常見的中點模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點”構(gòu)造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④直角三角形斜邊中點模型；⑤中位線模型；⑥中點四邊形模型。本專題就中點模型的后三類模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
模型1：直角三角形斜邊中線模型
定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
如圖1，若AD為斜邊上的中線，則：
（1）；（2），為等腰三角形；（3），．

圖1 圖2
拓展：如圖2，在由兩個直角三角形組成的圖中，M為中點，則（1）；（2）．
模型運用條件：連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點時）
例1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt中，為斜邊上的中線，若，則 ．
例2．（2023·遼寧鞍山·?？既＃┤鐖D，在中，，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，點A，B的對應(yīng)點分別是D，E，點F是邊的中點，連接，，，則下列說法不正確的是（ ）

A． B． C． D．四邊形是平行四邊形
例3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考模擬）如圖，在菱形中，對角線相交于點為中點，．則線段的長為：（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考模擬）如圖，菱形的對角線、相交于點，過點作于點，連接，若，，則的長為（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）如圖，已知， M、N分別是中點，若，則

例5．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，，N是邊的中點．D，E分別是邊，上的動點，始終保持，M是上的中點，則的最小值為 ．

例6．（2023上·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，于F，于E，M為的中點．(1)若，，求的周長；(2)若是等邊三角形，求的度數(shù)．

模型2：中位線模型
三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。
如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點分別為D、E，則DE//BC且，△ADE∽△ABC。
中點三角形：三角形三邊中點的連線組成的三角形，其周長是原三角形周長的一半，面積是原三角形面積的四分之一。
模型運用條件：構(gòu)造中位線（出現(xiàn)多個中點時）。
例1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）在中，，分別為邊，的中點，，則的長為 cm.
例2．（2023·河南平頂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，中，，平分，交于點E，平分，交于點F，交于點O，點G，H分別是和的中點，則的長為 ．

例3．（2023下·四川南充·八年級?？计谥校┤鐖D，已知矩形的面積為1．分別為的中點，若四邊形的面積為，分別為的中點，四邊形的面積記為，…，依此類推，第n個四邊形的面積記為，則 ．

例4．（2023下·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，O是矩形的對角線的中點，M是的中點，若，，則四邊形的周長為 ．

例5．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，E，F(xiàn)分別是上的動點，M，N分別是的中點，則的最大值為 ．

例6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：

（1）取，的中點D，E，在邊上作；（2）連接，分別過點D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點D旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點E旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置；
（4）延長，交于點F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結(jié)論是正確的：①點Q，A，T在一條直線上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．
【任務(wù)1】請你對結(jié)論①進行證明．【任務(wù)2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點，連接．求證：．
模型3：中點四邊形模型
中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形。
中點四邊形是中點模型中比較經(jīng)典的應(yīng)用。中點四邊形不僅結(jié)合了常見的特殊四邊形的性質(zhì)，而且還會涉及中位線這一重要知識點，總體來說屬于比較綜合的幾何模塊。
結(jié)論1：順次連結(jié)任意四邊形各邊中點組成的四邊形是平行四邊形．
如圖1，已知點M、N、P、Q是任意四邊形ABCD各邊中點，則四邊形MNPQ為平行四邊形。

圖1 圖2
結(jié)論2：順次連結(jié)對角線互相垂直四邊形各邊中點組成的四邊形是矩形．（特例：箏形與菱形）
如圖2，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為矩形。
結(jié)論3：順次連結(jié)對角線相等四邊形各邊中點組成的四邊形是菱形．（特例：等腰梯形與矩形）
如圖3，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，則四邊形MNPQ為菱形。

圖3 圖4
結(jié)論4：順次連結(jié)對角線相等且垂直的四邊形各邊中點組成的四邊形是正方形．
如圖4，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為正方形。
推廣與應(yīng)用
1）中點四邊形的周長：中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和。
2）中點四邊形的面積：中點四邊形的面積等于原四邊形面積的。
例1．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊、、、的中點．若四邊形為菱形，則對角線、應(yīng)滿足條件 ．
例2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，G，H分別是對角線BD，AC的中點，若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC
例3．（2023上·陜西西安·九年級校考階段練習(xí)）如圖，連接四邊形ABCD各邊的中點，得到四邊形EFGH，還要添加 ，才能保證四邊形EFGH是正方形．
例4．（2023下·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，任意四邊形中，，，，分別是，，，上的點，對于四邊形的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動課中，通過動手實踐，探索出如下結(jié)論，其中錯誤的是( )
A．當(dāng)，，，是各邊中點，且時，四邊形為矩形
B．當(dāng)，，，是各邊中點，且時，四邊形為菱形
C．當(dāng)，，，不是各邊中點時，四邊形不可能為菱形
D．當(dāng)，，，不是各邊中點時，四邊形可能為平行四邊形
例5．（2023下·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D，任意四邊形各邊中點分別是E、F、G、H．若對角線、的長分別是、，則四邊形的周長是（ ）

A．20cmB．30cmC．40cmD．50cm
例6．（2023下·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）四邊形ABCD，點M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點．(1)如圖1，順次連結(jié)M、N、P、Q得到四邊形ANPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；
(2)如圖2，若∠B＝∠C，AB＝CD，順次連結(jié)M、N、P、Q得到四邊形MNPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；(3)如圖3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，設(shè)線段CQ的長度為m，則m的取值范圍是______．

課后專項訓(xùn)練
1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，中，，為的中位線，連接，若，則的度數(shù)為（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，是邊的中點，是邊上一點，若平分的周長，則的長為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點F為AC中點，是的中位線，若，則BF=（ ）
A．6B．4C．3D．5
4．（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的斜邊OA在第一象限，并與x軸的正半軸夾角為30度，C為OA的中點，BC=1，則A點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·海南儋州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，，，平分，平分，且，相交于點O，若點P為線段的中點，連接，則線段的長為（ ）

A．B．2C．D．1
6．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，在菱形中，對角線相交于點O，點M，N分別是邊的中點，連接，若，，則的長為（ ）

A．3B．C．2D．
7．（2023下·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，點D、點E分別是的中點，點F是一點，，則長為（ ）。

A．1B．2C．3D．4
8．（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D是AB的中點，延長CB至點E，使，連接DE，F(xiàn)為DE中點，連接BF.若，，則BF的長為（ ）
A．5B．4C．6D．8
9．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D為斜邊的中點，E為上一點，F(xiàn)為中點．若，，則的長為（ ）
A．B．3C．D．4
10．（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，點，，，分別是，，，邊上的中點，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．四邊形是矩形
B．四邊形的內(nèi)角和小于四邊形的內(nèi)角和
C．四邊形的周長等于四邊形的對角線長度之和
D．四邊形的面積等于四邊形面積的
11．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．點E、F分別是AB，AO的中點，且AC＝8，則EF的長度為（ ）

A．2B．4C．6D．8
12．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD是矩形，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊的中點，則四邊形EFGH一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．對角線相等的四邊形
13．（2023上·北京海淀·九年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD四條邊AB，BC，CD，DA的中點，則關(guān)于四邊形EFGH，下列說法正確的是（ ）
A．不一定是平行四邊形B．當(dāng)AC＝BD時，它為菱形
C．一定是軸對稱圖形D．不一定是中心對稱圖形
14．（2023下·上海浦東新·八年級?？计谀┫铝忻}中，真命題是（ ）
A．順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形
B．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形
C．順次聯(lián)結(jié)對角線垂直的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形
D．順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形
15．（2023下·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形是 ．
對角線，滿足條件 時，連接四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形．
16．（2022·四川南充·中考真題）數(shù)學(xué)實踐活動中，為了測量校園內(nèi)被花壇隔開的A，B兩點的距離，同學(xué)們在外選擇一點C，測得兩邊中點的距離為（如圖），則A，B兩點的距離是 m．
17．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，、分別是正方形的邊、上的動點，滿足，連接、，相交于點，連接，若正方形的邊長為2．則線段的最小值為 ．

18．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，，點和點分別是和的中點，連接，，，若，則的面積是 ．

19．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在中，，是斜邊上的中線，分別為的中點，若，則 ．
20．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在中，是邊上的高，、分別是和的中點，且，若，則的長為 ．

21．（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）證明：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半；
已知：如圖，分別是的邊，中點．
求證：，．
下面是證明的兩種添加輔助線的方法，請選擇其中一種，完成證明．
22．（2023下·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，是線段上的一點，在的同側(cè)作和，使，，，連接，點，，，分別是，，，的中點，順次連接，，，．
(1)猜想四邊形的形狀，直接回答，不必說明理由；
(2)點在線段的上方時，如圖2，在的外部作和，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3)如果（2）中，，其他條件不變，先補全圖3，再判斷四邊形的形狀，并說明理由．
23．（2022下·陜西西安·八年級陜西師大附中?？计谀﹩栴}背景：
△ABC和△CDE均為等邊三角形，且邊長分別為a，b，點D，E分別在邊AC，BC上，點F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點，連接FG，GH，HI，IF .
猜想證明：(1)如圖①，判斷四邊形FGHI是什么特殊四邊形，并說明理由．
(2)當(dāng)a＝6，b＝2時，求四邊形FGHI的周長．
拓展延伸：(3)如圖②，當(dāng)四邊形FGHI是正方形時，連接AE，BD相交于點N，點N，H恰好在FC上．求證：△ABN和△DEN均為等腰直角三角形．
24．（2023下·福建福州·八年級福州華倫中學(xué)?？计谥校┮阎涸诰匦蜛BCD中，，．
（1）如圖1，E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點、求證：四邊形EFGH是菱形；
（2）如圖2，若菱形EFGH的三個頂點E、F、H分別在AD，AB，CD上，．
①連接BG，若，求AF的長；
②設(shè)，△GFB的面積為S，且S滿足函數(shù)關(guān)系式．在自變量m的取值范圍內(nèi)，是否存在m，使菱形EPGH面積最大？若存在，請直接寫出菱形EFGH面積最大值，若不存在，請說明理由．
方法一
證明：如圖，延長至，使
方法二
證明：如圖，過作交于，過作交于．

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