1.cs24°cs69°+sin24°sin111°=( )
A. ? 22B. 22C. ?12D. 12
2.為了得到y(tǒng)=sin(5x?π3)的圖象，只要將函數(shù)y=sin5x的圖象( )
A. 向右平移π15個(gè)單位長度B. 向左平移π15個(gè)單位長度
C. 向右平移π3個(gè)單位長度D. 向左平移π3個(gè)單位長度
3.下列命題中正確的是( )
A. OA?OB=ABB. AB=BA
C. 0?AB=0D. AB+BC+CD=AD
4.向量a=(k,3)與向量b=(1,?1)夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A. k?3且k≠3
5.下列函數(shù)中，周期為π且在[0,π2]上單調(diào)遞增的函數(shù)是( )
A. f(x)=sin2xB. f(x)=cs2x
C. f(x)=ln(2?csx)D. f(x)=tan(x?12024)
6.如圖，A，B兩點(diǎn)分別在河的兩側(cè)，為了測量A，B兩點(diǎn)之間的距離，在點(diǎn)A的同側(cè)選取點(diǎn)C，測得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為( )
A. 100 2米B. 100 3米C. 50( 6+ 2)米D. 200米
7.平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=4，AB?AD=?6，DM=13DC，則MA?MB的值為( )
A. 16B. 14C. 12D. 10
8.古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯(Theaetetus)利用如圖所示的直角三角形來構(gòu)造無理數(shù).已知AB=BC=CD=2，AB⊥BC，AC⊥CD，若DB=λAB+μAC，則λ+μ=( )
A. ? 22
B. 22
C. 2+12
D. 2?12
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知向量a=(2,1)，b=(1,?1)，c=(m?2,?n)，其中m，n均為正數(shù)，且(a?b)//c，下列說法正確的是( )
A. a與b的夾角為鈍角B. 向量a在b方向上的投影為 55
C. 2m+n=4D. mn的最大值為2
10.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0,y>0)，求x+y的最小值．
19.(本小題17分)
“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識解決下面問題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cs2B+cs2C?cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求PA?PB+PB?PC+PC?PA；
(3)設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，|PB|+|PC|=t|PA|，求實(shí)數(shù)t的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：cs24°cs69°+sin24°sin111°=cs24°cs69°+sin24°sin(180°?69°)
=cs24°cs69°+sin24°sin69°=cs(69°?24°)=cs45°= 22．
故選：B．
由誘導(dǎo)公式和兩角差的余弦公式求解即可．
本題主要考查了誘導(dǎo)公式及和差角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】A
【解析】解：為了得到y(tǒng)=sin(5x?π3)的圖象，只要將函數(shù)y=sin5x的圖象向右平移π15個(gè)單位長度得到．
故選：A．
直接利用函數(shù)圖象的平移變換求出結(jié)果．
本題考查的知識要點(diǎn)：函數(shù)圖象的平移變換，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】D
【解析】解：OA?OB=BA，AB=?BA，0?AB=0，AB+BC+CD=AD，
故選：D
根據(jù)向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積運(yùn)算即可判斷
本題考查了向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】B
【解析】解：由于向量a=(k,3)與向量b=(1,?1)夾角為鈍角，
所以a?b=k?30,ω>0,|φ|0，
所以35+x5y+2y5x≥35+2 (x5y)?(2y5x)=3+2 25，
當(dāng)且僅當(dāng)25x+15y=1x5y=2y5x時(shí)，即x= 2+25y= 2+15時(shí)，等號成立，
所以x+y的最小值為3+2 25．
【解析】(1)根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；
(2)①依題意可得CM=13CB，CN=12CA，由A、O、M三點(diǎn)共線，設(shè)AO=tAM，結(jié)合(1)的結(jié)論用a，b表示出CO，由B、O、N三點(diǎn)共線，設(shè)BO=μBN，同理表示出CO，根據(jù)平面向量基本定理得到方程，求出t、μ，再代入即可；
②依題意可得a=1xCP，b=1yCQ，結(jié)合①的結(jié)論及共線定理即得出25x+15y=1，再利用基本不等式即可求解．
本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，屬中檔題．
19.【答案】解：(1)由已知△ABC中cs2B+cs2C?cs2A=1，即1?2sin2B+1?2sin2C?1+2sin2A=1，
故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，
故△ABC直角三角形，
即A=π2；
(2)由(1)可得A=π2，所以三角形ABC的三個(gè)角都小于120°，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
設(shè)|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，
由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，得12xy? 32+12yz? 32+12xz? 32=12×2，
整理得xy+yz+xz=4 33，
則PA?PB+PB?PC+PA?PC=xy?(?12)+yz?(?12)+xz?(?12)=?12×4 33=?2 33；
(3)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，
設(shè)|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，m>0，n>0，x>0，
則由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2?2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2?2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2?2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n，結(jié)合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3時(shí)，等號成立，
又m+n=t，即有t2?4t?8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2?2 3(舍去)．
故實(shí)數(shù)t的最小值為2+2 3．
【解析】(1)根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡cs2B+cs2C?cs2A=1可得a2=b2+c2，即可求得答案；
(2)利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案；
(3)由(1)結(jié)論可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，設(shè)|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn，再結(jié)合基本不等式，即可求得答案．
本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，利用基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

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