圓的周長＝×2×半徑，因此兩個(gè)圓的周長比等于這兩個(gè)圓的半徑比，即可求出小圓與大圓的周長之比。再根據(jù)圓的面積＝，因此兩個(gè)圓的面積比等于這兩個(gè)圓的半徑的平方比，可求得小圓和大圓的面積之比是1∶9，把小圓的面積看作1份，大圓的面積看作9份，用小圓的面積除以1，求出1份量是多少，再乘9即可求出大圓的面積。
【詳解】根據(jù)分析得，小圓和大圓的半徑之比是1∶3，
所以小圓與大圓的周長之比是1∶3。
小圓與大圓的面積之比是12∶32＝1∶9。
3.14÷1×9＝28.26（cm2）
即大圓面積是28.26cm2。
【點(diǎn)睛】此題主要考查比的應(yīng)用以及圓的周長、面積公式的熟練運(yùn)用。
2.如圖，如果大圓的半徑和小圓的直徑相等，那么大圓面積與小圓面積之比是( )。
A．2∶1B．4∶1C．D．
【答案】B
【分析】假設(shè)出小圓的半徑，大圓的半徑＝小圓的半徑×2，利用“”表示出大圓的面積和小圓的面積，最后根據(jù)比的意義求出大圓和小圓的面積比，據(jù)此解答。
【詳解】假設(shè)小圓的半徑為r厘米，則大圓的半徑為2r厘米。
小圓的面積：（平方厘米）
大圓的面積：
＝（平方厘米）
大圓的面積∶小圓的面積＝∶＝4∶1
所以，大圓面積與小圓面積之比是4∶1。
故答案為：B
【點(diǎn)睛】掌握?qǐng)A的面積計(jì)算公式和比的意義是解答題目的關(guān)鍵。
【典型例題3】半徑、直徑和周長、面積的增減變化問題。
一個(gè)半徑是3dm的圓，如果半徑增加1dm，那么周長增加( )dm，面積增加( )dm2。
【答案】 6.28 21.98
【分析】由于半徑增加1dm，那么此時(shí)的半徑是4dm，根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr，圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)代入公式求出半徑增加前的周長和面積，再求出半徑增加后的周長和面積，之后作差即可。
【詳解】當(dāng)半徑是3dm的時(shí)候
周長：3.14×3×2
＝9.42×2
＝18.84（dm）
面積：3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（dm2）
半徑增加1dm后：
3＋1＝4（dm）
周長：3.14×4×2
＝12.56×2
＝25.12（dm）
面積：3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（dm2）
則周長增加：25.12－18.84＝6.28（dm）
面積增加：50.24－28.26＝21.98（dm2）
所以一個(gè)半徑為3dm的圓，如果半徑增加1dm，那么周長增加6.28dm，面積增加21.98dm2。
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的周長和面積公式，應(yīng)熟練掌握它們的公式并靈活運(yùn)用。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.一個(gè)圓的半徑是6m，周長是( )m，面積是( )m2；如果這個(gè)圓的半徑增加1m，則周長增加( )m，面積增加( )m2。
【答案】 37.68 113.04 6.28 40.82
【分析】根據(jù)“”“”分別求出這個(gè)圓的周長和面積，以及半徑增加后圓的周長和面積，最后求出它們的差，據(jù)此解答。
【詳解】2×3.14×6
＝6.28×6
＝37.68（m）
3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（m2）
6＋1＝7（m）
2×3.14×7－37.68
＝6.28×7－37.68
＝43.96－37.68
＝6.28（m）
3.14×72－113.04
＝3.14×49－113.04
＝153.86－113.04
＝40.82（m2）
所以，一個(gè)圓的半徑是6m，周長是37.68m，面積是113.04m2；如果這個(gè)圓的半徑增加1m，則周長增加6.28m，面積增加40.82m2。
【點(diǎn)睛】熟練掌握并靈活運(yùn)用圓的周長和面積的計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。
2.用籬笆圍一個(gè)半圓形養(yǎng)雞場(chǎng)，一面靠墻，籬笆長15.7米。如果將養(yǎng)雞場(chǎng)半徑增加1米，需要增加圍欄( )米，則面積增加( )平方米。
【答案】 3.14 17.27
【分析】先用15.7×2求出整圓的周長，然后算出養(yǎng)雞場(chǎng)原來的半徑，再算出增加1米后的半徑以及籬笆長度，和之前的籬笆長相減，求出增加的圍欄長度；分別根據(jù)增加前后的半徑求出半圓的面積，最后把它們相減求出增加的面積即可。
【詳解】原來半徑：
15.7×2÷2÷3.14
＝15.7÷3.14
＝5（米）
后來半徑：
5＋1＝6（米）
后來籬笆長：
6×2×3.14÷2
＝6×3.14
＝18.84（米）
增加的圍欄長度：
18.84－15.7＝3.14（米）
增加的面積：
3.14×6×6÷2－3.14×5×5÷2
＝3.14×18－3.14×12.5
＝56.52－39.25
＝17.27（平方米）
如果將養(yǎng)雞場(chǎng)半徑增加1米，需要增加圍欄3.14米，則面積增加17.27平方米。
【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用圓的周長和面積公式是解題的關(guān)鍵。
【考點(diǎn)五】外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方。
【典型例題】
1.如圖，在一張邊長10cm的正方形紙上剪下一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是( )，剩余部分的面積是( )。
【答案】 78.5 21.5
【分析】由題意可知：這個(gè)最大圓的直徑應(yīng)該等于正方形的邊長，正方形的邊長已知，于是利用圓的面積＝πr2，即可求出圓的面積；再用正方形的面積減去圓的面積，即可求出剩余部分的面積。
【詳解】3.14×（10÷2）2
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
這個(gè)圓的面積是78.5平方厘米。
10×10－78.5
＝100－78.5
＝21.5（平方厘米）
余下部分的面積是21.5平方厘米。
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生正方形與圓面積的計(jì)算能力，解答此題的關(guān)鍵是明白：正方形中最大圓的直徑應(yīng)該等于正方形的邊長，即可求得圓面積和余下的面積。
2.在一個(gè)圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的面積是72平方厘米，那么這個(gè)圓的面積是( )平方厘米，周長是( )厘米。
【答案】 113.04 37.68
【分析】在一個(gè)圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，如圖，正方形的對(duì)角線＝圓的直徑，設(shè)圓的半徑是r厘米，根據(jù)2r×r×2÷2＝正方形面積，確定r，再根據(jù)圓的面積＝πr2，圓的周長＝2πr，求出圓的面積和周長。
【詳解】解：設(shè)圓的半徑是r厘米。
2r×r×2÷2＝72
2r×r＝72
2r×r÷2＝72÷2
r×r＝36
r＝6
3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方厘米）
2×3.14×6＝37.68（厘米）
這個(gè)圓的面積是113.04平方厘米，周長是37.68厘米。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的周長和面積公式。
3.如圖中，在邊長是2cm的正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，再在圓里畫一個(gè)最大的正方形，那么陰影部分的面積是( )cm2。
【答案】1.14
【分析】根據(jù)題意，在邊長是2cm的正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，那么這個(gè)圓的直徑等于正方形的邊長，根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出這個(gè)圓的面積；
在圓里畫一個(gè)最大的正方形，如下圖，用正方形的一條對(duì)角線把這個(gè)正方形平均分成2個(gè)三角形，三角形的底等于圓的直徑，三角形的高等于圓的半徑，根據(jù)三角形的面積S＝ah÷2，求出一個(gè)三角形的面積，再乘2，即是這個(gè)最大正方形的面積；
最后用圓的面積減去最大正方形的面積，即是陰影部分的面積。
【詳解】圓的半徑：2÷2＝1（cm）
圓的面積：3.14×1×1＝3.14（cm2）
圓內(nèi)最大正方形的面積：2×1÷2×2＝2（cm2）
陰影部分的面積：3.14－2＝1.14（cm2）
陰影部分的面積是1.14cm2。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積、三角形面積公式的運(yùn)用，關(guān)鍵是把圓內(nèi)最大正方形的面積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)完全一樣的三角形的面積求解。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.數(shù)學(xué)課上，小明用邊長8cm的正方形紙，小華用邊長10cm的正方形紙，各剪了一個(gè)最大的圓，小明和小華所剪的圓的周長之比是( )，面積之比是( )。
【答案】 4∶5 16∶25
【分析】正方形的邊長為圓的直徑，根據(jù)圓的周長公式：可知，圓的周長之比等于半徑之比；根據(jù)圓的面積公式：可知，圓的面積之比等于半徑的平方之比。
【詳解】小明剪的圓的半徑為：8÷2＝4（cm），小華剪的圓的半徑為：10÷2＝5（cm）；
所以小明和小華所剪的圓的周長之比為：4∶5；小明和小華所剪的圓的面積之比為：＝16∶25
【點(diǎn)睛】此題考查的是圓的面積公式和圓的周長公式。
2.如圖，在周長是18.84厘米的圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，陰影部分的面積是( )平方厘米。
【答案】10.26
【分析】以圓的直徑為對(duì)角線的正方形是圓內(nèi)面積最大的正方形，連接正方形的兩條對(duì)角線，正方形被分成4個(gè)形狀相同的等腰直角三角形，先根據(jù)圓的周長求出圓的半徑，再利用“”表示出圓的面積，并根據(jù)“”表示出正方形的面積，陰影部分的面積＝圓的面積－正方形的面積，據(jù)此解答。
【詳解】
18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
3.14×32－×3×3×4
＝3.14×9－×4
＝28.26－18
＝10.26（平方厘米）
所以，陰影部分的面積是10.26平方厘米。
【點(diǎn)睛】把正方形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積，并掌握?qǐng)A的周長和面積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。
3.大圓內(nèi)有一個(gè)最大的正方形，正方形內(nèi)有一個(gè)最大的圓，大圓面積和小圓面積的比是( )。
A．4∶1B．200∶157C．2∶1D．200∶43
【答案】C
【分析】觀察圖形可知，設(shè)小圓的半徑是1，正方形的邊長為2，利用圓的面積公式即可表示出小圓的面積為π；假設(shè)大圓的半徑為r，根據(jù)大圓和正方形的關(guān)系，正方形的面積等于2r2，據(jù)此求出r2，進(jìn)而得出大圓的面積，然后寫出大圓面積和小圓面積的比，再化簡(jiǎn)即可。
【詳解】設(shè)小圓的半徑為1，則：
小圓的面積是：π×1×1＝π
正方形的面積是：（1＋1）2
＝22
＝4
設(shè)大圓的半徑是r，則：
2r2＝4
2r2÷2＝4÷2
r2＝2
大圓的面積是：π×r2＝2π
所以大圓面積和小圓面積的比是：
2π∶π
＝（2π÷2）∶（π÷2）
＝2∶1
故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了組合圖形面積的計(jì)算，根據(jù)圓中取面積最大正方形的畫法，推導(dǎo)出大圓半徑和正方形邊長的關(guān)系，是本題解題的關(guān)鍵。
【考點(diǎn)六】圓環(huán)的面積。
【典型例題】
1.在一個(gè)半徑為3米的圓形花園外鋪一條寬1米的小路，小路的面積是多少？
【答案】21.98平方米
【分析】由題意可知，小路的面積等于半徑為（3＋1）米的圓的面積減去半徑為3米的圓的面積，然后根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此計(jì)算即可。
【詳解】3＋1＝4（米）
3.14×42－3.14×32
＝3.14×（42－32）
＝3.14×（16－9）
＝3.14×7
＝21.98（平方米）
答：小路的面積是21.98平方米。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。
2.在一個(gè)半徑為10米的圓形噴泉周圍修一條寬3米的小路，小路一半面積鋪鵝卵石，一半面積鋪水泥。小路鋪水泥（如下圖）的面積是多少平方米？
【答案】108.33平方米
【分析】由題意可知，小圓的半徑為10米，大圓的半徑＝小圓的半徑＋環(huán)寬，利用“”表示出小路的面積，最后除以2求出小路鋪水泥的面積，據(jù)此解答。
【詳解】10＋3＝13（米）
3.14×（132－102）÷2
＝3.14×（169－100）÷2
＝3.14×69÷2
＝216.66÷2
＝108.33（平方米）
答：小路鋪水泥的面積是108.33平方米。
【點(diǎn)睛】本題主要考查環(huán)形面積公式的應(yīng)用，熟記公式是解答題目的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1.小林爸爸新買了一張圓形餐桌，桌面的直徑是2米。
（1）如果每個(gè)人需要0.5米寬的位置就餐，這張餐桌最多能坐多少人？
（2）為了方便大家夾菜，爸爸又在餐桌中央放了一個(gè)直徑是1米的圓形轉(zhuǎn)盤，剩下桌面的面積是多少？
【答案】（1）12人；
（2）2.355平方米
【分析】（1）先根據(jù)圓的周長公式C＝πd，把數(shù)據(jù)代入求出餐桌一圈的長度，再除以0.5米即可求出最多能坐多少人，所得的結(jié)果要根據(jù)實(shí)際情況采用“去尾法”保留整數(shù)；
（2）剩下桌面的面積即為圓環(huán)部分的面積，根據(jù)圓環(huán)的面積公式S環(huán)＝π（R2－r2），把數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可。
【詳解】（1）3.14×2÷0.5
＝6.28÷0.5
＝12.56
≈12（人）
答：這張餐桌最多能坐12人。
（2）3.14×[（2÷2）2－（1÷2）2]
＝3.14×[12－0.52]
＝3.14×[1－0.25]
＝3.14×0.75
＝2.355（平方米）
答：剩下桌面的面積是2.355平方米。
【點(diǎn)睛】掌握并靈活運(yùn)用圓的周長和面積公式是解答本題的關(guān)鍵。
2.一個(gè)半圓形花壇，一周的長是35.98米。
（1）這個(gè)花壇的面積有多大？
（2）如果擴(kuò)建這個(gè)花壇，把半徑增加1米，花壇的面積增大多少？
【答案】（1）76.93平方米
（2）23.55平方米
【分析】（1）半圓周長＝πr＋2r，半徑＝半圓周長÷（π＋2），半圓面積＝πr2÷2，據(jù)此列式解答即可。
（2）增大的面積是圓環(huán)面積的一半，圓環(huán)面積的一半＝π（R2－r2）÷2，據(jù)此列式解答。
【詳解】（1）35.98÷（3.14＋2）
＝35.98÷5.14
＝7（米）
3.14×72÷2
＝3.14×49÷2
＝76.93（平方米）
答：這個(gè)花壇的面積有76.93平方米。
（2）7＋1＝8（米）
3.14×（82－72）÷2
＝3.14×（64－49）÷2
＝3.14×15÷2
＝23.55（平方米）
答：花壇的面積增大23.55平方米。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的周長、面積和圓環(huán)面積公式。
【第四篇】含圓的不規(guī)則或組合圖形周長與面積
【知識(shí)總覽】
一、不規(guī)則圖形或組合圖形的周長。
不規(guī)則或組合圖形的周長，尋找該圖形是由哪些邊組合而成的，將這些邊的長度相互加起來，注意觀察弧形是否可以組合一起構(gòu)成半圓或整圓。
二、不規(guī)則圖形或組合圖形的面積。（十二種陰影部分面積法）
【01】直接求法，即根據(jù)已知條件，從整體出發(fā)，利用面積相關(guān)公式直接求出陰影部分的面積，是最為簡(jiǎn)單的求面積方法，熟練掌握?qǐng)D形面積公式是解決問題的關(guān)鍵。
【02】相加法，即加法分割思路，把所求陰影部分面積分割成幾塊能用公式計(jì)算的規(guī)則圖形（三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形、圓、扇形），分別計(jì)算出面積，并相加得出陰影部分的面積。
【03】相減法，即減法拓展思路，是把不規(guī)則圖形陰影部分面積拓展到包含陰影部分的規(guī)則圖形中進(jìn)行分析，通過計(jì)算這個(gè)規(guī)則圖形的面積和規(guī)則圖形中除陰影部分面積之外多余的面積，運(yùn)用“總的”減去“部分的”方法解得答案。
【04】混合型圖形，處理起來非常困難，可以首先觀察圖形，然后合理分解成部分可求的圖形，最后再相加或相減。
【05】旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法），即根據(jù)圖形的特征，將原圖的某一部分進(jìn)行翻轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)，最后得到便于求解的新圖形。
【06】拼接法，即在部分扇形半徑相等的情況下，可以通過移動(dòng)扇形，把扇形拼接成一個(gè)整體。
【07】割補(bǔ)法，即分割拼補(bǔ)的思路，是把不規(guī)則的陰影面積通過分割和拼補(bǔ)，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形。
【08】重組法，即根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要把原來圖形拆開，并加以重新組合，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形，然后結(jié)合相減法求出陰影面積。
【09】等積轉(zhuǎn)化法，即通過平面圖形之間的等積變換，化難為易，求出陰影部分的面積，要注意分析長方形、正方形、三角形面積公式與圓的面積的共同特點(diǎn)，以達(dá)到合理轉(zhuǎn)化。
【10】輔助線法，即在通常手段無法求出陰影部分面積時(shí)，需要嘗試使用添加輔助線的方法解決。
【11】容斥原理，即重疊、分層思路，把圖形中不規(guī)則的陰影部分看作幾個(gè)規(guī)則圖形用不同的方法重疊的結(jié)果，利用分層把重疊部分分出來，組成重疊圖形各個(gè)規(guī)則圖形的面積總和減去分掉的那面積，就是剩下所求那部分面積。
【12】差不變思想，即利用等式的性質(zhì)來求面積，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。
（注意：十二種陰影部分面積法請(qǐng)盡可能參考本系列第五單元內(nèi)容，此部分內(nèi)容考慮篇幅問題，考點(diǎn)考題便不再過多贅述。）
【考點(diǎn)一】含圓的不規(guī)則圖形或組合圖形周長。
【典型例題】
計(jì)算陰影部分的周長。
【答案】57.12
【分析】陰影部分的周長＝直徑為16的圓的周長的一半＋長方形的2條寬＋長方形的1條長，根據(jù)圓的周長＝πd，長方形的長等于圓的直徑，長方形的寬等于圓的半徑，代入相應(yīng)數(shù)值計(jì)算即可解答。
【詳解】圓的半徑：16÷2＝8
3.14×16÷2＋16＋8×2
＝50.24÷2＋16＋16
＝25.12＋32
＝57.12
所以陰影部分的周長是57.12。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．求陰影部分的周長。

【答案】588.4m
【分析】觀察圖形可知，陰影部分周長＝直徑是60m的圓的周長＋兩條200米的長，根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×直徑，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】3.14×60＋200×2
＝188.4＋400
＝588.4（m）
2．求下圖中陰影部分的周長。（單位：厘米）

【答案】100.48厘米
【分析】陰影部分的周長＝直徑是（5×2＋3×2）的圓的周長＋直徑是5×2的圓的周長＋直徑是3×2的圓的周長，根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×直徑，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】3.14×（5×2＋3×2）＋3.14×5×2＋3.14×3×2
＝3.14×（10＋6）＋15.7×2＋9.42×2
＝3.14×16＋31.4＋18.84
＝50.24＋31.4＋18.84
＝81.64＋18.84
＝100.48（厘米）
3．求下面圖陰影部分的周長。
【答案】30.84厘米
【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)，陰影部分的周長＝圓周長的＋圓周長的＋長方形的長（圓的直徑）。先根據(jù)圓的周長求出圓的周長，再用圓的周長××2＋12，即可求出陰影部分的周長。
【詳解】3.14×12××2＋12
＝3.14×（12××2）＋12
＝3.14×6＋12
＝18.84＋12
＝30.84（厘米）
【考點(diǎn)二】含圓的不規(guī)則圖形或組合圖形面積。
【典型例題1】一般型。
求下面陰影部分的面積。

【答案】13.76cm2；10.75cm2；42.88cm2
【分析】（1）陰影部分的面積＝正方形的面積－圓的面積，根據(jù)正方形的面積公式S＝a2，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解。
（2）陰影部分的面積＝長方形的面積－半圓的面積，根據(jù)長方形的面積公式S＝ab，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解。
（3）陰影部分的面積＝梯形的面積－半圓的面積，根據(jù)梯形的面積公式S＝（a＋b）h÷2，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解。
【詳解】（1）8×8－3.14×（8÷2）2
＝64－3.14×16
＝64－50.24
＝13.76（cm2）
陰影部分的面積是13.76cm2。
（2）10×5－3.14×52÷2
＝50－3.14×25÷2
＝50－39.25
＝10.75（cm2）
陰影部分的面積是10.75cm2。
（3）（7＋10）×8÷2－3.14×（8÷2）2÷2
＝17×8÷2－3.14×16÷2
＝68－25.12
＝42.88（cm2）
陰影部分的面積是42.88cm2。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．計(jì)算陰影部分的面積。
（1）
（2）
【答案】（1）2.28平方分米
（2）21.98平方厘米
【分析】（1）根據(jù)題意可知，陰影部分的面積＝半圓的面積－三角形的面積，根據(jù)半圓面積公式：S＝πr2÷2，用3.14×（4÷2）2÷2即可求出半圓的面積；然后根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，用4×（4÷2）÷2即可求出三角形的面積，再用減法求出陰影部分的面積；
（2）根據(jù)題意可知，大圓的半徑是（8÷2）厘米，小圓的半徑是3厘米，根據(jù)圓環(huán)的面積公式：S＝π（R2－r2），代入數(shù)據(jù)解答即可。
【詳解】（1）3.14×（4÷2）2÷2
＝3.14×22÷2
＝3.14×4÷2
＝6.28（平方分米）
4×（4÷2）÷2
＝4×2÷2
＝4（平方分米）
6.28－4＝2.28（平方分米）
陰影部分的面積是2.28平方分米。
（2）8÷2＝4（厘米）
3.14×（42－32）
＝3.14×（16－9）
＝3.14×7
＝21.98（平方厘米）
陰影部分的面積是21.98平方厘米。
2．求下列圖形中陰影部分的面積。（單位：cm）

【答案】9.63cm2；21.5cm2
【分析】第一個(gè)陰影部分的面積＝半圓面積－三角形面積，三角形的底和高等于圓的半徑，半圓面積＝πr2÷2，三角形面積＝底×高÷2；
第二個(gè)陰影部分的面積＝正方形面積－圓的面積，正方形邊長＝圓的直徑，正方形面積＝邊長×邊長。
【詳解】3.14×（6÷2）2÷2－（6÷2）×（6÷2）÷2
＝3.14×32÷2－3×3÷2
＝3.14×9÷2－4.5
＝14.13－4.5
＝9.63（cm2）
（5×2）×（5×2）－3.14×52
＝10×10－3.14×25
＝100－78.5
＝21.5（cm2）
3．計(jì)算下面各圖中涂色部分的面積。
（1）（2）
【答案】（1）32平方米；（2）50.24平方厘米
【分析】（1）如圖：

通過割補(bǔ)，將陰影部分轉(zhuǎn)化為底和高都是8米的直角三角形，根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，用8×8÷2即可求出陰影部分的面積；
（2）根據(jù)圓環(huán)的面積公式：S＝π（R2－r2），代入數(shù)據(jù)求出圓環(huán)的面積即可。
【詳解】（1）8×8÷2＝32（平方米）
陰影部分的面積是32平方米。
（2）r：6÷2＝3（厘米）
R：2＋3＝5（厘米）
S：3.14×52－3.14×32
＝3.14×25－3.14×9
＝3.14×（25－9）
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
陰影部分的面積是50.24平方厘米。
【典型例題2】拓展型。
1．求陰影部分的面積。
【答案】15.4平方厘米；36平方厘米
【分析】（1）觀察圖形可知：陰影部分的面積＝大半圓的面積＋小半圓的面積－三角形的面積（長方形的面積的一半），將數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可求解；
（2）由題意可知：空白三角形為直角三角形，已知兩條直角邊和斜邊的長，于是可以求出斜邊上的高，也就是梯形的高。再根據(jù)“陰影部分的面積＝梯形的面積－空白三角形的面積”即可求解。
【詳解】（1）3.14×（8÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2－4×8÷2
＝3.14×42÷2＋3.14×22÷2－32÷2
＝3.14×16÷2＋3.14×4÷2－16
＝50.24÷2＋12.56÷2－16
＝25.12＋6.28－16
＝31.4－16
＝15.4（平方厘米）
（2）6×8÷2×2÷10
＝48÷2×2÷10
＝24×2÷10
＝48÷10
＝4.8（厘米）
（10＋15）×4.8÷2－6×8÷2
＝25×4.8÷2－48÷2
＝120÷2－24
＝60－24
＝36（平方厘米）
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】
1．求陰影部分面積。（單位：cm，π取3.14）
（1）（2）
【答案】（1）16平方厘米；（2）22平方厘米
【分析】（1）將右半部分的不規(guī)則陰影部分繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°然后再平移，陰影部分的面積相當(dāng)于底是8厘米、高是4厘米的平行四邊形面積的一半，根據(jù)平行四邊形的面積公式：平行四邊形的面積＝底×高，用8×（8÷2）÷2即可求出陰影部分的面積。
（2）將左上部分陰影填補(bǔ)到中間空白處，那么陰影部分的面積恰好是上底為4，下底為7，高為4的梯形的面積，梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2。
【詳解】（1）8×4÷2
＝32÷2
＝16（平方厘米）
陰影部分的面積是16平方厘米。
（2）（4＋7）×4÷2
＝44÷2
＝22（平方厘米）
陰影部分的面積是22平方厘米。
2．求陰影部分的面積（單位：厘米）。
【答案】10.26平方厘米；50平方厘米
【分析】看圖，用直徑是6厘米的圓的面積，減去三角形的面積，可先求出陰影部分面積；
將圖形補(bǔ)充成一個(gè)大長方形，那么可利用大長方形的面積減去三個(gè)小三角形的面積，求出陰影部分的面積。
【詳解】3.14×（6÷2）2－6×6÷2
＝28.26－18
＝10.26（平方厘米）；
（10＋6）×10－（10＋6）×6÷2－10×10÷2－6×（10－6）÷2
＝160－48－50－12
＝50（平方厘米）

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