（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無(wú)效.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.下列各組向量中，能作為基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 在正方體中，分別為棱和棱的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角為（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，已知平面，且.在梯形中，，且，.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.直線與可能為異面直線B.直線相交于一點(diǎn)
C.D.直線與可能為異面直線
4.已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
5. 雷鋒塔，位于杭州西湖，某同學(xué)為測(cè)量雷鋒塔的高度，在雷鋒塔的正西方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點(diǎn)處（三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部，雷鋒塔頂部的仰角分別為和，在處測(cè)得塔頂部的仰角為，則雷鋒塔的高度約為（ ）
A. B. C. D.
6.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為的半圓，則該圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
7. 在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，若平面，，則（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)在上有最大值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若向量，則向量在向量上的投影向量為
C. 非零向量和滿足，則與的夾角為
D. 點(diǎn)，與向量同方向的單位向量為
10.在邊長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面，則線段的長(zhǎng)度可能是（ ）
A. B. C. D.
11.已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（ ）
A.B.
C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上D. 的最大值為
12.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A. B.
C. D.為偶函數(shù)
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.__________.
14.在中，若，則__________.
15.棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球的表面積為__________.
16.已知圓的半徑為1，為該圓的兩條切線，為兩切點(diǎn)，那么的最小值
為__________.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本小題10分）
已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，是實(shí)數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值.
18.（本小題12分）
如圖，平面四邊形由等腰與等邊拼接而成，其中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值．
19.（本小題12分）
如圖，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，．
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積．
20.（本小題12分）
如圖，在梯形中，，，，是的中點(diǎn)，將沿折起，使位于處，且．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成的角的大?。?br>21.（本小題12分）
在銳角中，角所對(duì)的邊分別是．已知，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若是中上的一點(diǎn)，且滿足，求與的面積之比的取值范圍．
22.（本小題12分）
設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果對(duì)任意的，有，則稱為區(qū)間上的下凸函數(shù)；如果有，則稱為區(qū)間上的上凸函數(shù)．
（Ⅰ）已知函數(shù)，求證：
（?。?；
（ⅱ）函數(shù)為下凸函數(shù)；
（Ⅱ）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為上凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．成都石室中學(xué)2023-2024學(xué)年度下期高2026屆5月月考
數(shù)學(xué)試題
（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無(wú)效.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.下列各組向量中，能作為基底的是（ A ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 在正方體中，分別為棱和棱的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角為（ C ）
A. B. C. D.
3. 如圖，已知平面，且.在梯形中，，且，.則下列結(jié)論正確的是（ B ）
A. 直線與可能為異面直線B. 直線相交于一點(diǎn)
C. D. 直線與可能為異面直線
4.已知，則的大小關(guān)系為（ D ）
A. B. C.D.
5. 雷鋒塔，位于杭州西湖，某同學(xué)為測(cè)量雷鋒塔的高度，在雷鋒塔的正西方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點(diǎn)處（三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部，雷鋒塔頂部的仰角分別為和，在處測(cè)得塔頂部的仰角為，則雷鋒塔的高度約為（ B ）
A. B. C. D.
6.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為的半圓，則該圓錐的體積為（ A ）
A. B. C. D.
7. 在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，若平面，，則（ C ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)在上有最大值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（ D ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說法正確的是（ BD ）
A. 若，則
B. 若向量，則向量在向量上的投影向量為
C. 非零向量和滿足，則與的夾角為
D. 點(diǎn)，與向量同方向的單位向量為
10.在邊長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面，則線段的長(zhǎng)度可能是（ C D ）
A. B. C. D.
11.已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（ ABD ）
A.B.
C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上D. 的最大值為
12.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（ ABD ）
A. B.
C. D.為偶函數(shù)
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.__________.
14.在中，若，則_____或_____.
15.棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球的表面積為__________.
16.已知圓的半徑為1，為該圓的兩條切線，為兩切點(diǎn)，那么的最小值
為__________.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本小題10分）
已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，是實(shí)數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值.
【解析】
（Ⅰ）若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則，……………3分
.……………4分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
把代入方程得：，
整理得：，……………8分
所以，解得.……………10分
18.（本小題12分）
如圖所示，平面四邊形由等腰與等邊拼接而成，其中，，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值．
【解析】
（Ⅰ）以分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系；
故，……………3分
故；……………6分
（Ⅱ），則，則，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故，，……………9分
故，
可知當(dāng)時(shí)，取得最小值．……………12分
19.（本小題12分）
如圖，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，．
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積．
【解析】
（Ⅰ）連接，設(shè)，連接．
由已知得，四邊形為正方形，則為的中點(diǎn).
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以．……………4分
又因?yàn)槠矫妫?br>平面，
所以∥平面． ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∥平面，
所以與到平面的距離相等，
所以．……………8分
由題設(shè)及，得，且．
所以，
所以三棱錐的體積為． …………………12分
20.（本小題12分）
在梯形中，，，，是的中點(diǎn)，將沿折起，使位于處，且
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成的角的大小．
【解析】
（Ⅰ） .……………2分
.
，，.
平面.……………6分
（Ⅱ）延長(zhǎng)交于，連接.
由(Ⅰ)可知, ,又,
.,
，
平面，又平面
，
平面.
為直線與平面所成的角. ……………9分
在直角三角形中, ,
直線與平面所成的角為.……………12分
21.（本小題12分）
在銳角中，角所對(duì)的邊分別是．已知，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若是中上的一點(diǎn)，且滿足，求與的面積之比的取值范圍．
【解析】
（Ⅰ），，
，
又，，
，又，，……………6分
（Ⅱ），，
，即平分，……………8分
所以，……………10分
又，，
，，，
．……………12分
22.（本小題12分）
設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果對(duì)任意的，有，則稱為區(qū)間上的下凸函數(shù)；如果有，則稱為區(qū)間上的上凸函數(shù)．
（Ⅰ）已知函數(shù)，
求證：（?。?；（ⅱ）函數(shù)為下凸函數(shù)；
（Ⅱ）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為上凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】
（Ⅰ）（?。?分
（ⅱ）令，則
所以，即函數(shù)為下凸函數(shù)……………8分
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)為上凸函數(shù)
則對(duì)任意的，有恒成立
因?yàn)?br>則
因?yàn)?br>所以 ……………12分

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