考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第三冊.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，從集合A中選一個元素作為點P的橫坐標，從集合B中選一個元素作為點P的縱坐標，若點P落在第三或第四象限，則滿足條件的點P有（ ）
A. 8個B. 10個C. 12個D. 16個
【答案】C
【解析】因為點P在第三或第四象限，所以縱坐標只能選集合B中的負數(shù)，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，橫坐標有4種選法，縱坐標有3種選法，
則滿足條件的點P共有個．
故選：C．
2. 根據(jù)3對數(shù)據(jù)，，繪制的散點圖知，樣本點呈直線趨勢，且線性回歸方程為，則（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】A
【解析】由已知，得，，又經(jīng)過點，
所以，解得．故選：A．
3. 已知離散型隨機變量X的分布列為（，2，3），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為，
所以，
所以．
故選：B．
4. 從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)字中不放回地依次取2個數(shù)，記“第一次取到的是偶數(shù)”為事件A，“第二次取到的是奇數(shù)”為事件B，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在事件A發(fā)生后，只有9個數(shù)字，其中有5個奇數(shù)，所以．
故選：C．
5. 甲、乙兩人要在一排7個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有（ ）
A. 6種B. 12種C. 15種D. 30種
【答案】B
【解析】一排共有7個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有5個空座.
要求每人左右均有空座，
在5個空座的中間4個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有種坐法.
故選：B.
6. 已知隨機變量，若，，則（ ）
A. 15B. C. D.
【答案】A
【解析】因為，，
所以，
即，所以，
所以．
故選：A．
7. 在的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A. 252B. 210C. 126D. 120
【答案】B
【解析】的展開式的通項為，
則的展開式中項的系數(shù)為，
所以的展開式中項的系數(shù)為
．
故選：B．
8. 將字母放入的表格中，每個格子各放一個字母，若共有行字母相同，則得分，則所得分數(shù)的均值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】字母放入的表格中的不同結果有種，
隨機變量的可能的取值為，
可得，
則，
所以隨機變量期望為.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)為，，，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若相關系數(shù)，則兩個變量負相關
B. 相關系數(shù)r的值越小，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱
C. 決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好
D. 決定系數(shù)越小，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好
【答案】AC
【解析】對于A：因為r的符號反映相關關系的正負性，故A正確；
對于B：根據(jù)相關系數(shù)越接近1，變量相關性越強，故B錯誤；
對于C：決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，效果越好，故C正確，D錯誤．
故選：AC．
10. 隨機地向4個器皿內投放4種不同的食物給4只狗仔喂食，設所投放的食物均落在器皿內，隨機變量X為空器皿個數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 隨機變量X的取值為1，2，3B.
C. D.
【答案】CD
【解析】由題意得隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，故A錯誤；
則，，故B錯誤，C正確；
又，，
所以．故D正確．
故選：CD．
11. 甲盒中裝有3個藍球、2個黃球，乙盒中裝有2個藍球、3個黃球，同時從甲、乙兩盒中取出個球交換，分別記交換后甲、乙兩個盒子中藍球個數(shù)的數(shù)學期望為，，則下列結論正確的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】X表示交換后甲盒子中的藍球數(shù)，Y表示交換后乙盒子中的藍球數(shù)，
當時，，，，
則，，
AB正確；
當時，，，
，，
，
因此，，C正確，D錯誤．
故選：ABC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 方程（且）的解為___________．
【答案】2或4
【解析】由題意，可知，則，所以或.
故答案為：2或4.
13. 某工廠生產(chǎn)的袋裝食鹽的質量服從正態(tài)分布（質量單位：g）．檢驗員根據(jù)質量將產(chǎn)品分為合格品和不合格品，其中的食鹽為合格品，其他為不合格品，要使不合格率小于4.55%，則σ的最大值為______．
（若，則）
【答案】2
【解析】由正態(tài)分布性質可知，要使不合格率小于4.55%，則合格率不低于，
由得，，
由題意可知，
解得，故的最大值為．
故答案為：.
14. “算兩次”是一種重要的數(shù)學方法，也稱做富比尼（G. Fubini）原理．“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來”（波利亞著《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》第一卷），即將一個量“算兩次”．由等式，，，利用“算兩次”原理可得______．（結果用組合數(shù)表示）
【答案】
【解析】因為，
因此是展開式中項的系數(shù)，
而的展開式中項的系數(shù)為，
所以．
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知二項式且為常數(shù)展開式中第7項是常數(shù).
（1）求的值；
（2）若該二項式展開式中各項系數(shù)之和為，求展開式中的系數(shù).
解：（1）二項式的展開式中第7項為
，
由題意得，解得.
（2）令，得，所以或，
解得，或（舍去）.
該二項式展開式通項為
，
令，解得，
故展開式中的系數(shù)為.
16. 晚會上共有7個節(jié)目，其中有4個不同的歌唱節(jié)目，2個不同的舞蹈節(jié)目和1個相聲節(jié)目，分別按以下要求各可以排出多少種不同的節(jié)目單.
（1）其中舞蹈節(jié)目第一個出場，相聲節(jié)目不能最后一個出場；
（2）2個舞蹈節(jié)目不相鄰；
（3）前3個節(jié)目中既要有歌唱節(jié)目又要有舞蹈節(jié)目.
解：（1）按特殊位置或特殊元素優(yōu)先安排的原則分3步：
先排第1個節(jié)目，有種安排方法，
再排最后一個節(jié)目，可以從余下的5個非相聲節(jié)目中選一個排在最后，有種排法，
最后余下的節(jié)目隨便排，有種排法，
由分步計數(shù)原理得共有種排法
（2）先排非舞蹈節(jié)目，有種排法，
將2個舞蹈節(jié)目插到6個空中，有種排法，
故種排法.
（3）前3個節(jié)目共三種情況：
一種為1個歌唱節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目，有種排法，
另外一種為2個歌唱節(jié)目，1個舞蹈節(jié)目，有種排法，
最后一種為歌唱節(jié)目，舞蹈節(jié)目?相聲節(jié)目各1個，有種排法，
故共有種排法.
17. 某校對學生餐廳的就餐環(huán)境、菜品種類與質量等方面進行了改造與提升，隨機抽取100名男生與100名女生對就餐滿意度進行問卷評分（滿分100分）調查，調查結果統(tǒng)計如下表：
男生：
女生：
學校規(guī)定：評分大于或等于80分為滿意，小于80分為不滿意．
（1）由以上數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷學生的就餐滿意度與性別是否有關聯(lián)？
（2）從男生、女生中評分在70分以下的學生中任意選取3人座談調研，記X為3人中男生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．
附：，其中．
解：（1）由題意得列聯(lián)表為：
零假設為：學生對就餐滿意與性別無關聯(lián)，
，
根據(jù)小概率的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，故可以認為成立，
即學生對就餐滿意度與性別無關聯(lián)．
（2）X的所有可能取值為0，1，2，3，X服從超幾何分布，
則（，1，2，3）．
即，
，
，
，
所以X的分布列為
則．
18. 2023年全國競走大獎賽（第1站）暨世錦賽及亞運會選拔賽3月4日在安徽黃山開賽．重慶隊的賀相紅以2小時22分55秒的成績打破男子35公里競走亞洲紀錄．某田徑協(xié)會組織開展競走的步長和步頻之間的關系的課題研究，得到相應的試驗數(shù)據(jù)：
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到步頻和步長近似為線性相關關系，求出關于的回歸直線方程，并利用回歸方程預測，當步長為時，步頻約是多少？
（2）記，其中為觀測值，為預測值，為對應的殘差，求（1）中步長的殘差的和，并探究這個結果是否對任意具有線性相關關系的兩個變量都成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：，．
解：（1），，
，，
所以回歸直線方程為，
將代入得，解得，所以當步長為時，步頻約是0.27秒．
（2）根據(jù)（1）得到，；
，；
，；
，；
，，
所以，即步長殘差和為0．
對任意具有線性相關關系的兩個變量都成立，證明如下：
．
19. 我們學過二項分布，超幾何分布，正態(tài)分布等概率分布模型.概率論中還有一種離散概率分布，設一組獨立的伯努利試驗，每次試驗中事件發(fā)生的概率為，將試驗進行至事件發(fā)生次為止，用表示試驗次數(shù)，則服從負二項分布（也稱帕斯卡分布），記作.為改善人口結構，落實積極應對人口老齡化國家戰(zhàn)略，保持中國的人口資源優(yōu)勢，我國自2021年5月31日起實施三胎政策.政策實施以來，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某機構對該市家庭進行調查，抽取到第2個三胎家庭就停止抽取，記抽取的家庭數(shù)為隨機變量，且該市隨機抽取一戶是三胎家庭的概率為.
（1）求;
（2）若抽取的家庭數(shù)不超過的概率不小于，求整數(shù)的最小值.
解：（1）.
（2）因為.
所以抽取的家庭數(shù)不超過的概率為，
即，，
兩式相減，得
所以.
由，得，
令，則.，
所以，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，
因為，
所以整數(shù)的最小值是7.
評分分組
70分以下
人數(shù)
3
27
38
32
評分分組
70分以下
頻數(shù)
5
35
34
26
滿意
不滿意
總計
男生
女生
總計
α
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
滿意
不滿意
總計
男生
70
30
100
女生
60
40
100
總計
130
70
200
X
0
1
2
3
P
步頻（單位：）
0.28
029
0.30
0.31
0.32
步長（單位：）
90
95
99
103
117

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