一、選擇題
1. 下列二次根式中，最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.=，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式；故A選項不符合題意；
B.=，被開方數(shù)為小數(shù)，不是最簡二次根式；故B選項不符合題意；
C.，是最簡二次根式；故C選項符合題意；
D.=，被開方數(shù)，含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D選項不符合題意；
故選C．
2. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.，故本選項錯誤，不符合題意；
B.，故本選項正確，符合題意；
C.和不是同類二次根式，無法合并，故本選項錯誤，不符合題意；
D.和不是同類二次根式，無法合并，故本選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
3. 滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三內(nèi)角的度數(shù)之比為 B. 三內(nèi)角的度數(shù)之比為
C. 三邊長之比為 D. 三邊長的平方之比為
【答案】B
【解析】A.根據(jù)三角形內(nèi)角和公式，求得各角分別為，，，所以此三角形是直角三角形，不符合題意；
B.根據(jù)三角形內(nèi)角和公式，求得各角分別為，，，所以此三角形不是直角三角形，符合題意；
C.設(shè)三邊長分別為，，，因為，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，不符合題意；
D.三邊長的平方之比為，即設(shè)三邊長的平方分別為，，，即，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，不符合題意．故選：B．
4. 如圖所示，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，，，，?ABCD的周長（ ）
A. 11B. 13C. 16D. 22
【答案】D
【解析】因為?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，，
所以O(shè)E是三角形ABD的中位線，所以AD=2OE=6
所以?ABCD的周長=2（AB+AD）=22故選D.
5. 已知矩形的一條對角線與一邊的夾角是，則兩條對角線所成的銳角的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如圖，矩形，
則：，，
∴，
∴，
∴兩條對角線相交所成的銳角的度數(shù)為
故選D．
6. 如圖,菱形ABCD的兩條對角線相交于O,若AC=6,BD=4,則菱形ABCD的周長是( )
A. 24B. 16C. D.
【答案】C
【解析】∵四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，
OA=AC=3，
OB=BD=2，
AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，AB==，
∴菱形的周長為4．
故選C．
7. 如圖，長方形的邊在數(shù)軸上，若點A與數(shù)軸上表示數(shù)的點重合，點D與數(shù)軸上表示數(shù)的點重合，，以點A為圓心，對角線的長為半徑作弧與數(shù)軸負(fù)半軸交于一點E，則點E表示的數(shù)為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由題意，得：，，，
∴，
∴點表示的數(shù)為；
故選A．
8. 如圖，平行四邊形中，對角線、相交于O，過點O作交于點E，若，，，則的長為（ ）
A. B. 6C. 8D.
【答案】A
【解析】如圖，連接，
平行四邊形中，，
垂直平分，，，，
，，
，，，
是直角三角形，是等腰直角三角形，
．故選：A．
9. 四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，∠DHO＝20°，則∠CAD的度數(shù)是（ ）
A. 25°B. 20°C. 30°D. 40°
【答案】B
【解析】∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴OH=OB=BD，
∵∠DHO=20°，
∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，
∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．
故選：B．
10. 如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段AQ長度的最小值為（ ）
A. 6B. 8C. D.
【答案】D
【解析】∵四邊形PAQC是平行四邊形，
∴AQ＝PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∴當(dāng)CP⊥AB時，CP取得最小值，
∵∠BAC＝45°，
，
設(shè)，
在Rt△APC中，AB＝AC＝8，
則，即，
解得，
故選：D．
二、填空題
11. 要使代數(shù)式有意義，則x的取值范圍為___________．
【答案】且
【解析】∵要使式子有意義，
∴且，解得：且．
故答案為：且．
12. 計算： _______________
【答案】
【解析】；
故答案為：．
13. 如圖，直四棱柱側(cè)棱長為4cm，底面是長為5cm寬為3cm的長方形．一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B．則螞蟻經(jīng)過的最短路程_________cm
【答案】
【解析】的長就為最短路線．
如圖1，若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為，
如圖2，若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為，
如圖3，若螞蟻沿左面和上面爬行，則經(jīng)過的路程為；
∵ ，
∴所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是 ．
故答案為：．
14. 如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個說法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中說法正確的結(jié)論有______________
【答案】①②③
【解析】①大正方形的面積是49，則其邊長是7，顯然，利用勾股定理可得x2+y2=49，故選項①正確；
②小正方形的面積是4，則其邊長是2，根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y+2=x，即x-y=2，故選項②正確；
③根據(jù)圖形可得四個三角形的面積+小正方形的面積=大正方形的面積，即4×xy+4=49，化簡得2xy+4=49，故選項③正確；
④因為（x+y）2=x2+y2+2xy=49+45=94，所以x+y=，故此選項不正確．
故答案為①②③.
15. 如圖，在菱形 ABCD 中，對角線 AC , BD 交于點O ，過點 A 作 AH ? BC 于點 H ，已知 BD=8，S 菱形ABCD=24，則 AH?_______．
【答案】
【解析】∵四邊形ABCD是菱形，BD＝8，
∴AO＝CO，AC⊥BD，OB=OD=4，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝，故答案為：．
16. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，矩形OABC中,A（10，0），C（0，4），D為OA的中點，P為BC邊上一點．若△POD為等腰三角形，則所有滿足條件的點P的坐標(biāo)為_________．
【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【解析】∵四邊形OABC矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D為OA的中點，
∴OD=AD=5，
①當(dāng)PO=PD時，點P在OD得垂直平分線上，
∴點P的坐標(biāo)為：（2.5，4）；
②當(dāng)OP=OD時，如圖1所示：
則OP=OD=5，PC==3，
∴點P的坐標(biāo)為：（3，4）；
③當(dāng)DP=DO時，作PE⊥OA于E，
則∠PED=90°，DE==3；
分兩種情況：當(dāng)E在D的左側(cè)時，如圖2所示：
OE=5-3=2，
∴點P的坐標(biāo)為：（2，4）；
當(dāng)E在D的右側(cè)時，如圖3所示：
OE=5+3=8，
∴點P的坐標(biāo)為：（8，4）；
綜上所述：點P的坐標(biāo)為：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）
三、解答題
17. 計算：
（1）．
（2）．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18. 如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF，
（1）求證：AE＝CF；
（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE=CF．
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
19. 觀察下列等式：
等式1：；等式2：；等式3:；
（1）猜想驗證：根據(jù)觀察所發(fā)現(xiàn)的特點，猜想第4個等式為 ，第9個等式為 ，并選擇第4個等式證明猜想的準(zhǔn)確性；
（2）歸納證明：由以上觀察探究，歸納猜想：第個等式為 ．
解：（1）第4個等式為：；第9個等式為：；
證明：；
（2）第個等式為： ，n為正整數(shù)；
證明：，
∵n為正整數(shù)，
∴原式=．
20. 如圖，公路和公路在點P處交匯，且，在A處有一所中學(xué)，米，此時有一輛消防車在公路上沿方向以每秒5米的速度行駛，假設(shè)消防車行駛時周圍100米以內(nèi)有噪音影響．
（1）學(xué)校是否會受到影響？請說明理由．
（2）如果受到影響，則影響時間是多長？
（1）解：學(xué)校受到噪音影響．理由如下：
如圖：作于B，
∵，
∴，
∵，
∴消防車在公路上沿方向行駛時，學(xué)校受到噪音影響．
（2）解：如圖：以點A為圓心，為半徑作交于C、D，
∵，∴，
在中，，
∴，
∴，
∵消防車的速度，∴消防車在線段上行駛所需要時間（秒），
∴學(xué)校受影響的時間為32秒．
21. 如圖，在中，，，是的中點，是線段延長線上一動點，過點作，與線段的延長線交于點，連接、．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若四邊形是矩形，，，求的值；
（3）若，試判斷四邊形是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．
（1）證明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）解：四邊形是矩形，
∵四邊形是平行四邊形．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形．
22. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是∠ABC角平分線，點M從點E出發(fā)，沿ED方向以1cm/s的速度向點D運動，點N從點C出發(fā)，沿射線CB方向運動，以4cm/s的速度運動，當(dāng)點M運動到點D時，點N隨之停止運動，設(shè)運動時間為t(s)，
（1）求AE的長：
（2）是否存在以M、E、B、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由
（3）當(dāng)t= 時，線段NM將平行四邊形ABCD面積二等分（直接寫出答案），
（1）解：四邊形是平行四邊形，
，
，
是的角平分線，
，
，
，
，
；
（2）由（1）知，，
，
，
由運動知，，，
，要使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，只要，
當(dāng)點在邊上時，，
，
當(dāng)點在邊的延長線上時，，
，
，
或時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）如圖，
連接交于，
線段將平行四邊形面積二等分，
必過的中點，，
，，
在和中，
，
，
，
由運動知，，，
，，
，
，
時，線段將平行四邊形面積二等分，
故答案為：1．

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