注意事項：
1．滿分120分，答題時間為120分鐘．
2．請將各題答案填寫在答題卡上．
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在每個小題給出的四個選項中，只有項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）
1. 下列式子中，是二次根式的有（ ）
① ② ③ ④
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
答案：B
解析：解：①是二次根式，符合題意；
②當時，，此時沒有意義，即此時不是二次根式，不符合題意；
③是三次根式，不符合題意；
④是二次根式，符合題意；
故選B．
2. 下列條件中，不能確定三角形是直角三角形的是（ ）
A. 三角形中有兩個角互為余角
B. 三角形中三個內(nèi)角之比為
C. 三角形中的三邊之比為
D. 三角形中有兩個內(nèi)角的差等于第三個內(nèi)角
答案：B
解析：解：A、三角形中有兩個角互為余角，則另一個為，
此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；
B、∵三角形中三個內(nèi)角之比為，
∴最大內(nèi)角為，
∴此三角形不是直角三角形，故本選項符合題意；
C、∵，
∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；
D、設(shè)三角形3個內(nèi)角分別是，
∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；
故選：B．
3. 在平面直角坐標系中，點到原點的距離是（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
答案：C
解析：解：由勾股定理得，點到原點的距離是，
故選C．
4 若成立，則（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：要使成立，則，
解得：，故D正確．
故選：D．
5. 已知下列命題：①若，則；②如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．其中原命題與逆命題均為真命題的有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
答案：C
解析：解：若，則；原命題正確，
逆命題為：若，則，逆命題為假命題；故①不符合題意；
如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么；原命題正確，
逆命題為：如果三角形的三邊長分別是a，b， c，且，那么這個三角形是直角三角形，逆命題是真命題，
描述正確，故②符合題意；
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；原命題正確，
逆命題為：平行四邊形的兩組對角相等，是真命題，故③符合題意；
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．原命題正確，
逆命題為：三角形中一條邊上的中線等于這條邊的一半，則這個三角形是直角三角形，為真命題，故④符合題意；
故選C
6. 若,則a、b兩數(shù)的關(guān)系是（ ）
A. 互為相反數(shù)B. 互為倒數(shù)C. 相等D. 互為負倒數(shù)
答案：A
解析：，
∴a與b互為相反數(shù).
故選A.
7. 觀察式子：，；，；，．由此猜想．上述探究過程蘊含的思想方法是（ ）
A. 特殊與一般B. 類比C. 轉(zhuǎn)化D. 公理化
答案：A
解析：解：由題干可知，上述探究過程是通過取一些特殊的數(shù)字說明等式成立，進而總結(jié)出一般規(guī)律，故蘊含的思想方法是特殊與一般，
故選：A．
8. 矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（ ）
A. 對角線互相平分B. 四條邊都相等
C. 對角線相等D. 對邊平行且相等
答案：C
解析：解：A、矩形和菱形的對角線都互相平分，不符合題意；
B、矩形的四條邊不一定相等，菱形的四條邊相等，不符合題意；
C、矩形的對角線相等，但是菱形的對角線不一定相等，符合題意；
D、矩形和菱形的對邊都平行且相等，不符合題意；
故選C．
9. 如圖，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將ΔABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為（ ）

A. B. C. 4D. 5
答案：C
解析：解：∵D是BC的中點，
∴BD=3，
設(shè)BN=x，由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=9－x，
在Rt△BDN中，，
x2+32=（9－x）2，
解得x=4．
故線段BN的長為4．
故選C．
10. 如圖，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：如圖所示，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的倍，
，
，
，
，
，
，
，
故選：A．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）
11. 勾股定理的證明方法有很多，如圖，這個圖案是3世紀我國漢代的______在注解《周髀算經(jīng)》時給出的．他根據(jù)此圖指出：四個全等的直角三角形（陰影部分）可以如圖圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形．
答案：趙爽
解析：解：由數(shù)學常識可知，這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，
故答案：趙爽．
12. 已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為________．
答案：5或
解析：解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時，
第三邊的長為：；
②長為3、4的邊都是直角邊時，
第三邊的長為：；
∴第三邊的長為：或5，
故答案為：或5．
13. 在中，若，，，且D，E分別為，邊上的中點，則的周長為______．
答案：6
解析：解：∵在中，，，，
∴．
又∵點D、E分別是，的中點，
∴，是中位線，是斜邊的中線，
∴，，
∴的周長．
故答案為：6．
14. 如圖，在矩形中，，，E是線段上的一點，把沿著直線折疊，點D恰好落在線段上，且與點F重合，則的長為______．
答案：##
解析：解：∵四邊形是矩形，
∴，
∴在中，由勾股定理得 ，
由折疊的性質(zhì)可得，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的長為，
故答案為：．
15. 如圖，已知：在中，，，F(xiàn)為上一點，E為中點，則的最小值為____．

答案：
解析：解：連接．

∵中，，
∴四邊形為菱形．
∴點D與點B關(guān)于對稱．
∴．
∴，當點D、F、E共線時，有最小值，最小值為的長，
∵E是的中點，
∴．
∴
又∵，
∴．
∴為直角三角形．
∴，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16. （1）計算：．
（2）若，化簡：．
答案：（1）；（2）2
解析：解：（1）
；
（2）∵，
∴，，
∴原式
．
17. 在如圖所示的網(wǎng)格中，構(gòu)造一個三邊長分別為，，的三角形，不寫作法，保留作圖痕跡，并直接寫出這個三角形的形狀．
答案：作圖見解析，三角形的形狀是直角三角形
解析：解：如圖所示，即為所求，三角形的形狀是直角三角形．
由勾股定理得，
∴，，
∴，
∴為直角三角形．
18. 如圖，一根直立的旗桿高8米，一陣大風吹過，旗桿從點C處折斷，頂部（B）著地，離旗桿底部（A）4米，工人在修復的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1.25米D處，有一明顯裂痕，若下次大風將旗桿從D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的危險？
答案：6
解析：由題意可知，
則，
即，
解得，
若下次大風將旗桿從D處吹斷，如圖，
，
BD，
．
則距離旗桿底部周圍6米范圍內(nèi)有被砸傷的危險．
19. 如圖，兩張寬度相等的紙條疊放在一起，重疊部分構(gòu)成四邊形．求證：四邊形是菱形．
答案：證明見解析
解析：證明：過點A分別作于點M，作于點N，
∴．
∵兩張寬度相等的紙條，
∴，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴．
∴平行四邊形是菱形．
20. 閱讀理解
寬與長的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形能夠帶來協(xié)調(diào)、勻稱的美感．世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計，如圖1所示的是希臘的巴特農(nóng)神廟．
動手操作 下面我們折疊出一個黃金矩形：
第一步，在一張矩形紙片的一端，利用圖2的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；
第二步，如圖3，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平；
第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把折到圖4中所示的處；
第四步，展平紙片，按照所得的點D折出．
若，則______，在圖5中，矩形______就是黃金矩形．
答案：，
解析：解：如圖4所示，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
由折疊可知，
∴；
如圖5所示，
∵，
∴，
∴矩形為黃金矩形．
故答案為：，．
21. 下面是小明同學的數(shù)學日記，請完成相應的任務．
任務：
（1）以上證明過程中的“依據(jù)”是______．
（2）請根據(jù)小明的思路，完成證明過程．
（3）此時老師又提示讓我們大膽運用所學知識加以證明，請你用不同于小明的方法再次證明．
如圖2，在中，是邊上的中線，且，求證：是直角三角形．
答案：（1）等邊對等角
（2）證明見解析 （3）見解析
小問1詳解
解：等邊對等角．
小問2詳解
在中，是邊上的中線，
∴．
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直角三角形．
小問3詳解
證明：過D作，垂足為E，
∴．
∵在中，是邊上的中線，
∴．
又∵，
∴．
又∵，垂足為E，
∴E是的中點，
∴是的中位線，
∴，
∴，即，
∴是直角三角形．
22. 如圖，在四邊形中，對角線，，且，垂足為O，順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形；再順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形，…如此下去得到四邊形．
（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由．
（2）求四邊形的面積．
（3）直接寫出四邊形的面積（用含n的式子表示）．
答案：（1）四邊形是矩形，理由見解析
（2）
（3）
小問1詳解
解：四邊形是矩形，理由如下：
在四邊形中，順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，
∴、分別為的中點，
∴是的中位線，
∴，，
同理可得：，，，，，；
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴平行多邊形是矩形，
小問2詳解
解：由（1）得四邊形是矩形，，是的中位線，
∴．
又∵，，
∴，，
∴．
小問3詳解
解：∵四邊形中，，，且，
∴；
由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>即四邊形的面積是．
23. 綜合與實踐
問題情境
如圖1，是線段上任意一點（不與點，重合），分別以和為斜邊在同側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接，取的中點，的中點，連接．
（1）猜想驗證
如圖1，當點與點重合時，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）延伸探究
如圖2，當點與點不重合時，問題（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
答案：（1），理由見解析；
（2）成立，理由見解析
小問1詳解
解： ．
理由： 和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
．
又是的中點，
，即．
又點與點重合，
，
．
小問2詳解
成立．
理由：如圖，延長交的延長線于點，連接，．
和都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，，
四邊形是矩形，是等腰直角三角形，
．
又是的中點，
，
．
又是的中點，
是的中點．
在中，是的中點，
，
，即．
2023年4月11日 星期二 晴
今天數(shù)學活動課上，老師提出了一個問題，如圖1，在中，是邊上的中線，且，求證：是直角三角形．
我展示的方法：
證明：：在中，是邊上的中線，
∴．
又∵，∴，
∴，（依據(jù)）．
……

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